D9-8多元函數(shù)的極值及其求法

第九章第八節(jié)二、條件極值拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值及其求法一、多元函數(shù)的極值及最大值與最小值2實(shí)例：某商店賣兩種牌子的果汁，本地牌子每瓶進(jìn)價(jià)1元，外地牌子每瓶進(jìn)價(jià)1.2元，店主估計(jì)，如果本地牌子的每瓶賣元，外地牌子的每瓶賣元，則每天可賣出瓶本地牌子的果汁，瓶外地牌子的果汁.問：店主每天以什么價(jià)格賣兩種牌子的果汁可取得最大收益？每天的收益為求最大收益即為求二元函數(shù)的最大值.問題的提出3播放一、多元函數(shù)的極值概念和極值的必要條件41、二元函數(shù)極值的定義5例1例2例362、多元函數(shù)取得極值的必要條件證，

7仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)，均稱為函數(shù)的駐點(diǎn)（或者臨界點(diǎn)）.駐點(diǎn)極值點(diǎn)注意：且偏導(dǎo)存在證畢.問題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？駐點(diǎn):8二、極值的充分條件9解1011極值可疑點(diǎn)注:對一階或二階偏導(dǎo)不存在的極值可疑點(diǎn)，按極值定義判定之.12求最值的一般方法：將函數(shù)在D內(nèi)的所有駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)處的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值.與一元函數(shù)相類似，我們可以利用多元函數(shù)的極值來求多元函數(shù)的最大值和最小值.三、多元函數(shù)的最大值、最小值問題13解D的圖形，如圖,

1415解令16無條件極值：對自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無其他條件.17例7用一塊面積為12平方米的鐵皮制作一個(gè)無蓋的長方體形狀的水柜,問其長、寬、高各為多少時(shí)可使水柜的容積最大?

解設(shè)水柜的長、寬、高分別為x,y,z,則xyz因此，長、寬、高分別為2,2,1時(shí)容積最大，最大容積為4.18實(shí)例：小王有200元錢，他決定用來購買兩種急需物品：計(jì)算機(jī)磁盤和錄音磁帶，設(shè)他購買張磁盤，盒錄音磁帶達(dá)到最佳效果，效果函數(shù)為．設(shè)每張磁盤8元，每盒磁帶10元，問他如何分配這200元以達(dá)到最佳效果．問題的實(shí)質(zhì)：求在條件下的極值點(diǎn)．四、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法19一般地，求函數(shù)(目標(biāo)函數(shù)),在條件(約束條件)下的極值問題稱為條件極值問題.設(shè)在點(diǎn)(x0,y0)處f(x,y)取得條件極值.則由隱函數(shù)存在定理,方程確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y=y(x).從而,一元函數(shù)z=f(x,y(x))在x0處取得極值.下面討論取得條件極值的必要條件：條件極值：對自變量有附加條件的極值．20由一元函數(shù)取得極值的必要條件，有21注:一般而言,當(dāng)?shù)玫綐O值可疑點(diǎn)后,可根據(jù)實(shí)際問題判斷是否在這些點(diǎn)處取得極值,往往所得極值可疑點(diǎn)就是最值點(diǎn).拉格朗日乘數(shù)法稱為拉格朗日函數(shù),實(shí)數(shù)稱為拉格朗日乘數(shù).22再求偏導(dǎo)數(shù),建立方程組:

2324例8求函數(shù)f(x,y)=x2+2y2在條件x2+y2=1下的最值.解25目標(biāo)函數(shù)：f(x,y)=x2+2y2約束條件：x2+y2=126例9求橢圓拋物面

z=x2+2y2與平面3x+6y+2z=27的交線上與xOy平面的最短的距離.解

27解則

28解

2930由31可得即32多元函數(shù)的極值求條件極值的拉格朗日乘數(shù)法(取得無條件極值的必要條件、充分條件)多元函數(shù)的最值小結(jié)33ThanksP121

題2;5;8;.作業(yè)34思考題解答思考題35二、多元函數(shù)的極值和最值36二、多元函數(shù)的極值和最值37二、多元函數(shù)