1.4生活中的優(yōu)化問題舉例三課時市公開課一等獎省賽課微課金獎課件

1.4.生活中優(yōu)化問題舉例（1）張家界市第一中學高二數(shù)學組（導數(shù)在實際生活中應用）1/41知識回顧一、怎樣判斷函數(shù)單調(diào)性？f(x)為增函數(shù)f(x)為減函數(shù)

設函數(shù)y=f(x)在

某個區(qū)間內(nèi)可導二、怎樣求函數(shù)極值與最值？求函數(shù)極值普通步驟（1）確定定義域（2）求導數(shù)f’(x)（3）求f’(x)=0根（4）列表（5）判斷求f(x)在閉區(qū)間[a,b]上最值步驟：(1)求f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)極值；(2)將y=f(x)各極值與f(a)、f(b）比較,從而確定函數(shù)最值。2/41知識背景：

生活中經(jīng)常碰到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題.經(jīng)過前面學習，我們知道，導數(shù)是求函數(shù)最大（?。┲涤辛ぞ?，本節(jié)我們利用導數(shù)，處理一些生活中優(yōu)化問題.3/41新課引入:

導數(shù)在實際生活中有著廣泛應用,利用導數(shù)求最值方法,能夠求出實際生活中一些最值問題.生活中優(yōu)化問題本質(zhì)即為解相關函數(shù)最大值最小值實際問題。解相關函數(shù)最大值最小值實際問題，需要分析問題中各個變量之間關系，建立適當函數(shù)關系式，并確定函數(shù)定義域，所求得結(jié)果要符合問題實際意義。4/41處理優(yōu)化問題基本思緒：1.將優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為用函數(shù)表示數(shù)學問題。2.用導數(shù)處理數(shù)學問題。3.將用導數(shù)處理問題轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問題作答。常見優(yōu)化問題（最值問題）有：1.幾何方面應用2.物理方面應用.3.經(jīng)濟學方面應用(面積和體積等最值)(利潤方面最值)(功和功率等最值)5/41例1：海報版面尺寸設計

學?；虬嗉壟e行活動，通常需要張貼海報進行宣傳?，F(xiàn)讓你設計一張如圖3.4-1所表示豎向張貼海報，要求版心面積為128dm2，上、下兩邊各空2dm，左、右兩邊各空1dm，怎樣設計海報尺寸，才能使四面空白面積最??？圖3.4-1

分析：已知版心面積，你能否設計出版心高，求出版心寬，從而列出海報四面面積來？題型一：幾何問題中最值6/41

你還有其它解法嗎？比如用基本不等式行不？所以，x=16是函數(shù)S(x)極小值，也是最小值點。所以，當版心高為16dm，寬為8dm時，能使四面空白面積最小。7/41解法二：由解法(一)得8/412、在實際應用題目中，若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)只有一個極值點x0，則不需與端點比較，f(x0)即是所求最大值或最小值.說明1、設出變量找出函數(shù)關系式；(所說區(qū)間也適合用于開區(qū)間或無窮區(qū)間)確定出定義域；所得結(jié)果符合問題實際意義。9/41練習1：將一段長為12cm鐵絲圍成一個矩形，則這個矩形面積最大值為多少？解：結(jié)論：周長為定值矩形中，正方形面積最大。10/41變式:某養(yǎng)雞場是一面靠墻,三面用鐵絲網(wǎng)圍成矩形場地.假如鐵絲網(wǎng)長40m,問靠墻一面多長時,圍成場地面積最大?y′=-x+20令y′=0得,x=20當0<x<20時,y′>0,當20<x<40時,y′<0.∴x=20時,y最大=20×10=200.答:靠墻一面長20m時,圍成場地面積最大,為200m2.11/41練習2:在邊長為60cm正方形鐵皮四角切去邊長相等正方形,再把它邊緣虛線折起(如圖),做成一個無蓋方底鐵皮箱.箱底邊長為多少時,箱子容積最大?最大容積是多少?xh12/41xh解：設箱底邊長為x,箱子容積為由解得x1=0(舍),x2=40.當x∈(0,40)時,V'(x)>0;當x∈(40,60)時,V'(x)<0.∴函數(shù)V

(x)在x=40處取得極大值,這個極大值就是函數(shù)V

(x)最大值.答當箱箱底邊長為40cm時,箱子容積最大,

最大值為16000cm313/41

要做一個圓錐形漏斗，其母線長為20cm，要使其體積最大，則其高為（）

B.100C.20D.A.練習3A14/41

由上述例子，我們不難發(fā)覺，處理優(yōu)化問題基本思緒是：優(yōu)化問題用函數(shù)表示數(shù)學問題用導數(shù)處理數(shù)學問題優(yōu)化問題答案上述處理優(yōu)化問題過程是一個經(jīng)典數(shù)學建模過程。15/41處理生活中優(yōu)化問題基本步驟：1、建立實際問題數(shù)學模型，寫出函數(shù)關系式；2、求函數(shù)導數(shù)，求出極值點;3、確定最大（?。┲?；4、作答。作業(yè)：書本P37習題1.4A組1、2、316/41書本P371、一條長為l鐵絲截成兩段，分別彎成兩個正方形，要使兩個正方形面積和最小，兩段鐵絲長度分別是多少？則兩個正方形面積和為解：設兩段鐵絲長度分別為x,l-x,其中0<x<l由問題實際意義可知：17/41書本P373：某種圓柱形飲料罐容積一定時,怎樣確定它高與底半徑,使得所用材料最省?Rh解:設圓柱高為h,底面半徑為R.則表面積為S(R)=2πRh+2πR2.又V=πR2h(定值),即h=2R.答:罐高與底直徑相等時,所用材料最省.18/411.4.生活中優(yōu)化問題舉例（2）張家界市第一中學高二數(shù)學組（導數(shù)在實際生活中應用）19/41問題2:

飲料瓶大小對飲料企業(yè)利潤有影響嗎?你是否注意過,市場上等量小包裝物品普通比大包裝要貴些?你想從數(shù)學上知道它道理嗎?是不是飲料瓶越大,飲料企業(yè)利潤越大?第二課時20/41規(guī)格（L）21.250.6價格（元）5.14.52.5例2：飲料瓶大小對飲料企業(yè)利潤影響下面是某品牌飲料三種規(guī)格不一樣產(chǎn)品，若它們價格以下表所表示，則（1）對消費者而言，選擇哪一個更合算呢？（2）對制造商而言，哪一個利潤更大？21/41

某制造商制造并出售球形瓶裝某種飲料，瓶子制造成本是0.8pr2分，其中r是瓶子半徑，單位是厘米，已知每出售1ml飲料，制造商可贏利0.2分，且制造商能制造瓶子最大半徑為6cm，(１)瓶子半徑多大時，能使每瓶飲料利潤最大？(２）瓶子半徑多大時，每瓶飲料利潤最??？r(0，2)2(2，6]f'(r)0f(r)-+減函數(shù)↘增函數(shù)↗-1.07p∴每瓶飲料利潤：背景知識解：因為瓶子半徑為r，所以每瓶飲料利潤是22/41當半徑r＞２時，f’(r)>0它表示f(r)單調(diào)遞增，即半徑越大，利潤越高；當半徑r＜２時，f’(r)<0它表示f(r)單調(diào)遞減，

即半徑越大，利潤越低．1.半徑為２cm時，利潤最小，這時表示此種瓶內(nèi)飲料利潤還不夠瓶子成本，此時利潤是負值２．半徑為６cm時，利潤最大23/4124/41練習1:已知某工廠生產(chǎn)x件產(chǎn)品成本為c=2500+200x+

x2(元).(1)要使平均成本最低,應生產(chǎn)多少件產(chǎn)品?(2)若產(chǎn)品以每件500元售出,要使利潤最大,應生產(chǎn)多少件產(chǎn)品?答:生產(chǎn)100件產(chǎn)品時,平均成本最低為250元.25/41練習2.

某商品每件成本9元,售價為30元,每星期賣出432件,假如降低價格,銷售量將會增加,且每星期多賣出商品件數(shù)與商品單價降低值x(單位:元,0≤x≤30)平方成正比,已知商品單價降低2元時,一星期將多賣出24件.(1)將一個星期商品銷售利潤表示成x函數(shù);(2)怎樣定價才能使一個星期商品銷售利潤最大?26/41

[解](1)設商品降價x元,則多賣出商品件數(shù)為kx2,若記商品一個星期贏利為f(x),則依題意有f(x)=(30-x-9)(432+kx2)=(21-x)(432+kx2).又由已知條件,24=k×22,于是有k=6.∴f(x)=-6x3+126x2-432x+9072,x∈[0,30].27/41(2)依據(jù)(1)有f′(x)=-18x2+252x-432=-18(x-2)(x-12).當x改變時,f′(x),f(x)改變情況以下表:x[0,2)2(2,12)12(12,30]f′(x)-0+0-f(x)↘極小值↗極大值↘故x=12時,f(x)到達極大值,∵f(0)=9072,f(12)=11664,∴定價為30-12=18(元)能使一個星期商品銷售利潤最大.28/41

練習3.

某單位用2160萬元購得一塊空地,計劃在該塊地上建造一棟最少10層,每層平方米樓房,經(jīng)測算,假如將樓房建為x(x≥10)層,則每平方米平均建筑費用為560+48x(單位:元).為了使樓房每平方米平均綜合費用最少,該樓房應建為多少層?(注:平均綜合費用=平均建筑費用+平均購地費用,平均購地費用29/41答:為了樓房每平方米綜合費用最少,該樓房應建為15層.30/41

作業(yè)：書本P37習題1.4A組6B組131/411.4.生活中優(yōu)化問題舉例（3）張家界市第一中學高二數(shù)學組（導數(shù)在實際生活中應用）32/41問題3、磁盤最大存放量問題(1)你知道計算機是怎樣存放、檢索信息嗎？(2)你知道磁盤結(jié)構(gòu)嗎？(3)怎樣使一個圓環(huán)狀磁盤存放盡可能多信息？第三課時33/41Rr例3：現(xiàn)有一張半徑為R磁盤，它存放區(qū)是半徑介于r與R環(huán)行區(qū)域。是不是r越小，磁盤存儲量越大？(2)r為多少時，磁盤含有最大存放量（最外面磁道不存放任何信息）？34/41解：存放量=磁道數(shù)×每磁道比特數(shù)

設存放區(qū)半徑介于r與R之間，因為磁道之間寬度必須大于m，每比特所占用磁道長度不得小于n，且最外面磁道不存放任何信息，所以磁道最多可達又因為每條磁道上比特數(shù)相同，為取得最大存放量，最內(nèi)一條磁道必須裝滿，即每條磁道上比特數(shù)可到達所以，磁道總存放量（1）它是一個關于r二次函數(shù)，從函數(shù)解析式上能夠判斷，不是r越小，磁盤存放量越大.35/41(2)為求最大值，計算令解得所以，當時，磁道含有最大存放量，最大存放量為36/41練習1:某種圓柱形飲料罐容積一定時,怎樣確定它高與底半徑,使得所用材料最省?Rh解設圓柱高為h,底面半徑為R.則表面積為S(R)=2πRh+2πR2.又V=πR2h(定值),即h=2R.能夠判斷S(R)只有一個極值點,且是最小值點.答罐高與底直徑相等時,所用材料最省.37/41xy練習2：如圖,在二次函數(shù)f(x)=4x-x2圖象與x軸所圍成圖形中有一個內(nèi)接矩形ABCD,求這個矩形最大面積.解:設B(x,0)(0<x<2),則

A(x,4x-x2).從而|AB|=4x-x2,|BC|=4-2x.故矩形ABCD面積為:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).令,得所以當時,所以當點B為時,