云南省蒙自一中2023-2024學(xué)年高三最后一卷數(shù)學(xué)試卷含解析

云南省蒙自一中2023-2024學(xué)年高三最后一卷數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若函數(shù)在處有極值，則在區(qū)間上的最大值為（）A． B．2 C．1 D．32．三國時(shí)代吳國數(shù)學(xué)家趙爽所注《周髀算經(jīng)》中給出了勾股定理的絕妙證明.下面是趙爽的弦圖及注文，弦圖是一個(gè)以勾股形之弦為邊的正方形，其面積稱為弦實(shí).圖中包含四個(gè)全等的勾股形及一個(gè)小正方形，分別涂成紅（朱）色及黃色，其面積稱為朱實(shí)、黃實(shí)，利用，化簡，得.設(shè)勾股形中勾股比為，若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲顆圖釘（大小忽略不計(jì)），則落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)，若，則的最小值為（）參考數(shù)據(jù)：A． B． C． D．4．黨的十九大報(bào)告明確提出：在共享經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域培育增長點(diǎn)、形成新動(dòng)能.共享經(jīng)濟(jì)是公眾將閑置資源通過社會(huì)化平臺(tái)與他人共享，進(jìn)而獲得收入的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象.為考察共享經(jīng)濟(jì)對(duì)企業(yè)經(jīng)濟(jì)活躍度的影響，在四個(gè)不同的企業(yè)各取兩個(gè)部門進(jìn)行共享經(jīng)濟(jì)對(duì)比試驗(yàn)，根據(jù)四個(gè)企業(yè)得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)畫出如下四個(gè)等高條形圖，最能體現(xiàn)共享經(jīng)濟(jì)對(duì)該部門的發(fā)展有顯著效果的圖形是（）A． B．C． D．5．設(shè)，為非零向量，則“存在正數(shù)，使得”是“”的（）A．既不充分也不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．充分不必要條件6．新聞出版業(yè)不斷推進(jìn)供給側(cè)結(jié)構(gòu)性改革，深入推動(dòng)優(yōu)化升級(jí)和融合發(fā)展，持續(xù)提高優(yōu)質(zhì)出口產(chǎn)品供給，實(shí)現(xiàn)了行業(yè)的良性發(fā)展.下面是2012年至2016年我國新聞出版業(yè)和數(shù)字出版業(yè)營收增長情況，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．2012年至2016年我國新聞出版業(yè)和數(shù)字出版業(yè)營收均逐年增加B．2016年我國數(shù)字出版業(yè)營收超過2012年我國數(shù)字出版業(yè)營收的2倍C．2016年我國新聞出版業(yè)營收超過2012年我國新聞出版業(yè)營收的1.5倍D．2016年我國數(shù)字出版營收占新聞出版營收的比例未超過三分之一7．已知正三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，其底面邊長為4，、、分別為側(cè)棱，，的中點(diǎn).若在三棱錐內(nèi)，且三棱錐的體積是三棱錐體積的4倍，則此外接球的體積與三棱錐體積的比值為（）A． B． C． D．8．已知在中，角的對(duì)邊分別為，若函數(shù)存在極值，則角的取值范圍是（）A． B． C． D．9．已知三棱柱()A． B． C． D．10．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)高考之后計(jì)劃去三個(gè)不同社區(qū)進(jìn)行幫扶活動(dòng)，每人只能去一個(gè)社區(qū)，每個(gè)社區(qū)至少一人.其中甲必須去社區(qū)，乙不去社區(qū)，則不同的安排方法種數(shù)為（）A．8 B．7 C．6 D．511．德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲(1646年-1716年)于1674年得到了第一個(gè)關(guān)于π的級(jí)數(shù)展開式,該公式于明朝初年傳入我國.在我國科技水平業(yè)已落后的情況下,我國數(shù)學(xué)家?天文學(xué)家明安圖(1692年-1765年)為提高我國的數(shù)學(xué)研究水平,從乾隆初年(1736年)開始,歷時(shí)近30年,證明了包括這個(gè)公式在內(nèi)的三個(gè)公式,同時(shí)求得了展開三角函數(shù)和反三角函數(shù)的6個(gè)新級(jí)數(shù)公式,著有《割圓密率捷法》一書,為我國用級(jí)數(shù)計(jì)算π開創(chuàng)了先河.如圖所示的程序框圖可以用萊布尼茲“關(guān)于π的級(jí)數(shù)展開式”計(jì)算π的近似值(其中P表示π的近似值),若輸入,則輸出的結(jié)果是()A． B．C． D．12．某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是邊長為4的正三角形，俯視圖是由邊長為4的正三角形和一個(gè)半圓構(gòu)成，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)（）的圖象與直線相切，則______.14．已知復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則實(shí)數(shù)的范圍為______.15．過圓的圓心且與直線垂直的直線方程為__________.16．已知函數(shù)若關(guān)于的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的所有可能值之和為_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓C的離心率為且經(jīng)過點(diǎn)（1）求橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)(0，2)的直線l與橢圓C交于不同兩點(diǎn)A、B，以O(shè)A、OB為鄰邊的平行四邊形OAMB的頂點(diǎn)M在橢圓C上，求直線l的方程.18．（12分）已知，函數(shù).（1）若函數(shù)在上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求證：對(duì)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，，總有成立.19．（12分）班主任為了對(duì)本班學(xué)生的考試成績進(jìn)行分析，決定從本班24名女同學(xué)，18名男同學(xué)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為7的樣本進(jìn)行分析.（1）如果按照性別比例分層抽樣，可以得到多少個(gè)不同的樣本？（寫出算式即可，不必計(jì)算出結(jié)果）（2）如果隨機(jī)抽取的7名同學(xué)的數(shù)學(xué)，物理成績（單位：分）對(duì)應(yīng)如下表：學(xué)生序號(hào)1234567數(shù)學(xué)成績60657075858790物理成績70778085908693①若規(guī)定85分以上（包括85分）為優(yōu)秀，從這7名同學(xué)中抽取3名同學(xué)，記3名同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理成績均為優(yōu)秀的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；②根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求物理成績關(guān)于數(shù)學(xué)成績的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；若班上某位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績?yōu)?6分，預(yù)測該同學(xué)的物理成績?yōu)槎嗌俜郑扛剑壕€性回歸方程，其中，.768381252620．（12分）函數(shù)，且恒成立.（1）求實(shí)數(shù)的集合；（2）當(dāng)時(shí)，判斷圖象與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明.（參考數(shù)據(jù)：）21．（12分）已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：.22．（10分）某景點(diǎn)上山共有級(jí)臺(tái)階，寓意長長久久．甲上臺(tái)階時(shí)，可以一步走一個(gè)臺(tái)階，也可以一步走兩個(gè)臺(tái)階，若甲每步上一個(gè)臺(tái)階的概率為，每步上兩個(gè)臺(tái)階的概率為．為了簡便描述問題，我們約定，甲從級(jí)臺(tái)階開始向上走，一步走一個(gè)臺(tái)階記分，一步走兩個(gè)臺(tái)階記分，記甲登上第個(gè)臺(tái)階的概率為，其中，且．（1）若甲走步時(shí)所得分?jǐn)?shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（3）求甲在登山過程中，恰好登上第級(jí)臺(tái)階的概率．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為零先求出的值，然后再按照求函數(shù)在連續(xù)的閉區(qū)間上最值的求法計(jì)算即可.【詳解】解：由已知得，，，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意.，.由得；由得或.所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，在上遞增.則，，由于，所以在區(qū)間上的最大值為2.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)極值的性質(zhì)以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在連續(xù)的閉區(qū)間上的最值問題的基本思路，屬于中檔題．2、A【解析】分析：設(shè)三角形的直角邊分別為1，，利用幾何概型得出圖釘落在小正方形內(nèi)的概率即可得出結(jié)論.解析：設(shè)三角形的直角邊分別為1，，則弦為2，故而大正方形的面積為4，小正方形的面積為.圖釘落在黃色圖形內(nèi)的概率為.落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為.故選：A.點(diǎn)睛：應(yīng)用幾何概型求概率的方法建立相應(yīng)的幾何概型，將試驗(yàn)構(gòu)成的總區(qū)域和所求事件構(gòu)成的區(qū)域轉(zhuǎn)化為幾何圖形，并加以度量．(1)一般地，一個(gè)連續(xù)變量可建立與長度有關(guān)的幾何概型，只需把這個(gè)變量放在數(shù)軸上即可；(2)若一個(gè)隨機(jī)事件需要用兩個(gè)變量來描述，則可用這兩個(gè)變量的有序?qū)崝?shù)對(duì)來表示它的基本事件，然后利用平面直角坐標(biāo)系就能順利地建立與面積有關(guān)的幾何概型；(3)若一個(gè)隨機(jī)事件需要用三個(gè)連續(xù)變量來描述，則可用這三個(gè)變量組成的有序數(shù)組來表示基本事件，利用空間直角坐標(biāo)系即可建立與體積有關(guān)的幾何概型．3、A【解析】

首先的單調(diào)性，由此判斷出，由求得的關(guān)系式.利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值，由此求得的最小值.【詳解】由于函數(shù)，所以在上遞減，在上遞增.由于，，令，解得，所以，且，化簡得，所以，構(gòu)造函數(shù)，.構(gòu)造函數(shù)，，所以在區(qū)間上遞減，而，，所以存在，使.所以在上大于零，在上小于零.所以在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減.而，所以在區(qū)間上的最小值為，也即的最小值為，所以的最小值為.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查分段函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.4、D【解析】根據(jù)四個(gè)列聯(lián)表中的等高條形圖可知，圖中D中共享與不共享的企業(yè)經(jīng)濟(jì)活躍度的差異最大，它最能體現(xiàn)共享經(jīng)濟(jì)對(duì)該部門的發(fā)展有顯著效果，故選D．5、D【解析】

充分性中，由向量數(shù)乘的幾何意義得，再由數(shù)量積運(yùn)算即可說明成立；必要性中，由數(shù)量積運(yùn)算可得，不一定有正數(shù)，使得，所以不成立，即可得答案.【詳解】充分性：若存在正數(shù)，使得，則，，得證；必要性：若，則，不一定有正數(shù)，使得，故不成立；所以是充分不必要條件故選：D【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，向量數(shù)乘的幾何意義，還考查了充分必要條件的判定，屬于簡單題.6、C【解析】

通過圖表所給數(shù)據(jù)，逐個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證.【詳解】根據(jù)圖示數(shù)據(jù)可知選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：，正確；對(duì)于選項(xiàng)C：，故C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D：，正確.選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查柱狀圖是識(shí)別和數(shù)據(jù)分析，題目較為簡單.7、D【解析】

如圖，平面截球所得截面的圖形為圓面，計(jì)算，由勾股定理解得，此外接球的體積為，三棱錐體積為，得到答案.【詳解】如圖，平面截球所得截面的圖形為圓面.正三棱錐中，過作底面的垂線，垂足為，與平面交點(diǎn)記為，連接、.依題意，所以，設(shè)球的半徑為，在中，，，，由勾股定理：，解得，此外接球的體積為，由于平面平面，所以平面，球心到平面的距離為，則，所以三棱錐體積為，所以此外接球的體積與三棱錐體積比值為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的外接球問題，三棱錐體積，球體積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.8、C【解析】

求出導(dǎo)函數(shù)，由有不等的兩實(shí)根，即可得不等關(guān)系，然后由余弦定理可及余弦函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】，.若存在極值，則，又.又．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與極值，考查余弦定理．掌握極值存在的條件是解題關(guān)鍵．9、C【解析】因?yàn)橹比庵校珹B＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC為過底面ABC的截面圓的直徑．取BC中點(diǎn)D，則OD⊥底面ABC，則O在側(cè)面BCC1B1內(nèi)，矩形BCC1B1的對(duì)角線長即為球直徑，所以2R＝＝13，即R＝10、B【解析】根據(jù)題意滿足條件的安排為：A（甲，乙）B（丙）C（?。籄（甲，乙）B（丁）C（丙）；A（甲，丙）B（?。〤（乙）；A（甲，?。〣（丙）C（乙）；A（甲）B（丙，?。〤（乙）；A（甲）B（丁）C（乙，丙）；A（甲）B（丙）C（丁，乙）；共7種，選B.11、B【解析】

執(zhí)行給定的程序框圖，輸入，逐次循環(huán)，找到計(jì)算的規(guī)律，即可求解.【詳解】由題意，執(zhí)行給定的程序框圖，輸入，可得：第1次循環(huán)：；第2次循環(huán)：；第3次循環(huán)：；第10次循環(huán)：，此時(shí)滿足判定條件，輸出結(jié)果，故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計(jì)算與輸出，其中解答中認(rèn)真審題，逐次計(jì)算，得到程序框圖的計(jì)算功能是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】由題意得到該幾何體是一個(gè)組合體，前半部分是一個(gè)高為底面是邊長為4的等邊三角形的三棱錐，后半部分是一個(gè)底面半徑為2的半個(gè)圓錐，體積為故答案為A.點(diǎn)睛：思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長對(duì)正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長是幾何體的長；俯視圖的長是幾何體的長，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬.由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫出整體，然后再根據(jù)三視圖進(jìn)行調(diào)整.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】

設(shè)切點(diǎn)由已知可得,即可解得所求.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，即，又?所以，即，.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力,難度較易.14、【解析】

由復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，在第二象限，得，且，從而求出實(shí)數(shù)的范圍．【詳解】解：∵復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，∴，且，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的關(guān)系，解不等式，且是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．15、【解析】

根據(jù)與已知直線垂直關(guān)系，設(shè)出所求直線方程，將已知圓圓心坐標(biāo)代入，即可求解.【詳解】圓心為，所求直線與直線垂直，設(shè)為，圓心代入，可得，所以所求的直線方程為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查圓的方程、直線方程求法，注意直線垂直關(guān)系的靈活應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

由分段函數(shù)可得不滿足題意；時(shí)，，可得，即有，解方程可得，4，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的圖象即可得到所求和．【詳解】解：由函數(shù)，可得的增區(qū)間為，，時(shí)，，，時(shí)，，當(dāng)關(guān)于的不等式的解集為，，可得不成立，時(shí)，時(shí)，不成立；，即為，可得，即有，顯然，4成立；由和的圖象可得在僅有兩個(gè)交點(diǎn)．綜上可得的所有值的和為1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查不等式的解法，注意運(yùn)用分類討論思想方法，考查化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）根據(jù)橢圓的離心率、橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)以及列方程，由此求得，進(jìn)而求得橢圓的方程.（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，寫出韋達(dá)定理.根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及向量加法的幾何意義得到，由此求得點(diǎn)的坐標(biāo)，將的坐標(biāo)代入橢圓方程，化簡后可求得直線的斜率，由此求得直線的方程.【詳解】（1）由橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上，所以，且解得，所以橢圓的方程為．（2）顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，設(shè)，由消去得，所以，由已知得，所以，由于點(diǎn)都在橢圓上，所以，展開有，又，所以，經(jīng)檢驗(yàn)滿足，故直線的方程為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)橢圓的離心率和橢圓上一點(diǎn)的坐標(biāo)求橢圓方程，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.18、（1）（2）見解析【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得在上恒成立，參變分離得在上恒成立.設(shè)，求出即可得到參數(shù)的取值范圍；（2）不妨設(shè)，，，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)在上是減函數(shù)，即可得證；【詳解】解：（1）∵∴，且函數(shù)在上為減函數(shù)，即在上恒成立，∴在上恒成立.設(shè)，∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴，∴，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）不妨設(shè)，，，則，∴.∵，∴，又，令，∴，∴在上為減函數(shù)，∴，∴，即，∴在上是減函數(shù)，∴，即，∴，∴當(dāng)時(shí)，.∵，∴.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．19、（1）不同的樣本的個(gè)數(shù)為.（2）①分布列見解析，.②線性回歸方程為.可預(yù)測該同學(xué)的物理成績?yōu)?6分.【解析】

（1）按比例抽取即可，再用乘法原理計(jì)算不同的樣本數(shù).（2）名學(xué)生中物理和數(shù)學(xué)都優(yōu)秀的有3名學(xué)生，任取3名學(xué)生，都優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)服從超幾何分布，故可得其概率分布列及其數(shù)學(xué)期望.而線性回歸方程的計(jì)算可用給出的公式計(jì)算，并利用得到的回歸方程預(yù)測該同學(xué)的物理成績.【詳解】（1）依據(jù)分層抽樣的方法，24名女同學(xué)中應(yīng)抽取的人數(shù)為名，18名男同學(xué)中應(yīng)抽取的人數(shù)為名，故不同的樣本的個(gè)數(shù)為.（2）①∵7名同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理成績均為優(yōu)秀的人數(shù)為3名，∴的取值為0，1，2，3.∴，，，.∴的分布列為0123∴.②∵，.∴線性回歸方程為.當(dāng)時(shí)，.可預(yù)測該同學(xué)的物理成績?yōu)?6分.【點(diǎn)睛】在計(jì)算離散型隨機(jī)變量的概率時(shí)，注意利用常見的概率分布列來簡化計(jì)算（如二項(xiàng)分布、超幾何分布等）．20、（1）；（2）2個(gè)，證明見解析【解析】

（1）要恒成立，只要的最小值大于或等于零即可，所以只要討論求解看是否有最小值；（2）將圖像與圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為方程實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)問題，然后構(gòu)造函數(shù)，再利用