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文檔簡介
陜西省西安市長安第一中學(xué)2024年高考全國統(tǒng)考預(yù)測密卷數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知,函數(shù)在區(qū)間上恰有個極值點(diǎn),則正實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.2.已知點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn),直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),若,則的面積為()A. B. C. D.3.已知x,,則“”是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知平面和直線a,b,則下列命題正確的是()A.若∥,b∥,則∥ B.若,,則∥C.若∥,,則 D.若,b∥,則5.已知集合,,則A. B. C. D.6.如圖,四面體中,面和面都是等腰直角三角形,,,且二面角的大小為,若四面體的頂點(diǎn)都在球上,則球的表面積為()A. B. C. D.7.中國的國旗和國徽上都有五角星,正五角星與黃金分割有著密切的聯(lián)系,在如圖所示的正五角星中,以、、、、為頂點(diǎn)的多邊形為正五邊形,且,則()A. B. C. D.8.函數(shù)滿足對任意都有成立,且函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱,,則的值為()A.0 B.2 C.4 D.19.設(shè),命題“存在,使方程有實(shí)根”的否定是()A.任意,使方程無實(shí)根B.任意,使方程有實(shí)根C.存在,使方程無實(shí)根D.存在,使方程有實(shí)根10.已知曲線,動點(diǎn)在直線上,過點(diǎn)作曲線的兩條切線,切點(diǎn)分別為,則直線截圓所得弦長為()A. B.2 C.4 D.11.若的展開式中的系數(shù)為150,則()A.20 B.15 C.10 D.2512.如圖,在正方體中,已知、、分別是線段上的點(diǎn),且.則下列直線與平面平行的是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.等差數(shù)列(公差不為0),其中,,成等比數(shù)列,則這個等比數(shù)列的公比為_____.14.已知函數(shù),則曲線在點(diǎn)處的切線方程是_______.15.已知兩圓相交于兩點(diǎn),,若兩圓圓心都在直線上,則的值是________________.16.正項(xiàng)等比數(shù)列|滿足,且成等差數(shù)列,則取得最小值時的值為_____三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)(1)解不等式;(2)若均為正實(shí)數(shù),且滿足,為的最小值,求證:.18.(12分)已知函數(shù)f(x)=x-1+x+2,記f(x)(Ⅰ)解不等式f(x)≤5;(Ⅱ)若正實(shí)數(shù)a,b滿足1a+119.(12分)在極坐標(biāo)系中,曲線的方程為,以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸所在直線為軸建立直角坐標(biāo),直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),與交于,兩點(diǎn).(1)寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程;(2)設(shè)點(diǎn);若、、成等比數(shù)列,求的值20.(12分)如圖,在四棱錐中,平面,,為的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)求二面角的余弦值.21.(12分)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為,且是與的等差中項(xiàng).(1)證明:為等差數(shù)列,并求;(2)設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和為,求滿足的最小正整數(shù)的值.22.(10分)已知等差數(shù)列和等比數(shù)列的各項(xiàng)均為整數(shù),它們的前項(xiàng)和分別為,且,.(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;(2)求;(3)是否存在正整數(shù),使得恰好是數(shù)列或中的項(xiàng)?若存在,求出所有滿足條件的的值;若不存在,說明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
先利用向量數(shù)量積和三角恒等變換求出,函數(shù)在區(qū)間上恰有個極值點(diǎn)即為三個最值點(diǎn),解出,,再建立不等式求出的范圍,進(jìn)而求得的范圍.【詳解】解:令,解得對稱軸,,又函數(shù)在區(qū)間恰有個極值點(diǎn),只需解得.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量的數(shù)量積運(yùn)算和三角恒等變換與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合問題.(1)利用三角恒等變換及輔助角公式把三角函數(shù)關(guān)系式化成或的形式;(2)根據(jù)自變量的范圍確定的范圍,根據(jù)相應(yīng)的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值或參數(shù)范圍.2、D【解析】
設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為,連接,由對稱性可知四邊形是平行四邊形,設(shè),得,求出的值,即得解.【詳解】設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為,連接,由對稱性可知四邊形是平行四邊形,所以,.設(shè),則,又.故,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì),考查余弦定理解三角形和三角形面積的計(jì)算,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.3、D【解析】
,不能得到,成立也不能推出,即可得到答案.【詳解】因?yàn)閤,,當(dāng)時,不妨取,,故時,不成立,當(dāng)時,不妨取,則不成立,綜上可知,“”是“”的既不充分也不必要條件,故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了充分條件,必要條件的判定,屬于容易題.4、C【解析】
根據(jù)線面的位置關(guān)系,結(jié)合線面平行的判定定理、平行線的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【詳解】A:當(dāng)時,也可以滿足∥,b∥,故本命題不正確;B:當(dāng)時,也可以滿足,,故本命題不正確;C:根據(jù)平行線的性質(zhì)可知:當(dāng)∥,,時,能得到,故本命題是正確的;D:當(dāng)時,也可以滿足,b∥,故本命題不正確.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了線面的位置關(guān)系,考查了平行線的性質(zhì),考查了推理論證能力.5、C【解析】分析:根據(jù)集合可直接求解.詳解:,,故選C點(diǎn)睛:集合題也是每年高考的必考內(nèi)容,一般以客觀題形式出現(xiàn),一般解決此類問題時要先將參與運(yùn)算的集合化為最簡形式,如果是“離散型”集合可采用Venn圖法解決,若是“連續(xù)型”集合則可借助不等式進(jìn)行運(yùn)算.6、B【解析】
分別取、的中點(diǎn)、,連接、、,利用二面角的定義轉(zhuǎn)化二面角的平面角為,然后分別過點(diǎn)作平面的垂線與過點(diǎn)作平面的垂線交于點(diǎn),在中計(jì)算出,再利用勾股定理計(jì)算出,即可得出球的半徑,最后利用球體的表面積公式可得出答案.【詳解】如下圖所示,分別取、的中點(diǎn)、,連接、、,由于是以為直角等腰直角三角形,為的中點(diǎn),,,且、分別為、的中點(diǎn),所以,,所以,,所以二面角的平面角為,,則,且,所以,,,是以為直角的等腰直角三角形,所以,的外心為點(diǎn),同理可知,的外心為點(diǎn),分別過點(diǎn)作平面的垂線與過點(diǎn)作平面的垂線交于點(diǎn),則點(diǎn)在平面內(nèi),如下圖所示,由圖形可知,,在中,,,所以,,所以,球的半徑為,因此,球的表面積為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查球體的表面積,考查二面角的定義,解決本題的關(guān)鍵在于找出球心的位置,同時考查了計(jì)算能力,屬于中等題.7、A【解析】
利用平面向量的概念、平面向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義,便可解決問題.【詳解】解:.故選:A【點(diǎn)睛】本題以正五角星為載體,考查平面向量的概念及運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】
根據(jù)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱可得為奇函數(shù),結(jié)合可得是周期為4的周期函數(shù),利用及可得所求的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱,所以的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,所以為上的奇函數(shù).由可得,故,故是周期為4的周期函數(shù).因?yàn)椋?因?yàn)?,故,所?故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和周期性,一般地,如果上的函數(shù)滿足,那么是周期為的周期函數(shù),本題屬于中檔題.9、A【解析】
只需將“存在”改成“任意”,有實(shí)根改成無實(shí)根即可.【詳解】由特稱命題的否定是全稱命題,知“存在,使方程有實(shí)根”的否定是“任意,使方程無實(shí)根”.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查含有一個量詞的命題的否定,此類問題要注意在兩個方面作出變化:1.量詞,2.結(jié)論,是一道基礎(chǔ)題.10、C【解析】
設(shè),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求出切線斜率,進(jìn)而得到切線方程,將點(diǎn)坐標(biāo)代入切線方程,抽象出直線方程,且過定點(diǎn)為已知圓的圓心,即可求解.【詳解】圓可化為.設(shè),則的斜率分別為,所以的方程為,即,,即,由于都過點(diǎn),所以,即都在直線上,所以直線的方程為,恒過定點(diǎn),即直線過圓心,則直線截圓所得弦長為4.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓位置關(guān)系、直線與拋物線位置關(guān)系,拋物線兩切點(diǎn)所在直線求解是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.11、C【解析】
通過二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)分析得到,即得解.【詳解】由已知得,故當(dāng)時,,于是有,則.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)和系數(shù)問題,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.12、B【解析】
連接,使交于點(diǎn),連接、,可證四邊形為平行四邊形,可得,利用線面平行的判定定理即可得解.【詳解】如圖,連接,使交于點(diǎn),連接、,則為的中點(diǎn),在正方體中,且,則四邊形為平行四邊形,且,、分別為、的中點(diǎn),且,所以,四邊形為平行四邊形,則,平面,平面,因此,平面.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面平行的判定,考查了推理論證能力和空間想象能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、4【解析】
根據(jù)等差數(shù)列關(guān)系,用首項(xiàng)和公差表示出,解出首項(xiàng)和公差的關(guān)系,即可得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為,由題意得:,則整理得,,所以故答案為:4【點(diǎn)睛】此題考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算,涉及等比中項(xiàng),考查基本計(jì)算能力.14、【解析】
求導(dǎo),x=0代入求k,點(diǎn)斜式求切線方程即可【詳解】則又故切線方程為y=x+1故答案為y=x+1【點(diǎn)睛】本題考查切線方程,求導(dǎo)法則及運(yùn)算,考查直線方程,考查計(jì)算能力,是基礎(chǔ)題15、【解析】
根據(jù)題意,相交兩圓的連心線垂直平分相交弦,可得與直線垂直,且的中點(diǎn)在這條直線上,列出方程解得即可得到結(jié)論.【詳解】由,,設(shè)的中點(diǎn)為,根據(jù)題意,可得,且,解得,,,故.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查相交弦的性質(zhì),解題的關(guān)鍵在于利用相交弦的性質(zhì),即兩圓的連心線垂直平分相交弦,屬于基礎(chǔ)題.16、2【解析】
先由題意列出關(guān)于的方程,求得的通項(xiàng)公式,再表示出即可求解.【詳解】解:設(shè)公比為,且,時,上式有最小值,故答案為:2.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列、等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)以及等比數(shù)列求積、求最值的有關(guān)運(yùn)算,中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)或(2)證明見解析【解析】
(1)將寫成分段函數(shù)的形式,由此求得不等式的解集.(2)由(1)求得最小值,由此利用基本不等式,證得不等式成立.【詳解】(1)當(dāng)時,恒成立,解得;當(dāng)時,由,解得;當(dāng)時,由解得所以的解集為或(2)由(1)可求得最小值為,即因?yàn)榫鶠檎龑?shí)數(shù),且(當(dāng)且僅當(dāng)時,取“”)所以,即.【點(diǎn)睛】本小題主要考查絕對值不等式的求法,考查利用基本不等式證明不等式,屬于中檔題.18、(Ⅰ){x|-3≤x≤2}(Ⅱ)見證明【解析】
(Ⅰ)由題意結(jié)合不等式的性質(zhì)零點(diǎn)分段求解不等式的解集即可;(Ⅱ)首先確定m的值,然后利用柯西不等式即可證得題中的不等式.【詳解】(Ⅰ)①當(dāng)x>1時,f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1≤5,即x≤2,∴1<x≤2;②當(dāng)-2≤x≤1時,f(x)=(1-x)+(x+2)=3≤5,∴-2≤x≤1;③當(dāng)x<-2時,f(x)=(1-x)-(x+2)=-2x-1≤5,即x≥-3,∴-3≤x<-2.綜上所述,原不等式的解集為{x|-3≤x≤2}.(Ⅱ)∵f(x)=x-1當(dāng)且僅當(dāng)-2≤x≤1時,等號成立.∴f(x)的最小值m=3.∴[(即2a當(dāng)且僅當(dāng)2a×1又1a+1b=∴2a【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對值不等式的解法,柯西不等式及其應(yīng)用,絕對值三角不等式求最值的方法等知識,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.19、(1)曲線的直角坐標(biāo)方程為,直線的普通方程為;(2)【解析】
(1)由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式和參數(shù)方程與普通方程的互化,即可求解曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程;(2)把的參數(shù)方程代入拋物線方程中,利用韋達(dá)定理得,,可得到,根據(jù)因?yàn)椋?,成等比?shù)列,列出方程,即可求解.【詳解】(1)由題意,曲線的極坐標(biāo)方程可化為,又由,可得曲線的直角坐標(biāo)方程為,由直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),消去參數(shù),得,即直線的普通方程為;(2)把的參數(shù)方程代入拋物線方程中,得,由,設(shè)方程的兩根分別為,,則,,可得,.所以,,.因?yàn)椋?,成等比?shù)列,所以,即,則,解得解得或(舍),所以實(shí)數(shù).【點(diǎn)睛】本題主要考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程,以及參數(shù)方程與普通方程的互化,以及直線參數(shù)方程的應(yīng)用,其中解答中熟記互化公式,合理應(yīng)用直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.20、(1)見解析;(2)【解析】
(1)取的中點(diǎn),連接,根據(jù)中位線的方法證明四邊形是平行四邊形.再證明與從而證明平面,從而得到平面即可.(2)以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,再求得平面的法向量與平面的法向量進(jìn)而求得二面角的余弦值即可.【詳解】(1)證明:如圖,取的中點(diǎn),連接.又為的中點(diǎn),則是的中位線.所以且.又且,所以且.所以四邊形是平行四邊形.所以.因?yàn)?為的中點(diǎn),所以.因?yàn)?所以.因?yàn)槠矫?所以.又,所以平面.所以.又,所以平面.又,所以平面.(2)易知兩兩互相垂直,所以分別以所在的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系:因?yàn)?所以點(diǎn).則.設(shè)平面的法向量為,由,得,令,得平面的一個法向量為;顯然平面的一個法向量為;設(shè)二面角的大小為,則.故二面角的余弦值是.【點(diǎn)睛】本題主要考查
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