上海大學(xué)附中2024年高三沖刺模擬數(shù)學(xué)試卷含解析

上海大學(xué)附中2024年高三沖刺模擬數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．為研究某咖啡店每日的熱咖啡銷(xiāo)售量和氣溫之間是否具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，統(tǒng)計(jì)該店2017年每周六的銷(xiāo)售量及當(dāng)天氣溫得到如圖所示的散點(diǎn)圖（軸表示氣溫，軸表示銷(xiāo)售量），由散點(diǎn)圖可知與的相關(guān)關(guān)系為（）A．正相關(guān)，相關(guān)系數(shù)的值為B．負(fù)相關(guān)，相關(guān)系數(shù)的值為C．負(fù)相關(guān)，相關(guān)系數(shù)的值為D．正相關(guān)，相關(guān)負(fù)數(shù)的值為2．已知平行于軸的直線(xiàn)分別交曲線(xiàn)于兩點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)，不等式對(duì)恒成立，則的取值范圍為（）A． B． C． D．4．已知集合，，則集合的真子集的個(gè)數(shù)是（）A．8 B．7 C．4 D．35．設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足條件x+y-2?02x-y+3?0x-y?0則A．1 B．2 C．3 D．46．已知某超市2018年12個(gè)月的收入與支出數(shù)據(jù)的折線(xiàn)圖如圖所示：根據(jù)該折線(xiàn)圖可知，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．該超市2018年的12個(gè)月中的7月份的收益最高B．該超市2018年的12個(gè)月中的4月份的收益最低C．該超市2018年1-6月份的總收益低于2018年7-12月份的總收益D．該超市2018年7-12月份的總收益比2018年1-6月份的總收益增長(zhǎng)了90萬(wàn)元7．已知雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，若雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)的傾斜角為，且點(diǎn)到該漸近線(xiàn)的距離為，則雙曲線(xiàn)的實(shí)軸的長(zhǎng)為A． B．C． D．8．我國(guó)南北朝時(shí)的數(shù)學(xué)著作《張邱建算經(jīng)》有一道題為：“今有十等人，每等一人，宮賜金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中間四人未到者，亦依次更給，問(wèn)各得金幾何？”則在該問(wèn)題中，等級(jí)較高的二等人所得黃金比等級(jí)較低的九等人所得黃金（）A．多1斤 B．少1斤 C．多斤 D．少斤9．已知圓錐的高為3，底面半徑為，若該圓錐的頂點(diǎn)與底面的圓周都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的體積與圓錐的體積的比值為()A． B． C． D．10．陀螺是中國(guó)民間較早的娛樂(lè)工具之一，但陀螺這個(gè)名詞，直到明朝劉侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一書(shū)中才正式出現(xiàn).如圖所示的網(wǎng)格紙中小正方形的邊長(zhǎng)均為1，粗線(xiàn)畫(huà)出的是一個(gè)陀螺模型的三視圖，則該陀螺模型的表面積為（）A． B．C． D．11．將一塊邊長(zhǎng)為的正方形薄鐵皮按如圖（1）所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個(gè)全等的等腰三角形加工成一個(gè)正四棱錐形容器，將該容器按如圖（2）放置，若其正視圖為等腰直角三角形，且該容器的容積為，則的值為（）A．6 B．8 C．10 D．1212．某設(shè)備使用年限x（年）與所支出的維修費(fèi)用y（萬(wàn)元）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分別為，，，，由最小二乘法得到回歸直線(xiàn)方程為，若計(jì)劃維修費(fèi)用超過(guò)15萬(wàn)元將該設(shè)備報(bào)廢，則該設(shè)備的使用年限為（）A．8年 B．9年 C．10年 D．11年二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．等邊的邊長(zhǎng)為2，則在方向上的投影為_(kāi)_______．14．在一次體育水平測(cè)試中，甲、乙兩校均有100名學(xué)生參加，其中:甲校男生成績(jī)的優(yōu)秀率為70%，女生成績(jī)的優(yōu)秀率為50%;乙校男生成績(jī)的優(yōu)秀率為60%，女生成績(jī)的優(yōu)秀率為40%.對(duì)于此次測(cè)試，給出下列三個(gè)結(jié)論:①甲校學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率大于乙校學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率;②甲、乙兩校所有男生成績(jī)的優(yōu)秀率大于甲、乙兩校所有女生成績(jī)的優(yōu)秀率;③甲校學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率與甲、乙兩校所有學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率的大小關(guān)系不確定.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是____________.15．已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為1．,點(diǎn)、分別為線(xiàn)段、上的動(dòng)點(diǎn),則取值的集合為_(kāi)_________．16．某城市為了解該市甲、乙兩個(gè)旅游景點(diǎn)的游客數(shù)量情況，隨機(jī)抽取了這兩個(gè)景點(diǎn)20天的游客人數(shù)，得到如下莖葉圖：由此可估計(jì)，全年（按360天計(jì)算）中，游客人數(shù)在內(nèi)時(shí)，甲景點(diǎn)比乙景點(diǎn)多______天.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)前項(xiàng)積為的數(shù)列，（為常數(shù)），且是等差數(shù)列.（Ｉ）求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，求的最小值.18．（12分）已知函數(shù)與的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（1）若的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求的值；（2）若不等式恒成立，求正整數(shù)的最小值.19．（12分）已知函數(shù)和的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且．（1）解關(guān)于的不等式；（2）如果對(duì)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．20．（12分）設(shè)首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列的前n項(xiàng)和為T(mén)n，且，其中p為常數(shù)．（1）求p的值；（2）求證：數(shù)列{an}為等比數(shù)列；（3）證明：“數(shù)列an，2xan+1，2yan+2成等差數(shù)列，其中x、y均為整數(shù)”的充要條件是“x＝1，且y＝2”．21．（12分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)）．以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)P為曲線(xiàn)C上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線(xiàn)l距離的最大值．22．（10分）如圖，四棱錐中，平面平面，若，四邊形是平行四邊形，且.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若點(diǎn)在線(xiàn)段上，且平面，，，求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)正負(fù)相關(guān)的概念判斷．【詳解】由散點(diǎn)圖知隨著的增大而減小，因此是負(fù)相關(guān)．相關(guān)系數(shù)為負(fù)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查變量的相關(guān)關(guān)系，考查正相關(guān)和負(fù)相關(guān)的區(qū)別．掌握正負(fù)相關(guān)的定義是解題基礎(chǔ)．2、A【解析】

設(shè)直線(xiàn)為，用表示出，，求出，令，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間和極小值、最小值，即可求出的最小值．【詳解】解：設(shè)直線(xiàn)為，則，，而滿(mǎn)足，那么設(shè)，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以故選：．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，正確求導(dǎo)確定函數(shù)的最小值是關(guān)鍵，屬于中檔題．3、C【解析】

確定函數(shù)為奇函數(shù)，且單調(diào)遞減，不等式轉(zhuǎn)化為，利用雙勾函數(shù)單調(diào)性求最值得到答案.【詳解】是奇函數(shù)，，易知均為減函數(shù)，故且在上單調(diào)遞減，不等式，即，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得，即，設(shè)，，故單調(diào)遞減，故，當(dāng)，即時(shí)取最大值，所以.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性解不等式，參數(shù)分離求最值是解題的關(guān)鍵.4、D【解析】

轉(zhuǎn)化條件得，利用元素個(gè)數(shù)為n的集合真子集個(gè)數(shù)為個(gè)即可得解.【詳解】由題意得，，集合的真子集的個(gè)數(shù)為個(gè).故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的化簡(jiǎn)和運(yùn)算，考查了集合真子集個(gè)數(shù)問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

畫(huà)出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義平移得到答案.【詳解】如圖所示：畫(huà)出可行域和目標(biāo)函數(shù)，z=x+y+1，即y=-x+z-1，z表示直線(xiàn)在y軸的截距加上1，根據(jù)圖像知，當(dāng)x+y=2時(shí)，且x∈-13,1時(shí)，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，畫(huà)出圖像是解題的關(guān)鍵.6、D【解析】

用收入減去支出，求得每月收益，然后對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此判斷出說(shuō)法錯(cuò)誤的選項(xiàng).【詳解】用收入減去支出，求得每月收益（萬(wàn)元），如下表所示：月份123456789101112收益203020103030604030305030所以月收益最高，A選項(xiàng)說(shuō)法正確；月收益最低，B選項(xiàng)說(shuō)法正確；月總收益萬(wàn)元，月總收益萬(wàn)元，所以前個(gè)月收益低于后六個(gè)月收益，C選項(xiàng)說(shuō)法正確，后個(gè)月收益比前個(gè)月收益增長(zhǎng)萬(wàn)元，所以D選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤.故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查圖表分析，考查收益的計(jì)算方法，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，由題可知．設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，解得，所以，解得，所以雙曲線(xiàn)的實(shí)軸的長(zhǎng)為，故選B．8、C【解析】設(shè)這十等人所得黃金的重量從大到小依次組成等差數(shù)列則由等差數(shù)列的性質(zhì)得，故選C9、B【解析】

計(jì)算求半徑為，再計(jì)算球體積和圓錐體積，計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示：設(shè)球半徑為，則，解得.故求體積為：，圓錐的體積：，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐，球體積，圓錐的外接球問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.10、C【解析】

根據(jù)三視圖可知，該幾何體是由兩個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱構(gòu)成，由此計(jì)算出陀螺的表面積.【詳解】最上面圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為，底面周長(zhǎng)為，側(cè)面積為，下面圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為，底面周長(zhǎng)為，側(cè)面積為，沒(méi)被擋住的部分面積為，中間圓柱的側(cè)面積為.故表面積為，故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化，考查三視圖還原為原圖，考查幾何體表面積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】

推導(dǎo)出，且，，，設(shè)中點(diǎn)為，則平面，由此能表示出該容器的體積，從而求出參數(shù)的值．【詳解】解：如圖（4），為該四棱錐的正視圖，由圖（3）可知，，且，由為等腰直角三角形可知，，設(shè)中點(diǎn)為，則平面，∴，∴，解得.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查三視圖和錐體的體積計(jì)算公式的應(yīng)用，屬于中檔題.12、D【解析】

根據(jù)樣本中心點(diǎn)在回歸直線(xiàn)上，求出，求解，即可求出答案.【詳解】依題意在回歸直線(xiàn)上，，由，估計(jì)第年維修費(fèi)用超過(guò)15萬(wàn)元.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查回歸直線(xiàn)過(guò)樣本中心點(diǎn)、以及回歸方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

建立直角坐標(biāo)系，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解在方向上的投影即可.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由題意可知：，，，則：，，且，，據(jù)此可知在方向上的投影為.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，向量投影的定義與計(jì)算等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.14、②③【解析】

根據(jù)局部頻率和整體頻率的關(guān)系，依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】不能確定甲乙兩校的男女比例，故①不正確；因?yàn)榧滓覂尚５哪猩膬?yōu)秀率均大于女生成績(jī)的優(yōu)秀率，故甲、乙兩校所有男生成績(jī)的優(yōu)秀率大于甲、乙兩校所有女生成績(jī)的優(yōu)秀率，故②正確；因?yàn)椴荒艽_定甲乙兩校的男女比例，故不能確定甲校學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率與甲、乙兩校所有學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率的大小關(guān)系，故③正確.故答案為：②③.【點(diǎn)睛】本題考查局部頻率和整體頻率的關(guān)系，意在考查學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力.15、【解析】

根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)三角形各點(diǎn)的坐標(biāo),依題意求出,,,的表達(dá)式,再進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算,最后求和即可得出結(jié)果.【詳解】解:以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線(xiàn)為軸,線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)為軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,則,,,,則,,,設(shè),,,即點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,,,所以故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)表示和線(xiàn)性運(yùn)算,以及平面向量基本定理和數(shù)量積的運(yùn)算,是中檔題.16、72【解析】

根據(jù)給定的莖葉圖，得到游客人數(shù)在內(nèi)時(shí)，甲景點(diǎn)共有7天，乙景點(diǎn)共有3天，進(jìn)而求得全年中，甲景點(diǎn)比乙景點(diǎn)多的天數(shù)，得到答案.【詳解】由題意，根據(jù)給定的莖葉圖可得，在隨機(jī)抽取了這兩個(gè)景點(diǎn)20天的游客人數(shù)中，游客人數(shù)在內(nèi)時(shí)，甲景點(diǎn)共有7天，乙景點(diǎn)共有3天，所以在全年）中，游客人數(shù)在內(nèi)時(shí)，甲景點(diǎn)比乙景點(diǎn)多天.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了莖葉圖的應(yīng)用，其中解答中熟記莖葉圖的基本知識(shí)，合理推算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ），；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，由，得到，兩邊同除以，得到.再根據(jù)是等差數(shù)列.求解.（Ⅱ），根據(jù)前n項(xiàng)和的定義得到，令，研究其增減性即可.【詳解】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，所以，即，所以.因?yàn)槭堑炔顢?shù)列.，所以，，令，，，所以，即；（Ⅱ），所以，，令，所以，，即，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，所以，即.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的定義，前n項(xiàng)和以及數(shù)列的增減性，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.18、（1）e；（2）2.【解析】

（1）根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)，得出，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性，即可得出的值；（2）設(shè)，求導(dǎo)，求出的單調(diào)性，從而得出最大值為，結(jié)合恒成立的性質(zhì)，得出正整數(shù)的最小值.【詳解】（1）根據(jù)題意，與的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)的圖象與互為反函數(shù)，則,，設(shè)點(diǎn)，，又，當(dāng)時(shí)，，曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)為，即，代入點(diǎn)，得，即，構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，而，故存在唯一的實(shí)數(shù)根.（2）由于不等式恒成立，可設(shè)，所以，令，得.所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在是增函數(shù)，在是減函數(shù).故函數(shù)的最大值為.令，因?yàn)?，，又因?yàn)樵谑菧p函數(shù).所以當(dāng)時(shí)，.所以正整數(shù)的最小值為2.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問(wèn)題，涉及到單調(diào)性、構(gòu)造函數(shù)法等，考查函數(shù)思想和計(jì)算能力.19、（1）（2）【解析】試題分析：（1）由函數(shù)和的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)可得的表達(dá)式，再去掉絕對(duì)值即可解不等式；（2）對(duì)，不等式成立等價(jià)于，去絕對(duì)值得不等式組，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.試題解析：（1）∵函數(shù)和的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，∴，∴原不等式可化為，即或，解得不等式的解集為；（2）不等式可化為：，即，即，則只需，解得，的取值范圍是.20、（1）p＝2；（2）見(jiàn)解析（3）見(jiàn)解析【解析】

（1）取n＝1時(shí)，由得p＝0或2，計(jì)算排除p＝0的情況得到答案.（2），則，相減得到3an+1＝4﹣Sn+1﹣Sn，再化簡(jiǎn)得到，得到證明.（3）分別證明充分性和必要性，假設(shè)an，2xan+1，2yan+2成等差數(shù)列，其中x、y均為整數(shù)，計(jì)算化簡(jiǎn)得2x﹣2y﹣2＝1，設(shè)k＝x﹣（y﹣2），計(jì)算得到k＝1，得到答案.【詳解】（1）n＝1時(shí)，由得p＝0或2，若p＝0時(shí)，，當(dāng)n＝2時(shí)，，解得a2＝0或，而an＞0，所以p＝0不符合題意，故p＝2；（2）當(dāng)p＝2時(shí)，①，則②，②﹣①并化簡(jiǎn)得3an+1＝4﹣Sn+1﹣Sn③，則3an+2＝4﹣Sn+2﹣Sn+1④，④﹣③得（n∈N*），又因?yàn)?，所以?shù)列{an}是等比數(shù)列，且；（3）充分性：若x＝1，y＝2，由知an，2xan+1，2yan+2依次為，，，滿(mǎn)足，即an，2xan+1，2yan+2成等差數(shù)列；必要性：假設(shè)an，2xan+1，2yan+2成等差數(shù)列，其中x、y均為整數(shù)，又，所以，化簡(jiǎn)得2x﹣2y﹣2＝1，顯然x＞y﹣2，設(shè)k＝x﹣（y﹣2），因?yàn)閤、y均為整數(shù)，所以當(dāng)k≥2時(shí)，2x﹣2y﹣2＞1或2x﹣2y﹣2＜1，故當(dāng)k＝1，且當(dāng)x＝1，且y﹣2＝0時(shí)上式成立，即證．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)數(shù)列求參數(shù)，證明等比數(shù)列，充要條件，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.21、（1），（2）【解析】

試題分析：利用將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程：化簡(jiǎn)為ρcosθ＋ρsinθ＝1，即為x＋y＝1．再利用點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式得：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2cosα，sinα），得P到直線(xiàn)l的距離試題解析：解：化簡(jiǎn)為ρ