現(xiàn)代數(shù)字信號(hào)處理課后習(xí)題解答

習(xí)題二

1、求證：R&3)=Cx(/",)+mximxjo

證明：R&,t)=E(x,Xj)=jjx,.xy.p(x,.,xj,f,.,')dxidxj

C《”tj)=E[(x;-以),(x廠%)]

="(七一),(Xj-mx)p(x,,Mx/)

--x.mr-xmv+mrmr)p(x；,x;,r,f)dx.dx.

=/?Ar(xtf,rJ)/-/7iAvymAr;-mAjYmY+mAYymAY:

=—)一%加X,

2、令](〃)和y(〃)不是相關(guān)的隨機(jī)信號(hào)，試證:若w(n)=x(n)+y(ri),則mw=mx4-m

-r?27

和Mq=4+%。

證明：⑴

加3=取(〃)]=E[x(n)+y(n)]

=E[x(n)]+E[y(n)]

=mx+tny

W=E(y(〃)-加°)2]

M2

=E[[x(n)+y(n)-(mx+/V)]}

⑵=E[(x(〃)-%)+(>(〃)一%)f

2

=E[(x(n)-mx)-]+E[(y(n)-mv)]+2E[(x(n)-砥)(y(〃)一嗎)]

=b：+<7；+2[mxmy-mxmy-mxmy+mxmy]

即b：=b：+b；

3、試證明平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)自相關(guān)函數(shù)的極限性質(zhì)，即證明：

①當(dāng)r=0時(shí)，4(0)=七,C,(0)=近；

②當(dāng)7=00時(shí)，&(00)=〃2；,CX(co)=0。

證明：(1)

R、，)=E[x(f)x(f+r)]R、(0)=卜2⑺p(x,7心

=jjx(f)x(f+r)p(X],X2,7Mx//=E[X2]=DX

Cv(r)=&?)-咸

c、.(o)=&(o)-底

=Dx-m：

=成

(2)

R(ao)=lim/?t(r)=lim￡[x,.x,.]

7T8T->00J1?一D/\2

=hmRx(r)-mx

=E(xJE(Xj)=m；—8

=欣一欣=0

4、設(shè)隨機(jī)信號(hào)x(f)=Acos/f+8sin6V，例為正常數(shù)，46為相互獨(dú)立的隨機(jī)變

量，且E(A)=E(B)=O,。(4)=。(8)=，.試討論》“)的平穩(wěn)性。

解(1)均值為

mx=E[x(r)]=E[Acosa>ot+Bsina)ot]

-E[Acosco0t]+E[Bsina>ot]

=0

(2)自相關(guān)函數(shù)為

Rx(t,t+T)=E[x(t),x(f+7)]

=E[(Acosco^t+8sin0J)(Acos例)(f+7)+8sing(t+r))]

2

=E[Acosa>otcos(y0(f+r)+ABcosco0tsin(y0(f+r)+

ABsin(y(/cos為Q+r)+3?sin(y0/sin(v0(t+r)]

2

=E[Acosco0tcos(o0(t+r)]+E[ABcosgfsinco0(t+r)]+

2

E[ABsin6ytzcosa)Q(t+r)]+E[Bsinsinco0(t+r)]

?:A、B相互獨(dú)立

EAB=EAEB=0

2

故：/?A(/,r+r)=crcosgr與起始時(shí)間無關(guān)

2

(3)Dx=/?v(0)=cr<oo

可見，該信號(hào)均值為-常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)與起始時(shí)間無關(guān)，方差有限，故其為一個(gè)廣義

平穩(wěn)的隨機(jī)信號(hào)。

5、設(shè)隨機(jī)信號(hào)x(f)=4+8產(chǎn)，4、8是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且

E(A)=4,E(B)=70(A)=0,D[B)=2。求x(t)的均值、方差、相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。

解⑴

mx(t)-E[x(t)]-E[At+Br]

=E[At]+E[Bt2]

=4,+7產(chǎn)

(2)

Dx=E[x2(t)]=E[(At+Bt2)2]22

=Dx-mr

22243

^E[At+Bt+2ABt]23422

=0.1『+56r+2/4_(4/+7『)2

=EIAV]+E[BY]+2E[A^]=_]59產(chǎn)_47「

=O.lr+56r3+2r4

(3)

R,(t,t+T)=E[x(t),x{t+r)]

=E[(At+8產(chǎn))(A?+r)+BQ+r)2)]

=E[A2t(t+r)+B2t2(t+r)2+ABt(t+r)2+ABt2(t+r)]

=0.IfQ+r)+2t2(t+r)2+28/(f+r)2+28t2(t+r)

Cx(t,t+r)=Rx(t,t+r)-mx(t}mx(t+r)

mx(t+r)=E[x(t+r)]

^E[A(t+r)+B(t+r)2]

=4f+1)+7Q+T)2

22

Cs(t,t+T)=ot(tA-T)42t(t+T)+2f(f￡』y+2/(&c)-(4f+7〃)[4f+/)+7(f+工)2]

=-15.9?(Z+r)-47z2(/+r)2

6、若兩個(gè)隨機(jī)信號(hào)x?),y?)分別為x(f)=A(f)coy,y(f)=5(f)sinf,其中6(f),B(t)

是各自平穩(wěn)、零均值相互獨(dú)立的隨機(jī)信號(hào)，且具有相同的自相關(guān)函數(shù)。試證明

z(f)=x(f)+y(t)是廣義平穩(wěn)的。

證明：

E[z(t)l=E[A(t)cost+B(t)sint|=E[A(t)|cost+E|B(t)|sint=0

Rz(t,t+r)=E[z(t)z(t+r)]

=E{[A(t)cost+B(t)sint][A(t+r)cos(t+r)+B(t+r)sin(t+r)]}

=E[costcos(t+r)A(t)A(t+r)+sintsin(t+r)B(t)B(t+r)]

=costcos(t+r)RA(r)+sintsin(t+r)RB(r)

=cosr/?A(r)

D(Z)=RZ(0)=RA(0)=D(A)<8

均值為零、自相關(guān)函數(shù)與時(shí)間t無關(guān)、方差有限，故其是廣義平穩(wěn)的

7、設(shè)隨機(jī)信號(hào)x(f)=Acos((y(j+9),式1」4、.為統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的隨機(jī)變量,—在[0,21]

上均勻分布。試討論xQ）的遍歷性。

解(1)首先討論x(f)的平穩(wěn)性

p(x)=p”俘

1

P((P)=\In,0<^<2TTOX

fix

0，其它dx=—d(p

d(p

m?)=￡[x(r)]=[x(f)p(x)dx

產(chǎn)，/、，、d(pdx]

=Acos(cot+(p)p^——d(p

j()oxc(p

F兀1

=IAcos(gf+°)——d(p

*)2)

AI

二五;sin(9/+0)『

=0

m*)=￡W)]=]/Q)p(x)dx

=￡Acos(^/+cp)p((p)d(p

即1

=IAcos(4，+e)——d(p

))2兀

=E[A]<0

=0

RxQJ+工)=E[x(t),x(t+r)]

=\Acos(d)/+夕)Acos(啰0(r+r)+(p]p{(p)-----d(p

(dxd(p

2

=￡^AJ￡[cos(d>0(2r4-r)+2(p)+cosco^ydcp與t無關(guān)

的,

---~~-L71COS(OT

440

D[A]

--^■COS47

D\A]

Dx=/?v(0)=—^<oo

故x(f)是平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)

(2)遍歷性

1

THm

〃-

Xx(t)dt

T->oo2T

_L

-Acos(69Z+(p)dt=0=m

2r0x

?T

尺”)=盤方。x(t)x(t+T)dt

I

eT

-F[Acos(69r+(p)Acos(例)(r+r)+(p)]dt

iem'—T0

I

=F(!'A2

im——[cos(2690r+2(p+CD^T)+COSCO^Tydt

eLT2

黯

=—cosd^r

故工⑺不具有廣義遍歷性

8、隨機(jī)序列x(〃)=cos(供)〃+0),夕在［0,24］上均勻分布，x(〃)是否是廣義平穩(wěn)

的？

解：由已知得

—,Q<(P<2TU

〃(*)=<24

0淇它

?

mx(n)=E[x(n)]=[cos(6W0n+(p)p{(p)d(p

=cos(6y0z:+(p)d(p

1.2zr

=——I[cosa)Qncos(p-sina)()nsin(p\l(p

24力

=0

②

=￡[x(m),x(n)]

=jcos(外機(jī)+°)cos(g〃+(p)p((p)?^-d(p

—---[cos(ty0m+①()n+夕)+cos690(/??-n)]d(p

2TT2

1/2兀

=——IcoscoAm-n)d(p

4萬比

=；cosg(/〃一〃)

1

=—COSG)@

?Dx-/?v(0)=(<oo

均值為與t無關(guān)常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)與t無關(guān)，瞬時(shí)功率有限，故平穩(wěn)

9、若正態(tài)隨機(jī)信號(hào)x(f)的相關(guān)函數(shù)為：

---Irla、,sinTZT

①&(T)=be2；②&⑺=b-----

試分別寫出隨機(jī)變量xQ),xQ+1),x(7+2)的協(xié)方差矩陣。

解：由已知得

-e)=R-

>nCx?)=&⑺一段(8)

機(jī):=4(°°)

--\T\

2

當(dāng)Rx(T)=be時(shí)，Cx(r)=&?)—0=RX(T)

氏(0)Rx⑴R(2)、

C(o)cx(i)G⑵、x

G=cx(l)Cx(0)Cx(l)=bRx⑴&(0)Rx(D

G⑵cx(i)cx(o)y、RxQ)Rx⑴Rx(0)

?、

1e已e''

I

,21z)-2

e21

7

sin7TT

②當(dāng)Rx(r)=b：-----時(shí)，C(r)=/?(r)-0=/?(r)

71Tvvv

K(0)Rx⑴0⑵T00、

R、⑴b010

C2=RX(D心(0)

、Rx⑵勺⑴Rx(°)7,001>

10、如果信號(hào)是實(shí)函數(shù)，在下列函數(shù)中，哪些是功率譜函數(shù)？

2

①①2②③一——以。)；

696+34+3ty+1

廣、co4

④——5---------6;⑤一⑥一

l+(y+jo)(1+療)21+2啰+0~

解：由已知得，實(shí)函數(shù)的功率譜函數(shù)為實(shí)偶函數(shù)，應(yīng)滿足:

S*(-⑼=S,((y)(a)

<S,3)=S：(M3),S「?)=S；?)S；3)(d)

St(?y)>0(c)

則可批判斷⑤為功率譜函數(shù)，其中①不滿足(d)；②不滿足(a)；③Sx(O)=—5(0)<0不

滿足(c)；④不滿足(b)；⑥不滿足(a)。

11、設(shè)x(f),y(f)是相互獨(dú)立的平穩(wěn)信號(hào)，它們的均值至少有一個(gè)為零，功率譜為

16

X(G)=-------,Y(a))=-------，新的隨機(jī)信號(hào)z(f)=x(f)+y?)。求：①z(f)的功率

0+16少~+16

譜；②工。)和y⑺的互譜密度。

解：由已知得mxmy=0,x(r),y(r)獨(dú)立且平穩(wěn)=>z(r)平穩(wěn)

&⑺=E\_z(t),z(t+r)]=E[(x(z)+y(f))(x(f+r)+y(t+r)]

=E[X?)XQ+r)+y(f)yQ+r)+x(t)y(t+r)+y(t)x(t+r)]

=&(7)+&.(T)

j,or

Sz(M=[Rz(T)e-dr

==￡&(7)"扭"7+￡&(r)e-""dr

=5v(?y)+5v(?y)

=1

R、,(r)=E[x(.t),y(t+r)]=E[x(t)]E[y(t+r)]=0

n5燈(0)=0

12、已知平穩(wěn)高斯信號(hào)x")的自相關(guān)函數(shù)為/?,?)=4e刊。求x(f)的一階概率密度函

數(shù)p(x)及二階概率密度函數(shù)p(玉,々)，其中玉=%(0)，々=x(l)。

解：由平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)可得

E[x(t)]=jRx(8)=0,D[x(t)]=Rx(0)=4

/、1,(x-m1.x2.

則一階概率密度函數(shù)P。)=，mexp{---彳—}=與/exP{一至}

11J

對(duì)于二階概率密度函數(shù)P(X|/2)-^exp{--(x-zH)Ckx-m}}

2vxx

2萬廬|

其中5為x的協(xié)方差矩陣，叫為均值

^E[x,(t)Xl(t)]E[X](t)X2(t)])=(段(0)

、E[x2(t)X](t)]E[x2(t)x2(t)]J，&⑴

^(0)J1小1J

1(1-e~{>

ICI=4(1-e-2)

4([_/21一]i)X

一;(/一叫)，C~x(x-m)

p(Xi'X2)=^Hexpx

13、令c(〃)表示白噪聲序列，s(〃)表示一個(gè)與c(〃)不相關(guān)的序列，y(n)=s(n)c(n),

玖》)=嗎。試證明序列y(〃)=s(幾)c(〃)是白色的,BP￡[y(n)y(/i+m)J=A8{in),式中A

是常數(shù)。

證明：由已知得

2

E[c(n)]-0,/?c(m)=a3(m)

=>(1)E[y(n)]=E[s(n)c(n)]=E[s(〃)]E[c(〃)]=0

(2)E[y(n)y(n+m)]=E[s(n)c(n)s(n+m)c(n+m)]

=E[s(n)s(n+m)]E[c(n)c(n+m)]

=(y28(jn)E[s(n)s(n+m)]

S(〃)為一與C(n)不相關(guān)的序列=>E[s(n)s(n+m)]為一常數(shù)

令a2E[s(n)s(n+m)]=A=>E[y(n)y(n+m)J=A3(m)

即得證。

14、設(shè)隨機(jī)信號(hào)z(機(jī)=》(〃)+y,其中x(〃)是一個(gè)平穩(wěn)信號(hào),y是一個(gè)與M>)無關(guān)的

隨機(jī)變量。試討論Z(〃)的遍歷性。

解:由已知得,令=x(/n)+y,E[y]=my

①平穩(wěn)性

mz(n)=E[z(n)]=E[x(n)+y]=E[x(n)]+E[y(ri)]

=mx+my

與n無關(guān)

R.(n,〃+m)=￡[z(/?),z(〃+m)]=E[(x(n)+y)(x(n+加)+y)]

=E[(x(n)x(n+m)]+E[(x(n)y]+E[x(n+m)y]+E[y2]

=Rx(m)+mxmy+mxmy+D、

=Rj(〃z)+2mxmy+Dy

與n無關(guān)

Dz=/?2(0)=R、(0)+2mxmy+Z)v<00平穩(wěn)

②遍歷性

(N1N

mN=lim------V[z(n)]=lim-------V(x(?)+y]

zf2N+l￡NT62N+1￡

=%+y

m：不為常數(shù)，則信號(hào)z(〃)不具有遍歷性。

習(xí)題四

1、令*5)是一個(gè)平穩(wěn)白噪聲過程，它的均值為零，方差為cr〉又令/(〃)是沖激響應(yīng)

為力(〃)的線性非移變系統(tǒng)在輸入為x(〃)時(shí)的輸出。

證明：

(1)E[x(〃)y(〃)]=〃(0<>；；(2)cr；=￡//(〃)

k="ao

證明：(1)由題條件：x(〃)是一平穩(wěn)白噪聲，E[x(n)]=0,O[x(〃)]=cr；

可知：其自相關(guān)函數(shù)凡(〃?)=。節(jié)(〃?)，經(jīng)過線性非移變系統(tǒng)得到的輸出y⑺也是

一個(gè)廣義平穩(wěn)信號(hào)。則：

E[x(〃)y(〃)]=R￡0)

=以加)*尺(利“=0

=力(用)*cr：b(〃2)|0

=〃(0)矣

(2)因?yàn)镋[y(n)]=mvW(0)=0

???4=。[如)]一磯刈)]2

=E[y2(〃)]=q(ML

=h(-m)*h(m)*Rx

=/?(-m)*h(m)*(7]8(m)|°

=h[m}a>^\

xlw=O

8

=V/?(〃+加)//(〃)(T；

n=-oo*I〃i=0

co

"工/我〃)

n=-oo

2、令x(〃)是白色隨機(jī)序列，其均值為零，方差為設(shè)有一個(gè)級(jí)聯(lián)系統(tǒng)，由兩個(gè)線

性非移變時(shí)域離散系統(tǒng)按圖4-6的形式構(gòu)成，x(〃)是它的輸入。

(1)=O⑹是否正確?

A=0

(2)城=反￡必出是否正確?

火=0

(3)令％(〃)=a"u(n)和％,(〃)=b"u(n)<)試確定圖4—6的整個(gè)系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng),

并由此求出如果你認(rèn)為問題(2)是正確的，那么它與問題(3)的答案是否一致?

x(n)y(n)w(n)

似〃)似〃)

圖4-6習(xí)題2用圖

解(1)正確

8

>(〃)=X

女=T?

???巴.(〃)=￡1)，(〃)]=譏fh,(k)x(n-k)J

k=-<x>

=￡4-)E[x(〃-k)]

k=-<x)

a；

=mxZ%(k)

&=V

=0(mx=0)

cr；=E[y(n)-mJ2=E[y(n)f

=仇￡—

k=-oo

為白噪聲，???x(6,x(J)互不相關(guān)，即/?w=0

(k)x(〃一幻]2=fh2(Qf(〃一口

A:=—oo4=—oo

?F；=￡始⑹磯x("k)f

&=-Q0

8

=a；.h；(k)

it=-oo

x(〃)為因果序列時(shí)，TEE"(外

A=0

(2)不正確

由(1)中推導(dǎo)知，由于y(〃)不是白色序列，所以它不滿足&y=0

.?.[￡〃2(左》(〃一*￡魚2(幻y2(〃—外

*=-00*=-00

，<7；=。:三均彳左)不成立

k=0

(3)y(n)=x(n)*%(〃)

co{n}=y(n)*h2(n)=x(ri)*%(n)*h2(ri)

對(duì)上式兩邊作Z變換得

W(z)=X(z)d(z)”式z)

H(z)=*W(z)=W(z)”2(z)

/?1(n)=anu(n)=>H、(z)=——h(n)=hnu(n)=>H/z)=--

z-a2z-b

2逆z變換

7an+l-bn+',、

="(z)=-----------------=>h(n)------:—“(〃)

(z-a)(z—6)a-b

?.?4(〃)=仇以〃)]=E[￡h2(k)y(n-k)]

A:=-oo

=￡hAk)E[y{n-k}]

k=-<x)

00

=m,￡2)

A=-oo

=0(my=0)

.,.靖=E[(y(k)-用°]=

00

fc=-00

=一/2⑹

k=o

#+】

3aK+i

-；z(-

k=0a-b

00a2alit+b°b"-2ab(ab)k

女=0("A)?

a1b2lab

x

222

2(a-b)+cb(a+b)

若按(2)來計(jì)算，則

2

(T

y

k=0k=0

(j2)(")

k=0k=0

與上面計(jì)算結(jié)果不符，故結(jié)論(2)不正確。

3、考慮一個(gè)時(shí)域連續(xù)的隨機(jī)過程｛4?)｝,它有如圖4—7(a)所示的限帶功率譜。假設(shè)

對(duì)U(t))采樣,得到了一個(gè)時(shí)域離散的隨機(jī)過程｛x(〃)=兀(nT)｝。

圖4-7習(xí)題3用圖

(1)該時(shí)域離散隨機(jī)過程的自協(xié)方差序列是什么？

(2)對(duì)于上述的模擬功率譜，應(yīng)如何選擇7才會(huì)使時(shí)域離散過程為白色的？

(3)如果模擬功率譜如圖4—7(b)所示，應(yīng)該如何選擇7才會(huì)使時(shí)域離散過程為白色

的？

(4)欲使時(shí)域離散過程為白色，應(yīng)對(duì)模擬過程和采樣周期提出哪些?般要求？

解(1)該時(shí)域離散隨機(jī)過程的自協(xié)方差序列是抽樣序列。

(2)T==使時(shí)域離散過程是白色的，因?yàn)闀r(shí)域采樣后，信號(hào)功率譜變?yōu)橹芷谛?/p>

。()

列，如圖所示，要想使時(shí)域?yàn)榘自肼?，周期功率譜疊加應(yīng)為常數(shù)。

（3）T=女或7=二使時(shí)域離散過程是白色的。

Q0。（）

（4）欲使時(shí)域離散過程為白色，模擬功率譜應(yīng)是限帶的，且功率譜幅度應(yīng)是線性

的，采樣周期T=9737（Q。為功率譜的最高頻率），若功率譜為矩形的，采樣周期還可為

皿0

TC

T

4、將零均值與方差為0；的白噪聲通過一線性系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)為〃（z）,試求此系統(tǒng)

2

輸出的方差又若H（z）=―二,0＜。＜1,&?等于什么？

\-az'＜T;

解：由第2題結(jié)論可知=o-；y{Z-'［W（z）］}2

k=0

H(z)=——^――時(shí)h(n)=anu(n)

l-az~

決h1-/

5、在圖4―8所示的反饋系統(tǒng)中，為白噪聲，又,（0）=1,隨機(jī)信號(hào)才（力與M6不

H（co）H（co）

相關(guān)。設(shè)〃o（。）=------h------2f--------的傅里葉反變換為％?）。試證K（t）與Mt）的

1+°

互相關(guān)函數(shù)/?.（7）=-%”）。

圖4—8習(xí)題5用圖

證明：圖中反饋系統(tǒng)有兩個(gè)輸入力（。、M。。

y3）=x（°）—{田（。）”“（⑼+N3）］/（助”,（⑼}

1

丫⑼

1+乩(刈/3)”/3)'所田湍j)

1

X((y)+(—"。(⑼加初

(

SNY(CO)=-H0(O)SN(a))=-Ha(co)

故/?亞(7)=_40(。

解法2：y(f)=X(f)-{r(f)*%“⑺+NQ)1*%⑴*hf(r)}

n丫⑺=X⑺—{?Q)*%⑴*%(t)*hf⑻+[N⑺*=(f)*hf(0]}

=>N(t)]=E[X(t)-W)]-E{[Y(t)*ha(f)*也⑺*hf⑺卜N(f)}

+E[[N(t)*hb(t)*hf(t)]N(t)}

因X(t)與N(f)不相關(guān)，則E[X(t)-N⑴]=0

E{[N(f)*4(f)*勺(f)]-N(f)}=E{Jj\(“)％(v>N(fi—v)dudM⑴1

=肚⑺/(v).E[N(t-u-v)-N(t+T)]dudv

=(“)％(v)-RN(r+M+v)dudv

--hf(v)-3(r+u+v)dudv

=",(一7)*%(-7)

同理E{[Y(f)*九(f)*hb(t)*hf(t)]-N(t)}=Rm(r)*ha(-T)*也(-r)*%(t)

故RYN(r)=-RYN(r)*/?a(-r)*hh(-T)*hf(-T)-hb(一7)*hf(-r)

NSYN3)=—SYN3?Hn(o).%(°).%(o)-4?).H")

nS“3)=一…).…

1+乩(。)乜(助?”/(◎)

=>/?KV(r)=-/?0(/)

6、某系統(tǒng)的傳遞函數(shù)H(0)=ErSa(々-)。若輸入平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)為

Rx(r)=e-忖，輸出記為Kt),試求互相關(guān)函數(shù)/?xr(r)(rwa)。

解：

/?xr(r)=E[x(f)y(r+r)]

=E[x(t)￡h(u)x(t+r-u)d"

=￡h(u)E[x(t)x(t+r-u)]du

=h(u)Rx(t-u)du

=/i⑺*凡⑺

H(<y)==1———=>//(r)=b(r)-2ae-aT

j(o+aja)+a

RxY(T)=h(T)*R*G)

=(b(〃)-2ae~an)*

=e~rM-2ae-ar*e'rM

=e~rM-2a「

J-oO

=/忖—2a棺力卜"

=e'r^-2ae-ar---------I(r>a>0)

卜+Qr-a)

=e'"-4are~ar—7^―-

r-a

E[b(n,k)x(n-k=0

7、某系統(tǒng)的傳遞函數(shù)H3)=坦二3。若輸入平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)為

jco+a

忖，輸入記為f⑺，試求互相關(guān)函數(shù)Rxy⑺&W。)。

解：

RXY(r)=E[x(t)y(t^r)]

=E[x(t)[/?(w)x(f+T-u)dU

二￡h(u)E[x(t)x(t+r-u)]du

=￡h(u)R?-u)d4

=//?)*4⑺

H(<y)==1——=>h(r)=3(7)—2ae-aru(7-)

ja)+ajco+a

/?xy(r)=/i(r)*/?v(r)

=3(幾)-2ae~aTu(ry)*e""

="附一2a[e~a{T~t}u(r-t)e~r^dt

=e-唱—2《[,""'+,(7T)e"力+「e-a'+r'u(r-t)e-r'dt^

ii(fl-r)r

=e-r|r|-2ae-°T[——+——+-——]

r+ar-aa-r

?。

=e-r|r|-4are-ar-^―y--e-rrr>a>0,r>0

r~-a~r-a

8、兩個(gè)串聯(lián)系統(tǒng)如圖4―9所示。輸入爪力是廣義平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，第一個(gè)系統(tǒng)的輸出

為『(t),第二個(gè)系統(tǒng)的輸出為Hr),試求『(t)和K(r)的互相關(guān)函數(shù)RwyQ/+7)。

圖4-9習(xí)題7用圖

解：輸入內(nèi)力是廣義平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，經(jīng)串聯(lián)系統(tǒng)后輸出r(f)?

輸入￥(6線性系統(tǒng)4⑺，輸出為『(r)o

Rw(f,f+T)="(-r)*%(r)*/?x(r)

因?yàn)榕ct無關(guān)，+=&，?)，可知也是廣義平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)。

R

RWy",f+7)=為(7)*W?)=為?)*%(一工)*%?)*^?)

9、假定MA⑴模型為z“=”“+加1，網(wǎng)<1，求與它等價(jià)的AR模型。

解：

???z“=ull+bu?_l

■-?un^zn-bun_}(1)

%"="「bu-，/一2=4一2一加入3，…

代入⑴得

%=z“-b(z“T—bu〃一2)

2

=zn-bz?_l+b(zn_2-bun_3)

23

=zn-bzn_t+bzn_2-bzn_3+???

2

所以與之等價(jià)的AR模型為：4—bzn_x+bzn_2-b\n_3+…=M(〃)

8

XT)]=〃(〃)

/M=0

10、已知人1?岫(2,1)模型為4一1.5/_]+0.6々_2=以一0?5以_1，求其前5個(gè)格林函數(shù)

值及G。，G],G2>G3和G4。

解：G⑵=?=G°+Gz"+GZ-2+G,Z-3+GZ-4+...

1-1.5z+0.6z24

比較式中等號(hào)兩邊的同次基系數(shù)，得：

z°次暮:G°=l=>Go=l

l

二次嘉:GlZ-'-\.5Gaz~'=-0.5z~=>G,=1

次暴：-2-2-2

Z-2G2Z-1.5G,Z+O.6GOZ=0nG2=0.9

333

Z-3次幕：G3Z--1.5G2Z-+0.6G,Z-=0nG3=0.75

44-4

z一次果:G4Z--1.5G3Z-+0.6G2Z=0=>G4=0.585

11、設(shè)人口配(〃,0)模型的格林函數(shù)為6/=0.4(0.9)/1,/21,且已知%=0,u(描為

n012345

Un00.5-11-22

(1)計(jì)算/；

(2)求出相應(yīng)的ARMA模型及其參數(shù)。

00

解(1)x(〃)=>,G(fn)u(n-m)

，”=0

x5=GOU5+G,U4+G2U3+G3U2+G4ut+G5U0

Go=1,G,=0.4,G2=0.36,G3=0.324,G4=0.2916,G5=0.26244

x5=1x2+0.4x(-2)+0.36x1+0.324x(-1)+0.2916x0.5+0.26244x0

=2—0.6182=1.3818

00

(2)G(z)=^G(z)z-/又?.?G(i)=0.4(0.9)i,iNl

;=o

=1+0.4z-1+0.4(0.9)z-2+0.4(0.9)2z-3+---

2

=1+0.4Z-'[1+(0.9)/+(0.9)尸+…]

11-0&T

=l+0.4z-1

1—0.9/1-0.9Z-1

l-0.5z-'

即〃(z)=

l-0.9z-1

:.m=n=\,M/]=-0.53=-0.9

該ARMA(1,1)模型為：x(n)-0.9x(?-1)=M(n)-0.5w(n-1)

12、設(shè)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)乙，具有下列自相關(guān)函數(shù)

(1)%⑹=(0.5再

(2).一)=(0.51+(-0.5)川

試求產(chǎn)生此隨機(jī)信號(hào)的模型。

解(1)求出R,(0)=1,R,(1)=0.5,&⑵=:0.25,段(3)=0.125,R、(4)=0.0625

一旦(0)H,⑴&⑵&⑶--R、⑴一

段(1)凡(0)&⑴R,Q)一。2段⑵

選用AR模型：——

凡⑵凡(1)號(hào)(0)R,⑴一名4(3)

&⑶R。)&⑴Rv(0)_4(4)_

=>(P\=-0.5,92=03=夕4=0

故得信號(hào)的模型：x(n)=0.5x(〃-1)+〃(〃)

（2）求出&（0）;=2,4⑴=0,4⑵=05&(3)=0,&(4)=0.125

五（0）《⑴%⑵段⑶一'J”,⑴一

%⑼段⑴《⑵一。2R,⑵

選用AR模型：—

段⑵段⑴4（。）尺⑴一。3凡⑶

A⑶段⑵%⑴4（0）_-%.4（4）_

n(p2--0.25,例=%=%=0

故得信號(hào)的模型：x(n')=Q.25x(n-2)+M(Z?)

13、用AR(8)表示MA⑵。

解：MA(2)的傳遞函數(shù)為“M)=1+7億7+%二2

AR(00)的傳遞函數(shù)為"(z)=-----」一；——

1+C]Z+C2Z~+…

令H(z)=”'(z)

2

\+Yxz'+y2z

[+C]Z1+c^z~+…

比較同次累系數(shù)得到

%+q=0=q=-/i

71+Cl/1+C2=>。2=-％+%2

ck-iYi+Ck-\Y\+，=0=或=一川一+%*

；."A(2)模型可表示為：X(〃)+C|X(〃—1)+C2X(〃—2>???=?(?)

其中J—*(k>2)

ci=-/i

14、設(shè)AR⑵模型為x(〃)=4》(〃-1)+/?2工(〃-2o

(1)求x5)的功率譜

Sx(co)-cr；[l+b：+/?；-2bl(1—4)cos。一2〃2cos2<?]"'?

(2)求x(〃)的自相關(guān)函數(shù)。

(3)寫出相應(yīng)的Yule-Walker方程。

解(1)由AR(2)模型可得系統(tǒng)函數(shù)為：

1

〃(小)=

io>i2w

\-b{e--b2e-

而\H(eja)[=H(eja)-Ht(eja,)

即：

=jt0i2,iai210

聞)l\-bie--b2e-0'\-bxe-h2e

i2a

=-b2e-b?汕+b：+仇仇e'3_He"0+"瓦6可°+b也「

=[1+-2blcosco-2b2cos2co+2b}b2cos加一

又：

S,(o)

=cr；[l+b；-2/7,(1-/?2)COSG-2b2cos

(2)AR(2)模型的自相關(guān)函數(shù)為：

p

R、(m)=一ZQR](fn-i)+a2S(⑼

?=i

m2

=>/?v()-h}Rv(m-\)^-b2Rx(m-2-\)(y3(m)

取777=0,1,2

一段(。)-a2

&⑴段⑵]P

段⑴%(0)4⑴一仇=0

4(。)」[-4一

人⑵"⑴0

得方程組:

叫(0)=bxRx(1)+8段⑵+4段(0)-4叫⑴一b2Rx⑵=/

<段⑴=仇&(0)+2凡⑴n—濟(jì)號(hào)(0)+(1—%)&⑴=0

1⑵=4&⑴&(0)應(yīng)&(。)-4凡(D+R0)=