2024年-直角三角形三邊的關(guān)系

14.1.1直角三角形三邊的關(guān)系1

一、情境引入

會標(biāo)中央的圖案是趙爽弦圖，它與“勾股定理”有關(guān)，數(shù)學(xué)家曾建議用“勾股定理”的圖來作為與“外星人”聯(lián)系的信號.

2002年世界數(shù)學(xué)家大會在我國北京召開，下圖是本屆數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)：2朱實(shí)黃實(shí)朱實(shí)朱實(shí)朱實(shí)ABC趙爽·弦圖3試一試1.直角三角形三邊之間的關(guān)系測量你的兩塊直角三角尺的三邊的長度,并將各邊的長度填入下表：三角尺直角邊a直角邊b斜邊c關(guān)系1212根據(jù)測得的數(shù)據(jù)，你能作出怎樣的猜想？和其他同學(xué)交流一下異同.4RQPCAB圖14.1.1圖14.1.1是正方形瓷磚拼成的地面，觀察圖中畫出的三個(gè)正方形P、Q、R,之間存在怎樣的關(guān)系？觀察5ABCPQR試一試

（每一小方格表示1cm2)圖14.1.2觀察圖14.1.2，可得：=

cm2=

cm2=

cm291625之間存在怎樣的關(guān)系？方法1方法2做一做6ABCPQR方法一：分割成若干個(gè)直角邊為整數(shù)的三角形(cm2)（每一小方格表示1cm2)圖14.1.2返回7ABCPQR（每一小方格表示1cm2)圖14.1.2方法二：補(bǔ)成一個(gè)正方形(Cm2)返回8做一做

在圖14.1.3的方格圖中用三角尺畫出兩條直角邊分別為5cm、12cm的直角三角形，然后用刻度尺量出斜邊的長，并驗(yàn)證上述關(guān)系對這個(gè)直角三角形是否成立？（每一小方格表示1cm2)圖14.1.351213因?yàn)?2+122=169，132=169，所以52+122=1329勾股定理

對于任意直角三角形，如果兩直角邊分別為a、b,斜邊為c，那么一定有即

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.abc如果知道了直角三角形兩邊的長度,那么應(yīng)用勾股定理可以求出第三邊的長度10

勾股定理給出了直角三角形三邊之間的關(guān)系，即兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。cba公式變形c2=a2+b2a2=c2－b2b2=c2-a211

例1

.在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°.

(1)已知：a=6，ｂ=8，求c；

(2)已知：a=40，c=41，求b；

(3)已知：c=13，b=5，求a；

(4)已知:a:b=3:4,c=15,求a、b.例題分析(1)在直角三角形中,已知兩邊,可求第三邊;(2)可用勾股定理建立方程.方法小結(jié)12例2

如圖14.1.4,將長為5.41米的梯子AC斜靠在墻上,BC長為2.16米,求梯子上端A到墻的底邊的垂直距離AB(精確到0.01米)CBA圖14.1.413CBA圖14.1.4解：如圖14.1.4,在Rt△ABC中，BC=2.16米，AC=5.41米，根據(jù)勾股定理可得答：梯子上端A到墻的底邊的垂直距離AB約為4.96米.14例3

如圖,為了求出位于湖兩岸的兩點(diǎn)A、B之間的距離，一個(gè)觀測者在點(diǎn)C設(shè)樁，使三角形ABC恰好為直角三角形。通過測量，得到AC長為160米，BC長為128米，問從點(diǎn)A穿過湖到點(diǎn)B有多遠(yuǎn)？ABC15課堂小結(jié)1.談?wù)勀氵@節(jié)課的收獲與感受；2.你還有什么困惑？161.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.abc2.在直角三角形中已知兩邊求第三邊：17活動拼一拼：拿出你準(zhǔn)備的四個(gè)全等的直角三角形，用這四個(gè)直角三角形拼一拼，擺一擺，看能否得到一個(gè)含有以斜邊c為邊長的正方形。

acb18cba你能用兩種方法表示這個(gè)大正方形的面積嗎？=證法二：19abc你能用兩種方法表示這個(gè)小正方形的面積嗎？=證法三：20

商高是公元前十一世紀(jì)的中國人。當(dāng)時(shí)中國的朝代是西周，是奴隸社會時(shí)期。在中國古代大約是戰(zhàn)國時(shí)期西漢的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記錄著商高同周公的一段對話。商高說："…故折矩，勾廣三，股修四，經(jīng)隅五。"什么是"勾、股"呢？在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為"勾"，下半部分稱為"股"。商高那段話的意思就是說：當(dāng)直角三角形的兩條直角邊分別為3（短邊）和4（長邊）時(shí)，徑隅（就是弦）則為5。以后人們就簡單地把這個(gè)事實(shí)說成"勾三股四弦五"。由于勾股定理的內(nèi)容最早見于商高的話中，所以人們就把這個(gè)定理叫作"商高定理"。商高定理21

畢達(dá)格拉斯定理

畢達(dá)哥拉斯有次應(yīng)邀參加一位富有政要的餐會，這位主人豪華宮殿般的餐廳鋪著是正方形美麗的大理石地磚，由于大餐遲遲不上桌，這些饑腸轆轆的貴賓頗有怨言；但這位善于觀察和理解的數(shù)學(xué)家卻凝視腳下這些排列規(guī)則、美麗的方形磁磚，但畢達(dá)哥拉斯不只是欣賞磁磚的美麗，而是想到它們和[數(shù)]之間的關(guān)系，于是拿了畫筆并且蹲在地板上，選了一塊磁磚以它的對角線AB為邊畫一個(gè)正方形，他發(fā)現(xiàn)這個(gè)正方形面積恰好等于兩塊磁磚的面積和。他很好奇....于是再以兩塊磁磚拼成的矩形之對角線作另一個(gè)正方形，他發(fā)現(xiàn)這個(gè)正方形之面積等于5塊磁磚的面積，也就是以兩股為邊作正方形面積之和。至此畢達(dá)哥拉斯作了大膽的假設(shè)：任何直角三角形，其斜邊的平方恰好等于另兩邊平方之和。那一頓飯，這位古希臘數(shù)學(xué)大師，視線都一直沒有離開地面。22

希臘的著明數(shù)學(xué)家畢達(dá)格拉斯發(fā)現(xiàn)了這個(gè)定理，因此世界上許多國家都稱勾股定理為“畢達(dá)格拉斯”定理．為了慶祝這一定理的發(fā)現(xiàn)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派殺了一百頭牛酬謝供奉神靈，因此這個(gè)定理又有人叫做“百牛定理”．百牛定理23

一個(gè)周末的傍晚，伽菲爾德突然發(fā)現(xiàn)附近的一個(gè)小石凳上，有兩個(gè)小孩正在聚精會神地談?wù)撝裁矗灰娨粋€(gè)小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個(gè)直角三角形．于是伽菲爾德便問他們在干什么？只見那個(gè)小男孩頭也不抬地說：“請問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，那么斜邊長為多少呢？”伽菲爾德答到：“是5呀．”小男孩又問道：“如果兩條直角邊分別為5和7，那么這個(gè)直角三角形的斜邊長又是多少？”伽菲爾德不加思索地回答到：“那斜邊的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又說道：“先生，你能說出其中的道理嗎？”伽菲爾德一時(shí)語塞，無法解釋了，心理很不是滋味．于是伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他留下的難題．他經(jīng)過反復(fù)的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給出了簡潔的證明方法．1881年，伽菲爾德就任美國第二十任總統(tǒng)后來，人們?yōu)榱思o(jì)念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統(tǒng)”證法?？偨y(tǒng)與勾股定理24證法四：（伽菲爾德證法1876年）ABCDE

如圖，Rt△ABE≌Rt△ECD，可知∠AED=90°；梯形ABCD的面積＝梯形ABCD的面積＝∴∴25１、如圖:一個(gè)高3米,寬4米的大門,需在相對角的頂點(diǎn)間加一個(gè)加固木板,則木板的長為()A.3米B.4米C.5米D.6米C試一試:３４26２、隔湖有兩點(diǎn)A、Ｂ，從與ＢA方向成直角的BC方向上的點(diǎn)C測得CA=13米,CB=12米,則AB為()ABCA.5米B.12米C.10米D.13米1312?A試一試:27３、一個(gè)直角三角形的三邊長為三個(gè)連續(xù)偶數(shù),則它的三邊長分別為()A2、4、6Ｃ4、6、8B試一試:Ｂ6、8、10Ｄ8、10、12285或４、已知：Rt△ＡBC中，AB＝４，AC＝３,則BC的長為

.試一試:43ACB43CAB2911數(shù)學(xué)的和諧美30勾股小常識：勾股數(shù)

1、a2+b2=c2，滿足(a,b,c)=1則a,b,c,為基本勾股數(shù)如：3、4、5;5、12、13;7、24、25……2、如果a,b,c是一組