2024屆鄂豫晉冀陜五省高三下學期第六次檢測數(shù)學試卷含解析_第1頁
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2024屆鄂豫晉冀陜五省高三下學期第六次檢測數(shù)學試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若各項均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足,則公比()A.1 B.2 C.3 D.42.若,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知的垂心為,且是的中點,則()A.14 B.12 C.10 D.84.在空間直角坐標系中,四面體各頂點坐標分別為:.假設螞蟻窩在點,一只螞蟻從點出發(fā),需要在,上分別任意選擇一點留下信息,然后再返回點.那么完成這個工作所需要走的最短路徑長度是()A. B. C. D.5.山東煙臺蘋果因“果形端正、色澤艷麗、果肉甜脆、香氣濃郁”享譽國內(nèi)外.據(jù)統(tǒng)計,煙臺蘋果(把蘋果近似看成球體)的直徑(單位:)服從正態(tài)分布,則直徑在內(nèi)的概率為()附:若,則,.A.0.6826 B.0.8413 C.0.8185 D.0.95446.已知等差數(shù)列的公差為-2,前項和為,若,,為某三角形的三邊長,且該三角形有一個內(nèi)角為,則的最大值為()A.5 B.11 C.20 D.257.設某大學的女生體重y(單位:kg)與身高x(單位:cm)具有線性相關關系,根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71,則下列結論中不正確的是A.y與x具有正的線性相關關系B.回歸直線過樣本點的中心(,)C.若該大學某女生身高增加1cm,則其體重約增加0.85kgD.若該大學某女生身高為170cm,則可斷定其體重比為58.79kg8.若不等式對于一切恒成立,則的最小值是()A.0 B. C. D.9.有一改形塔幾何體由若千個正方體構成,構成方式如圖所示,上層正方體下底面的四個頂點是下層正方體上底面各邊的中點.已知最底層正方體的棱長為8,如果改形塔的最上層正方體的邊長小于1,那么該塔形中正方體的個數(shù)至少是()A.8 B.7 C.6 D.410.已知命題:是“直線和直線互相垂直”的充要條件;命題:對任意都有零點;則下列命題為真命題的是()A. B. C. D.11.已知復數(shù),若,則的值為()A.1 B. C. D.12.我國古代數(shù)學家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術”,用現(xiàn)代式子表示即為:在中,角所對的邊分別為,則的面積.根據(jù)此公式,若,且,則的面積為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,在矩形中,,是的中點,將,分別沿折起,使得平面平面,平面平面,則所得幾何體的外接球的體積為__________.14.已知數(shù)列的前項和為,,且滿足,則數(shù)列的前10項的和為______.15.已知集合,,則________.16.已知復數(shù)(為虛數(shù)單位),則的模為____.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,四邊形是邊長為3的菱形,平面.(1)求證:平面;(2)若與平面所成角為,求二面角的正弦值.18.(12分)某調(diào)查機構對某校學生做了一個是否同意生“二孩”抽樣調(diào)查,該調(diào)查機構從該校隨機抽查了100名不同性別的學生,調(diào)查統(tǒng)計他們是同意父母生“二孩”還是反對父母生“二孩”,現(xiàn)已得知100人中同意父母生“二孩”占60%,統(tǒng)計情況如下表:同意不同意合計男生a5女生40d合計100(1)求a,d的值,根據(jù)以上數(shù)據(jù),能否有97.5%的把握認為是否同意父母生“二孩”與性別有關?請說明理由;(2)將上述調(diào)查所得的頻率視為概率,現(xiàn)在從所有學生中,采用隨機抽樣的方法抽取4位學生進行長期跟蹤調(diào)查,記被抽取的4位學生中持“同意”態(tài)度的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學期望.附:0.150.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.63519.(12分)如圖,三棱柱的所有棱長均相等,在底面上的投影在棱上,且∥平面(Ⅰ)證明:平面平面;(Ⅱ)求直線與平面所成角的余弦值.20.(12分)如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=AA1,M,N分別是AC,B1C1的中點.求證:(1)MN∥平面ABB1A1;(2)AN⊥A1B.21.(12分)已知橢圓,過的直線與橢圓相交于兩點,且與軸相交于點.(1)若,求直線的方程;(2)設關于軸的對稱點為,證明:直線過軸上的定點.22.(10分)如圖,在四棱錐中,底面是直角梯形且∥,側面為等邊三角形,且平面平面.(1)求平面與平面所成的銳二面角的大??;(2)若,且直線與平面所成角為,求的值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

由正項等比數(shù)列滿足,即,又,即,運算即可得解.【詳解】解:因為,所以,又,所以,又,解得.故選:C.【點睛】本題考查了等比數(shù)列基本量的求法,屬基礎題.2、A【解析】

本題根據(jù)基本不等式,結合選項,判斷得出充分性成立,利用“特殊值法”,通過特取的值,推出矛盾,確定必要性不成立.題目有一定難度,注重重要知識、基礎知識、邏輯推理能力的考查.【詳解】當時,,則當時,有,解得,充分性成立;當時,滿足,但此時,必要性不成立,綜上所述,“”是“”的充分不必要條件.【點睛】易出現(xiàn)的錯誤有,一是基本不等式掌握不熟,導致判斷失誤;二是不能靈活的應用“賦值法”,通過特取的值,從假設情況下推出合理結果或矛盾結果.3、A【解析】

由垂心的性質,得到,可轉化,又即得解.【詳解】因為為的垂心,所以,所以,而,所以,因為是的中點,所以.故選:A【點睛】本題考查了利用向量的線性運算和向量的數(shù)量積的運算率,考查了學生綜合分析,轉化劃歸,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.4、C【解析】

將四面體沿著劈開,展開后最短路徑就是的邊,在中,利用余弦定理即可求解.【詳解】將四面體沿著劈開,展開后如下圖所示:最短路徑就是的邊.易求得,由,知,由余弦定理知其中,∴故選:C【點睛】本題考查了余弦定理解三角形,需熟記定理的內(nèi)容,考查了學生的空間想象能力,屬于中檔題.5、C【解析】

根據(jù)服從的正態(tài)分布可得,,將所求概率轉化為,結合正態(tài)分布曲線的性質可求得結果.【詳解】由題意,,,則,,所以,.故果實直徑在內(nèi)的概率為0.8185.故選:C【點睛】本題考查根據(jù)正態(tài)分布求解待定區(qū)間的概率問題,考查了正態(tài)曲線的對稱性,屬于基礎題.6、D【解析】

由公差d=-2可知數(shù)列單調(diào)遞減,再由余弦定理結合通項可求得首項,即可求出前n項和,從而得到最值.【詳解】等差數(shù)列的公差為-2,可知數(shù)列單調(diào)遞減,則,,中最大,最小,又,,為三角形的三邊長,且最大內(nèi)角為,由余弦定理得,設首項為,即得,所以或,又即,舍去,,d=-2前項和.故的最大值為.故選:D【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式的應用,考查求前n項和的最值問題,同時還考查了余弦定理的應用.7、D【解析】根據(jù)y與x的線性回歸方程為y=0.85x﹣85.71,則=0.85>0,y與x具有正的線性相關關系,A正確;回歸直線過樣本點的中心(),B正確;該大學某女生身高增加1cm,預測其體重約增加0.85kg,C正確;該大學某女生身高為170cm,預測其體重約為0.85×170﹣85.71=58.79kg,D錯誤.故選D.8、C【解析】

試題分析:將參數(shù)a與變量x分離,將不等式恒成立問題轉化為求函數(shù)最值問題,即可得到結論.解:不等式x2+ax+1≥0對一切x∈(0,]成立,等價于a≥-x-對于一切成立,∵y=-x-在區(qū)間上是增函數(shù)∴∴a≥-∴a的最小值為-故答案為C.考點:不等式的應用點評:本題綜合考查了不等式的應用、不等式的解法等基礎知識,考查運算求解能力,考查化歸與轉化思想,屬于中檔題9、A【解析】

則從下往上第二層正方體的棱長為:,從下往上第三層正方體的棱長為:,從下往上第四層正方體的棱長為:,以此類推,能求出改形塔的最上層正方體的邊長小于1時該塔形中正方體的個數(shù)的最小值的求法.【詳解】最底層正方體的棱長為8,則從下往上第二層正方體的棱長為:,從下往上第三層正方體的棱長為:,從下往上第四層正方體的棱長為:,從下往上第五層正方體的棱長為:,從下往上第六層正方體的棱長為:,從下往上第七層正方體的棱長為:,從下往上第八層正方體的棱長為:,∴改形塔的最上層正方體的邊長小于1,那么該塔形中正方體的個數(shù)至少是8.故選:A.【點睛】本小題主要考查正方體有關計算,屬于基礎題.10、A【解析】

先分別判斷每一個命題的真假,再利用復合命題的真假判斷確定答案即可.【詳解】當時,直線和直線,即直線為和直線互相垂直,所以“”是直線和直線互相垂直“的充分條件,當直線和直線互相垂直時,,解得.所以“”是直線和直線互相垂直“的不必要條件.:“”是直線和直線互相垂直“的充分不必要條件,故是假命題.當時,沒有零點,所以命題是假命題.所以是真命題,是假命題,是假命題,是假命題.故選:.【點睛】本題主要考查充要條件的判斷和兩直線的位置關系,考查二次函數(shù)的圖象,考查學生對這些知識的理解掌握水平.11、D【解析】由復數(shù)模的定義可得:,求解關于實數(shù)的方程可得:.本題選擇D選項.12、A【解析】

根據(jù),利用正弦定理邊化為角得,整理為,根據(jù),得,再由余弦定理得,又,代入公式求解.【詳解】由得,即,即,因為,所以,由余弦定理,所以,由的面積公式得故選:A【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理以及類比推理,還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

根據(jù)題意,畫出空間幾何體,設的中點分別為,并連接,利用面面垂直的性質及所給線段關系,可知幾何體的外接球的球心為,即可求得其外接球的體積.【詳解】由題可得,,均為等腰直角三角形,如圖所示,設的中點分別為,連接,則,.因為平面平面,平面平面,所以平面,平面,易得,則幾何體的外接球的球心為,半徑,所以幾何體的外接球的體積為.故答案為:.【點睛】本題考查了空間幾何體的綜合應用,折疊后空間幾何體的線面位置關系應用,空間幾何體外接球的性質及體積求法,屬于中檔題.14、1【解析】

由得時,,兩式作差,可求得數(shù)列的通項公式,進一步求出數(shù)列的和.【詳解】解:數(shù)列的前項和為,,且滿足,①當時,,②①-②得:,整理得:(常數(shù)),故數(shù)列是以為首項,2為公比的等比數(shù)列,所以(首項不符合通項),故,所以:,故答案為:1.【點睛】本題主要考查數(shù)列的通項公式的求法及應用,數(shù)列的前項和的公式,屬于基礎題.15、【解析】

利用交集定義直接求解.【詳解】解:集合奇數(shù),偶數(shù),.故答案為:.【點睛】本題考查交集的求法,考查交集定義等基礎知識,考查運算求解能力,屬于基礎題.16、【解析】,所以.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析(2)【解析】

(1)由已知線面垂直得,結合菱形對角線垂直,可證得線面垂直;(2)由已知知兩兩互相垂直.以分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標系如圖所示,由已知線面垂直知與平面所成角為,這樣可計算出的長,寫出各點坐標,求出平面的法向量,由法向量夾角可得二面角.【詳解】證明:(1)因為平面,平面,所以.因為四邊形是菱形,所以.又因為,平面,平面,所以平面.解:(2)據(jù)題設知,兩兩互相垂直.以分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標系如圖所示,因為與平面所成角為,即,所以又,所以,所以所以設平面的一個法向量,則令,則.因為平面,所以為平面的一個法向量,且所以,.所以二面角的正弦值為.【點睛】本題考查線面垂直的判定定理和性質定理,考查用向量法求二面角.立體幾何中求空間角常常是建立空間直角坐標系,用空間向量法求空間角,這樣可減少思維量,把問題轉化為計算.18、(1),有97.5%的把握認為是否同意父母生“二孩”與“性別”有關;(2)詳見解析.【解析】

(1)根據(jù)表格及同意父母生“二孩”占60%可求出,,根據(jù)公式計算結果即可確定有97.5%的把握認為是否同意父母生“二孩”與“性別”有關(2)由題意可知X服從二項分布,利用公式計算概率及期望即可.【詳解】(1)因為100人中同意父母生“二孩”占60%,所以,文(2)由列聯(lián)表可得而所以有97.5%的把握認為是否同意父母生“二孩”與“性別”有關(2)①由題知持“同意”態(tài)度的學生的頻率為,即從學生中任意抽取到一名持“同意”態(tài)度的學生的概率為.由于總體容量很大,故X服從二項分布,即從而X的分布列為X01234X的數(shù)學期望為【點睛】本題主要考查了相關性檢驗、二項分布,屬于中檔題.19、(Ⅰ)見解析(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)連接交于點,連接,由于平面,得出,根據(jù)線線位置關系得出,利用線面垂直的判定和性質得出,結合條件以及面面垂直的判定,即可證出平面平面;(Ⅱ)根據(jù)題意,建立空間直角坐標系,利用空間向量法分別求出和平面的法向量,利用空間向量線面角公式,即可求出直線與平面所成角的余弦值.【詳解】解:(Ⅰ)證明:連接交于點,連接,則平面平面,平面,,為的中點,為的中點,平面,,平面,平面,平面平面(Ⅱ)建立如圖所示空間直角坐標系,設則,,,,,設平面的法向量為,則,取得,設直線與平面所成角為,直線與平面所成角的余弦值為.【點睛】本題考查面面垂直的判定以及利用空間向量法求線面角的余弦值,考查空間想象能力和推理能力.20、(1)詳見解析;(2)詳見解析.【解析】

(1)利用平行四邊形的方法,證明平面.(2)通過證明平面,由此證得.【詳解】(1)設是中點,連接,由于是中點,所以且,而且,所以與平行且相等,所以四邊形是平行四邊形,所以,由于平面,平面,所以平面.(2)連接,由于直三棱柱中,而,,所以平面,所以,由于,所以.由于四邊形是矩形且,所以四邊形是正方形,所以,由于,所以平面,所以.【點睛】本小題主要考查線面平行的證明,考查線面垂直的證明,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.21、(1)或;(2)見解析【解析】

(1)由已知條件利用點斜式設出直線的方程,則可表示出點的坐標,再由的關系表示出點的坐標,而點在橢圓

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