高一數(shù)學(xué)(人教A版)-向量的數(shù)乘運算-4講稿

題目：向量的數(shù)乘運算

向量的數(shù)乘運算

高一年級數(shù)學(xué)

主講人王琦

北京市第五中學(xué)

:*

■

解說詞：同學(xué)們好，我是北京市第五中學(xué)的數(shù)學(xué)教師王琦.這節(jié)課我們一起來學(xué)

習(xí)向量的數(shù)乘運算.前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了向量的加法和減法運算.我想一定有同

學(xué)思考過，向量有沒有乘法運算呢？如果你也考慮過這樣的問題，說明你已經(jīng)有

了類比的意識.在向量的學(xué)習(xí)中，我們不止一次與數(shù)量進行類比或?qū)Ρ?，今天?/p>

們也不妨從數(shù)量的乘法說起.

數(shù)量的乘法3。=a+a+a—3a=67)+67)

■

向量3a=a+a+a-3a=(一〃)+(_〃)+(-〃)

aa_q_a

3a一3〃

長度3|a|3⑷

方向挈與q相同與〃相反

解說詞：比如，我們都知道，3a表示3個a相加，-3a表示3個一。相加.類

比數(shù)的乘法，我們把數(shù)量。換成向量a,那么，3a就表示3個向量a相加，一3a

就表示3個一a相加.我們知道，向量加法運算的結(jié)果仍然是向量.因此3a和

—3a的結(jié)果均為向量.既然是向量，我們就要看一看他們的大小和方向是怎樣

的，與向量a的大小和方向又有怎樣的關(guān)系呢？我們分別作出它們對應(yīng)的有向線

段來看一看，按照向量加法的三角形法則，將三個向量。首尾相接，就得到了

3a,同理，我們先做出向量a的相反向量——一a,再將3個一。首尾相接，就

得到了一3a.不難發(fā)現(xiàn)，3a和一3a,它們的長度都等于3|a|,我們可以歸納為

用這個實數(shù)的絕對值乘以|a|.顯然，3a的方向與向量a的方向相同.一3a的方

向與向量a的方向相反.更一般地，對于任意實數(shù)乘以向量a,我們可以類似地

規(guī)定結(jié)果的長度和方向.

解說詞：由此，我們給出向量數(shù)乘運算的定義.

一般地，我們規(guī)定實數(shù)％與向量。的積是一個向量,

記作兒T,它的長度與方向規(guī)定如下：

(1)|Aa|=|A||?l；

(2)當(dāng)2＞0時，癡與a的方向相同；

當(dāng)幾＜0時，癡與a的方向相反.

這種運算叫做向量的數(shù)乘.

解說詞：一般地，我們規(guī)定實數(shù)丸與向量a的積是一個向量，記作加，它的長

度與方向規(guī)定如下：⑴仇們=|刈們；(2)當(dāng)丸＞0時，癡與向量a的方向相同；當(dāng)

丸<0時，加與向量a的方向相反.由于這種運算是數(shù)量與向量相乘，所以我們

把它叫做向量的數(shù)乘.聽到這里，可能有同學(xué)會想，向量和向量之間是否可以相

乘呢，我們在后續(xù)課程中會對此進行討論.

一般地，我們規(guī)定實數(shù)人與向量。的積是一個向量,

記作相，它的長度與方向規(guī)定如下：

(1)|Aa|=|A||?|;

(2)當(dāng)；I>0時，兒i與。的方向相同；

當(dāng)；1<0時，腦與。的方向相反.

這種運算叫做向量的數(shù)乘.

顯然，當(dāng)4=0時，10a|=|01|=0,0a70.

哨a=0時，|A0|=|A||0|=0,力)=0.

解說詞：可能還有同學(xué)有疑問，4>0和丸<0時，對癡的方向都作出了規(guī)定，當(dāng)

4=0時，觴的方向又是怎樣的呢？事實上，當(dāng)4=0時，|/la|=|0a|=|0||a|=0|a|=0,

模為0的向量就是零向量，所以0a=0.這說明0與任意向量數(shù)乘運算的結(jié)果均

為零向量.事實上，當(dāng)向量a=0時，|勿|=|/10|=|/1||0|=|/1|-0=0,所以，70=0.這

說明零向量與任意實數(shù)數(shù)乘運算的結(jié)果均為零向量.這是兩種較為特殊的情況.

已知向量a如圖所示，求作向量〃=0.5a,c=~2a.

解說詞：有了向量數(shù)乘運算的定義，我們來做個小練習(xí)：已知向量a如圖所示,

求作向量Z?=0.5a,向量c=—2a.由定義可知，向量〃的長度等于向量a長度

的0.5倍，因此我們先作出線段A3,它的長度是向量a長度的0.5倍，因為0.5

>0,所以向量〃與向量a的方向相同，因此，向量〃=A5.同理，向量c的

長度應(yīng)該等于向量a長度的2倍，所以我們作出線段CD,它的長度為向量a長

度的2倍，由于一2<0,所以向量c與向量a的方向相反，因此向量c=DC.

2>1

A=1

0<2<1

2=0

-l<2<0

A=-1

2<-1

解說詞：事實上，通過做圖，我們不難發(fā)現(xiàn)，對非零向量a,當(dāng)2>1時，筋與向量。

方向相同，長度大于向量a的長度；當(dāng)2=1時，&i=a,當(dāng)4G(0,1)時，加與向量a方

向相同，長度小于向量a的長度；當(dāng)2=0時，〃=0；當(dāng)2c(—1,0)時，癡與向量a方

向相反，長度小于向量。的長度；當(dāng)4=—1時，2a=~a；當(dāng)2<—1時，九i與向量a

方向相反，長度大于向量。的長度.

幾何角度：

非零向量的數(shù)乘運算，相當(dāng)于對向量。

延其所在直線方向的拉伸或壓縮.

解說詞：同學(xué)們可以想象一下2連續(xù)變化時的情形.從幾何直觀上不難感知到,

非零向量的數(shù)乘運算，相當(dāng)于對向量m延其所在直線方向的拉伸或壓縮，其中,

當(dāng)4<0時，可以看作是反向的伸縮.

.?

AC5

例點C在線段帥上，且有=J,則

ntZ

_5___2_

AC=7AB,BC=7AB.

52

_AA

(_______________________________________Y

lIIII-i一I」

ACB

■

解說詞：理解了向量數(shù)乘的定義和幾何意義，我們來看一道例題.已知點C在

線段A3上，且AC：BC=5：2,求向量AC等于多少倍的向量A5,向量

等于多少倍的向量A3.這道題目顯然結(jié)合圖形更為直觀，我們作出線段A3,

點C在線段A3上，且線段AC與線段3C長度之比為5：2,通過觀察，向量AC

的長度是5份，向量A3的長度是7份，且向量AC與向量A5方向相同，因此，

AC=-AB.同理，向量的長度是2份，向量A5的長度是7份，且向量

7

9

與向量A3方向是相反的，因此3C=--AB.這個例題是對定義的逆向應(yīng)用，

7

通過兩向量長度和方向的關(guān)系，找到二者的運算關(guān)系.

■??

二、向量數(shù)乘運算的運算律

解說詞：定義了新的運算以后，考察它的運算律是一個自然的問題.

解說詞：提到乘法的運算律，我們首先想到的是數(shù)量乘法所滿足的乘法交換律,

乘法結(jié)合律和乘法分配律.那么向量的數(shù)乘運算是否也滿足這樣的運算律呢？我

們可以先類比數(shù)的乘法，寫出向量數(shù)乘可能滿足的運算律，再來逐一驗證.乘法

交換律是指，交換相乘兩項的位置，乘積不變的性質(zhì).如果向量的數(shù)乘運算滿足

交換律，也就是說癡=加.而我們對數(shù)乘運算進行定義的時候，規(guī)定的記法是

將數(shù)量寫在向量的前面，因此向量數(shù)乘的交換律就無從說起了.乘法結(jié)合律指的

是，三項相乘，先把前兩項相乘，再和第三項相乘，或先把后兩項相乘，再和第

一項相乘，乘積不變的性質(zhì).向量數(shù)乘運算的兩項，一個是數(shù)量，一個是向量,

如果再乘以第三個量，我們就要考慮兩種情況，第三個量是向量還是數(shù)量.如果

第三項是一個向量，那么結(jié)合律就是(")小="a電).我們知道相是一個向量,

向量b也是一個向量，這樣，等號兩邊就都出現(xiàn)了向量與向量相乘，這種乘法我

們還沒有定義，因此，這樣的結(jié)合律是否成立，我們留到后續(xù)課程中再進行討

論.今天我們只討論第三項是一個數(shù)量的情況，也就是=(“/)4.乘法分

配律，指的是乘法對于加法的分配律，那么對于向量的數(shù)乘運算，就既要考察它

對于數(shù)量加法是否滿足分配律，還要考察它對于向量加法是否滿足分配律.究竟

這三條運算律是否成立呢？我們逐一來驗證一下.

(1)

3(2〃)=(3x2)〃=6〃

3(2〃)

解說詞：我們先來驗證結(jié)合律是否成立.特別的，如果％和〃至少有一個為0,

那么顯然兩邊都等于零向量.為了討論更為一般的情況，我們?nèi)?=3,〃=2,

看看3(24)是否等于(3*2)。=6°.事實上，如果向量a是零向量，那么結(jié)果是顯

然的，兩邊都等于零向量.所以，我們給定非零向量a,一方面，先作出2a,再

作出它的3倍，就得到了3(2a).另一方面，作出6a.我們看到，這兩個向量長

度相等，方向相同，因止匕3(2。)=(3x2)。.

■

.?

(1)=(〃/)0.

-3(2?)=(-3x=-6a

—3(2。)

1rl1

a2a

一iiii

■

解說詞：可能還有同學(xué)不放心，如果2和〃不全是正數(shù)，會不會就不相等了呢？

我們?nèi)?=—3,〃=2,再來試試.方法類似，我們先作出2a,再與一3相乘時,

根據(jù)向量數(shù)乘運算的定義，結(jié)果的長度是2a的3倍，方向與2a相反.再作出

-6a.我們看到，這兩個向量也是相等的.對于其他情況，同學(xué)們也可以通過類

似的方法進行驗證.不難發(fā)現(xiàn)，向量數(shù)乘運算的結(jié)合律應(yīng)該是成立的.

(2)(2+=2a+卜ia.

5〃=(2+3)?=2〃+3〃?4

2(1+3a

解說詞：我們再來看看向量數(shù)乘運算對于數(shù)量加法的分配律是否成立.我們同樣

采用幾何作圖進行驗證的方法.我們?nèi)?=2,〃=3,目標(biāo)就是驗證(2+3)a也就

是5a,是否等于2a+3a.我們給定非零向量a,按照向量數(shù)乘運算的定義，一

方面作出5a,另一方面，分別作出2a和3a,將它們首尾相接，就得到了2a+

3a.對比得到的兩個向量，顯然是相等的.我們也可以用類似的方法來驗證其他

情況.通過做圖驗證，我們可以感覺到，向量的數(shù)乘運算對數(shù)量的加法是滿足分

配律的.

??

解說詞：最后，我們再來驗證一下向量數(shù)乘運算對于向量加法的分配律.我們不

妨取7=2,再取兩個不共線的向量a與瓦一方面，我們利用三角形法則，作出

向量a十4另一方面，我們先分別作出2a和24利用三角形法則，可以得到

2a+2b.我們不難發(fā)現(xiàn)，圖中的兩個三角形是相似的，相似比為1：2,因此，

向量a+Z，與向量2a+2方對應(yīng)的有向線段長度之比為1：2,且這兩個向量方向

相同，由向量數(shù)乘運算的定義，我們可以得到，2a+2b=2(a+b).由于我們同

樣可以利用類似的方法驗證其它情況，這就說明，向量數(shù)乘運算對于向量的加法

應(yīng)該也是滿足分配律的.

向量數(shù)乘運算律

(1)=(即)a=4(2〃);[結(jié)合律

(2)(2+=Aa+jua]]_

(3)A(?+辦)=%。+Ab.J1分配律“

特別地，丸(一〃)=(―A)?=—(2a),

(2-=Aa+(-//)?=Aa-叫

-Z>)=2a+2(-Z>)=Aa-Ab.

解說詞：由前面的驗證，我們發(fā)現(xiàn)向量的數(shù)乘運算具有如下的運算律：結(jié)合律、

對數(shù)量加法和向量加法的分配律.我們再來看一下結(jié)合律，由于數(shù)量乘法滿足交

換律，所以這個式子可以繼續(xù)等于儀丸)。，如果再利用一次結(jié)合律，先將后兩項相

乘，就等于〃(癡).這就使得兩個數(shù)量與一個向量相乘時，可以先將任意兩項相

乘，再與第三項相乘，結(jié)果都是一樣的.一般的結(jié)論有了，特殊的情況往往也是

值得我們注意的.比如，在(1)式中，我們令〃=—1,可以得到，A(-a)=(-A)a

=-(Aa).有了這樣的運算性質(zhì)，我們對負號的處理就更加靈活了.再比如，在

(2)式中，用一〃代換〃，可以得到，(丸一〃)a=癡+(—〃)4,進而利用上一個結(jié)論，

把負號提到括號外，就等于加一〃a.類似的，(3)式中，如果用一8替換向量上

則/l(a—方)=癡十丸(一力，也就等于施一7從這說明向量數(shù)乘運算對于數(shù)量和向量

的減法也都滿足分配律.我們看到，向量數(shù)乘運算的這些運算律，與數(shù)量乘法十

分相似，這些性質(zhì)為我們簡化向量的運算提供了依據(jù).

向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算.

向量的線性運算的結(jié)果仍為向量.*,?

對于任意向量a,b,以及任意實數(shù)4,內(nèi),為，

丸(〃]4±〃2〃)=丸(〃11)土%@2〃)=丸/14土4〃2從

解說詞：到目前為止，我們學(xué)習(xí)了向量的加法、減法和數(shù)乘運算，我們把這幾種

運算統(tǒng)稱為向量的線性運算，向量線性運算的結(jié)果仍為向量.那么，對于任意向

量a與"以及任意實數(shù)7,/fia±〃2方)這樣一個混合的線性運算結(jié)果是怎

樣的呢？由于〃ia和〃2方均為向量，根據(jù)數(shù)乘運算對向量加法的分配律，這個式

子就等于丸a⑷±丸(//2萬)，再根據(jù)向量數(shù)乘運算的結(jié)合律，就等于±丸〃2氏這

與數(shù)量的運算也是相似的.

解說詞：接下來，我們通過幾道典型例題，加深對概念的理解.

例判斷下列結(jié)論的正誤：

①0a=0;

＞向量數(shù)乘運算的的結(jié)果是一個向量;

A區(qū)分?jǐn)?shù)量0與向量0.

解說詞：例1,判斷下列結(jié)論的正誤：先來看第1小題，可能會有不少同學(xué)認(rèn)為

這是一個正確的結(jié)論，而事實上它是錯誤的.要答對這個題目需要明確兩件事：

一是向量數(shù)乘運算的結(jié)果是一個向量，二是數(shù)量0與向量0在表示上的區(qū)別，印

刷用粗體的0表示零向量，手寫用上方標(biāo)有箭頭的0表示零向量.我們看，題目

中是數(shù)量0乘以向量屬于數(shù)乘運算，運算的結(jié)果應(yīng)為向量，而等號右邊卻是

數(shù)量0,因此是錯誤的.本題若將等號后面的0加粗，結(jié)論就正確了.

例判斷下列結(jié)論的正誤：

①Oa=O;

②若九1=0,則丸=0或4=0;

分析：兒1=0,即.1=0,即陽10=0,

貝IJ人=0或a=0.

解說詞：我們再來看第二個，若加=0,則4=0或向量a=0.這個結(jié)論正確嗎？

事實上，由于零向量就是模為0的向量，所以癡=0,就是說14al=0,即|Rd

=0,即7=0或向量a=0.因此本題的的結(jié)論是正確的.如果我們把題目中的向

量都改成數(shù)量，這個結(jié)論是不是很熟悉呢？

??*

例判斷下列結(jié)論的正誤：

①0a=0;

②若兒r=0,則2=0或a=0;

③若助=勸，則反例：丸=0.

解說詞：我們再來看第3個，若癡=肪，則。=從題目中的結(jié)論，相當(dāng)于是把

條件中等號兩邊相同的實數(shù)丸給消掉了，能不能這樣消掉呢？同學(xué)們可能想到了,

當(dāng)4=0時，不管它與什么向量相乘，結(jié)果都是零向量，因此向量a與向量8不

一定相等.所以，這個結(jié)論也是錯誤的.

?#?

例判斷下列結(jié)論的正誤：

①0a=0;

②若兒r=0,則丸=0或a=0;

③若九i=M,則a=，；，.「反例：A—0.

④若兒r=*i,貝=反例：a—0.

:*

■

解說詞：第4個，若加=〃a,我們能否將等號兩邊相同的向量a消掉，得到7

=〃呢？不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a=0時，不管它和哪個實數(shù)相乘，結(jié)果都是零向量，因

此，丸與〃不一定相等.這個結(jié)論也是錯誤的.3、4這兩個小題，如果我們把題

目中的向量都替換成數(shù)量，我們會發(fā)現(xiàn)也有著類似的結(jié)論.而且這兩道小題對應(yīng)

的都是“兩個數(shù)與同一個數(shù)相乘，結(jié)果相等''的問題.

??*

例判斷下列結(jié)論的正誤：

①0a=0;

②若兒r=0,則丸=0或a=0;

③若Aa=則。=辦；」反例：A—0.

④若患=“，則；1=〃.反例：a=0.

與數(shù)量問題既有相似，又有區(qū)別.

「需要準(zhǔn)確把握概念，嚴(yán)謹(jǐn)分析.

解說詞：看來，向量的線性運算與數(shù)量的運算之間有著很多相似的性質(zhì)，但也有

差別.比如，向量線性運算的結(jié)果是個向量，再比如一個數(shù)量問題對應(yīng)的向量問

題可能不止一個等等.同學(xué)們遇到具體問題的時候，需要準(zhǔn)確把握相關(guān)概念，具

體嚴(yán)謹(jǐn)?shù)胤治觯荒苤苯犹子脭?shù)量問題的結(jié)論.

例計算：

(1)(-3)X4?=(-3X4)a=-12a;*.

解說詞：我們再來看一組計算題.第1小題，(一3)X4°,由數(shù)乘運算的結(jié)合律,

我們可以先將一3和4相乘，再乘以向量a,從而等于一12a.

例計算:■

(1)(—3)X4a=(-3X4)a=-12a;?4

(2)3(a+A)—2(a—b)—a

=3a+3b-2a+2b-a

=(3a—2a—a)+(3辦+25)

=(3—2—1)°+(3+2?

=0a+5b

,=5b;

解說詞：第2小題，3(a+b)-2(,a-b)-a,我們可以先根據(jù)數(shù)乘運算對向量加法

的分配律，去掉括號，得到3a+3萬一2a+2La.然后根據(jù)向量加法的交換律和

結(jié)合律，可以將含有向量a的項放在一起，含有向量萬的項放在一起，進而逆用

數(shù)乘運算對數(shù)量加法的分配律，從而得到(3—2—l)a+(3+2)"即Oa+54也就

是0+54就等于55.

■??

例計算:

(1)(—3)X4a=(-3X4)a=-12a;

(2)3(a+b)—2(a—b)—a

=3a+38—2a+2〃-a|—入HLI-TK

、,,類似合并同類項

—(c3a—2、a-a)+(3?+2o)^------------------------

=(3-2—l)a+(3+2?

=0a+5b

,=5b;

解說詞：做完這道題目，我們再回頭看一看剛才的過程，這一步，是不是很像我

們多項式運算中的“合并同類項”呢？

??

例計算:■

(1)(一3)X4a=(-3X4)a=-12a;?4

(2)3(a+A)—2(a—b)—a

〃TK

=(33aq+_32〃-_2a〃)++2(辦3一,+a28)」|一類似合并同-類項

=(3—2—l)a+(3+2?書類似提取公因式

=0a+5b1------------------------

,=58;

解說詞：這一步，是不是很像我們多項式運算中的“提取公因式”呢？這說明,

在向量的線性運算中，”合并同類項”和“提取公因式”的方法都是有據(jù)可依的，

同學(xué)們今后可以放心使

用.

例計算：

(3)(x-y)(a+〃)一(x+y)(a-8)#

=(x-y)a+(x—y)B—(x+y)a+(x+y)6

解說詞：第3小題，(%—y)(a+b)—(x+y)(a—b),這個算式中出現(xiàn)了數(shù)量和與向

量和相乘的問題，我們可以仿照多項式乘以多項式的方法進行處理，我們不妨先

將(x—y)看做一個整體，利用數(shù)乘運算對向量加法的分配律，進行第一步展開，

得(x—y)a+(x—y)〃，后面一項用同樣的方法處

理.

?.■.七

例計算：

(3)(x—y)(a+b)—(x+y)(a—b)<

=(x—y)a+(x-y)b—(x+^)?+(x+y)b

=xa—ya-\-xb—yb—xa—ya-\-xb-\-yb

解說詞：然后我們對每一項再利用數(shù)乘運算對于數(shù)量加法的分配律，進行第二步

展開，就去掉了所有的括號，

...,9??,

例計算：

(3)(x-y)(a-\-b)—(x-\-y)(a—b)#

=(x—y)a+(x~y)b—(x+y)a+(x+y)^

=xa—ya-\-xb—yb—xa—ya-\-xb-\-yb

=-2ya+2x〃.

■

解說詞：然后我們就可以像上一小題那樣“合并同類項”、“提取公因式”，不難

計算出最后的結(jié)

果.

??■?■

例計算：

(3)(x—y)(a+b)—(x+y)(a—〃)?

.=(x-—(x+y)a+(x+y)b

=xa-ya-\-xb—yb-xa-ya-Vxb-{-yb

=-2ya+2x〃?

解說詞：我們再回頭看看運算的過程，先來看這一部分，這一部分去括號展開后

的四項，是由第一個括號中的兩項與第二個括號中的兩項分別相乘得到的.這也

與多項式中的相應(yīng)運算是相似的，今后我們可以直接運用這樣的運算規(guī)

律.

例計算：

(3)(x-y)(a-\-b)—(x-\-y)(a—b)#

=(x-y)a+(x-y)b—(x+^)?+(x+y)b

=Kx—y)—(x+y)]"+[(x—y)+(x+y)仍

=-2ya+2x〃.

■

解說詞：如果我們再退一步，仔細觀察，你是否能有新的發(fā)現(xiàn)呢？我們可以將這

四項分為黃白兩組，黃色的兩項可以提出向量。，白色的兩項可以提出向量兒

再將括號內(nèi)的實數(shù)進行計算，也可以得到最終的結(jié)果.可見，同學(xué)們在運算的過

程中要注意觀察，才能恰當(dāng)?shù)厥褂眠\算律，從而簡化計算.

一'J

向量的線性運算，與數(shù)和代數(shù)式的運算非常相似,

去括號、移項、合并同類項、提取公因式等方法同樣

適用。

解說詞：這3個題目的解題過程，是嚴(yán)格遵照向量數(shù)乘運算的運算律進行的，我

們不難發(fā)現(xiàn)向量的線性運算，與數(shù)和代數(shù)式的運算非常相似，去括號、移項、合

并同類項、提取公因式等方法同樣適用.我們在運算過程中，不僅要體會這種相

似性帶來的便利，更重要的是理解其中的算理.

解說詞：我們再來看這樣一個問題.如果說上一道例題，更側(cè)重向量線性運算的

代數(shù)屬性，那么這道例題顯然更側(cè)重于向量的幾何屬性.如圖，平行四邊形ABCD

的兩條對角線相交于點且AB=a,AD=b,第1問，用向量a,表示向量

的4和向量M3.由于向量a與向量b共起點，且分別落在平行四邊形的相鄰兩

邊上，而待求向量與平行四邊形的對角線關(guān)系密切，因此，我們考慮先求出向量

AC和向量。反

解說詞：根據(jù)向量的平行四邊形法則和三角形法則，容易得至U：

AC=A3+AD=a+〃，=—=a—5,由于平行四邊形對角線互相平分,

所以向量航4的長度是向量AC長度的一半，且二者方向相反，因此,

MA=--AC=--(a+b)=--a--b.同理，向量MB的長度是向量長度的

2222

一半，且二者方向相同，因止匕==—b)=ga—.

用向量a,表示向量AP和向量PQ.我們先來表示向量AP,如何找到與已知

向量的聯(lián)系呢？為了便于轉(zhuǎn)化，我們可以把向量AP放到三角形中進行研

究.

解說詞：比如在△ADP中，利用向量加法的三角形法則，向量AP就可以表示為

向量AD加上向量DP,其中向量AD就是向量上向量。P雖然不能直接用向量

a與向量Z，表示，但與第1問求得的向量。3有著密切的聯(lián)系.由于。3=6DP,

所以，向量DP的長度是向量。3長度的工，且二者方向相同，因此，

6

DP=-DB=-(a-b},經(jīng)計算等于人同樣的方法，我們把向量PQ也放

6666

到三角形中，比如在△APQ中，由向量減法的三角形法則，由于AQ=2QC,所

以向量AQ的長度是向量AC長度的二者方向相同，所以AQ=§AC,而向

量AC和向量AP此前已求，代入計算，就得到了最終的結(jié)果.本題的解法不唯

一，同學(xué)們課后也可以嘗試把這兩個待求向量放在其他三角形中進行討論，看是

否能得到同樣的結(jié)論.

用兩已知向量的線性運算表示其它向量的一般方法：

把待求向量放