四川省南充市數(shù)列多選題試題含答案

四川省南充市數(shù)列多選題試題含答案一、數(shù)列多選題1．已知等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和，設(shè)，記的前n項(xiàng)和為，則下列判斷正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】BD【分析】先求得的取值范圍，根據(jù)的取值范圍進(jìn)行分類討論，利用差比較法比較出和的大小關(guān)系.【詳解】由于是等比數(shù)列，，所以，當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，即，上式等價(jià)于①或②.解②得.解①，由于可能是奇數(shù)，也可能是偶數(shù)，所以.綜上所述，的取值范圍是.，所以，所以，而，且.所以，當(dāng)，或時(shí)，，即，故BD選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，，即.當(dāng)或時(shí)，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.綜上所述，正確的選項(xiàng)為BD.故選：BD【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，考查差比較法比較大小，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.2．如圖，已知點(diǎn)是的邊的中點(diǎn)，為邊上的一列點(diǎn)，連接交于，點(diǎn)滿足，其中數(shù)列是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，是數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C． D．【答案】AB【分析】化簡得到，根據(jù)共線得到，即，計(jì)算，依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】，故，共線，故，即，，故，故.，正確；數(shù)列是等比數(shù)列，正確；，錯(cuò)誤；，故錯(cuò)誤.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了向量運(yùn)算，數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列求和，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力.3．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A．B．?dāng)?shù)列是公比為8的等比數(shù)列C．若，則數(shù)列的前2020項(xiàng)和為4040D．若，則數(shù)列的前2020項(xiàng)和為【答案】CD【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)可判斷A；結(jié)合已知條件可求出等差數(shù)列的公差，從而可求出通項(xiàng)公式以及，結(jié)合等比數(shù)列的定義可判斷B；寫出，由定義寫出的表達(dá)式，進(jìn)行分組求和即可判斷C；，裂項(xiàng)相消即可求和.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，，故A錯(cuò)誤；設(shè)的公差為，則有，解得，，故，，則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤；若，則的前2020項(xiàng)，故C正確；若，則的前2020項(xiàng)和，故D正確．故選:CD．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:求數(shù)列的前項(xiàng)和常見思路有：1、對于等差和等比數(shù)列，直接結(jié)合求和公式求解；2、等差數(shù)列等比數(shù)列時(shí)，常采取分組求和法；3、等差數(shù)列等比數(shù)列時(shí)，常采取錯(cuò)位相減法；4、裂項(xiàng)相消法.4．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且（λ為常數(shù)）．若數(shù)列滿足，且，則滿足條件的的取值可以為（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】AB【分析】利用可求得；利用可證得數(shù)列為等比數(shù)列，從而得到，進(jìn)而得到；利用可得到關(guān)于的不等式，解不等式求得的取值范圍，根據(jù)求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，解得：當(dāng)且時(shí)，，即：數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，，，解得：又，或故選：AB【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列知識(shí)的綜合應(yīng)用，涉及到利用與的關(guān)系求解通項(xiàng)公式、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求解、根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求解參數(shù)范圍等知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵點(diǎn)是能夠得到的通項(xiàng)公式，進(jìn)而根據(jù)單調(diào)性可構(gòu)造出關(guān)于的不等式，從而求得結(jié)果，考查學(xué)生計(jì)算能力，屬于中檔題．5．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列說法正確的是（）A． B．為的最小值C． D．【答案】AC【分析】利用和與項(xiàng)的關(guān)系，分和分別求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，檢驗(yàn)合并即可判定A;根據(jù)數(shù)列的項(xiàng)的正負(fù)情況可以否定B;根據(jù)前16項(xiàng)都是正值可計(jì)算判定C;注意到可計(jì)算后否定D.【詳解】,,對于也成立，所以，故A正確；當(dāng)時(shí)，,當(dāng)n=17時(shí),當(dāng)時(shí)，,只有最大值，沒有最小值，故B錯(cuò)誤；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，,∴，故C正確；，故D錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的和與項(xiàng)的關(guān)系，數(shù)列的和的最值性質(zhì)，絕對值數(shù)列的求和問題，屬小綜合題.和與項(xiàng)的關(guān)系,若數(shù)列的前項(xiàng)為正值，往后都是小于等于零，則當(dāng)時(shí)有，若數(shù)列的前項(xiàng)為負(fù)值，往后都是大于或等于零，則當(dāng)時(shí)有.若數(shù)列的前面一些項(xiàng)是非負(fù)，后面的項(xiàng)為負(fù)值，則前項(xiàng)和只有最大值，沒有最小值，若數(shù)列的前面一些項(xiàng)是非正，后面的項(xiàng)為正值，則前項(xiàng)和只有最小值，沒有最大值.6．下列說法中正確的是（）A．?dāng)?shù)列成等差數(shù)列的充要條件是對于任意的正整數(shù)，都有B．?dāng)?shù)列成等比數(shù)列的充要條件是對于任意的正整數(shù)，都有C．若數(shù)列是等差數(shù)列，則、、也是等差數(shù)列D．若數(shù)列是等比數(shù)列，則、、也是等比數(shù)列【答案】AC【分析】利用等差中項(xiàng)法可判斷A選項(xiàng)的正誤；取可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用等差數(shù)列求和公式以及等差中項(xiàng)法可判斷C選項(xiàng)的正誤；取，為偶數(shù)可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對于A選項(xiàng)，充分性：若數(shù)列成等差數(shù)列，則對任意的正整數(shù)，、、成等差數(shù)列，則，即，充分性成立；必要性：對任意的正整數(shù)，都有，則，可得出，所以，數(shù)列成等差數(shù)列，必要性成立.所以，數(shù)列成等差數(shù)列的充要條件是對于任意的正整數(shù)，都有，A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，當(dāng)數(shù)列滿足時(shí)，有，但數(shù)列不是等比數(shù)列，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，，所以，，，所以，，所以，、、是等差數(shù)列，C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，當(dāng)公比，且是偶數(shù)時(shí)，、、都為0，故、、不是等比數(shù)列，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛；1.判斷等差數(shù)列有如下方法：（1）定義法：（為常數(shù)，）；（2）等差中項(xiàng)法：；（3）通項(xiàng)法：（、常數(shù)）；（4）前項(xiàng)和法：（、常數(shù)）.2.判斷等比數(shù)列有如下方法：（1）定義法：（為非零常數(shù)，）；（2）等比中項(xiàng)法：，，；（3）通項(xiàng)公式法：（、為非零常數(shù)）；（4）前項(xiàng)和法：，、為非零常數(shù)且.7．（多選）設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，公差為d，是其前n項(xiàng)和，且，則（）A． B． C．或?yàn)榈淖畲笾?D．【答案】BC【分析】根據(jù)得到，再根據(jù)得到，可得數(shù)列是單調(diào)遞減的等差數(shù)列，所以或?yàn)榈淖畲笾?，根?jù)得，故BC正確.【詳解】由得，，即，又，，，∴B正確；由，得，又，，∴數(shù)列是單調(diào)遞減的等差數(shù)列，，或?yàn)榈淖畲笾?，∴A錯(cuò)誤，C正確；，，所以D錯(cuò)誤.故選：BC．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)等差中項(xiàng)推出，進(jìn)而推出是解題關(guān)鍵.8．在（）中，內(nèi)角的對邊分別為，的面積為，若，，，且，，則（）A．一定是直角三角形 B．為遞增數(shù)列C．有最大值 D．有最小值【答案】ABD【分析】先結(jié)合已知條件得到，進(jìn)而得到，得A正確，再利用面積公式得到遞推關(guān)系，通過作差法判定數(shù)列單調(diào)性和最值即可.【詳解】由，得，，故，又，，，故一定是直角三角形，A正確；的面積為，而，故，故，又（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），又由，知不是恒成立，即，故，故為遞增數(shù)列，有最小值，無最大值，故BD正確，C錯(cuò)誤.故選：ABD.【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是利用遞推關(guān)系得到，進(jìn)而得到，再逐步突破.數(shù)列單調(diào)性常用作差法判定，也可以借助于函數(shù)單調(diào)性判斷.二、平面向量多選題9．已知是單位向量，且，則()A． B．與垂直C．與的夾角為 D．【答案】BC【分析】兩邊平方求出；利用單位向量模長為1，求出；平方可求模長；用向量夾角的余弦值公式可求與的夾角.【詳解】由兩邊平方，得，則，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)槭菃挝幌蛄?，所以，得，所以B選項(xiàng)正確；則，所以，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤；，所以，與的夾角為.所以C選項(xiàng)正確；故選：BC.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用.求向量模的常用方法:(1)若向量是以坐標(biāo)形式出現(xiàn)的，求向量的?？芍苯永霉?(2)若向量是以非坐標(biāo)形式出現(xiàn)的，求向量的模可應(yīng)用公式或，先求向量模的平方，再通過向量數(shù)量積的運(yùn)算求解．判斷兩向量垂直：根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，計(jì)算出這兩個(gè)向量的數(shù)量積為0即可．解兩個(gè)非零向量之間的夾角：根據(jù)公式求解出這兩個(gè)向量夾角的余弦值.10．如圖，已知點(diǎn)為正六邊形中心，下列結(jié)論中正確的是()A． B．C． D．【答案】BC【分析】利用向量的加法法則、減法法則的幾何意義，對選項(xiàng)進(jìn)行一一驗(yàn)證