河北省衡水市北卷子中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

河北省衡水市北卷子中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)非零向量、、、滿足||=||=||，+=，則向量、間的夾角為（）A.150° B.120° C.60° D.30°參考答案：B【詳解】,,,,,故選B.2.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0，＋∞)上單調(diào)遞增的函數(shù)是()A．y＝x3

B．y＝|x|＋1

C．y＝－x2＋1

D．y＝2－|x|參考答案：B略3.已知數(shù)據(jù)是太原市個普通職工的2013年的年收入,設(shè)這個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，平均數(shù)為，方差為，如果再加上比爾．蓋茨的2013年的年收入（約900億元），則這個數(shù)據(jù)中，下列說法正確的是（

）A．年收入平均數(shù)大大增大，中位數(shù)一定變大，方差可能不變Ks5u

B．年收入平均數(shù)大大增大，中位數(shù)可能不變，方差變大

C．年收入平均數(shù)大大增大，中位數(shù)可能不變，方差也不變D．年收入平均數(shù)可能不變，中位數(shù)可能不變，方差可能不變。參考答案：B4.設(shè)曲線f（x）=在點P（x，f（x））處的切線在y軸上的截距為b，則當(dāng)x∈（1，+∞）時，b的最小值為（）A．e B． C． D．參考答案：D【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間，可得切線斜率，由直線的斜率公式可得b=，x＞1．再由導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極小值，即為最小值．【解答】解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）==，則點P（x，f（x））處的切線斜率k=f′（x）=，則切線方程為Y﹣=（X﹣x），令X=0，則Y=?（﹣x）+，即b=?x+=，則b′===，當(dāng)x＞1時，lnx＞0，由b′=＜0得1＜x＜e2，此時函數(shù)單調(diào)遞減，由b′=＞0得x＞e2，此時函數(shù)單調(diào)遞增，故當(dāng)x=e2時，函數(shù)取得極小值同時也是最小值，此時b==，故選：D【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線在該點處切線的斜率，主要考查運用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)區(qū)間和極值、最值，正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．5.某校在一年一度的“校園十佳歌手”比賽中，9位評委為參賽選手A給出的分數(shù)的莖葉圖如圖所示.在去掉一個最高分和一個最低分后，得出選手A得分的中位數(shù)是(A)93

(B)92(C)91

(D)90參考答案：B6.設(shè)a、b都是不等于1的正數(shù)，則“3a＞3b＞3”是“l(fā)oga3＜logb3”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：B【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】簡易邏輯．【分析】求解3a＞3b＞3，得出a＞b＞1，loga3＜logb3，或根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解即可，再利用充分必要條件的定義判斷即可．【解答】解：a、b都是不等于1的正數(shù)，∵3a＞3b＞3，∴a＞b＞1，∵loga3＜logb3，∴，即＜0，或求解得出：a＞b＞1或1＞a＞b＞0或b＞1，0＜a＜1根據(jù)充分必要條件定義得出：“3a＞3b＞3”是“l(fā)oga3＜logb3”的充分條不必要件，故選：B．【點評】本題綜合考查了指數(shù)，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，充分必要條件的定義，屬于綜合題目，關(guān)鍵是分類討論．7.函數(shù)部分圖象可以為參考答案：A8.已知正實數(shù)數(shù)列中，，則等于（

） A．16 B．8 C． D．4參考答案：D9.已知等比數(shù)列{an}公比為q，其前n項和為Sn，若S3，S9，S6成等差數(shù)列，則q3等于

A．-

B．1

C．-或1

D．-1或參考答案：A10.設(shè)a，b，c是三條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則a⊥b的一個充分條件為（）A．a(chǎn)⊥c，b⊥cB．α⊥β，a?α，b?βC．a(chǎn)⊥α，b∥αD．a(chǎn)⊥α，b⊥α參考答案：C考點：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．專題：證明題．分析：A：若a⊥c，b⊥c，則直線a與直線b可能異面，可能平行，可能垂直．B：若α⊥β，a?α，b?β，則直線a與直線b可能異面，可能平行，可能垂直．C：若a⊥α，b∥α，則根據(jù)線與線的位置關(guān)系可得a⊥b．D：若a⊥α，b⊥α，則可得a∥b．解答：解：A：若a⊥c，b⊥c，則直線a與直線b可能異面，可能平行，可能垂直，所以此答案錯誤．B：若α⊥β，a?α，b?β，則直線a與直線b可能異面，可能平行，可能垂直，所以此答案錯誤．C：若a⊥α，b∥α，則根據(jù)線與線的位置關(guān)系可得a⊥b，所以C正確．D：若a⊥α，b⊥α，則根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可得a∥b．故選C．點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握與線面位置關(guān)系有關(guān)的判定定理以及性質(zhì)定理．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知實數(shù)x，y滿足約束條件（k為常數(shù)），若目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值是，則實數(shù)k的值是．參考答案：﹣3【考點】簡單線性規(guī)劃．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】我們可以畫出滿足條件

（k為常數(shù)）的可行域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的解析式形式，分析取得最優(yōu)解的點的坐標(biāo)，然后根據(jù)分析列出一個含參數(shù)k的方程組，消參后即可得到k的取值．【解答】解：畫出x，y滿足的（k為常數(shù)）可行域如圖：由于目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值是，可得直線y=2x+1與直線2x+y=的交點A（，），使目標(biāo)函數(shù)z=2x+y取得最大值，將x=，y=，代入x+y+k=0得：k=﹣3，故答案為：﹣3．【點評】如果約束條件中含有參數(shù)，我們可以先畫出不含參數(shù)的幾個不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，分析取得最優(yōu)解是哪兩條直線的交點，然后得到一個含有參數(shù)的方程（組）.12.已知直四棱柱底面是邊長為2的菱形，側(cè)面對角線的長為，則該直四棱柱的側(cè)面積為．參考答案：16【考點】棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形求出側(cè)棱長，再計算四棱柱的側(cè)面積．【解答】解：如圖所示，直四棱柱底面ABCD是邊長為2的菱形，側(cè)面對角線的長為，∴側(cè)棱長為CC1==2；∴該直四棱柱的側(cè)面積為S=4×2×2=16．故答案為：16．13.某校有三個興趣小組，甲、乙兩名學(xué)生每人選擇其中一個參加，且每人參加每個興趣小組的可能性相同，則甲、乙不在同一興趣小組的概率為．參考答案：

【考點】列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【分析】先求出基本事件總數(shù)n=3×3=9，再求出甲、乙不在同一興趣小組包含的基本事件個數(shù)m=3×2=6，由此能求出甲、乙不在同一興趣小組的概率．【解答】解：∵某校有三個興趣小組，甲、乙兩名學(xué)生每人選擇其中一個參加，且每人參加每個興趣小組的可能性相同，∴基本事件總數(shù)n=3×3=9，甲、乙不在同一興趣小組包含的基本事件個數(shù)m=3×2=6，∴甲、乙不在同一興趣小組的概率p=．故答案為：．14.以，所連線段為直徑的圓的方程是

參考答案：15.如圖所示梯子結(jié)構(gòu)的點數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列{an}，則________.參考答案：5252【分析】根據(jù)圖像歸納，根據(jù)等差數(shù)列求和公式得到答案.【詳解】根據(jù)圖像：，，故，故.故答案為：.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.16.若不等式的解集中的整數(shù)有且僅有0，1，2，則的取值范圍是

.參考答案：17.

已知關(guān)于x的不等式.(1)當(dāng)時，不等式的解集為__________；(2)當(dāng)時，求此不等式的解集為___________.參考答案：(1)當(dāng)時，不等式的解集為__________；(2)當(dāng)時，求此不等式的解集為___________.

當(dāng)時，解集為

當(dāng)時，解集為時，解集為

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分12分）已知等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，，且的等差中項為18.（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）若，，數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，證明：.參考答案：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意，得……………2分即兩式相除，得，解得或，……………………4分∵,∴,解得，……………………5分所以.…………………6分（Ⅱ）由（1）得，…………………7分∴，……………9分∴………11分∴.…………………12分

19.以直角坐標(biāo)系的原O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，且兩個坐標(biāo)系相等的單位長度，已知直線l的參數(shù)方程為為參數(shù)），圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2．（Ⅰ）寫出直線l的一般方程及圓C標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)P（﹣1，1），直線l和圓C相交于A，B兩點，求||PA|﹣|PB||的值．參考答案：【考點】QH：參數(shù)方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)t，能求出直線l的一般方程；由ρ=2可得ρ2=4，由此能求出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．（Ⅱ）點P（﹣1，1）P在圓內(nèi)，且直線l上，聯(lián)立圓的方程和直線l的參數(shù)方程方程組，得5t2+8t+1=0，利用韋達定理、弦長公式，結(jié)合已知條件能求出||PA|﹣|PB||的值．【解答】解：（Ⅰ）∵直線l的參數(shù)方程為為參數(shù)），∴由直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)t可得x﹣1=2（y﹣2），化簡并整理可得直線l的一般方程為x﹣2y+3=0，∵圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2，∴由ρ=2可得ρ2=4，即x2+y2=4，∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y2=4．（Ⅱ）∵P（﹣1，1），|PC|==＜R=2，點P（﹣1，1）代入直線l的方程，成立，∴點P在圓內(nèi)，且直線l上，聯(lián)立圓的方程和直線l的參數(shù)方程方程組，設(shè)A（xA，yA），B（xB，yB），則，∴，則，同理，∴．20.華山中學(xué)三名學(xué)生甲、乙、丙參加某大學(xué)自主招生考核測試，在本次考核中只有合格和優(yōu)秀兩個等次，若考核為合格，則授予10分降分資格；考核優(yōu)秀，授予20分降分資格。假如甲乙丙考核為優(yōu)秀的概率分別為，他們考核所得的等次相互獨立。（1）求在這次考核中，甲乙丙三名同學(xué)中至少有一名考核為優(yōu)秀的概率；（2）記在這次考核中甲乙丙三名同學(xué)所得降分之和為隨機變量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考答案：21..已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且，.（1）求Sn；（2）記，求Tn.參考答案：（1）；（2）.試題分析：（1）由基本量法，得到，解得，所以；（2），利用裂項相消法，求得。試題解析：（1），解得，所以；（2），所以。點睛：本題考查等差數(shù)列的基本性質(zhì)與裂項相消求和。等差數(shù)列的基本題型中，熟悉掌握基本量法的應(yīng)用，求得基本量，得到相關(guān)求解答案。裂項相消求和主要掌握其基本結(jié)構(gòu)，知道哪些求和可以利用裂項來處理的。22.(本小題滿分12分)

設(shè)函數(shù)f(x)=+aln(x+1)．

(1)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)以的取值范圍；

(2)若函數(shù)y=f(x)有兩個極值點x1，x2且x1<x2，求證：參考答案：（Ⅰ）[-4，+∞）（Ⅱ）略【知識點】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用B12（Ⅰ）根據(jù)題意知：f′（x）=≥0在[1，+∞）上恒成立．

即a≥-x2-2x在區(qū)間[1，+∞）上恒成立．

∵-2x2-2x在區(qū)間[1，+∞）上的最大值為-4，∴a≥-4；

經(jīng)檢驗：當(dāng)a=-4時，f′(x)=≥0，x∈[1，+∞）．

∴a的取值范圍是[-4，+∞）．

（Ⅱ）f′(x)==0在區(qū)間（-1，+∞）上有兩個不相等的實數(shù)根，

即方程2x2+2x+a=0在區(qū)間（-1，+∞）上有兩個不相等的實數(shù)根．

記g（x）=2x2+2x+a，則有，解得0＜a＜．

∴x1+x2=-1，2x22+2x2+a=0，x2=-+，-＜x2＜0．

∴令k(x)=，x∈(-，0)．

k′(x)=p(x)=∴p′(x)=，p′(-)=-4，p′(0)=2．

在x0∈(-，0)使得p′（x0）=0．當(dāng)x∈(-，x0)，p′（x）＜0；當(dāng)x∈（x0，0）時，p′（x）