人教版八年級上冊數(shù)學 第十一章集體備課教案 教學反思

第十一章三角形

11.1與三角形有關的線段

11.1.1三角形的邊

F,敦與目標

【知識與技能】

1.掌握三角形的定義及相關概念.

2.掌握等腰三角形、等邊三角形、不等邊三角形的定義，掌握三角形按邊分

類的方法.

3.掌握三角形三邊關系定理.

【過程與方法】

通過具體的圖形學習三角形、等邊三角形、不等邊三角形的定義，運用“兩

點之間，線段最短”推導出三角形三邊關系定理.

【情感態(tài)度】

通過求三角形的邊長時必須注意三角形的三邊關系，訓練學生思維的嚴密

性.

【教學重點】

三角形的三邊關系.

【教學難點】

三角形三邊關系的運用.

：＞教學亙木呈

一、情境導入，初步認識

問題1畫一個三角形，結合圖形探究三角形的定義及相關概念.

問題2出示等邊三角形、等腰三角形、不等邊三角形探究等邊三角形、等

腰三角形、不等邊三角形定義及概念.

問題3如圖，利用“兩點之間，線段最短”探究AB、AC、BC之間的關系.

C

B

【教學說明】全班同學合作交流，共同完成上面三個問題，教師巡回指導，

必要時給予個別指導或集體指導，在全班同學基本完成的情況下，針對問題3

進行重點講解.教師講課前，先讓學生完成“自主預習”.

二、思考探究，獲取新知

思考1.三角形按邊怎樣分類？

2.三角形的三邊關系是怎樣的.

3.已知三條線段，怎樣判斷它們能否圍成三角形？

【歸納結論】1.主要定義：

三角形：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角

形.

等邊三角形：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.

等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

不等邊三角形：三邊都不相等的三角形叫做不等邊三角形.

2.三角形三邊關系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊.

3.已知三條線段，可用如下簡易方法判斷它們能否圍成三角形：若兩條較短

邊的和大于最長邊，則能圍成三角形，否則不能.

4.已知三角形兩邊長a,b,第三邊長為x,則x的取值范圍是a-b<x<a+b(a

2b).

三、運用新知，深化理解

1.以下列長度的三條線段為邊，哪些可以構成一個三角形，哪些不能構成一

個三角形？

(1)6,8,10；(2)3,8,11；

(3)3,4,11；(4)三條線長度之比4：6：7

2.等腰AABC中，AB=AC,D是AB的中點，連CD,若CD將AABC周長分成

19和8兩部分，求AABC的腰長及底邊的長.

【教學說明】可由學生搶答完成，再由教師總結歸納.

【答案】略.

四、師生互動，課堂小結

請若干同學口頭小結，之后將小結放映在屏幕上.

'課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：從教材“習題11.1”中選取.

2.完成練習冊中本課時的練習.

5教學反思

教學過程中，強調學生自主探索和合作交流，經(jīng)歷觀察、實驗、歸納、類比、

直覺、數(shù)據(jù)處理等思維過程，從中獲得數(shù)學知識與技能，體驗教學活動的方法,

同時升華學生的情感、態(tài)度和價值觀.

11.1.2三角形的高、中線與角平分線

敦與目標

【知識與技能】

1.掌握三角形的高、中線與角平分線定義.

2.會畫三角形的高、中線與角平分線.

3.掌握三角形的三條高線、三條中線與三條角平分線的有關性質.

【過程與方法】

對學生進行操作訓練，邊訓練邊講解，然后學以致用.

【情感態(tài)度】

訓練同學們動手操作的能力，提高學習興趣.

【教學重點】

畫三角形的高線、中線與角平分線.

【教學難點】

畫鈍角三角形的高線.

拜教與亙睚

一、情境導入，初步認識

問題1如圖，已知AABC,畫它的三條高.

問題2如圖，已知aABC,畫它的三條中線.

問題3如圖，已知aABC,畫它的三條角平分線.

【教學說明】對問題1,對于鈍角三角形的作高要給予集體指導、分類指導,

甚至要進行個別指導，以便讓絕大部分同學過關.教師講課前，先讓學生完成“自

主預習”.

二、思考探究，獲取新知

思考1.銳角三角形的三條高、直角三角形的三條高、鈍角三角形的三條

高的位置有何不同之處？

2.三角形的三條高、三條中線、三條角平分線各自有怎樣的位置關系？

3.三角形的角平分線與角的平分線有什么區(qū)別和聯(lián)系？

【歸納結論】1.定義：

三角形的高：從三角形的一個頂點向對邊所在的直線作垂線，所得的垂線段

叫做三角形的一條高.

三角形的中線：連接三角形的一個頂點和它對邊中點的線段叫做三角形的一

條中線.

三角形的角平分線：三角形一個角的平分線與對邊相交；以這個頂點和交點

為端點的線段叫做三角形的角平分線.

2.三角形的三條高所在的直線交于一點，這一點有時在形內，有時在直角頂

點上，有時在形外；三角形的三條中線交于一點；三角形的三條角平分線交于一

點.

3.三角形的角平分線與角的平分線的區(qū)別是：三角形的角平分線是線段，而

角的平分線是一條射線；它們的聯(lián)系是都是平分角.

三、運用新知，深化理解

1.如圖，AD是AABC的中線；BE是AABC的角平分線，CF是AABC的高，填

空：

(1)BD==—；

2

A

A

(2)ZABE=Z______=-Z______；

2

(3)Z______=Z______=90°.

2.如圖，AABC中，NA是鈍角.

A

X

(1)畫出AC、AB上的高BD、CE；

(2)畫出NABC的平分線BF；

(3)畫出邊AB上的中線CG.

3.已知,如圖，AB_LBD于B,AC_LCD于C,且AC與BD交于點E.那么(1)

o

△ADE的邊DE上的高為，邊AE上的高為______；(2)若AE=5,DE=2,CD=1,

貝UAB=

A

4.如圖所示，等腰AABC中，AB=AC,一腰上的中線BD將這個等腰三角形的

周長分成15和6兩部分，求這個三角形的腰長及底邊長.

A

5.學完“三角形的高、中線與角平分線”后，我們知道“三角形的一條中線

將原三角形分成兩種相等的兩部分”.課后余老師給同學們布置了這樣一道思考

題：有一塊三角形的厚薄均勻的蛋糕，要平均分給6個小朋友，要求只切3刀，

請你在圖中把你的方案畫出來，并說明理由.

【教學說明】題1、2、3可讓學生自主完成，題4、5教師可給予相應的指

導

當已知三角形兩條高求其他邊長或已知一高與其他邊長求另一高時，常用面

積作為中間量.涉及等腰三角形邊的問題時，常要分情況討論，然后看它們是否

滿足三邊關系，不滿足的要舍去.

【答案】L(1)DCBC

(2)CBEABC

(3)CFACFB

2.圖略.

Q

3.ABDC-解析：4ADE是鈍角三角形，在三角形外部它有兩條高：邊

2

DE上的高AB,邊AE上的高為DC.又SaADE=‘DE?AB」AE-DC,即，X2XAB=L

2222

9

X5X95,AB=-.

2

4.解：設AB=AC=2x,則AD=CD=x.

(D當AB+AD=15,BC+CD=6時,有2x+x=15,所以x=5,2x=10,BC=6-5=L

(2)當BC+CD=15,AB+AD=6時,有2x+x=6.所以x=2,2x=4,所以BC=13.

因為4+4V13,故不能組成三角形.

所以三角形的腰長為10,底邊長為1.

5.略.

四、師生互動，課堂小結

三角形的高、中線與角平分線的定義與性質.

請若干名學生口述小結，老師再利用電子課件將小結放映在屏幕上.

：,課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：從教材“習題11.1”中選取.

2.完成練習冊中本課時的練習.

空教學反思

本課時教學以“自主探究一一合作交流”為主體形式，先給學生獨立思考的

時間，提供學生創(chuàng)新的空間與可能，再給不同層次的學生提供一個交流合作的機

會，培養(yǎng)學生獨立探究，合作學習的能力。

11.1.3三角形的穩(wěn)定性

教學目標

【知識與技能】

1.通知過觀察、實踐、想象、推理、交流等活動，讓學生了解三角形具有穩(wěn)

定性，四邊形沒有穩(wěn)定性，穩(wěn)定性與沒有穩(wěn)定性在生產(chǎn)、生活中廣泛應用.

2.培養(yǎng)實事求是的學習作風和學習習慣.

【過程與方法】

1.通過提問、合作討論以及小組交流方式探究三角形的穩(wěn)定性.

2.實物演示，激發(fā)學習興趣，活躍課堂氣氛.

3.探究質疑，總結結果.和學生共同探究三角形穩(wěn)定性的實例，回答課前提

出的疑惑.

【情感態(tài)度】

1.引導學生通過實驗探究三角形的穩(wěn)定性，培養(yǎng)其獨立思考的學習習慣和動

手能力.

2.通過合作交流，養(yǎng)成學生互助合作意識，提高數(shù)學交流表達能力.

【教學重點】

了解三角形穩(wěn)定性在生產(chǎn)、生活中的實際應用.

【教學難點】

準確使用三角形穩(wěn)定性于生產(chǎn)生活之中.

管教與國程

一、情境導入，初步認識

課前準備：木條（用硬紙條代替）若干、小釘若干、小黑板.

問題1工程建筑中經(jīng)常采用三角形的結構，如屋頂鋼架，鋼架橋，其中道

理是什么？

問題2蓋房子時,在窗框未安裝好之前.木工師傅常常先在窗框上斜釘一

根木條，為什么要這樣做呢？活動掛架為什么做成四邊形？

□儲

活動掛架

【教學說明】問題設立要讓學生體會三角形在生產(chǎn)和生活中的應用，并引導

思考為什么要在這些地方用三角形，另一些地方又要用到四邊形.注意接納學生

其他不同的思路.教師講課前，先讓學生完成“自主預習”.

二、思考探究，獲取新知

老師演示P6探究內容，也可叫學生親手實驗，通過實際操作加深學生印象,

完后請學生們交流討論后回答得出了什么？教師根據(jù)學生們的回答進行簡要歸

納.

【歸納結論】三角形木架形狀不會改變，四邊形木架形狀會改變，這就是說,

三角形具有穩(wěn)定性，四邊形沒有穩(wěn)定性.

還可以發(fā)現(xiàn)，斜釘一根木條的四邊形木架的形狀不會改變.這是因為斜釘一

根木條后，四邊形變成了兩個三角形，由于三角形有穩(wěn)定性，窗框在未安裝好之

前也不會變形.

三、運用新知，深化理解

1.如圖，一扇窗戶打開后，用窗鉤BC可將其固定，這里所運用的幾何原理

是.

2.下列圖形中哪些具有穩(wěn)定性?

【教學說明】本節(jié)課的內容較少，題目比較簡單，在學生獨立完成后，要求

學生說明理由.

【答案】1.三角形具有穩(wěn)定性.

2.(1)(4)(6)中的圖形具有穩(wěn)定性.

四、師生互動，課堂小結

三角形具有穩(wěn)定性，四邊形沒有穩(wěn)定性.

，課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：從教材“習題11.1”中選取.

2.完成練習冊中本課時的練習.

“0教學反思

本節(jié)課學習三角形穩(wěn)定性，并板書課題.完成的教學目標是通過觀察、實踐、

想象、推理、小組交流合作，使同學們了解三角形具有穩(wěn)定性，四邊形沒有穩(wěn)定

性，穩(wěn)定性與沒有穩(wěn)定性在生產(chǎn)、生活中廣泛應用，培養(yǎng)同學們實事求是的學習

作風和學習習慣，以及自主學習和獨立思考的能力.

11.2與三角形有關的角

11.2.1三角形的內角

教學目標

【知識與技能】

1.掌握三角形的內角和定理.

2.能寫出已知、求證，并能用作輔助線的方法證明三角形內角和定理.

3.能運用三角形內角和定理進行簡單的證明或計算.

【過程與方法】

先通過實驗得出三角形內角之和等于180°的直觀結論，再由此得到啟發(fā)，

用過三角形的一個頂點作平行線的方法證明三角形的內角和定理.最后運用三角

形的內角和定理進行簡單的證明或計算.

【情感態(tài)度】

本節(jié)課使學生經(jīng)歷了“實驗一一猜想一一證明”的過程，使同學們初步體驗

了自然科學的一般研究方法，提高了學生研究和學習的興趣.

【教學重點】

本節(jié)的重點是三角形的內角和定理.

【教學難點】

證明三角形的內角和定理.

,教學士旌

一、情境導入，初步認識

問題1在紙上畫一個三角形，并將它的內角剪兩個下來，與第三個角拼在

一起，觀察三個角的和是多少？

問題2怎樣證明三角形內角的和等于180°?

【教學說明】全班學生分組實驗，約8分鐘交流成果，得出“三角形的內角

和等于180°”這個直觀結論.

由實驗過程中的拼合過程得到啟發(fā)，引導同學們運用所學的知識證明“三角

形內角和等于180°教師講課前，先讓學生完成“自主預習”.

二、思考探究，獲取新知

思考1.對一個命題進行證明的一般格式是怎樣的？

2.除教材以外還有其它方法證明這個結論嗎？

3.對一個真命題為什么還要證明呢？

【歸納結論】1.對一個命題的證明的一般格式是：（1）畫出圖形，根據(jù)圖形

寫出已知和求證.（2）寫出證明過程.

2.除教材以外，還可以用如下作輔助線的方法證明三角形的內角和定理.

（延長BC至D,過C作CE〃AB）

3.三角形內角和定理：三角形三個內角的和等于180°.

4.一個命題是否正確，需要經(jīng)過理由充足，使人信服的推理才能得出結論，

這樣的推論過程叫做“證明”.觀察、試驗等是發(fā)現(xiàn)規(guī)律的重要途徑，而證明則

是確認規(guī)律的必要步驟.

5.輔助線在幾何證明中發(fā)揮巨大的作用，今后我們會經(jīng)常遇到這個“朋友”.

三、運用新知，深化理解

1.如圖，AB〃CD,ZC=80°,ZCAD=60°,則NBAD的度數(shù)等于（）

A.60°

2.在4ABC中，ZA：ZB：ZC=1：3：5,求NA,ZB,ZC的度數(shù).

3.如圖，已知AABC中，ZABC和NACB的平分線BD,CE相交于0,ZA=50°,

求NB0C的度數(shù).

4.如圖，AABCAD是BC邊上的高，AE平分NBAC,ZB=75°,ZC=45°,

求NDAE與NAEC的度數(shù).

5.如圖，AD、CE是AABC的角平分線，AD、CE交于點0.求證：ZA0C=90°

+12ZB.

【教學說明】本環(huán)節(jié)由學生獨立思考、自主完成，再進行交流討論，最后教

師給予指導和總結.初學證明，讓學生體會證明的邏輯性和嚴謹性.

【答案】1.D

2.解：ZA：ZB：ZC=1：3：5,設NA=x,ZB=3x,ZC=5x,由三角形內角和

定理得NA+NB+NC=x+3x+5x=180°

解得x=20°，則3x=60。，5x=100°，即NA=20°,NB=60°,NC=100°.

3.解：由三角形內角和定理有NB+NC=180°-ZA=130°,

ZB0C=180°-(ZDBC+ZECB)=180°--(ZB+ZC)=115°.

2

4.解：ZA=180°-ZB-ZC=60°,ZBAE=ZCAE=1ZA=30°.

2

ZBAD=180°-ZB-ZADB=15°,則NDAE=NBAE-NBAD=15°.

ZAEC=1800-ZC-ZCAE=105°.

5.證明：由三角形內角和定理得

ZB+ZA+ZC=180°即NA+NC=180°-ZB,

ZA0C+ZDAC+ZECA=180°即NDAC+NECA=180°-ZAOC,

又NDAC=，NA,ZECA=-ZC

22

.?.180°-ZAOC=-(180°-ZB)

2

即NA0C=90°+-ZB

2

四、師生互動，課堂小結

1.三角形內角和定理.：三角形內角和等于180°.

2.證明三角形的內角和定理必須作輔助線，也就說要作出平行線，利用平角

來證明，一般來說，共有如下四種方法(如圖)：

(1)構造平角

①如圖(1),過點A作直線MN〃BC,有N1=NB,Z2=ZC.

而Nl+NBAC+N2=NMAN=180°,

所以NBAC+NB+NC=180°.

②如圖(2),過BC上一點D作DF〃AB交AC于F,作DE〃AC交AB于E,

則/1=NC,Z2=ZB,Z3=Z4=ZA.

所以NA+NB+NC=N3+N2+N1=18O°.

(2)構造鄰補角

如圖(3),延長BC到D,作CE〃AB,則/1=NA,Z2=ZB.

所以NA+NB+NACB=N1+N2+NACB=18O°.

(3)構造同旁內角

如圖(4),過C點作射線CD〃AB,則N1=NA,ZB+ZBCA+Z1=18O°,

所以NB+NBCA+NA=180°.

⑶(4)

3.作輔助線是幾何證明或計算中經(jīng)常用到的手段，輔助線在解題中具有舉足

輕重的作用，今后會經(jīng)常遇到，望同學們仔細體會，輔助線必須畫成虛線.

;'課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：從教材”習題11.2”中選取.

2.完成練習冊中本課時的練習.

承教學反思

本課時教學思路按實驗、猜想、證明的學習過程，遵循學生的認知規(guī)律，充

分體現(xiàn)了數(shù)學學習的必然性，教學時要始終圍繞問題展開，并給學生留下充分的

思考時間與空間，形成解決問題的意識與能力.

11.2.2三角形的外角

了敦與目標

【知識與技能】

1.掌握三角形的外角的定義.

2.掌握三角形的外角的三個重要定理.

【過程與方法】

先通過畫圖學習三角形外角的定義，再用上一節(jié)學過的證明技術證明“三角

形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和”，再由上面的結論直接推出：三

角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內角.通過對教材例2的學習，引導

學生得出一個重要定理：三角形外角的和等于360°.

【情感態(tài)度】

經(jīng)歷由已知定理推出新定理的過程使學生了解“推陳出新”的辯證唯物主義

世界觀.

【教學重點】

三角形的外角定義及性質.

【教學難點】

利用三角形的外角性質解決有關問題.

教學亙引

一、情境導入，初步認識

問題1畫一個三角形，延長三角形的一邊，就得到三角形的一個外角，請

根據(jù)圖形探究三角形的外角的定義.

問題2任意一個三角形的一個外角與它不相鄰的兩個內角有怎樣的關系？

你能發(fā)現(xiàn)并證明嗎？

問題3如圖，ZBAE,ZCBF,NACD是AABC的三個外角，它們的和是多

少？

【教學說明】學生分組討論，然后交流成果，對問題2要求學生寫出已知、

求證，再寫出證明過程.這里要重點指導，必要時板書示范.教師講課前，先讓學

生完成“自主預習”.

二、思考探究，獲取新知

思考1.一個三角形有幾個外角？

2.三角形的外角有哪些性質.

【歸納結論】1.定義：

三角形的外角：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角叫做三角形的外

角.

2.一個三角形的每一個頂點處有兩個外角，它們是對頂角.為了方便，在每

一個頂點處只取一個外角，所以一個三角形共有三個外角.

3.三個重要定理

（1）三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和;

（2）三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內角;

（注意：這里的不相鄰三個字特別重要，不可缺少）.

（3）三角形的外角和等于360°.

三、運用新知，深化理解

1.下列四個圖形中，能判斷N1>N2的是（）

2.如圖，NAOB的兩邊OA,OB均為平面反光鏡，ZA0B=35°,在OB上有一

點E,從E點射出一束光線經(jīng)0A上的點D反射后，反射光線DC恰好與0B平行,

則NDEB的度數(shù)是（）

3.如圖，Zl,Z2,Z3是4ABC的三個外角，Zl：Z2：Z3=2：3：4,求

Zl,N2,N3的度數(shù).

4.五角星ABCDE中，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE等于多少度.

5.如圖，證明N1>NA.

A

6.如圖，直線AC〃BD,連接AB,直線AC,BD及線段AB把平面分成①、②、

③、④四個部分，規(guī)定：線上各點不屬于任何部分，當動點P落在某個部分時，

連接PA,PB,構成NPAC,ZAPB,NPBD三個角.（提示：有公共端點的兩條重

合的射線所組成的角是0°角）

（1）當動點P落在第①部分時，求證：ZAPB=ZPAC+ZPBD.

（2）當動點P落在第②部分時，ZAPB=ZPAC+PBD是否成立？（直接回答

成立或不成立）

（3）當動點P在第③部分時，全面探究NPAC,ZAPB,NPBD之間的關系，

并寫出動點P的具體位置和相應的結論.選擇其中一種結論加以證明.

【答案】1~5略.

6.解：（1）解法一：如圖（甲），延長BP交直線AC于點E.

?.?AC〃BD,.,.ZPEA=ZPBD,

,/ZAPB=ZPAE+ZPEA,

二ZAPB=ZPAC+ZPBD.

解法二:

，/PAC=NAPF.；AC〃BD,

，F(xiàn)P〃BD....NFPB=NPBD.

ZAPB=ZAPF+ZFPB=ZPAC+ZPBD.

解法三：如圖（丙）,

圖(內)

?.?AC〃BD,

/.ZCAB+ZABD=180°.

即NPAC+NPAB+NPBA+NPBD=180°.

又NAPB+NPBA+NPAB=180°,AZAPB=ZPAC+ZPBD.

(2)不成立.

(3)(a)當動點P在射線BA的右側時，結論是NPBD=NPAC+NAPB.

(b)當動點P在射線BA上時，

結論是NPBD=NPAC+NAPB.

或NPAC=NPBD+NAPB或NAPB=O°,ZPAC=ZPBD(任寫一個即可).

(c)當動點P在射線BA的左側時，結論是NPAC=NAPB+NPBD.

選擇(a)證明：如圖(丁)，連接PA,連接PB交于AC于M.???AC〃BD,二

ZPMC=ZPBD.|

又?:ZPMC=ZPAM+ZAPM,ZPBD=ZPAC+ZAPB.

選擇（b）證明：如圖（戊）,

???點P在射線BA上，

.,.ZAPB=O°.VAC/7BD,AZPBD=ZPAC.AZPBD=ZPAC+ZAPB

或NPAC=NPBD+NAPB

或NAPB=O°,ZPAC=ZPBD.

圖（?。?/p>

選擇(c)證明：如圖(巳)，連接PA,連接PB交AC于F

VAC^BD,二NPFA=NPBD.

,/ZPAC=ZAPF+ZPFA,/.ZPAC=ZAPB+ZPBD.

四、師生互動，課堂小結

1.三角形的外角等于和它不相鄰兩內角的和.

2.三角形的外角大于任何一個和它不相鄰的內角.

課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：從教材“習題11.2”中選取.

2.完成練習冊中本課時的練習.

：,教學反思

本課時教學應突出學生主體性原則，即通過探究學習，指引學生獨立思考,

自主得到結果，再讓學生相互交流，或上臺展示自己的發(fā)現(xiàn)，或表述個人的體驗,

從中獲取成功的體驗后，激發(fā)學生探究的激情.

11.3多邊形及其內角和

11.3.1多邊形

教學目標

【知識與技能】

1.掌握多邊形定義及相關概念.

2.了解什么是凸多邊形，什么是凹多邊形.

3.掌握正多邊形的定義.

【過程與方法】

復習三角形的有關知識，用類比的方法引出多邊形的定義及多邊形的對角線

概念.運用四邊形、五邊形等簡單的多邊形作為例子學習對角線、凸多邊形、凹

多邊形等概念，最后學習正多邊形的概念.

【情感態(tài)度】

讓學生體驗“由特殊到一般”的思維方法，從中體驗數(shù)學的樂趣.

【教學重點】

多邊形、正多邊形的定義及相關概念.

【教學難點】

1.凸多邊形、凹多邊形的定義.

2.正多邊形的定義.

;‘教學亙士

一、情境導入，初步認識

問題1回顧三角形的定義及邊、角、外角的概念，類似地對四邊形、五邊形、

多邊形下定義.

問題2如圖是五邊形ABCDE,連AC、AD,從而引出多邊形對角線的定義.

問題3如圖，兩個四邊形ABCD,A1B1C1D1是不同類型的兩種四邊形，前

者是凸四邊形，后者是凹四邊形，請將兩個圖形的各邊都向兩邊延長，觀察它們

的區(qū)別，從而探究凸多邊形與凹多邊形的定義.

問題4畫一個正三角形、正方形，從它們的邊角特點探究正多邊形的定義.

【教學說明】全班同學分組討論，8分鐘后交流成果，老師巡回指導，隨時

了解學習情況.

對問題1要順便指導學生多邊形的命名法及表示法.

對問題2要求畫出五邊形的全部對角線，并數(shù)一數(shù)共有多少條.

對問題3要告訴同學們多邊形可分為凸多邊形和凹多邊形兩類，今后如果沒

有特別說明，一般只討論凸多邊形.

對問題4,告訴學生要從邊角兩個方面考慮.教師講課前，先讓學生完成“自

主預習”.

二、思考探究，獲取新知

思考為什么正多邊形的定義要強調各條邊相等，各個角相等？

【歸納結論】1.定義：

多邊形：在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.多邊

形相鄰兩邊組成的角叫做它的內角，多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫

做多邊形的外角.

多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角

線.

凸多邊形與凹多邊形：畫出多邊形的任何一條邊所在直線，如果整個多邊形

都在這條直線的同一側，這樣的多邊形叫凸多邊形，如果整個多邊形不都在這條

直線的同一側，那么這個多邊形就是凹多邊形.

正多邊形：各條邊都相等，各角都相等的多邊形叫做正多邊形.

2.只有各條邊都相等的多邊形不一定是正多邊形，如菱形的四邊都相等，但

它不一定是正四邊形（即正方形）.只有各角都相等的四邊形不一定是正多邊形,

如長方形的各角都相等，但它不一定是正四邊形.

三、運用新知，深化理解

1.下列圖形中是正多邊形的是（）

A.等邊三角形

B.長方形

C.邊長相等的四邊形

D.每個角都相等的六邊形

2.如果把一個三角形剪掉一個角，剩余的圖形是幾邊形？

3.畫出下列多邊形的全部對角線，想一想，n邊形共有多少條對角線？

EA

AD

C6------1C

（提示：n邊形共有如二2條對角線）

2

4.某學校七年級六個班舉行籃球比賽，比賽采用單循環(huán)積分制（即每兩個班

都進行一次比賽）.一共需進行場比賽.

5.四邊形的一條對角線將四邊形分成幾個三角形？從五邊形的一個頂點出

發(fā)，可以畫出幾條對角線？它們將五邊形分成幾個三角形？從n邊形的一個頂點

出發(fā)，可以畫出幾條對角線？它們將n邊形分成幾個三角形？

（提示：從n邊形的一個頂點出發(fā)，可以畫出（n-3）條對角線，它們把n

邊形分成（n-2）個三角形.本題為下節(jié)課作好鋪墊）.

【教學說明】題1、2、3由學生自主完成，題4、5讓同學們分組討論，互

相交流，再由教師給予指導和總結.

【答案】LA解析：因為三角形具有穩(wěn)定性，當三角形的各邊相等時，各

角也相等，而其他多邊形不具有穩(wěn)定性，因此判定正多邊形必須同時具備各邊都

相等，各內角都相等兩個條件.

2.解：把一個三角形剪掉一個角分兩種情況：第一種情況如圖（1）所示，此

時剩余部分為三角形；第二種情況如圖（2）所示，此時剩余部分為四邊形.

4.15解析：本題體現(xiàn)數(shù)學與體育學科的綜合，解題方法可參照多邊形對角

線條數(shù)的求法，總場數(shù)即為多邊形的對角線條數(shù)加邊數(shù).如圖所示，共需比賽

6x(6-3)/小、

-------+6=15(場).

2

5.解：四邊形可以分成2個三角形；五邊形可以畫出2條對角線，分成3

個三角形；n邊形可以畫出（n-3）條對角線，分成（n-2）個三角形.

四、師生互動，課堂小結

請學生總結本節(jié)學習重點，教師將小結內容出示在屏幕上.

'課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：從教材“習題11.3”中選取.

2.完成練習冊中本課時的練習.

'教學反思

學習本課時，可讓學生先自主探索再合作交流，小組內、小組之間充分交流

后概括所得結論，既鞏固了三角形的知識，又用類比的方法引出多邊形的有關概

念，加深對本課時的學習.

11.3.2多邊形的內角和

,敦與目標

【知識與技能】

1.掌握多邊形的內角和定理、外角和定理.

2.運用多邊形的內角和、外角和定理進行證明或計算.

【過程與方法】

通過證明四邊形內角和定理的方法啟示，求五邊形、六邊形的內角和，從而

求n邊形的內角和，依此推出多邊形的外角和定理.最后運用這兩個定理進行簡

單的證明或計算.

【情感態(tài)度】

通過本節(jié)課的學習，使同學們掌握“由特殊到一般”及“化未知為己知”的

科學學習方法提高學習的興趣和效率.

【教學重點】

多邊形的內角和定理、外角和定理.

【教學難點】

探求多邊形的內角和定理、外角和定理及這兩個定理的靈活運用.

;J教學亙士

一、情境導入，初步認識

問題1從五邊形的一個頂點出發(fā)，可以引條對角線，它們將五邊形

分為個三角形，五邊形的內角和等于180°X.

從六邊形的一個頂點出發(fā)，可以引條對角線，它們將六邊形分為一個

三角形，六邊形的內角和等于180°X.

從n(n23且為整數(shù))邊形的一個頂點出發(fā)，可以引條對角線；它們

將n邊形分為個三角形，n邊形的內角和等于180°X.

問題2如圖，Zl,N2,N3,…，Nn是n邊形ABCD…的外角，求N1+

N2+N3+…Nn.

【教學說明】對問題1,全班同學獨立完成，5分鐘后請學生上黑板寫出各

自的答案，然后引導同學們得出多邊形的內角和定理.

對問題2,可作如下提示：Z1+Z1Z=?,N2+N2'=?,N3+N3'

=?,........,Nn+Nn'=?,Zlz+N2'+N3'+…Nn'=?教師講課前，先讓

學生完成“自主預習”.

二、思考探究，獲取新知

思考n邊形的內角和、外角和分別是多少？

【歸納結論】n邊形的內角和等于(n-2)X180°.

多邊形的外角和等于360°.

三、運用新知，深化理解

1.一個正多邊形，它的每一個外角都等于45°,則該正多邊形是（）

A.正六邊形

B.正七邊形

C.正八邊形

D.正九邊形

2.如圖，小明在操場上從A點出發(fā)，沿直線前進10米后左轉40°,再沿直

線前進10米后又左轉40°,……照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)點時，一共

走了米，

”——

3.已知一個多邊形，它的外角和等于內角和的上，求這個多邊形的邊數(shù).

4

4.如圖，求NA+NB+NC+/D+NE+NF+NG的度數(shù).

A

（提示：連AE,得五邊形ABCDE）

5.一個多邊形，除去一個內角a,其余各角之和為2750°,求Na的度數(shù)

和這個多邊形的邊數(shù).

6.某同學計算多邊形內角和時，得到的答案是5243°,老師指出他把某一

個外角也加了進去，他計算的是幾邊形的內角和？這個多邊形一定有一個內角是

多少度？

7.一個正多邊形至多有幾個銳角，為什么？

【教學說明】本環(huán)節(jié)可由教師根據(jù)實際教學進行選擇性講解.

【答案】1.C解析：設該多邊形為正n邊形，則有45°Xn=360°,解得n=8.

2.90解析：依題意知小明所走的路線是一個正n邊形，則每個外角都是

40°,則有40°Xn=360°,解得n=9,所以小明一共走了10X9=90米.

3.解：多邊形的外角和為360°，所以該多邊形的內角和為360°X4=1440°.

由多邊形內角和定理得（n-2）X180°=1440°解得n=10,即這個多邊形的邊數(shù)

為10.

4.解:如圖，連結AE.

在△AHE中，ZHAE+ZHEA+ZAHE=180°,

在aFGH中，ZG+ZF+ZFHG=180°,

又NAHE=NFHG

.,.ZHAE+ZHEA=ZF+ZG

貝i」NA+NB+NC+ND+NE+NF+NG=NBAG+NB+NC+ND+NDEF+NHAE+N

HEA=ZBAE+ZB+ZC+ZD+ZDEA

即為五邊形的內角和

AZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG=(5-2)X180°=540°

5.解：設這個多邊形邊數(shù)為n,

因為2750°=15X180°+50°,

所以n-2=16,

50°+a=180°

，Na=130°,n=18.

6.解：5243°=29X180°+23°

由(n-2)X180°=29X180°得n=31

180°-23°=157°

所以他計算的是31邊形的內角和，其中一定有一個內角是157°.

7.解：一個正多邊形至多有3個銳角，理由是因為正多邊形的外角和為

360°,所以外角中至多3個鈍角.

四、師生互動，課堂小結

Ln邊形的內角和等于（n-2）X180°.

2.多邊形的外角和等于360°.

3.多邊形內角和定理證明的思想方法是將多邊形的內角和問題轉化為三角

形內角和的問題.除教材介紹的方法外，還可以用下面的方法：

（1）如圖（1）,點P在多邊形內部，輔助線將n邊形分成n個三角形，再

減去一個周角，即nX180°-360°=（n-2）X180°.

（2）如圖（2）,點P在多邊形邊上，輔助線將n邊形分成（nT）個三角形,

再減去以P為頂點的一個平角即為多邊形的內角和，故多邊形內角和為（nT）

X180°-180°=(n-2)X180°.

（3）如圖（3）,點P在n邊形的外部，輔助線將n邊形分成了（nT）個三

角形，再減去外面那個三角形的內角和即為多邊形的內角和，故n邊形的內角和

為：（nT）X180°-180°=（n-2）X180°.

4.多邊形的內角和與邊數(shù)有關，外角和與邊數(shù)無關，多邊形每增加一邊，它

的內角和增加180。，而外角和不變.

產(chǎn)課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：從教材“習題11.3”中選取.

2.完成練習冊中本課時的練習.

教學反思

在學習活動中，要求學生主動參與，認真思考，比較觀察、交流和表述，激

發(fā)學生學習興趣，強調分組討論，學生與學生之間很好地交流與合作，利用師生

的雙邊活動，適時調度，查漏補缺，從而順利達到教學目的.

章末復習

曾敦與目標

【知識與技能】

1.了解與三角形有關的線段（邊、高、中線、角平分線）.理解三角形兩邊

的和大于第三邊，會根據(jù)三條線段的長度判斷它們能否構成三角形.會畫任意三

角形的高、中線、角平分線.了解三角形的穩(wěn)定性.

2.了解與三角形有關的角（內角、外角），會用平行線的性質與平角的定義

證明三角形內角和等于180°,探索并了解三角形的一個外角等于與它不相鄰的

兩個內角的和.

3.了解多邊形的有關概念（邊、內角、對角線、正多邊形），探索并了解多

邊形的內角和與外角和公式.

4.通過探索平面圖形的鑲嵌，知道任意一個三角形、四邊形或正六邊形可以

鑲嵌平面，并能運用這幾種圖形進行簡單的鑲嵌設計.

【過程與方法】

結合圖形回顧本章知識點，復習幾種基本的畫圖，復習簡單的證明技巧，在

此基礎上，進行典型題、熱點題的較大量的訓練，旨在提高同學們對三角形有關

知識、多邊形內角和、外角和知識綜合運用能力.

【情感態(tài)度】

通過初步的幾何證明的學習培養(yǎng)學生的推理能力，通過由特殊到一般的探究

過程的訓練培養(yǎng)學生的探索能力，創(chuàng)新能力，以達到培養(yǎng)學生良好學習習慣的目

的.

【教學重點】

三角形的三條重要線段、三角形的內角和、外角和、多邊形的內角和、外角

和等知識的靈活運用.

【教學難點】

簡單的幾何證明及幾何知識的簡單應用.

拜教與亙睚

一、知識框圖，整體把握

與三角形有關的線段

三

角

三角形的內角和多邊形的內角和

形

三角形的外角和多邊形的外角和

二、回顧思考，梳理知識

1.本章的主要內容是：三角形的概念，三角形的三邊關系定理，三角形的三

條重要線段（高線、中線和角平分線）.三角形內角和定理.三角形的外角，多邊

形的內、外角和定理，簡單的平面鑲嵌.三角形的穩(wěn)定性和四邊形的不穩(wěn)定性.

2.經(jīng)歷三角形內角和等于180°的驗證與證明過程，初步體驗對一個規(guī)律的

發(fā)現(xiàn)到確認的艱辛歷程.體會證明的重要性，初步接觸輔助線在幾何研究中不可

或缺的作用.

3.三角形是我們認識許多其他圖形的基礎，如研究多邊形的內角和時，就是

過多邊形的某頂點作出它的全部對角線，將多邊形的內角和問題轉化為三角形的

內角和問題.

三、典例精析，復習新知

例1如圖，三角形紙片ABC中，ZA=65°,ZB=75°,將紙片的一角折疊,

使點C落在AABC內，若Nl=20°,則N2的度數(shù)為.

分析：由三角形內角和定理得NC=180°-ZA-ZB=180°-65°-75°=40°.

折疊以后，變成了四邊形，因四邊形的內角和為360°,故NAED+NBDE=360°-

NA-NB=220°.在4CDE中，ZCDE+ZCED=180°-ZC=180°-40°=140°.所以

Z2=220°-140°-Zl=60°.

例2在綠茵場上，足球隊帶球進攻，總是向球門AB沖近，說明這是為什

么？

AB

解：如圖，設球員接球時位于點C,他盡力向球門沖近到D,此時不僅距離

球門近，射門更有力，而且對球門AB的張角也擴大，球就更容易射中，理由說

明如下：

延長CD到E,則NADE>NACE,ZBDE>ZBCE,所以NADE+NBDE>NACE+

ZBCE,即NADB>NACB.

【教學說明】1.本題作了一條輔助線，構造了兩個三角形的外角，在說理中

發(fā)揮了至關重要的作用；2.輔助線要畫成虛線.

例3已知一個等腰三角形的三邊長分別為x,2x-l,5x-3,求其周長.

解：本題分類討論，求出x后再求出三邊，一定要檢驗是否符合三角形三邊

關系定理，若不符合，必須舍去.

(1)若x=2x-l,則x=l,此時三邊為1,1,2,因為1+1=2,不符合三角形

三邊關系，舍去；

(2)若x=5x-3,x=3.此時三邊為3,符合三角形三邊關系，周

4424

長為3+J_+3=2.

424

221111?

(3)若2xT=5x-3,x=4.此時三邊為A,1,1,因為=所以不

3333333

符合三角形三邊關系，舍去.綜上，此等腰三角形周長為2.

例4如圖，D、E為4ABC內的兩點，試說明AB+AOBD+EC+DE的理由.

解：本題顯然要運用三角形三邊關系定理證明.由于BD、DE、CE不是三角形

的邊，所以延長BD、CE交于F,再延長BF交AC于P,便可構成所需要的三角形,

再運用三角形的三邊關系定理經(jīng)過變換證明結論.在AABP中，AB+AP>BP=BF+FP.

在△PFC中，F(xiàn)P+PC>FC=FE+EC.，AB+AP+FP+PC>BF+FP+FE+EC.即AB+AC>

BF+FE+EC=BD+DF+FE+EC.在4FDE中，DF+FE>DE,所以BD+DF+FE+EOBD+DE+EC.

所以AB+AOBD+DE+EC.

【教學說明】本題在延長BD、CE交于F后，也可以延長CF交AB于G,同

樣也可證明出結論.

例5如圖，在銳角4ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，且CD、BE

交于一點P,若/A=50°,則NBPC的度數(shù)是（）

A.150°

B.130°

C.120°

D.100°

分析：在四邊形ADPE中，ZDPE=360°-ZA-ZADP-ZAEP=360°-50°-90°

-90°=130°.選B.

例6如圖所示，BE與CD相交于點A,CF為NBCD的平分線，EF為NBED

的平分線.

(1)試探求NF與NB、ND間有何種等量關系.

(2)EF與FC能垂直嗎？說明理由.

(3)若NB：ZD:ZF=2：x：3,求x的值.

解：⑴ZD+ZB=2ZF.

「EF平分NBED,CF平分NBCD,

.\Z1=-ZBED,Z2=-ZBCD.

22

而/EMC=ND+；NBED,ZEMC=ZF+|ZBCD,

/.ZD+-ZBED=ZF+iZBCD,①

22

同理可得：NB+'NBCD=NF+LNBED.②

22

①+②，得ND+/B=2NF.

(2)能，若EF與FC垂直，即NF=90°,

則NB+ND=180°.

也就是說，如果ND與NB互補，則EF_LFC.

(3)VZB：ZD：NF=2：x：3,

???設NB=2m,ZD=xm,ZF=3m.

由(1)得xm+2m=2X3m,

?\x=4.