2019年高考數(shù)學(xué)（理）考點(diǎn)一遍過考點(diǎn)29空間幾何體的表面積與體積含解析

考點(diǎn)29空間幾何體的表面積與體積

考傭展攵

了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式.

弟知識(shí)整句

一、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積

1.旋轉(zhuǎn)體的表面積

圓柱（底面半徑為r,圓錐（底面半徑為r,圓臺(tái)（上、下底面半徑分別為

母線長(zhǎng)為7）母線長(zhǎng)為1）r',r,母線長(zhǎng)為/）

0

a：\2TT//-R

側(cè)面展開圖

1A/

逃2irr

0底=戈戶

底面面積s底=兀/S±js=兀下底=nr

，側(cè)r

側(cè)面面積=271/75側(cè)=n”SM=7r/(r+r)

$表=”(〃+/)S表=兀(/2+嚴(yán)+//+〃)

表面積S表=2兀r(廠+/)

2.多面體的表面積

多面體的表面積就是各個(gè)面的面積之和，也就是展開圖的面積.

棱錐、棱臺(tái)、棱柱的側(cè)面積公式間的聯(lián)系：

二、柱體、錐體、臺(tái)體的體積

1.柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式

幾何體體積

柱體%體=SZ?（S為底面面積，/?為高），/柱=兀（r為底面半徑，力為高）

腺體=（S為底面面積，力為高），%雎=’兀/力（「為底面半徑，方為高）

錐體

%體=g（S'+J^+S）〃（S'、S分別為上、下底面面積，方為高），

臺(tái)體

=1^（/2+/r+r2）「分別為上、下底面半徑，方為高）

2.柱體、錐體、臺(tái)體體積公式間的關(guān)系

%本=匆+回+即

3.必記結(jié)論

（1）一個(gè)組合體的體積等于它的各部分體積之和或差;

（2）等底面面積且等高的兩個(gè)同類幾何體的體積相等.

三、球的表面積和體積

1.球的表面積和體積公式

設(shè)球的半徑為匕它的體積與表面積都由半徑不唯一確定，是以A為自變量的函數(shù)，其表面積公式為4兀代，即

4

球的表面積等于它的大圓面積的4倍；其體積公式為一兀內(nèi).

3

2.球的切、接問題（常見結(jié)論）

1/?

(1)若正方體的棱長(zhǎng)為。，則正方體的內(nèi)切球半徑是正方體的外接球半徑是與正方體所有棱相切

22

的球的半徑是注Q.

2

(2)若長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為。，b,h,則長(zhǎng)方體的外接球半徑是,。標(biāo)+從+點(diǎn).

2

[7r

(3)若正四面體的棱長(zhǎng)為。，則正四面體的內(nèi)切球半徑是X—。；正四面體的外接球半徑是、一“；與正四面體

124

所有棱相切的球的半徑是"a.

4

(4)球與圓柱的底面和側(cè)面均相切，則球的直徑等于圓柱的高，也等于圓柱底面圓的直徑.

(5)球與圓臺(tái)的底面與側(cè)面均相切，則球的直徑等于圓臺(tái)的高.

考向一柱體、錐體、臺(tái)體的表面積

1.已知幾何體的三視圖求其表面積，一般是先根據(jù)三視圖判斷空間幾何體的形狀，再根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)與幾何體

的表面積公式，求其表面積.

2.多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和，組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理，以確保不重復(fù)、不遺漏.

3.求多面體的側(cè)面積時(shí)，應(yīng)對(duì)每一個(gè)側(cè)面分別求解后再相加；求旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積時(shí)，一般要將旋轉(zhuǎn)體展開為平面

圖形后再求面積.

典例引領(lǐng)

典例1如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為

A.20兀B.24兀

C.32兀D.28兀

【答案】D

【解析】由三視圖知，該幾何體是一個(gè)組合體，上面是一個(gè)圓錐，圓錐的底面直徑是4,圓錐的高是24，

..?在軸截面中圓錐的母線長(zhǎng)是42+4=4...圓錐的側(cè)面積是KX2X4=8IC,

下面是一個(gè)圓柱，圓柱的底面直徑是4,圓柱的高是4,.?.圓柱的側(cè)面積是2nx2x4=16K,一個(gè)底面的面

積是nx22=4兀..?.空間組合體的表面積是28兀，故選D.

【名師點(diǎn)睛】本題考查由三視圖求表面積，本題的圖形結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單，易錯(cuò)點(diǎn)可能是兩個(gè)幾何體重疊的部分忘記去

掉，求表面積時(shí)常會(huì)設(shè)計(jì)此種陷阱.

典例2若正四棱柱45。￡）一4與￡。的底邊長(zhǎng)為2,AG與底面A8CO成45。角，則三棱錐8-AC&的表面積

為

A.6+2夜+2&B.4+3拒+3百

C.8+&+26D.10+V2+V3

【答案】A

【解析】由AG與底面ABC。成45°角，且正四棱柱ABC?！狝4Gq的底邊長(zhǎng)為2,可知棱柱的高為2及，故

三棱錐8—ACG的表面積為|x2V2x2V2+1x2>/2x2+1x2V3x2+1x2x2=6+272+2A/3.

故答案為A.

變式拓展

1.某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖均為直角梯形，俯視圖為兩個(gè)正方形，則該幾何體的表面積

為

正視留他視圖

俯視圖

99

A.—B.61

2

C.62D.73

2.樺卯是在兩個(gè)木構(gòu)件上所采用的一種凹凸結(jié)合的連接方式，凸出部分叫樺，凹進(jìn)部分叫卯，梯和卯咬合，起到

連接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、天壇祈年殿、山西懸空寺等，如圖所示是一種樣卯的三視圖，其表面積

為

A.192B.186

C.180D.198

考向二柱體、錐體、臺(tái)體的體積

空間幾何體的體積是每年高考的熱點(diǎn)之一，題型既有選擇題、填空題，也有解答題，難度較小，屬容易題.求柱體、

錐體、臺(tái)體體積的一般方法有：

(1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺(tái)體，則可直接利用公式進(jìn)行求解.

(2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等體積法、割補(bǔ)法等方法進(jìn)行求解.

①等體積法：一個(gè)幾何體無論怎樣轉(zhuǎn)化，其體積總是不變的.如果一個(gè)幾何體的底面面積和高較難求解時(shí)，我們可

以采用等體積法進(jìn)行求解.等體積法也稱等積轉(zhuǎn)化或等積變形，它是通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方

法，多用來解決有關(guān)錐體的體積，特別是三棱錐的體積.

②割補(bǔ)法：運(yùn)用割補(bǔ)法處理不規(guī)則的空間幾何體或不易求解的空間幾何體的體積計(jì)算問題，關(guān)健是能根據(jù)幾何體中

的線面關(guān)系合理選擇截面進(jìn)行切割或者補(bǔ)成規(guī)則的幾何體.要弄清切割后或補(bǔ)形后的幾何體的體積是否與原幾何體

的體積之間有明顯的確定關(guān)系，如果是由幾個(gè)規(guī)則的幾何體堆積而成的，其體積就等于這幾個(gè)規(guī)則的幾何體的體積

之和;如果是由一個(gè)規(guī)則的幾何體挖去幾個(gè)規(guī)則的幾何體而形成的，其體積就等于這個(gè)規(guī)則的幾何體的體積減去被

挖去的幾個(gè)幾何體的體積.因此，從一定意義上說，用割補(bǔ)法求兒何體的體積，就是求體積的“加、減”法.

(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解.

典例引領(lǐng)

典例3如圖是一個(gè)正三棱柱挖去一個(gè)圓柱得到的一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的體積與挖去的圓柱的體積比

為

俯視圖

A3百.3上1

A.-----1B.-----

n兀3

3gc3百,

cr.---D.—^―+1

71兀

【答案】A

—（2V3r）\q伺

【解析】正三棱柱與圓柱的體積比為/一一-=早（，力分別為圓柱的底面半徑和高，因此該幾何體

TIThU

的體積與挖去的圓柱的體積比為逑二m，選A.

氧

典例4如圖，幾何體EF-4BCC中，DEL^ABCD,CCEF是正方形，4BCD為直角梯形，AB//CD,ADS.DC,/\ACB

是腰長(zhǎng)為2點(diǎn)的等腰直角三角形.

（1）求證：BCLAF.

（2）求幾何體EF-4BCD的體積.

【解析】（1）因?yàn)锳4C8是腰長(zhǎng)為2#的等腰直角三角形,

所以4C1BC.

因?yàn)镈E，平面力BCD,所以。EJLBC.

又DE//CF,所以CFJ.BC.

又4CnCF=C,所以BC1平面4CF.

所以BC±4F.

（2）因?yàn)榘?5。是腰長(zhǎng)為2#的等腰直角三角形，

所以4c=BC=2y[2,AB-^AC2+BC2=4,

所以4D=BCsin^ABC=2#xsin450=2,CD=AB-BCcosUBC=4-2/xcos450=2

所以DE=EF=CF=2,

由勾股定理得"E=yjAD2+DE2=2也,

因?yàn)镈E_L平面力BCD,

所以DEJ.AZ）.

又AD±DC,DEnDC=D,

所以4D_L平面CDEF.

所以V幾何體EF-ABCD="幾何體+V幾何體尸“a=§S四邊形。加尸.A。+~,CF=—CD-DE?AD+

-x-ACBC-CF=-x2x2x2+-x-x2y/2x2j2x2=—.

323323

變式拓展

3.甲、乙兩個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位相同），記甲、乙兩個(gè)幾何體的體積分別為匕，匕，則

A.V,>21/2%

C.-163匕=173

4.如圖，在斜三棱柱NBC-AgG中，底面A8C是邊長(zhǎng)為2的正三角形，M為棱8c的中點(diǎn)，BBt=3,

做=而，ZC5B,=60°.

（1）求證：AM，平面BCC.fi,；

（2）求斜三棱柱ABC—AgG的體積.

考向三球的表面積和體積

1.確定一個(gè)球的條件是球心和球的半徑，已知球的半徑可以利用公式求球的表面積和體積；反之，已知球的體積

或表面積也可以求其半徑.

2.球與幾種特殊幾何體的關(guān)系：（1）長(zhǎng)方體內(nèi)接于球，則球的直徑是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)；（2）正四面體的外接球

與內(nèi)切球的球心重合，且半徑之比為3：1：（3）直棱柱的外接球：找出直棱柱的外接圓柱，圓柱的外接球就是所求

直棱柱的外接球.特別地，直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心連線的中點(diǎn)；（4）球與圓柱的底面和側(cè)

面均相切，則球的直徑等于圓柱的高，也等于圓柱底面圓的直徑；（5）球與圓臺(tái)的底面和側(cè)面均相切，則球的直徑

等于圓臺(tái)的高.

3.與球有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題一般涉及水的容積問題，解題的關(guān)鍵是明確球的體積與水的容積之間的關(guān)系，正確建立

等量關(guān)系.

4.有關(guān)球的截面問題，常畫出過球心的截面圓，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面中圓的有關(guān)問題解決.球心到截面的距

離d與球的半徑R及截面圓的半徑r之間滿足關(guān)系式：d=NRf.

典例引領(lǐng)

典例5《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉席.若三棱錐P-A3C為鱉牖，24，平

面ABC,PA=AB=2,AC=4,三棱錐P—4BC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，則球。的表面積為

A.8兀B.12兀

C.20TID.2471

【答案】C

【解析】如圖，由題可知，底面ZVIBC為直角三角形，且NA8C=m,則3。=,4。2一6=26,則球。

2

的直徑2R=yjPA2+AB2+BC2=而=2石,二R=亞,則球0的表面積S=4K/?2=20兀.故選C.

典例6如圖，有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm,將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水,

當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm,如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為

,500K866兀3

A.----cm3B.-c-m----

33

13727r2048兀

C.-----cmD.-----cm

33

【答案】A

【解析】設(shè)球的半徑為R,由題意知K,R-2,正方體棱長(zhǎng)的一半可構(gòu)成直角三角形，即△03d為直角

三角形，如圖所示.

則Bg,BA=A,OB=R-2,OA=R,由R2=(R-2)a+42,得R=5,

所以球的體積為3'53=學(xué)乂皿3),故選A.

變式拓展

5.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖與左視圖均為半徑是2的圓，則這個(gè)幾何體的表面積是

俯視圖

A.1671

C.12兀

6.三棱錐斤顏的所有頂點(diǎn)都在球O的表面上，平面8CO，BC=BD=2,AB=2CD=4^，則球。

的體積為

A.64n

考向四空間幾何體表面積和體積的最值

求解空間幾何體表面積和體積的最值問題有兩個(gè)思路：

一是根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征和體積、表面積的計(jì)算公式，將體積或表面積的最值轉(zhuǎn)化為平面圖形中的有關(guān)最值，根

據(jù)平面圖形的有關(guān)結(jié)論直接進(jìn)行判斷；

二是利用基本不等式或是建立關(guān)于表面積和體積的函數(shù)關(guān)系式，然后利用函數(shù)的方法或者利用導(dǎo)數(shù)方法解決.

典例引領(lǐng)

典例7如圖,AA是圓柱的母線,是圓柱底面圓的直徑，。是底面圓周上異于A,8的任意一點(diǎn),AJ=AS=2.

(1)求證：比LL平面4力。;

(2)求三棱錐4T6C的體積的最大值.

【解析】(1)因?yàn)镃是底面圓周上異于48的任意一點(diǎn)，且48是圓柱底面圓的直徑，

所以BCLAC.

因?yàn)槠矫鍭BC,BCu平面ABC,

所以加」6c

又/4門4e4

所以比上平面加C

(2)方法一:設(shè)/氏x(0〈水2),

在RtAABC中,BC=^AB2-AC2'=)4-3,

故U三極錐劣_ABC=AAi=-x-XACXBCXAAi=-x$4-x?=-^/%2(4-%2)=*/-(/-2)+4.

因?yàn)?CK2,0</<4,

2

所以當(dāng)f=2,即產(chǎn)姆時(shí),三棱錐4-4%的體積取得最大值

方法二：在RtAASC中,AC+初=初=4,

11111.02IR「2?

從而V三梭錐A-ABC=x—XACXBC^AA\--ACXBC^z—x---------=—>當(dāng)且僅當(dāng)4Gza上^時(shí)等號(hào)成

-133323

立.

2

所以三棱錐4T%的體積的最大值為；.

3

變式拓展

高分別為2,a,h,且2a+8=|(a>0,/?>0),

7.已知一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示，其中三視圖的長(zhǎng)、寬、

則此三棱錐外接球表面積的最小值為

3

倒視圖

17

A.一71

4

C.4兀D.5兀

京點(diǎn)沖關(guān)夕t

1.一個(gè)長(zhǎng)方體共一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別是6,百,、為,這個(gè)長(zhǎng)方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的表

面積是

A.12nB.18n

C.36JiD.6n

2.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為

A.1

C.3D.6

3.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,則該多面體的表面積為

A.60

C.81D.114

4.一個(gè)與球心距離為2的平面截球所得圓面面積為兀，則球的表面積為

A.207rB.20或n

C.167rD.16或加

5.我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中有如下問題：“今有筑城，上廣二丈，下廣五丈四尺，高三丈八尺，長(zhǎng)五千

五百五十尺，秋程人功三百尺.問：須工幾何？”意思是：“現(xiàn)要筑造底面為等腰梯形的直棱柱的城墻，其中

底面等腰梯形的上底為2丈、下底為5.4丈、高為3.8丈，直棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為555()尺.如果一個(gè)秋天工期的單個(gè)

人可以筑出300立方尺，問：一個(gè)秋天工期需要多少個(gè)人才能筑起這個(gè)城墻？"(注：一丈等于十尺)

A.24642B.26()11

C.52022D.78033

6.某幾何體由圓柱挖掉半個(gè)球和一個(gè)圓錐所得，其三視圖中的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為

6-i

iEMm

A.60兀B.75兀

C.90兀D.93兀

7.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的表面積是10+2石，則該幾何體的體積為

詩視至

A4GR4A/5

33

C.逑D.§

33

8.如圖，直角梯形ABC。中，AD1DC,AD//BC,BC=2CD=2AD=2,若將直角梯形繞邊旋轉(zhuǎn)一

周，則所得幾何體的表面積為

9.將若干毫升水倒入底面半徑為4cm的圓柱形器皿中，量得水面高度為8cm,若將這些水倒入軸截面是正三角形的倒

圓錐形器皿中，則水面的高度是cm.

10.正三棱錐的高為1，底面邊長(zhǎng)為2"，正三棱錐內(nèi)有一個(gè)球與其四個(gè)面相切，則此球的表面積是.

11.如圖所示的幾何體QPA8CO為一簡(jiǎn)單組合體，在底面ABCO中，ZZMB=60°,AD1DC,ABLBC,

QO_L平面ABC。，PA//QD,PA=\,AZ)=AB=Q￡>=2.

(1)求證：平面平面Q8C；

(2)求該組合體QPABCD的體積.

直通高考

1.（2018年浙江卷）某兒何體的三視圖如圖所示（單位:cm）,則該幾何體的體積（單位：cm3）是

俯視圖

A.2B.4

C.6D.8

2.（2018年高考新課標(biāo)HI理科）設(shè)A，B,C,。是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，△/$（7為等邊三角形且其

面積為96，則三棱錐。-他C體積的最大值為

A.12>/3B.18A/3

C.246D.54G

3.（2017新課標(biāo)全國II理科）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫出的是某兒何體的三視圖，該兒何

體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為

A.90K

C.42兀I).36K

4.（2017新課標(biāo)全國HI理科）已知圓柱的高為1,它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱

的體積為

3無

A.無B.

4

c71兀

C.一I).

24

5.（2017浙江）某幾何體的三視圖如圖所示（單位:cm）,則該幾何體的體積（單位：cm'）是

俯視圖

A.-+1B.-4-3

22

c3兀,c3兀.

C.——+1D.-----F3

22

6.（2016新課標(biāo)全國I理科）如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條相互垂直的半徑.若該

幾何體的體積是一叱，則它的表面積是

3

A.17”

C.20JtI).28Jt

7.（2016山東理科）一個(gè)由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示.則該幾何體的體積為

■

B.旦

12L

A.一+一兀

3333

J也兀1+也兀

D.

366

8.（2016四川理科）已知三棱錐的四個(gè)面都是腰長(zhǎng)為2的等腰三角形，該三棱錐的正視圖如圖所示，則該三棱錐

的體積是.

正視圖

9.（2016浙江理科）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的表面積是cm\體積是cm：

側(cè)視圖

俯視圖

10.（2017山東理科）由一個(gè)長(zhǎng)方體和兩個(gè)［圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積為

正短麗（主寰同）做||甲（左程凰）

11.（2017天津理科）已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為18,則這個(gè)球的體積

為.

12.（2017江蘇）如圖，在圓柱內(nèi)有一個(gè)球O,該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記圓柱的體積為

匕，球O的體積為匕，則J的值是.

“2

13.（2018江蘇卷）如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為2,以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為

14.（2018天津卷理）已知正方體的棱長(zhǎng)為1,除面43CO外，該正方體其余各面的中心分別為

點(diǎn)反F,G,〃，欣如圖），則四棱錐M—EEG”的體積為

7

15.（2018新課標(biāo)II理科）已知圓錐的頂點(diǎn)為S,母線S4,S3所成角的余弦值為了，S4與圓錐底面所成角為

O

45°,若△SAB的面積為5后，則該圓錐的側(cè)面積為一

嶷參考答案,

變式拓展

-------

1.【答案】C

【解析】由三視圖畫出幾何體如圖所示，上、下底面分別為邊長(zhǎng)是1、4的正方形；左、后兩個(gè)側(cè)面是上

底為1,下底為4,高為4的直角梯形；前、右兩個(gè)側(cè)面是上底為1,下底為4,高為5的梯形.

其表面積為.y=lxl+4x4+-x(l+4)x4x2+-x(l+4)x5x2=62.故選C.

22

2.【答案】A

【解析】由三視圖還原原幾何體，可知該幾何體為組合體，上部分是長(zhǎng)方體，棱長(zhǎng)分別為2,6,3,下部分為長(zhǎng)方

體，棱長(zhǎng)分別為6,6,3,

其表面積為S=4x6x3+2x6x6+（2+6）x2x3=192.

故選A.

【名師點(diǎn)睛】本題考查了求組合體的表面積問題，關(guān)鍵是由三視圖還原幾何體圖形，注意題目中的計(jì)算.

3.【答案】D

【解析】由甲的三視圖可知，該幾何體為一個(gè)正方體中間挖掉一個(gè)長(zhǎng)方體，正方體的棱長(zhǎng)為8,長(zhǎng)方體

的長(zhǎng)為4,定為4,高為6,則該幾何體的體積為匕=爐—4x4x6=416；

由乙的三視圖可知，該幾何體是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為9的正方形，高為9的四棱錐，則該幾何體的體積為

^=1x9x9x9=243..-.^-^=416-243=173,

故選D.

【名師點(diǎn)睛】本題利用空間幾何體的三視圖重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問

題是考查學(xué)生空間想象能力的最常見題型，也是高考熱點(diǎn).觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關(guān)鍵，

不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長(zhǎng)對(duì)正，寬相等”，還要特別注意實(shí)線與虛線以及相同圖形的不同位置對(duì)

幾何體直觀圖的影響，對(duì)簡(jiǎn)單組合體的三視圖問題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據(jù)正視圖和側(cè)視圖，確定組

合體的形狀.

4.【解析】（1）如圖，連接用M,

因?yàn)榈酌鍭BC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,

所以且AM=0,

因?yàn)?A=3,NCBB[=60,BM=1,

所以4十=P+3?■2xI，3xcos60'=7,

所以即/=",

又因?yàn)橄?=回,

所以AA/2+5A/2=]0=.J,

所以AA/,

又因?yàn)閒

所以/MJ?平面30c

（2）設(shè)斜三棱柱ABC-4AG的體枳為V,

g

八則，，=也及/=3x3±S,yg趾公，=±,x2x3x?in6(rx▼6=12

,9

所以斜三樓柱ABC-4HG的體枳為予

【名師點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何中線面垂直的證明，幾何體體積的求法，熟練掌握線面關(guān)系的證明原理非常重

要，屬于基礎(chǔ)題.（1）根據(jù)底面為正三角形，易得AML3C；由各邊長(zhǎng)度，結(jié)合余弦定理，可求得gM的值,

再根據(jù)勾股定理逆定理可得AM_LB|M,從而可證AM_L平面BCCf;（2）將斜棱柱的體積，轉(zhuǎn)化為棱錐的

體積，結(jié)合三角形面積公式可求解.

5.【答案】A

【解析】由三視圖知：幾何體是球體切去,后余下的部分，球的半徑為2,...幾何體的表面積（1--）

44

X4JTX22+JtX2-16Jt.故答案為A.

【名師點(diǎn)睛】（1）本題主要考查由三視圖找到幾何體原圖，考查幾何體的表面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知

識(shí)的掌握水平和空間想象推理能力.（2）通過三視圖找?guī)缀误w原圖的方法有兩種：直接法和模型法.

6.【答案】D

22+22-（2^）2

【解析】因?yàn)锽C=8D=2,CD=26所以cos/CB。

2x2x2

1CD

因此三角形版的外接圓半徑為一?二一--=2,

2smZCBD

設(shè)外接球。的半徑為此則R2=22+（空）2=4+12=16,;.5=4兀店=空兀故選口.

233

【名師點(diǎn)睛】涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時(shí)，一般過球心及多面體中的特殊點(diǎn)（一般為接、切點(diǎn)）或線作截

面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體

的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑（直徑）與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程（組）求解.先確定三角形微

外接圓的半徑，再解方程得外接球半徑，最后根據(jù)球的體積公式得結(jié)果.

7.【答案】B

【解析】由已知條件及三視圖得，此三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)位于長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn)，即為三棱錐

A-CB.D,,且長(zhǎng)方體ABC?！拈L(zhǎng)、寬、高分別為2,a,b,

???此三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體ABCD-4為CD1的外接球，

且球半徑為R=-----二------=------------>

22

二?三棱錐外接球的表面積為4n=瓦（4+於+/）=54”—爐+牛,

\/

171

???當(dāng)且僅當(dāng)“=1,》==時(shí)，三棱錐外接球的表面積取得最小值?瓦.

24

故選B.

【名師點(diǎn)睛】根據(jù)三視圖得到幾何體為一三棱錐，并以該三棱錐構(gòu)造長(zhǎng)方體，于是得到三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方

體的外接球，進(jìn)而得到外接球的半徑，求得外接球的表面積后可求出最小值.

（1）解決關(guān)于外接球的問題的關(guān)鍵是抓住外接球的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離都等于球的半徑，同時(shí)

要作一圓面起襯托作用.

（2）長(zhǎng)方體的外接球的直徑即為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，對(duì)于一些比較特殊的三棱錐，在研究其外接球的問題時(shí)可

考慮通過構(gòu)造長(zhǎng)方體，通過長(zhǎng)方體的外球球來研究三棱錐的外接球的問題.

考點(diǎn)沖關(guān)

-------------

1.【答案】A

【解析】長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)是,陰\+（可+（府=273，所以球的半徑是V3，

所以該球的表面積是5=4兀（6丫=12兀，故選兒

【名師點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)長(zhǎng)方體的外接球的表面積問題，在解題的過程中，首先要明確長(zhǎng)方體的外接球的

球心應(yīng)在長(zhǎng)方體的中心處，即長(zhǎng)方體的體對(duì)角線是其外接球的直徑，從而求得結(jié)果.

2.【答案】B

【解析】由題意可知該幾何體的形狀如圖：

AC=1,CD=2,BC=3,ACLCD,四邊形8的是矩形，AC1BC,

所以該幾何體的體積為：gx2x3xl=2.故選B.

【名師點(diǎn)睛】本題考查幾何體的體積的求法，畫出幾何體的圖形，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積即可.三

視圖與幾何體的對(duì)應(yīng)關(guān)系的判斷是解題的關(guān)鍵.

3.【答案】B

【解析】由已知中的三視圖可得該幾何體是一個(gè)以主視圖為底面的四棱柱，底面面積為12,底面周長(zhǎng)為16,棱

柱的高為3,故柱體的表面積登2X12+16X3=72.

4.KSK）A

［幅折］用一平面去所樗餐國航@再為K,呢/0B的*tz為I已如呼（到i”R!B的距值為Xffik

II的字梗力an.75?附dm助人AN■的3A.

5.m)B

__204M——

【U析】根據(jù)咬檢的體積公式，可傅5W陶?土方向絲產(chǎn)，"TM0=7叩3加0（立方尺），f

叱5g大協(xié)'等"附1.叱B

6.【答案】B

【解析】該圖形的表面積為圓柱的側(cè)面積、圓錐的側(cè)面積、球的表面積一半，其面積分別為：

圓柱側(cè)面積：E=6兀x7=42兀，圓錐側(cè)面積：S2=；x6兀x律彳=15兀，

半個(gè)球面的面積：53=（x471x32=18-所以表面積為75兀.故選B.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查表面積的計(jì)算，通過三視圖確定表面積，注意熟練掌握面積公式，還原時(shí)注意部分面

已經(jīng)不存在，不要多求面積.根據(jù)題意可知該圖形的表面積應(yīng)包含圓柱的側(cè)面積、圓錐的側(cè)面積、球的表面積一

半，共三部分，分別根據(jù)相應(yīng)的面積公式即可求出結(jié)果.

7.【答案】B

【解析】如圖所示，該幾何體為四棱錐P—ABCD,其中R4,底面A8CD,底面A6C。是正方形，

所以該幾何體的體積1=!><22乂逐=短，故選B.

33

【名師點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)應(yīng)用幾何體的三視圖求其體積的問題，解題的思路就是根據(jù)三視圖還原幾何體,

利用其表面積公式求得對(duì)應(yīng)的高，之后借助于椎體的體積公式求得結(jié)果.

8.【答案】（3+及）幾

【解析】由題意知所得幾何體為一個(gè)圓錐與圓柱的組合體,

則表面積為兀力+2兀泌+兀/=KX1XA/2+2兀xlxl+7txl=&兀+3兀-

9.【答案】4V18

【解析】設(shè)倒圓錐形器皿中水面的高為方cm,則水面圓的半徑為方tan30°=走人，則由n\42\84><（―/i）2X

333

￡h,解得加4匏豆

10.【答案】8（5-2指）兀

【解析】如圖，球。是正三棱錐尸的內(nèi)切球，。到正三棱錐四個(gè)面的距離都是球的半徑夫.

產(chǎn)以是正三棱錐的高，即/W=l.占是方C邊中點(diǎn)，H在KE上，△加C的邊長(zhǎng)為2面，

所以HE=——x）所以PE=出>可以得到=&；>/；="^AJSSC=~BC-PE=3-^2,

62

S/V加=￡~X（2&）,由等體積法得：%皿=^O-PAB+^O-PJLC+^O-PBC

所以LX6/X1=4X3應(yīng)xKx3+lx6&xK,解得：R=*廠=網(wǎng)一2,

3332b+3也

所以此球的表面積是S=4nx（遍一2『=8（5-2指）n.

【名師點(diǎn)評(píng)】球心是決定球的位置關(guān)鍵點(diǎn)，本題利用球心到正三棱錐四個(gè)面的距離相等且為球半徑R來求出R，

以球心的位置特點(diǎn)來抓球的基本量，這是解決球有關(guān)問題常用的方法.

11.【解析】（1）：。。1■平面ABC。，PA//QD,

：.PA_L平面ABC。,

又；BCu平面ABCD,

:.PA1BC,

又BC_LAB,PAu平面PAB,ABu平面PAB,PAAB=A,

/.BC±平面PAB,

又,:BCu平面QBC,

平面PABJ?平面Q8C.

（2）連接5D，過6作30_LA￡）于0,

：P4,平面ABC。，8。匚平面48。。，

二PA1BO,

又B0J.AD,AOu平面PAOQ,PAu平面尸4。。，PAAD=A,

BOJ.平面PADQ,

,.?A￡）=AB=2,ZZMB=60°,

；?△ABD是等邊三角形，

:.BO=S.

=qBO=§xQ+2)*2*O=A.

??4DC=/H8C=90。，

；.ZCBD^ZCDBf

又S0=X5=2,

:,BC=CD=曲,

3

?'?Ss-ix2x^2xsinS00?^.

3233

QD1平面4BCD,

?p1ccnl后，2君

?*^Q-KD二5&fcrrfl^.1X-j-x2

???該組合體的體積V=/_但+yq-KD=

9

直通高考

1.【答案】c

【解析】根據(jù)三視圖可得幾何體為一個(gè)直四棱柱，高為2,底面為直角梯形，上、下底分別為1,2,梯形的高

為2,因此幾何體的體積為3*(1+2)*2、2=6,選。

【名師點(diǎn)睛】先由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀,再在具體幾何體中求體積或表面積等.

2.【答案】B

【3折】如圖牛親.*力“力三育事/"的?0.?向加中0.

fr<\1

|，，，I

I/???\;

、-—

當(dāng)6Z)在平面心(：上的射/為MIL三椿帔。收?大.<11*OD=8=JT=4.

?:$3T史"S：.ABW"力三角'AK的■心，:AV-1.

43

IUAZM中，有<W，J3.??2,.AV=QD^ai/=4+2=6,

.-.<%yJ=：<9力<6=IB/，第送B

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查三棱錐的外接球，考查了勾股定理，三角形的面積公式和三棱錐的體積公式，判斷

出當(dāng)點(diǎn)。在平面ABC上的射影為三角形4%'的重心時(shí)，三棱錐。-ABC體積最大很關(guān)鍵，由〃為三角形4%

的重心，計(jì)算得到6M=2BE=2JL再由勾股定理得到泌進(jìn)而得到結(jié)果，屬于較難題型.

3

3.【答案】B

【解析】由題意，該幾何體是一個(gè)組合體，下半部分是一個(gè)底面半徑為3,高為4的圓柱，其體積

X=nx32x4=36兀，上半部分是一個(gè)底面半徑為3,高為6的圓柱的一半，其體積匕=-x(nx32x6)=27K,

2

故該組合體的體積V=乂+%=36兀+27兀=63兀.故選B.

【名師點(diǎn)睛】在由三視圖還原為空間兒何體的實(shí)際形狀時(shí)，要從三個(gè)