人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊第二單元《復(fù)數(shù)》測試題(含答案解析)

一、選擇題1．設(shè)，則復(fù)數(shù)所對應(yīng)點組成的圖形為（）A．單位圓 B．單位圓除去點 C．單位圓除去點 D．單位圓除去點2．在下列命題中，正確命題的個數(shù)是（）.①兩個復(fù)數(shù)不能比較大?。虎趶?fù)數(shù)對應(yīng)的點在第四象限；③若是純虛數(shù)，則實數(shù)；④若，則.A．0 B．1 C．2 D．33．復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．已知復(fù)數(shù)z=3+i(1-3i)A．14 B．15．復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．6．已知集合，，，，則實數(shù)的值為（）A．4 B．－1 C．4或－1 D．1或67．若實系數(shù)一元二次方程有兩虛數(shù)根，且，那么實數(shù)的值是（）A． B． C． D．8．設(shè)，是虛數(shù)單位，則的虛部為（）A．1 B．-1 C．3 D．-39．已知復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．為虛數(shù)單位，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點在（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限11．若是純虛數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則實數(shù)等于（）A．1 B． C．2 D．12．若與互為共軛復(fù)數(shù)，則的值為（）A．2 B． C． D．3二、填空題13．如果復(fù)數(shù)的實部和虛部互為相反數(shù)，那么實數(shù)的值為__14．下列命題（為虛數(shù)單位）中：①已知且，則為純虛數(shù)；②當(dāng)是非零實數(shù)時，恒成立；③復(fù)數(shù)的實部和虛部都是－2；④如果，則實數(shù)的取值范圍是；⑤復(fù)數(shù)，則；其中正確的命題的序號是__________.15．已知，，，，則的最大值為______.16．若且，那么的最小值為_______________．17．已知復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)（x，y）的軌跡方程為__________.18．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)表示的點在直線上，則_______．19．復(fù)數(shù)z及其共軛復(fù)數(shù)滿足（1+i）z﹣2＝2+3i，其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z＝_____20．若實數(shù)滿足，且，則_____．三、解答題21．計算下列各式：（1）；（2）；22．已知復(fù)數(shù).（1）求；（2）若，求實數(shù)，的值.23．在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)、所對應(yīng)的點為、，為坐標(biāo)原點，是虛數(shù)單位.（1），，計算與；（2）設(shè)，（），求證：，并指出向量、滿足什么條件時該不等式取等號.24．若，i為虛數(shù)單位，且，求的最小值.25．已知,,設(shè),且,求復(fù)數(shù),.26．已知復(fù)數(shù)．求：（1）；（2）；（3）．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請不要刪除一、選擇題1．D解析：D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)，得到復(fù)數(shù)z對應(yīng)點的坐標(biāo)為：，然后由，利用復(fù)數(shù)的模求解.【詳解】因為復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)z對應(yīng)點的坐標(biāo)為：，即，所以，因為，又因為，所以，所以，所以，即，所以復(fù)數(shù)z對應(yīng)點組成的圖形為單位圓除去點.故選：D【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義以及復(fù)數(shù)模的軌跡問題，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.2．B解析：B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)，可得①是錯誤的；根據(jù)復(fù)數(shù)的表示，可得②是錯誤的；根據(jù)復(fù)數(shù)的分類，列出方程組，可得③是正確的；根據(jù)，可得④錯誤的.【詳解】對于①中，例如復(fù)數(shù)，此時，所以①是錯誤的；對于②中，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點坐標(biāo)為位于第二象限，所以②是錯誤的；對于③中，若是純虛數(shù)，則滿足，解得，所以③是正確的；對于④中，例如，則，所以④錯誤的.故選：B.【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的基本概念，以及復(fù)數(shù)的表示與復(fù)數(shù)的運算的綜合應(yīng)用，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的概念與運算，逐項判定是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運算能力.3．C解析：C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡復(fù)數(shù)z，求出在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)得答案．【詳解】即的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第三象限.故選C.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．4．A解析：A【分析】利用復(fù)數(shù)除法化簡z=3【詳解】z==3z=34故答案為：A.【點睛】復(fù)數(shù)是高考中的必考知識，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運算．要注意對實部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模這些重要概念，復(fù)數(shù)的運算主要考查除法運算，通過分母實數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，運算時特別要注意多項式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯，造成不必要的失分.5．A解析：A【解析】令6．B解析：B【分析】根據(jù)交集的定義可得，由復(fù)數(shù)相等的性質(zhì)列方程求解即可.【詳解】因為，，，所以，可得，故選B.【點睛】復(fù)數(shù)是高考中的必考知識，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運算．要注意對實部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)這些重要概念，復(fù)數(shù)的運算主要考查除法運算.7．A解析：A【分析】根據(jù)實系數(shù)方程有兩虛數(shù)根，利用求根公式解得：，由此可得的表示形式，根據(jù)即可求得的值.【詳解】因為，所以，又因為，所以，所以，解得：.故選A.【點睛】實系數(shù)一元二次方程，有兩虛根為，注意此時的，因此在寫方程根時應(yīng)寫成：而不能寫成了.8．D解析：D【解析】因為z=z的虛部為-3，選D.9．D解析：D【解析】，，的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點坐標(biāo)為，的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，故選D.10．C解析：C【解析】．故選C11．B解析：B【分析】設(shè)，化簡后利用復(fù)數(shù)相等列方程求解即可.【詳解】設(shè)，所以，所以，解得，故選：B．【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運算，考查復(fù)數(shù)相等的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.12．A解析：A【分析】把兩個復(fù)數(shù)都化為形式，然后由共軛復(fù)數(shù)定義求得，從而得結(jié)論．【詳解】因為，，又與互為共軛復(fù)數(shù)，所以，.則.故選：A．二、填空題13．【分析】先化簡再解方程即得解【詳解】由題得因為復(fù)數(shù)的實部和虛部互為相反數(shù)所以故答案為：【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運算考查復(fù)數(shù)實部虛部的概念意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平解析：【分析】先化簡，再解方程即得解.【詳解】由題得，因為復(fù)數(shù)的實部和虛部互為相反數(shù)，所以.故答案為：【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運算，考查復(fù)數(shù)實部虛部的概念，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.14．②③④【分析】①當(dāng)時不是純虛數(shù)；②根據(jù)基本不等式的性質(zhì)知恒成立；③化簡復(fù)數(shù)得的實部和虛部都是；④根據(jù)模長公式得關(guān)于的不等式求解即可；⑤根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)運算法則化簡計算即可【詳解】對于①且若時則不是純虛數(shù)解析：②③④【分析】①當(dāng)時，不是純虛數(shù)；②根據(jù)基本不等式的性質(zhì)知恒成立；③化簡復(fù)數(shù)，得的實部和虛部都是；④根據(jù)模長公式得關(guān)于的不等式，求解即可；⑤根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)運算法則，化簡計算即可．【詳解】對于①，，且，若時，則不是純虛數(shù)，①錯誤；對于②，當(dāng)是非零實數(shù)時，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)知恒成立，②正確；對于③，復(fù)數(shù)，的實部和虛部都是，③正確；對于④，如果，則，解得，所以實數(shù)的取值范圍是，④正確；對于⑤，復(fù)數(shù)，則，⑤錯誤．綜上，正確的命題的序號是②③④．故答案為：②③④．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念與應(yīng)用問題，考查邏輯推理能力，是綜合題．15．4【分析】本題先將分別代入然后相加再運用復(fù)數(shù)模的三角不等式可計算出的最大值【詳解】由題意可知則當(dāng)與對應(yīng)的向量反向共線時等號成立故的最大值為4故答案為：4【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的模的計算以及復(fù)數(shù)模的解析：4【分析】本題先將，分別代入，然后相加，再運用復(fù)數(shù)模的三角不等式可計算出的最大值．【詳解】由題意，可知，，則，當(dāng)與對應(yīng)的向量反向共線時，等號成立.．故的最大值為4．故答案為：4．【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的模的計算，以及復(fù)數(shù)模的三角不等式的運用，不等式的計算能力．本題屬基礎(chǔ)題．16．【分析】復(fù)數(shù)滿足表示以為圓心1為半徑的圓表示圓上的點與點的距離求出即可得出結(jié)果【詳解】復(fù)數(shù)滿足表示以為圓心1為半徑的圓表示圓上的點與點的距離∵∴的最小值是故答案為【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則復(fù)數(shù)解析：【分析】復(fù)數(shù)滿足，表示以為圓心，1為半徑的圓，表示圓上的點與點的距離，求出即可得出結(jié)果．【詳解】復(fù)數(shù)滿足，表示以為圓心，1為半徑的圓，表示圓上的點與點的距離．∵，∴的最小值是，故答案為．【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、復(fù)數(shù)的幾何意義、圓的方程，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．17．【分析】設(shè)復(fù)數(shù)根據(jù)模的計算公式得到化簡即可求解【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)則所以整理得即在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)的軌跡方程為故答案為：【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的模的運算以及復(fù)數(shù)的表示及應(yīng)用其中解答中熟記復(fù)數(shù)的模解析：【分析】設(shè)復(fù)數(shù)，根據(jù)模的計算公式得到，化簡即可求解.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，則，，所以，整理得，即在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)的軌跡方程為.故答案為：.【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的模的運算，以及復(fù)數(shù)的表示及應(yīng)用，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的模的運算公式，準(zhǔn)確運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了計算能力.18．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)幾何意義列方程解方程得再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)概念得結(jié)果【詳解】解：由題意可得解得∴∴故答案為：【點睛】本題考查復(fù)數(shù)幾何意義以及共軛復(fù)數(shù)概念考查基本分析求解能力屬基礎(chǔ)題解析：【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)幾何意義列方程，解方程得，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)概念得結(jié)果.【詳解】解：由題意可得，解得，∴，∴．故答案為：【點睛】本題考查復(fù)數(shù)幾何意義以及共軛復(fù)數(shù)概念，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.19．【分析】設(shè)代入題目所給已知條件利用復(fù)數(shù)相等的條件列方程組解方程組求得的值【詳解】設(shè)則于是有解得即【點睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運算考查復(fù)數(shù)相等的概念考查方程的思想屬于基礎(chǔ)題解析：【分析】設(shè)，代入題目所給已知條件，利用復(fù)數(shù)相等的條件列方程組，解方程組求得的值.【詳解】設(shè)，則，，于是有解得，即.【點睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運算，考查復(fù)數(shù)相等的概念，考查方程的思想，屬于基礎(chǔ)題.20．【分析】先通過復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算法則對等式進行運算再利用復(fù)數(shù)相等求出最后由復(fù)數(shù)的模的計算公式求出【詳解】因為所以已知等式可變形為即解得【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算法則復(fù)數(shù)相等的概念解析：【分析】先通過復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算法則對等式進行運算，再利用復(fù)數(shù)相等求出，最后由復(fù)數(shù)的模的計算公式求出．【詳解】因為，所以已知等式可變形為，即，解得，．【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算法則，復(fù)數(shù)相等的概念以及復(fù)數(shù)的模的計算公式的應(yīng)用．三、解答題21．（1）0；（2）【分析】利用復(fù)數(shù)的乘除運算法則求解.【詳解】計算下列各式：（1）；（2）.【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運算，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.22．（1）；（2），．【解析】試題分析：（1）利用復(fù)數(shù)的計算法則將其化簡，即可求得；（2）利用復(fù)數(shù)的計算法則將等號左邊化簡，再根據(jù)等號左右兩邊實部虛部相等即可求解．試題（1）∵，∴；（2）∵，∴．考點：復(fù)數(shù)的計算．23．（1），；（2）證明詳見解析，當(dāng)時.【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算法則進行運算即可求出，可知，，然后進行數(shù)量積的坐標(biāo)運算即可；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算法則進行運算即可求出，以及復(fù)數(shù)的幾何意義表示出、計算其數(shù)量積，利用作差法比較的大小，并得出何時取等號.【詳解】解：（1），所以證明（2），，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取“”，此時.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運算法則，向量坐標(biāo)的數(shù)量積運算，復(fù)數(shù)的模長的計算公式，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．24．3【分析】根據(jù)，結(jié)合復(fù)數(shù)減法的模的幾何意義，判斷出對應(yīng)點的軌跡，再根據(jù)復(fù)數(shù)減法的模的幾何意義，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)，求得的最小值.【詳解】由得，因此復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z在以對應(yīng)的點為圓心，1為半徑的圓上，如圖所示.設(shè)，則y是Z點到對應(yīng)的點A的距離.又，∴由圖知.【點睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)減法的模的幾何意義，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.25．【分析】明確復(fù)數(shù),的實部與虛部，結(jié)合加減法的運算規(guī)則，即可求出復(fù)數(shù)，從而用表示出，接下來根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件列出關(guān)于的方程組求解，即可得