湖北省鄂州市鄂東中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

湖北省鄂州市鄂東中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數(shù)f（x）=ex+x﹣2的零點所在的一個區(qū)間是(

) A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，2）參考答案：C考點：函數(shù)零點的判定定理．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：將選項中各區(qū)間兩端點值代入f（x），滿足f（a）?f（b）＜0（a，b為區(qū)間兩端點）的為答案．解答： 解：因為f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣1＞0，所以零點在區(qū)間（0，1）上，故選C．點評：本題考查了函數(shù)零點的概念與零點定理的應(yīng)用，屬于容易題．函數(shù)零點附近函數(shù)值的符號相反，這類選擇題通常采用代入排除的方法求解．2.若，則的解集為

（

）

A．

B．∪

C．

D．參考答案：C3.已知實數(shù)x，y滿足約束條件，則的最小值是（

）.

(A)5

(B)-6

(C)10

(D)-l0參考答案：B4.用數(shù)學(xué)歸納法證明：“,在驗證n＝1時，左端計算所得的項為(

)A．1

B．

C．

D．參考答案：C5.若點（sin，cos）在角α的終邊上，則sinα的值為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】任意角的三角函數(shù)的定義．【專題】計算題；規(guī)律型；三角函數(shù)的求值．【分析】由條件利用任意角的三角函數(shù)的定義轉(zhuǎn)化求解sinα的值．【解答】解：角α的終邊上一點的坐標(biāo)為（sin，cos）即（，），則由任意角的三角函數(shù)的定義，可得sinα=，故選：A．【點評】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于基礎(chǔ)題．6.已知函數(shù)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略7.若A：a∈R，|a|＜1，B：x的二次方程x2+（a+1）x+a﹣2=0的一個根大于零，另一根小于零，則A是B的（） A．充分不必要條件 B． 必要不充分條件 C．充要條件 D． 既不充分也不必要條件參考答案：A略8.如圖，圓被其內(nèi)接三角形分為4塊，現(xiàn)有5種顏色準(zhǔn)備用來涂這4塊，要求每塊涂一種顏色，且相鄰兩塊的顏色不同，則不同的涂色方法有（）A．360種 B．320種 C．108種 D．96種參考答案：B【考點】排列、組合及簡單計數(shù)問題．【分析】由題意相鄰兩塊的顏色不同，通過對涂色區(qū)域編號，分別選出2種顏色、3種顏色、4種顏色涂色，求出各自的涂色方案種數(shù)，即可得到結(jié)果．【解答】解：對涂色區(qū)域編號，如圖：分別用2色、就是1一色，2、3、4同色，涂色方法為：C52A22=20；涂3色時，2、3同色，2、4同色，3、4同色，涂色方法是3C53A33=180；涂4色時涂色方法是A54=120，所以涂色方案有：20+180+120=320．故選B．【點評】本題是中檔題，考查排列組合計數(shù)原理的應(yīng)用，考查分類討論思想的應(yīng)用，考查計算能力．9.(k>0),則的最大值為

(

)

(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：B10.已知復(fù)數(shù)z滿足z(3-i)=1-2i，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限參考答案：D因為z(3-i)=1-2i，所以，所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第四象限，故選D.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，直角三角形OAC所在平面與平面交于OC，平面P平面，為直角，，B為OC的中點，且，平面內(nèi)一動點滿足，則的取值范圍是________．參考答案：【分析】根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，表示出各點坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積化簡可得到關(guān)于的二次函數(shù)，求出二次函數(shù)在某區(qū)間上求值域即可。【詳解】在直角三角形中，過點作邊上的高交于，直角三角形所在平面與平面交于，平面平面，平面，在平面內(nèi)過點作邊的垂線，所以，，，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：為直角，,為的中點，且,,,,,，，，，，，，，，又，則，即，化簡即可得到：，由于，則，所以，，把代入即可得到：，當(dāng)，的范圍為，所以的取值范圍是，故答案為?！军c睛】本題主要考查空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點坐標(biāo)，表示出題目所求即可。12.（4分）在區(qū)間（0，4）內(nèi)任取一個實數(shù)x，則使不等式x2﹣2x﹣3＜0成立的概率為．參考答案：【考點】：幾何概型．【專題】：概率與統(tǒng)計．【分析】：先利用不等式求出滿足不等式成立的x的取值范圍，然后利用幾何概型的概率公式求解．解：由題意知0＜x＜4．由x2﹣2x﹣3＜0，解得﹣1＜x＜3，所以由幾何概型的概率公式可得使不等式x2﹣2x﹣3＜0成立的概率為=，．故答案為：．【點評】：本題主要考查幾何概型，要求熟練掌握幾何概型的概率求法．13.過點（3，﹣3）引圓（x﹣1）2+y2=4的切線，則切線方程為．參考答案：x=3或5x+12y+21=0【考點】圓的切線方程．【分析】當(dāng)過點（3，﹣3）的直線斜率不存在時，方程是x=3，通過驗證圓心到直線的距離，得到x=3符合題意；當(dāng)過點（3，﹣3）的直線斜率存在時，設(shè)直線方程為y+3=k（x﹣3），根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑2，建立關(guān)于k的方程，即可得出結(jié)論．【解答】解：圓（x﹣1）2+y2=4的圓心為（1，0），半徑為2．（1）當(dāng)過點（3，﹣3）的直線垂直于x軸時，此時直線斜率不存在，方程是x=3，因為圓心到直線的距離為d=2=r，所以直線x=3符合題意；（2）當(dāng)過點（3，﹣3）的直線不垂直于x軸時，設(shè)直線方程為y+3=k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k﹣3=0∵直線是圓（x﹣1）2+y2=4的切線∴圓心到直線的距離為d==2，解之得k=﹣，此時直線方程為5x+12y+21=0．綜上所述，得切線方程為x=3或5x+12y+21=0．故答案為x=3或5x+12y+21=0．【點評】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系、點到直線的距離公式等知識點，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．14.若從點O所作的兩條射線OM、ON上分別有點、與點、，則三角形面積之比為：.若從點O所作的不在同一個平面內(nèi)的三條射線OP、OQ和OR上分別有點、與點、和、，則類似的結(jié)論為：

.參考答案：略15.已知函數(shù)，對于任意且，均存在唯一的實數(shù)t，使得，且，若關(guān)于x的方程有4個不相等的實數(shù)根，則a的取值范圍是

．參考答案：(－6,－3).16.參考答案：≤3或=4略17.函數(shù)(x∈R)的圖象為,以下結(jié)論中:

①圖象關(guān)于直線對稱;

②圖象關(guān)于點對稱;

③函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù);

④由的圖象向右平移個單位長度可以得到圖象.

則正確的是

.(寫出所有正確結(jié)論的編號)參考答案：①②③三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）參考答案：（1）不存在極值點;（2）﹣＜a＜0;（3）a≤﹣

【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．B11B12解析：（1）f（x）=ax2+2x+1﹣lnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2ax+2﹣=，當(dāng)a=﹣時，f′（x）=﹣=﹣，當(dāng)x＞0時，f′（x）≤0恒成立，即有f（x）在（0，+∞）遞減，則有f（x）不存在極值點；（2）由于f′（x）=2ax+2﹣=（x＞0），令h（x）=2ax2+2x﹣1，f（x）有兩個極值點的充要條件即為h（x）=0有兩個不相等的正根，則有a≠0，判別式4+8a＞0，且﹣＞0，﹣＞0，解得﹣＜a＜0；（3）由于f′（x）=2ax+2﹣=（x＞0），令h（x）=2ax2+2x﹣1，當(dāng)a=0時，h（x）=2x﹣1，當(dāng)x＞，f（x）遞增，0＜x＜，f（x）遞減，不合題意；當(dāng)a＞0，g（x）的對稱軸x=﹣＜0，g（x）在（0，+∞）遞增，g（0）=﹣1＜0，即有g(shù)（x）在x＞0上有正有負(fù)，f（x）有增有減，不合題意；當(dāng)a＜0時，g（x）的對稱軸x=﹣＞0，g（0）=﹣1＜0，由題意可得g（x）只需滿足判別式4+8a≤0即可．解得a≤﹣．綜上可得a的取值范圍為（﹣∞，﹣]．【思路點撥】（1）求出當(dāng)a=﹣時的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，即可得到極值；（2）求出導(dǎo)數(shù)，令h（x）=2ax2+2x﹣1，f（x）有兩個極值點的充要條件即為h（x）=0有兩個不相等的正根，運用判別式大于0和韋達(dá)定理，解不等式即可得到a的范圍；（3）求出導(dǎo)數(shù)，令h（x）=2ax2+2x﹣1，討論a=0，a＞0，a＜0，通過對稱軸和二次函數(shù)的圖象，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號，即可求得a的范圍．19.（本小題滿分12分）如圖，已知橢E:的離心率為，且過點，四邊形ABCD的頂點在橢圓E上，且對角線AC，BD過原點O，.（Ⅰ）求的取值范圍；（Ⅱ）求證：四邊形ABCD的面積為定值.參考答案：（Ⅰ）當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)由.………………..4分.………………..6分，所以的范圍是.………………..8分

………………..10分………………..12分20.已知不等式mx2﹣2x﹣m+1＜0．（1）若對于所有的實數(shù)x，不等式恒成立，求m的取值范圍；（2）設(shè)不等式對于滿足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范圍．參考答案：考點：一元二次不等式的應(yīng)用．專題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：（1）當(dāng)m=0時，經(jīng)檢驗不滿足條件；解得m≠0時，設(shè)f（x）=mx2﹣2x﹣m+1，則由題意可得有，解得m∈?．綜合可得結(jié)論．（2）由題意﹣2≤m≤2，設(shè)g（m）=（x2﹣1）m+（1﹣2x），則由題意可得，由此求得x的取值范圍．解答：解：（1）當(dāng)m=0時，1﹣2x＜0，即當(dāng)時不等式恒成立，不滿足條件．…（2分）解得m≠0時，設(shè)f（x）=mx2﹣2x﹣m+1，由于f（x）＜0恒成立，則有，解得m∈?．綜上可知，不存在這樣的m使不等式恒成立．…（6分）（2）由題意﹣2≤m≤2，設(shè)g（m）=（x2﹣1）m+（1﹣2x），則由題意可得g（m）＜0，故有，即，解之得，所以x的取值范圍為．…（12分）點評：本題主要考查一元二次不等式的應(yīng)用，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了分類討論和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．21.已知函數(shù)，.（1）求f(x)的最小正周期；（2）判斷函數(shù)f(x)在上的單調(diào)性.參考答案：（1）π（2）時，f(x)單調(diào)遞減，時，f(x)單調(diào)遞增.【分析】（1）由三角函數(shù)恒等變換的公式，化簡得函數(shù)，再由最小正周期的公式，即可求解；（2）由時，得到，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到答案.【詳解】（1）由題意，函數(shù)，∴的最小正周期.（2）由（1）得，因為時，則，所以，當(dāng)時，即時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，即時，單調(diào)遞增.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)及其應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用三角恒等變換的公式求得函數(shù)的解析式，以及熟記三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.22.（本小題滿分13分）已知橢圓的方程為，點分別為其左、右頂點，點分別為其左、右焦點，以點為圓心，為半徑作圓；以點為圓心，為半徑作圓；若直線被圓和圓截得的弦長之比為；（1）求橢圓的離心率；（2）己知，問是否存在點，使得過點有無數(shù)條直線被圓和圓截得的弦長之比為；若存在，請求出所有的點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

參考答案：（1）由，得直線的傾斜角為，則點到直線的距離，故直線被圓截得的弦長為，直線被圓截得的弦長為， 據(jù)題意有：，即， （4分）化簡得：，（5分）解得：或，又橢圓的離心率；故橢圓的離心率為．