綠色通道北師大版-高中必修5數(shù)學(xué)-教學(xué)資源-課時跟蹤檢測15

課時跟蹤檢測15解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例(對應(yīng)學(xué)生用書P099)基礎(chǔ)檢測題——順暢輕松做一、選擇題1．某人遙控一機(jī)器人，讓機(jī)器人從點(diǎn)A出發(fā)向正北方向走了2eq\r(3)km到達(dá)點(diǎn)B后，向右轉(zhuǎn)105°，然后朝新方向走了xkm后到達(dá)點(diǎn)C，結(jié)果發(fā)現(xiàn)機(jī)器人在點(diǎn)A的東北方向，則x為()A.eq\r(3) B．2eq\r(3)C．2eq\r(3)或2eq\r(2) D．2eq\r(2)解析由題意可知∠ACB＝60°，由正弦定理可得eq\f(2\r(3),sin60°)＝eq\f(x,sin45°)，即x＝2eq\r(2).答案D2．如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°(即∠BAC＝30°)的方向上；行駛600m后到達(dá)B處，測得此山頂在西偏北75°(即∠CBE＝75°)的方向上，且仰角為30°，則此山的高度CD＝()A．300eq\r(6)m B．150eq\r(3)mC．100eq\r(6)m D．100eq\r(3)m解析由題意得在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，∠ACB＝45°，AB＝600m，由正弦定理eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(AB,sin45°)，BC＝300eq\r(2)m，又仰角為30°，即∠DBC＝30°，所以eq\f(CD,CB)＝tan30°，CD＝100eq\r(6)m，選C.答案C3．如圖，在限速為90km/h的公路AB旁有一測速站P，已知點(diǎn)P距測速區(qū)起點(diǎn)A的距離為0.07km，距測速區(qū)終點(diǎn)B的距離為0.04km，且∠APB＝60°，現(xiàn)測得某輛汽車從A點(diǎn)行駛到B點(diǎn)所用的時間為3s，則此車的速度介于()A．60至70km/h B．70至C．80至90km/h D．90至解析根據(jù)題意可知AP＝70m，BP＝40m，則有AB＝eq\r(4900＋1600－2×70×40×\f(1,2))＝10eq\r(37)，而eq\f(10\r(37),3)×3600＝12000eq\r(37)m/h＝12eq\r(37)km/h，因?yàn)?0＜12eq\r(37)＜80，故選B.答案B4．北京2008年第29屆奧運(yùn)會開幕式上舉行升旗儀式，在坡度15°的看臺上，同一列上的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°，第一排和最后一排的距離為10eq\r(6)米(如圖所示)，旗桿底部與第一排在一個水平面上，已知國歌長度為50秒，升旗手勻速升旗的速度為()A.eq\f(3,5)米/秒B.eq\f(\r(3),5)米/秒C.eq\f(\r(6),5)米/秒D.eq\f(1,5)米/秒解析由條件得△ABD中，∠DAB＝45°，∠ABD＝105°，∠ADB＝30°，AB＝10eq\r(6)，由正弦定理得BD＝eq\f(sin∠DAB,sin∠ADB)·AB＝20eq\r(3)，則在Rt△BCD中，CD＝20eq\r(3)×sin60°＝30，所以速度v＝eq\f(30,50)＝eq\f(3,5)米/秒，故選A.答案A5．江岸邊有一炮臺高30米，江中有兩條船，則炮臺頂部測得俯角分別為45°和30°，而且兩條船與炮臺底部連線成30°角，則兩條船相距()米．()A．10eq\r(3) B．100eq\r(3)C．20eq\r(30) D．30解析如圖，過炮臺頂部A作水平面的垂線，垂足為B，設(shè)A處觀測小船C的俯角為45°，設(shè)A處觀測小船D的俯角為30°，連接BC、BD，Rt△ABC中，∠ACB＝45°，可得BC＝AB＝30米，Rt△ABD中，∠ADB＝30°，可得BD＝eq\r(3)AB＝30eq\r(3)米，在△BCD中，BC＝30米，BD＝30eq\r(3)米，CD2＝BC2＋BD2－2BC·BDcos30°＝900，∴CD＝30米(負(fù)值舍去)，故選D.答案D6．已知在海中一孤島D的周圍有兩個觀察站A、C，且觀察站A在島D的正北5海里處，觀察站C在島D的正西方．現(xiàn)在海面上有一船B，在A點(diǎn)測得其在南偏西60°方向相距4海里處，在C點(diǎn)測得其在北偏西30°方向，則兩個觀察站A與C的距離為()A.eq\f(\r(21),2)B.eq\r(21)C.eq\r(7) D．2eq\r(7)解析畫出如右示意圖．由題意可得，∠BCD＝120°，又∠BAD＝60°，所以A，B，C，D四點(diǎn)共圓，且AC為直徑、∠ABC＝90°.在△BAD中，AB＝4，AD＝5，∠BAD＝60°，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD＝42＋52－2×4×5×eq\f(1,2)＝21，∴BD＝eq\r(21).∴AC＝2R＝eq\f(BD,sin∠BAD)＝2eq\r(7)(其中R為圓的半徑)．選D.答案D二、填空題7．我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)學(xué)九章》的“田域類”中寫道：問沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，…，欲知為田幾何．意思是已知三角形沙田的三邊長分別為13,14,15里，請問此田面積為________平方里．解析由題意畫出圖形：且AB＝13里，BC＝14里，AC＝15里，在△ABC中，由余弦定理得，cosB＝eq\f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝eq\f(132＋142－152,2×13×14)＝eq\f(5,13)，所以sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(12,13)，則該沙田的面積：即△ABC的面積S＝eq\f(1,2)AB·BC·sinB＝eq\f(1,2)×13×14×eq\f(12,13)＝84.故答案為84.答案848．如圖，我艦在島A南偏西50°方向相距12nmile的B處發(fā)現(xiàn)敵艦正從島A沿北偏西10°的方向航行，若我艦以28nmile/h的速度用1小時追上敵艦，則敵艦的速度為________nmile/h.解析設(shè)敵艦的速度為v，則∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝v×1＝v，BC＝28×1＝28，在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC，即282＝122＋v2－2×12×v×cos120°＝784，解得v＝20，即敵艦的速度為20海里/小時，故答案為20.答案209.如圖所示，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個出入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從O沿OD走到D用2min，從D沿著DC走到C用了3min.若此人步行的速度為每分鐘50m，則該扇形的半徑為________m.解析依題意得OD＝100m，CD＝150m，連接OC，易知∠ODC＝180°－∠AOB＝60°，因此由余弦定理有OC2＝OD2＋CD2－2×OD·CD·cos∠ODC，即OC2＝10000＋22500－2×100×150×eq\f(1,2)，∴OC2＝17500，∴OC＝50eq\r(7)m．即該扇形的半徑為50eq\答案5010．已知某臺風(fēng)中心位于海港城市A東偏北α的150公里外，以每小時v公里的速度向正西方向快速移動，2.5小時后到達(dá)距海港城市A西偏北β的200公里處，若4cosα＝3cosβ，則風(fēng)速v的值為________公里/小時．解析如圖所示：AB＝150，AC＝200，∠B＝α，∠C＝β，在Rt△ADB中，AD＝ABsinα＝150sinα，BD＝ABcosα，在Rt△ADC中，AD＝ACsinβ＝200sinβ，CD＝ACcosβ.∴150sinα＝200sinβ，即3sinα＝4sinβ，①，又cosα＝eq\f(3,4)cosβ，②由①②解得sinβ＝eq\f(3,5)，cosβ＝eq\f(4,5)，sinα＝eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(3,5)，∴BD＝ABcosα＝150×eq\f(3,5)＝90，CD＝ACcosβ＝200×eq\f(4,5)＝160，∴BC＝BD＋CD＝90＋160＝250，∴v＝eq\f(250,2.5)＝100，故答案為100.答案100三、解答題11．為保障高考的公平性，高考時每個考點(diǎn)都要安裝手機(jī)屏蔽儀，要求在考點(diǎn)周圍1km內(nèi)不能收到手機(jī)信號，檢查員抽查某市一考點(diǎn)，在考點(diǎn)正西約eq\r(3)km的B處有一條北偏東60°方向的公路，在此處檢查員用手機(jī)接通電話，以每小時12千米的速度沿公路行駛，最多需要多少時間，檢查員開始收不到信號，并至少持續(xù)多長時間該考點(diǎn)才算合格？解檢查開始處為B，設(shè)公路上C，D兩點(diǎn)到考點(diǎn)的距離均為1km.在△ABC中，AB＝eq\r(3)，AC＝1，∠ABC＝30°，由正弦定理，得sin∠ACB＝eq\f(ABsin30°,AC)＝eq\f(\r(3),2)，∴∠ACB＝120°(∠ACB＝60°不合題意)，∴∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝1.在△ACD中，AC＝AD，∠ACD＝60°，∴△ACD為等邊三角形，∴CD＝1.∵eq\f(BC,12)×60＝5，∴在BC段需要5min，在CD段需要5min.則最多需要5min，檢查員開始收不到信號，并至少持續(xù)5min.12．在亞丁灣海域執(zhí)行護(hù)航任務(wù)的中國海軍“徐州”艦，在A處收到某商船在航行中發(fā)出求救信號后，立即測出該商船在方位角為45°、距離A處為10nmile的C處，并測得該船正沿方位角為105°的方向，以9nmile/h的速度航行，“徐州”艦立即以21nmile/h的速度航行前去營救．(1)“徐州”艦最少需要多少時間才能靠近商船？(2)在營救時間最少的前提下，“徐州”艦應(yīng)按照怎樣的航行方向前進(jìn)？(角度精確到0.1°，時間精確到1min，參考數(shù)據(jù)：cos21.8°≈0.9286)解(1)如圖，由題知艦艇沿直線航行時所需時間最少，設(shè)艦艇在B處靠近商船，從A處到靠近商船所用的時間為xh.AB＝21xnmile，BC＝9xnmile，AC＝10nmile.又∠ACB＝∠1＋∠2＝45°＋(180°－105°)＝120°，根據(jù)余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos120°，即(21x)2＝102＋(9x)2－2×10×9x即36x2－9x－10＝0，解得x1＝eq\f(2,3)，x2＝－eq\f(5,12)(舍去)．故“徐州”艦最少需要40min才能靠近商船．(2)由(1)知AB＝21x＝14(nmile)，BC＝9x＝6(nmile)，由余弦定理可得cos∠BAC＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq\f(142＋102－62,2×14×10)≈0.9286，∴∠BAC≈21.8°，故“徐州”艦前進(jìn)的方位角約為45°＋21.8°＝66.8°.13．海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞，若要測量如圖所示的藍(lán)洞的口徑A，B兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點(diǎn)C，D，測得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，求A，B兩點(diǎn)的距離？解由已知，△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，∴∠DAC＝15°，由正弦定理得AC＝eq\f(80sin150°,sin15°)＝eq\f(40,\f(\r(6)－\r(2),4))＝40(eq\r(6)＋eq\r(2))，△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，∴∠DBC＝30°，由正弦定理，eq\f(CD,sin∠CBD)＝eq\f(BC,sin∠BDC)，所以BC＝eq\f(CD·sin∠BDC,sin∠CBD)＝eq\f(80×sin15°,\f(1,2))＝160sin15°＝40(eq\r(6)－eq\r(2))；△ABC中，由余弦定理，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝1600(8＋4eq\r(3))＋1600(8－4eq\r(3))＋2×1600(eq\r(6)＋eq\r(2))×(eq\r(6)－eq\r(2))×eq\f(1,2)＝1600×16＋1600×4＝1600×20解得AB＝80eq\r(5)，∴兩目標(biāo)A，B間的距離為80eq\r(5).素養(yǎng)能力題——從容有序過14．如圖，從高為h的氣球(A)上測量待建規(guī)劃鐵橋(BC)的長，如果測得橋頭(B)的俯角是α，橋頭(C)的俯角是β，則橋BC的長為()A.eq\f(sinα－β,cosαcosβ)·hB.eq\f(cosα－β,sinαsinβ)·hC.eq\f(sinα－β,sinαsinβ)·hD.eq\f(cosα－β,cosαcosβ)·h解析如圖，由題意得：∠ACD＝β，∠ABD＝α，AD＝h，在Rt△ACD中，tan∠ACD＝eq\f(AD,CD)，即tanβ＝eq\f(h,CD)，整理得：CD＝eq\f(h,tanβ)；在Rt△ABD中，tan∠ABD＝eq\f(AD,BD)，即tanα＝eq\f(h,BD)，整理得：BD＝eq\f(h,tanα)，則BC＝CD－BD＝eq\f(h,tanβ)－eq\f(h,tanα)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cosβ,sinβ)－\f(cosα,sinα)))h＝eq\f(sinαcosβ－cosαsinβ,sinαsinβ)h＝eq\f(sinα－β,sinαsinβ)h，故選C.答案C15.如圖，游客從景點(diǎn)A下山至C有兩種路徑：一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A下山，甲沿AC勻速步行，速度為50米/分鐘．在甲出發(fā)2分鐘后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1分鐘后，再從B勻速步行到C.已知纜車從A到B要8分鐘，AC長為1260米，若cosA＝eq\f(12,13)，sinB＝eq\f(63,65).為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘，則乙步行的速度v(米/分鐘)的取值范圍是________．解析在△ABC中解三角形：已知b＝1260，cosA＝eq\f(12,13)，sinB＝eq\f(63,65)，則：sinA＝eq\f(5,13)，由正弦定理可得：a＝eq\f(bsinA,sinB)＝eq\f(1260×\f(5,13),\f(63,65))＝500，乙從B出發(fā)時，甲已經(jīng)走了50×(2＋8＋1)＝550m，還需走710m才能到達(dá)C.設(shè)乙步行的速度為vm/min，由題意得－3≤eq\f(500,v)－eq\f(710,50)≤3，解得eq\f(1250,43)≤v≤eq\f(625,14)，所以為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1250,43)，\f(625,14)))范圍內(nèi)．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1250,43)，\f(625,14)))16.西北某省會城市計劃新修一座城市運(yùn)動公園，設(shè)計平面如圖所示：其為五邊形ABCDE，其中三角形區(qū)域ABE為球類活動場所；四邊形BCDE為文藝活動場所，AB，BC，CD，DE，EA為運(yùn)動小道(不考慮寬度)∠BCD＝∠CDE＝120°，∠BAE＝60°，DE＝2BC＝2CD＝6千米．(1)求小道BE的長度；(2)求球類活動場所△ABE的面積最大值．解如圖所示，連接BD，(1)在三角形BCD中，BC＝CD＝eq\f(DE,2)＝3千米，∠BCD＝120°，由余弦定理得：BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD＝27，所以BD＝3eq\r(3)(千