考點(diǎn)17弧長及扇形的面積（解析版）

2021年八年級(jí)數(shù)學(xué)《暑假作業(yè)翎課程無憂銜接》（蘇科版）

考點(diǎn)17弧長及扇形的面積

【知識(shí)點(diǎn)梳理】

弧長公式：半徑為R的圓中

I_nvrR

360°的圓心角所對的弧長（圓的周長）公式：C=2kK,n°的圓心角所對的圓的弧長公式：180（弧

是圓的一部分）

要點(diǎn)詮釋：

1

（1）對于弧長公式，要理解1。的圓心角所對的弧長是圓周長的360,即

1.7TR

x2穴Rn=

360----------180.

（2）公式中的n表示1。圓心角的倍數(shù)，故n和180都不帶單位，R為弧所在圓的半

扇形面積勿|徑；

360°的圍（3）弧長公式所涉及的三個(gè)量：弧長、圓心角度數(shù)、弧所在圓的半徑，知道其中的積公式:

兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量.

【新課程預(yù)習(xí)練?無憂銜接】

一、單選題

1.如圖，兩個(gè)半徑長均為近的直角扇形的圓心分別在對方的圓弧上，扇形CED的圓心C是AB的中點(diǎn)，

且扇形CED繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，半徑AE，CF交于點(diǎn)G,半徑破，CO交于點(diǎn)H,則圖中陰影面積等于（）

711

A.----1B.——2C.71—1D.7t—2

22

【答案】D

【分析】先根據(jù)扇形面積公式求出兩扇形面積，再過C分別作CMJ_AE于M,CN工BE于N,連接EC,再

證明ACMG絲△CNH,可證得白色部分的面積等于對角線為行的正方形CMEN得面積，進(jìn)而可求得陰影

部分的面積.

【詳解】

解：???兩個(gè)直角扇形的半徑長均為0,

.?.兩個(gè)扇形面積和為20t（電x2=7，

360

過C分別作CMJ-AE于M,CNLBE于N,連接EC,則四邊形CMEN是矩形，

是AB的中點(diǎn)，

ZAEC=ZBEC,即￡C平分/AEB,

/.CM=CN,

二四邊形C例EN是正方形，

NCMG=NMCN=NCNH,

：.ZMCG+ZGCN=ZNCH+ZGCN=90°,

：.ZMCG=ZNCH,

:.△CMGQXCNHCASA）,

；?白色部分的面積等于對角線為正的正方形CMEN的面積，

...空白部分面積為,x&xa=l,

2

???陰影部分面積為萬一2x1=兀一2,

故選：D.

E

【點(diǎn)睛】考查扇形面積公式、圓的有關(guān)性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定

與性質(zhì)，熟記扇形面積公式，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理和全等三角形的判定與性質(zhì)，求出空白部分面

積是解答的關(guān)鍵.

2.如圖，。。的半徑為5,A、B是圓上任意兩點(diǎn)，且A8=6,若弦48繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一周，則掃過區(qū)

域的面積為（）

A.5"B.6乃C.8乃D.9乃

【答案】D

【分析】由題意，線段AB旋轉(zhuǎn)一周的過程中，掃過區(qū)域的面積是圓環(huán)的面積，過。作OCLAB,由乖

徑定理先求出0C的長度，即可求出圓環(huán)的面積.

【詳解】

解：根據(jù)題意，

線段AB旋轉(zhuǎn)一周的過程中，AB掃過區(qū)域的面積是圓環(huán)的面積；

過。作0C_LA8,如圖

A

B

由垂徑定理，則AC=BC=，AB=LX6=3,

22

,/04=08=5，

--0C=^52-32=4，

圓環(huán)的面積為：S=7r?52—7r?4-2=25萬一16%=9不；

故選：D.

【點(diǎn)睛】考查了垂徑定理、勾股定理、以及圓環(huán)的面積公式,解題的關(guān)鍵是分析出線段48掃過的區(qū)域的形

狀.

3.如圖，在扇形QW中，已知NAQB=90°,。4=2,過43的中點(diǎn)C作CD_LQ4,CEVOB,垂

足分別為點(diǎn)。，E,則圖中陰影部分的面積為（）

C

交

0

兀Y

A.7T—1B.71—2C.71—4D.--1

2

【答案】B

【分析】根據(jù)矩形的判定定理得到四邊形ODCE是矩形，連接OC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到?！?gt;=OE,

然后得到矩形ODCE是正方形，最后利用扇形和正方形的面積公式計(jì)算即可.

【詳解】

如圖所示，連接0C

VZAOB^90°,CDIOA^CE±OB

，四邊形。力CE是矩形

:點(diǎn)C是A8的中點(diǎn)

，乙COA=4COB

???NCOD^JCOE

OD=OE

，四邊形OOCE是正方形

二OD=CD

???OD2+CD2=22

，OD2=2

KPS正方形0DCE=2

由扇形的面積公式可得：S扇形

S陰影="-2

故選：B

【點(diǎn)睛】考查矩形的判定定理和性質(zhì)、正方形的判定定理和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、扇形面積的

計(jì)算公式，熟練掌握相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，A3為OO的直徑，點(diǎn)C在。。上.若NOCA=55°,AB=6,則8c的長為（）

111111

A.—KB.—7TC.—7tD.11〃

364

【答案】B

【分析】直接利用等腰三角形的性質(zhì)得出/A的度數(shù)，再利用圓周角定理得出/BOC的度數(shù)，再利用弧長

公式求出答案.

【詳解】

解：VZOCA=55°,OA=OC,

ZA=55°,

：.ZBOC=2ZA=WO0,

u

：AB=6f

：.BO=3f

110^x3117T

8c的長為:

1806

故選B.

【點(diǎn)睛】考查了弧長公式應(yīng)用以及圓周角定理，正確得出/80C的度數(shù)是解題關(guān)鍵.

5.如圖，一扇形紙扇完全打開后，兩竹條外側(cè)OA和。8的夾角為120。，OA長為10cm,貼紙部分的C4

長為5cm，則貼紙部分的面積為（）

B.257rm'C.487tcmD.75rtcm

【答案】B

【分析】貼紙部分的面積實(shí)際是扇形OAB和扇形OC。的面積差，可根據(jù)扇形的面積公式分別表示出兩部

分的面積，進(jìn)而可求出貼紙部分的面積.

【詳解】

故選：B.

【點(diǎn)睛】考查了扇形面積的計(jì)算方法，不規(guī)則圖形的面積通常轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積的和差.

6.如圖，在邊長為2的等邊AAHC中，。是邊上的中點(diǎn)，以點(diǎn)A為圓心，4）為半徑作圓與A8,AC

分別交于E，/兩點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為（）

E

BC

71717C2兀

A.-B.-C.一D.—

6323

【答案】c

【分析】

由等邊AABC中，。是邊上的中點(diǎn)，可知扇形的半徑為等邊三角形的高，利用扇形面積公式即可求解.

【詳解】

?.?△ABC是等邊三角形，。是BC邊上的中點(diǎn)

ADLBC^ZA=60°

AD=^AET-BCr=722-12=G

2

60^-r_60萬x(G>7T

S即2AEF

3603607

故選C.

【點(diǎn)睛】考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，扇形面積公式，熟練等邊三角形性質(zhì)和扇形面積公式，求出

等邊三角形的高是解題的關(guān)鍵.

7.如圖△ABC內(nèi)接于。。，ZA=60°,OQLBC于點(diǎn)O,若00=3,則3c的弧長為（）

10

A.4兀B.—71C.2式D.兀

3

【答案】A

【分析】連接08,OC,根據(jù)圓周角定理求出/8OC的度數(shù)，可求出NCO￡>=60。，求出OC=6,由弧長公

式可得出答案.

【詳解】

解：連接08,0C,

ZA=60°,

???NBOC=2NA=120。.

?：0B=0C,0D±BC,

：.ZC0D=-ZB0C=60°,

2

N08=30。，

VOD=3,

:.OC=2DO=6,

…1205x6

??BC的長為---------=4兀.

180

故選：A.

【點(diǎn)睛】考查弧長計(jì)算，熟練掌握圓中的基本定理與性質(zhì)，熟記弧長公式是解題關(guān)鍵.

8.如圖，A3是。。的直徑，A8=4,C為半圓A3的中點(diǎn)，P為弧AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC并延長，作

3。，「。于點(diǎn)。，若點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C,則點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的路徑長為（）

A

A.當(dāng)

B.萬C.叵兀D.4

2

【答案】A

【分析】苜先根據(jù)點(diǎn)P的軌跡，來確定點(diǎn)。的軌跡，確定軌跡為圓后，再利用弧長公式進(jìn)行求解.

【詳解】

解：由題意知點(diǎn)P的軌跡是圓，則點(diǎn)。的軌跡是以BC為直徑的圓上，以為直徑作圓，如下圖:

要求點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的路徑長，結(jié)合臨界點(diǎn)法，當(dāng)點(diǎn)尸與A重合時(shí)，點(diǎn)。到點(diǎn)C處，當(dāng)點(diǎn)P與C重合時(shí)，點(diǎn)。到

點(diǎn)。處，

Q運(yùn)動(dòng)的路徑長為CQ的長，

由已知：點(diǎn)C為半圓A3的中點(diǎn),

BC=V27+27=2V2>

:點(diǎn)尸轉(zhuǎn)過的圓心角為90°，

二點(diǎn)。轉(zhuǎn)過的圓心角也為90°,

即C0對應(yīng)的圓心角為90°，

根據(jù)弧長公式：

八八.90乂2兀乂亞y/2

CQ=---------------=——71，

」3602

二點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的路徑長為：-71-

故選：A.

【點(diǎn)睛】考查了動(dòng)點(diǎn)的軌跡問題，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)點(diǎn)P的軌跡，來確定點(diǎn)。的軌跡，確定為圓后，利

用弧長公式求解時(shí)，要去找到所求弧長所對應(yīng)的圓心角即可.

9.如圖，正六邊形A8CDM的邊長為6,以頂點(diǎn)4為圓心，A8的長為半徑畫圓，則圖中陰影部分的面

積為（）

A.44B.67rC.87rD.12萬

【答案】D

【分析】根據(jù)正多邊形內(nèi)角和公式求出/府3,利用扇形面積公式求出扇形ABF的面積計(jì)算即可.

【詳解】

解：：六邊形ABCDEF是正六邊形,

（6-2）x180°

：.ZFAB=^---------=120°,AB=6,

6

，扇形A8F的面積=毀一色=1④，

360

故選擇D.

【點(diǎn)睛】考查的是正多邊形和圓、扇形面積計(jì)算，掌握多邊形內(nèi)角的計(jì)算公式、扇形面積公式是解題的關(guān)

鍵.

10.量角器圓心為。，直徑AB=12,一把寬為3的直尺的一邊過。點(diǎn)且與量角器交于。、。兩點(diǎn)，如圖

所示，則弧CO的長為（）

3

A.2兀B.—71

2

【答案】D

【分析】根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系求出弧C。所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)，再根據(jù)弧長公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】

解：如圖，過點(diǎn)力作OELOC,垂足為E,

A0B

?.?直尺的寬度為3,即DE=3,

又；直徑A8=12,

二半徑OC=OD=6,

：.DE=—OD,

2

二ZCOD=30°,

故選：D.

【點(diǎn)睛】考查弧長的計(jì)算，掌握直角三角形的邊角關(guān)系和弧長的計(jì)算方法是得出正確答案的前提.

11.如圖，。。是正五邊形ABCQE的外接圓.若。。的半徑為5,則半徑OA,0B與圍成的扇形的面

積是（）

A.2兀B.5兀C.—無D.10K

6

【答案】B

【分析】先求出圓心角NAOB的度數(shù)，再根據(jù)扇形面積公式即可求解.

【詳解】

,/OO是正五邊形ABCDE的外接圓.

?208-360。

5

...08與AB圍成的扇形的面積是=5兀

故選B.

【點(diǎn)睛】考查扇形面積的求解，解題的關(guān)鍵是熟知圓內(nèi)正多邊形的性質(zhì)及扇形面積公式的運(yùn)用.

12.已知一條圓弧的度數(shù)為120。，半徑為6cm,則此圓弧長為（）

A.2^-cmB.4)cmC.8〃cmD.12乃cm

【答案】B

【分析】根據(jù)弧長公式/=噤解答.

180

【詳解】

n元r120^x6

解：此圓弧長為/=’、=------=4%cm,

180180

故選：B.

【點(diǎn)睛】考查了弧長的計(jì)算，熟記弧長公式是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

13.如圖，在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，AANC的頂點(diǎn)A,B,C均在格點(diǎn)上，點(diǎn)尸是A3邊上

任意一點(diǎn)，以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心.把AAHC按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°,則在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的最短路徑

長為.

【答案】號(hào)

【分析】畫出旋轉(zhuǎn)圖形，求出△ABC的三邊，根據(jù)垂線段最短，判斷出CPLA8時(shí)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑最短,

求出此時(shí)CP的長，再利用弧長公式計(jì)算.

【詳解】

解：畫出旋轉(zhuǎn)圖形如圖:

3

；A0=32+32=18,6(?=42+42=32,/1B2=72+12=5O,

AC1BC

而點(diǎn)P是AB邊上任意一點(diǎn)，

/?當(dāng)CP1AB時(shí)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑最短，

此時(shí)。片3￡=巫空區(qū)1,

AB而5

..?點(diǎn)P的最短運(yùn)動(dòng)路徑為90"x型=電里

----------5

180

故答案為：良紅.

5

【點(diǎn)睛】考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換，求弧長，垂線段最短，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，

對應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應(yīng)點(diǎn)，順次連接

得出旋轉(zhuǎn)后的圖形.

14.如圖，AB是。。的直徑，F(xiàn)A切。。于點(diǎn)A,線段P。交。0于點(diǎn)C.若NP=30。，AB=4,則

弧BC的長為.

4

【答案】一萬

3

【分析】求得半徑和圓心角的度數(shù)，即可求得弧的長.

【詳解】

解：切O。于點(diǎn)A

ZPAO=90°

又，:ZP=30°

二ZAOP=60°

二/BOC=T20。

；AB=4

OB=2

120萬x24萬

...弧BC的長=

180

4

故答案為一萬.

3

【點(diǎn)睛】考查了弧長的計(jì)算，熟練掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵.

15.在汝AACB中，NACB=90°,N8=30°,BC=26，以C為圓心，AC長為半徑畫弧，交A3于

點(diǎn)。，交8c于點(diǎn)E,以E為圓心，CE長為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)F.交弧AE于點(diǎn)G,則圖中陰影部分的

面積為.

【答案】兀-下）

【分析】連接CG、GE,通過觀察圖形得到S陰影=S扇形GCO+S扇形GEC-S^EG，分別求出每塊面積即可.

【詳解】

解：連接CG、GE,過點(diǎn)G作GHJ_CE于點(diǎn)”

觀察圖形可以的得到S陰影=5扇形GCO+S扇形GEC-S&CEG>

AAC=2,AB=4,ZBAC=60°

由題意可知，CD=CG=CE=EG=2

???△ACD為等邊三角形，ACEG為等邊三角形

**?AC=CD=AD=2

...BD=CD=2

，ZDCE=NDBC=30。

：.ZGCD=30°

在△CEG中，CG=CE=EG=2,GH=—CE=^

2

?c_30^x22_n

扇形G8=』r=§

_60%x22_2%

扇形。氐-360一V

SMEG=；CEXGH=逝

,,S陰影=S扇形Ga>+S扇形GEC_kCEG=兀_0

故答案為萬一班.

【點(diǎn)睛】考查了勾股定理、三角形和扇形面積的計(jì)算，將陰影部分表示成規(guī)則圖形的面積是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，在用AACB中，ZACB=9Q°,48=30°,8。=4豆，以點(diǎn)C為圓心，AC的長為半徑畫

弧，分別交AB，BC于點(diǎn)、D,E,以點(diǎn)E為圓心，CE的長為半徑畫弧，交A3于點(diǎn)尸，交舛七于點(diǎn)G,

則圖中陰影部分的面積為.

【答案】4萬-40

【分析】

連接CG,EG,則陰影部分的面積為S扇形。后。-SMEG+S扇形we，計(jì)算即可.

【詳解】

如圖，連接CG,EG,

vZACB=90°.ZB=30°.BC=4幣,

：.AC=CG=CD=CE=EG=4,ZA=60°,

：.AACD是等邊三角形，△CEG是等邊三角形,

ZGCD=ZDCE=30°,ZGCE=60°,

,陰影部分的面積為：

S扇形CEG-SACEG+S扇形DCG

60x乃X4[14X4X3+30X"42

36022360

=4乃-4百.

故答案為：4萬一4g.

【點(diǎn)睛】考查了直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，扇形的面積，拱形的面積，熟練運(yùn)用扇形

的面積公式，正確進(jìn)行圖形面積的分割是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

17.如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都是一個(gè)單位長度，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，AABO的三個(gè)

頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為4(-1,3),8(-4,3),0(0,0).

(1)畫出AABO關(guān)于x軸對稱的AAG。，并寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)畫出AABO繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的V&與O,并寫出點(diǎn)&的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，求點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)&所經(jīng)過的路徑長(結(jié)果保留萬).

【答案】(1)見解析，同(-1,一3)；⑵見解析，4(3,1)；(3)巫兀

2

【分析】

(1)分別作出點(diǎn)4、8關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，然后依次連接即可，最后通過圖象可得點(diǎn)A1的坐標(biāo)；

(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)分別作出點(diǎn)A、8繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)90。的點(diǎn)，然后依次連接，最后根據(jù)圖象可得點(diǎn)兒的坐

標(biāo)；

(3)由(2)可先根據(jù)勾股定理求出OA的長，然后根據(jù)弧長計(jì)算公式進(jìn)行求解.

【詳解】

解：(1)如圖所示：即為所求,

???由圖象可得4（-1,一3）；

（2）如圖所示：V4B2。即為所求，

二由圖象可得4（3,1）；

（3）由（2）的圖象可得：點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)為所經(jīng)過的路彳仝為圓弧,

OA-A/32+12=V10'

n7ur90x

.??點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)4所經(jīng)過的路徑長為I

Tso180~2

【點(diǎn)睛】考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、坐標(biāo)與軸對稱及弧長計(jì)算公式，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、坐標(biāo)與軸對稱及弧長計(jì)

算公式是解題的關(guān)鍵.

18.如圖1,四邊形A8CO內(nèi)接于O。，AO為直徑，過點(diǎn)C作CELAB于點(diǎn)E，連接AC.

圖1圖2

(1)求證：NCAD=ZECB；

（2）若CE是。。的切線，ZG4D=30°,連接0C，如圖2.

①請判斷四邊形A8CO的形狀，并說明理由；

②當(dāng)A8=2時(shí)，求A￡>,AC與CO圍成陰影部分的面積.

【答案】（1）見解析；（2）四邊形A8C0是菱形，理由見解析；（3）陰影部分的面積為g+：力.

【分析】

（1）利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)證得再利用圓周角的性質(zhì)證得/。+/。。=90°,即可證明

ZCAD=ZECB；

（2）①利用切線的性質(zhì)得到。CLEC,從而證明OC〃AE,再證明NBAO=/EBC=60。，推出BC〃A。，即

可證明四邊形ABCO是菱形:②先計(jì)算S^=V3,再利用扇形的面積公式計(jì)算S扇形0。=60靠2=g萬，

AOC

即可求得陰影部分的面積.

【詳解】

（1）證明：：四邊形ABCO內(nèi)接于。O,

：.ZD+ZABC=1SO°,

'：NEBC+/A8C=180。，

，ZD=ZEBC,

為（DO直徑，

NA8=9（）。，

：.ZD+ZCAD=90°,

'：CELAB,

；.NECB+NEBC=90°,

/.ZCAD=ZECB；

（2）①四邊形ABCO是菱形，理由如下:

???。石是。。的切線，

:.OCLEC,

V4B1EC,

：.ZOCE=ZE=9Q0,

.'.ZOCE+ZE=180°,

JOC//AE,

：.ZACO=ZBAC,

?；OA=OC,

：.ZACO=ZCAD,

BAC=/CAD,

'：ZCAD=ZECBfZCAD=30°,

???ZEBC=90°-30°=60°,

/.ZBAO=ZEBC=60°,

:?BC〃AO,

???四邊形ABCO是平行四邊形，

VOA=OC,

???四邊形ABCO是菱形；

②：四邊形ABCO是菱形，

.t.AO=AB=2,AD=4,

,：ZCAD=30°,

：.CD=^-AD=2,AC=2百,

過點(diǎn)C作CF±AD于點(diǎn)F,

E

：.CF=y/3,

.,?%"=；x2xg=5

OC//AE,

：./￡)OC=/R4O=60°,

_60%x22__2

扇形。co-360一鏟,

...陰影部分的面積為6+2%.

3

【點(diǎn)睛】考查了切線的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)以及扇形面積的求法，熟練掌握切線的性質(zhì)定理以及扇形

面積的求法是解答此題的關(guān)鍵.

19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，網(wǎng)格的每個(gè)小方格都是邊長為1個(gè)單位長度的正方形，點(diǎn)A,B,C的

坐標(biāo)分別為A(-2,-1),5(-5,-2),C(-l,-3).

（1）將AABC向上平移4個(gè)單位長度，再向右平移6個(gè)單位長度，畫出平移后得到的"gG，并直接

寫出點(diǎn)4的坐標(biāo)；

（2）將AABC繞著原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得到△兒與&.

①畫出旋轉(zhuǎn)后的△