專(zhuān)題03 平行線與三角形綜合特訓(xùn)（壓軸30題）（解析版）

專(zhuān)題03平行線與三角形綜合特訓(xùn)（壓軸30題）一．選擇題（共7小題）1．將一直角三角板與兩邊平行的紙條如圖放置．下列結(jié)論：（1）∠1＝∠2；（2）∠2+∠4＝90°；（3）∠3＝∠4；（4）∠4+∠5＝180°；（5）∠1+∠3＝90°．其中正確的共有（）A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【答案】A【解答】解：如圖，根據(jù)題意得：AB∥CD，∠FEG＝90°，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠4+∠5＝180°，∠2+∠4＝90°；故（1），（2），（3），（4）正確；∴∠1+∠3＝90°．故（5）正確．∴其中正確的共有5個(gè)．故選：A．2．如圖，若干全等正五邊形排成環(huán)狀．圖中所示的是前3個(gè)五邊形，要完成這一圓環(huán)還需（）個(gè)五邊形．A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【解答】解：五邊形的內(nèi)角和為（5﹣2）×180°＝540°，所以正五邊形的每一個(gè)內(nèi)角為540°÷5＝108°，如圖，延長(zhǎng)正五邊形的兩邊相交于點(diǎn)O，則∠1＝360°﹣108°×3＝360°﹣324°＝36°，360°÷36°＝10，∵已經(jīng)有3個(gè)五邊形，∴10﹣3＝7，即完成這一圓環(huán)還需7個(gè)五邊形．故選：B．3．如圖所示，在折紙活動(dòng)中，小明制作了一張△ABC紙片，點(diǎn)D，E分別是邊AB、AC上，將△ABC沿著DE重疊壓平，A與A′重合，若∠A＝70°，則∠1+∠2＝（）A．140° B．130° C．110° D．70°【答案】A【解答】解：∵四邊形ADA′E的內(nèi)角和為（4﹣2）?180°＝360°，而由折疊可知∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，∠A＝∠A′，∴∠AED+∠A′ED+∠ADE+∠A′DE＝360°﹣∠A﹣∠A′＝360°﹣2×70°＝220°，∴∠1+∠2＝180°×2﹣（∠AED+∠A′ED+∠ADE+∠A′DE）＝140°．故選：A．4．如圖所示，已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為1，按圖中所示的規(guī)律，用2008個(gè)這樣的三角形鑲嵌而成的四邊形的周長(zhǎng)是（）A．2008 B．2009 C．2010 D．2011【答案】C【解答】解：由圖中可知：1個(gè)三角形組成的圖形的周長(zhǎng)是3；2個(gè)三角形組成的圖形的周長(zhǎng)是3+1＝4；3個(gè)三角形組成的圖形的周長(zhǎng)是3+2＝5；…那么2008個(gè)這樣的三角形鑲嵌而成的四邊形的周長(zhǎng)是3+2007＝2010．故選：C．5．如圖，在△ABC中，BE，CE，CD分別平分∠ABC，∠ACB，∠ACF，AB∥CD，下列結(jié)論：①∠BDC＝∠BAC；②∠BEC＝90°+∠ABD；③∠CAB＝∠CBA；④∠ADB+∠ABC＝90°，其中正確的為（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】C【解答】解：∵CD平分∠ACF，∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∴∠ACD＝∠DCF＝∠ACF＝∠ABC+∠BAC．∵∠DCF＝∠DBC+∠BDC＝∠ABC+∠BDC，∴∠BAC＝∠BDC，即∠BAC＝2∠BDC，①錯(cuò)誤；∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ACB，∵∠ACB+∠ACF＝180°，∴∠ACE+∠ACD＝90°，即∠ECD＝90°，∴∠BEC＝∠ECD+∠CDB＝90°+∠CDB，∵CD∥AB，∴∠CDB＝∠ABD，∴∠BEC＝90°+∠ABD，故②正確；∵BD平分∠CBA，∴∠CBA＝2∠ABD＝2∠CDB，∵∠BAC＝2∠BDC，∴∠CAB＝∠CBA，故③正確；∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACF，∴AD為△ABC外角∠MAC的平分線，∴∠MAC＝2∠MAD，∵∠MAC＝∠ABC+∠ACB，∠MAD＝∠ABD+∠ADB，∠ABC＝2∠ABD，∴∠ACB＝2∠ADB，∴∠ADB＝∠ACE，∵CD∥AB，∴∠ABC＝∠DCF＝∠ACD，∵∠ACE+∠ACD＝90°，∴∠ADB+∠ABC＝90°，故④正確．故選：C．6．如圖，在△ABC中，延長(zhǎng)CA至點(diǎn)F，使得AF＝CA，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)D，使得BD＝2AB，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，使得CE＝3CB，連接EF、FD、DE，若S△DEF＝36，則S△ABC為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解答】解：如圖，連接AE，CD，設(shè)△ABC的面積為m．∵BD＝2AB，∴△BCD的面積為2m，△ACD的面積為3m，∵AC＝AF，∴△ADF的面積＝△ACD的面積＝3m，∵EC＝3BC，∴△ECA的面積＝3m，△EDC的面積＝6m，∵AC＝AF，∴△AEF的面積＝△EAC的面積＝3m，∴△DEF的面積＝m+2m+6m+3m+3m+3m＝18m＝36，∴m＝2，∴△ABC的面積為2，故選：A．7．若一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，變成十四邊形，則原來(lái)的多邊形的邊數(shù)可能為（）A．14或15 B．13或14 C．13或14或15 D．14或15或16【答案】C【解答】解：如圖，n邊形，A1A2A3…An，若沿著直線A1A3截去一個(gè)角，所得到的多邊形，比原來(lái)的多邊形的邊數(shù)少1，若沿著直線A1M截去一個(gè)角，所得到的多邊形，與原來(lái)的多邊形的邊數(shù)相等，若沿著直線MN截去一個(gè)角，所得到的多邊形，比原來(lái)的多邊形的邊數(shù)多1，因此將一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，變成十四邊形，則原來(lái)的多邊形的邊數(shù)為13或14或15，故選：C．二．填空題（共8小題）8．如圖所示，在三角形ABC中，AC＝3AE，三角形ABD的面積是三角形ADC面積的2倍，則陰影部分的面積占三角形ABC面積的＝．【答案】．【解答】解：連接OC，則S△AOE＝S△EOC，S△ODC＝S△BOD，又∵S△ADC＝S△ABD，∴S△AOC+S△ODC＝（S△AOB+S△BOD），∴S△AOC＝S△AOB設(shè)S△AOE＝m，則S△OEC＝2m，S△AOC＝3m，S△AOB＝6m，∵S△ABD＝S△BEC＝S△ABC，∴S△AOB＝S四邊形EODC＝6m，∴S△ODC＝4m，S△BOD＝8m，∴S△ABC＝21m，∴陰影部分的面積占三角形ABC面積de＝．9．如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC平分線BP交于點(diǎn)P，若∠BPC＝36°，則∠CAP＝54°．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：過(guò)P點(diǎn)作PF⊥BA于F，PN⊥BD于N，PM⊥AC于M，設(shè)∠PCD＝x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，∴PF＝PM，又∵PF⊥BA于F，PM⊥AC于M，∴∠FAP＝∠PAC．∵∠BPC＝36°，∴∠ABP＝∠PBC＝（x﹣36）°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣36°）﹣（x°﹣36°）＝72°，∴∠CAF＝108°，∴∠FAP＝∠PAC＝54°．故答案為：54°．10．如圖，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，得∠A1，則∠A1＝．∠A1BC的平分線與∠A1CD的平分線交于點(diǎn)A2，得∠A2，…，∠A2009BC的平分線與∠A2009CD的平分線交于點(diǎn)A2010，得∠A2010，則∠A2010＝．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BC，∴2∠A1CD＝∠A+2∠A1BC，即∠A1CD＝∠A+∠A1BC，∴∠A1＝＝，由此可得∠A2010＝．故答案為：，．11．已知△ABC中，∠A＝α．在圖（1）中∠B、∠C的角平分線交于點(diǎn)O1，則可計(jì)算得∠BO1C＝90°+；在圖（2）中，設(shè)∠B、∠C的兩條三等分角線分別對(duì)應(yīng)交于O1、O2，則∠BO2C＝60°+α；請(qǐng)你猜想，當(dāng)∠B、∠C同時(shí)n等分時(shí)，（n﹣1）條等分角線分別對(duì)應(yīng)交于O1、O2，…，On﹣1，如圖（3），則∠BOn﹣1C＝+（用含n和α的代數(shù)式表示）．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝α，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，∵O2B和O2C分別是∠B、∠C的三等分線，∴∠O2BC+∠O2CB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣α）＝120°﹣α；∴∠BO2C＝180°﹣（∠O2BC+∠O2CB）＝180°﹣（120°﹣α）＝60°+α；在△ABC中，∵∠A＝α，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，∵On﹣1B和On﹣1C分別是∠B、∠C的n等分線，∴∠On﹣1BC+∠On﹣1CB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣α）＝﹣．∴∠BOn﹣1C＝180°﹣（∠On﹣1BC+∠On﹣1CB）＝180°﹣（﹣）＝+．故答案為：60°+α；+．12．珠江流域某江段江水流向經(jīng)過(guò)B、C、D三點(diǎn)拐彎后與原來(lái)相同，如圖，若∠ABC＝120°，∠BCD＝80°，則∠CDE＝20度．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB，已知珠江流域某江段江水流向經(jīng)過(guò)B、C、D三點(diǎn)拐彎后與原來(lái)相同，∴AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠BCF+∠ABC＝180°，∴∠BCF＝60°，∴∠DCF＝20°，∴∠CDE＝∠DCF＝20°．故答案為：20．13．如圖，在△ABC中，∠A＝α、∠ABC與∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，得∠A1；∠A1BC與∠A1CD的平分線相交于點(diǎn)A2，得∠A2；…；∠A2010BC與∠A2010CD的平分線相交于點(diǎn)A2011，得∠A2011，則∠A2011＝．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：∵∠ABC與∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，∴∠A1＝180°﹣∠ACD﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣（∠ABC+∠A）﹣（180°﹣∠A﹣∠ABC）﹣∠ABC＝∠A＝；同理可得，∠A2＝∠A1＝，…∴∠A2011＝．故答案為：．14．如圖，在第1個(gè)△ABA1中，∠B＝40°，∠BAA1＝∠BA1A，在A1B上取一點(diǎn)C，延長(zhǎng)AA1到A2，使得在第2個(gè)△A1CA2中，∠A1CA2＝∠A1A2C；在A2C上取一點(diǎn)D，延長(zhǎng)A1A2到A3，使得在第3個(gè)△A2DA3中，∠A2DA3＝∠A2A3D；…，按此做法進(jìn)行下去，第3個(gè)三角形中以A3為頂點(diǎn)的內(nèi)角的度數(shù)為17.5°；第n個(gè)三角形中以An為頂點(diǎn)的底角的度數(shù)為．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：∵在△ABA1中，∠B＝40°，AB＝A1B，∴∠BA1A＝（180°﹣∠B）＝（180°﹣40°）＝70°，∵A1A2＝A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，∴∠CA2A1＝∠BA1A＝×70°＝35°；同理可得，∠DA3A2＝×70°＝17.5°，∠EA4A3＝×70°，以此類(lèi)推，第n個(gè)三角形的以An為頂點(diǎn)的底角的度數(shù)＝．故答案為：17.5°，．15．如圖a是長(zhǎng)方形紙帶，∠DEF＝α°，將紙帶沿EF折疊成圖b，再沿BF折疊成圖c，則圖c中的∠CFE的度數(shù)是（180﹣3α）°（用含α的代數(shù)式表示）．【答案】180﹣3α．【解答】解：∵AD∥BC，∠DEF＝α°，∴∠BFE＝∠DEF＝α°，∴∠EFC＝180°﹣α°（圖a），∴∠BFC＝∠BFC＝180°﹣α°﹣α°＝180°﹣2α°（圖b），∴∠CFE＝180°﹣2α°﹣α°＝180°﹣3α°（圖c）．故答案為：180﹣3α．三．解答題（共15小題）16．已知ABCD為四邊形，點(diǎn)E為邊AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．【探究】：（1）如圖1，∠ADC＝110°，∠BCD＝120°，∠DAB和∠CBE的平分線交于點(diǎn)F，則∠AFB＝25°；（2）如圖2，∠ADC＝α，∠BCD＝β，且α+β＞180°，∠DAB和∠CBE的平分線交于點(diǎn)F，則∠AFB＝；（用α，β表示）（3）如圖3，∠ADC＝α，∠BCD＝β，當(dāng)∠DAB和∠CBE的平分線AG，BH平行時(shí)，α，β應(yīng)該滿(mǎn)足怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論；【挑戰(zhàn)】：如果將（2）中的條件α+β＞180°改為α+β＜180°，再分別作∠DAB和∠CBE的平分線，若兩平分線所在的直線交于點(diǎn)F，則∠AFB與α，β有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)畫(huà)出圖形并直接寫(xiě)出結(jié)論．【答案】（1）25°；（2）；（3）若AG∥BH，則α+β＝180°；90°﹣．【解答】解：（1）如圖1．∵BF平分∠CBE，AF平分∠DAB，∴∠FBE＝∠CBE，∠FAB＝∠DAB．∵∠D+∠DCB+∠DAB+∠ABC＝360°，∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣∠DCB＝360°﹣120°﹣110°＝130°．又∵∠F+∠FAB＝∠FBE，∴∠F＝∠FBE﹣∠FAB＝＝＝（180°﹣130°）＝25°；（2）如圖2．由（1）得：∠AFB＝，∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣∠DCB．∴∠AFB＝＝．（3）若AG∥BH，則α+β＝180°．證明：如圖3．若AG∥BH，則∠GAB＝∠HBE．∵AG平分∠DAB，BH平分∠CBE，∴∠DAB＝2∠GAB，∠CBE＝2∠HBE．∴∠DAB＝∠CBE．∴AD∥BC．∴∠DAB+∠DCB＝α+β＝180°．挑戰(zhàn)：如圖4．∵AM平分∠DAB，BN平分∠CBE，∴∠BAM＝，．∵∠D+∠DAB+∠ABC+∠BCD＝360°，∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣BCD＝360°﹣α﹣β．∴∠DAB+180°﹣∠CBE＝360°﹣α﹣β．∴∠DAB﹣∠CBE＝180°﹣α﹣β．∵∠ABF與∠NBE是對(duì)頂角，∴∠ABF＝∠NBE．又∵∠F+∠ABF＝∠MAB，∴∠F＝∠MAB﹣∠ABF．∴∠F＝＝＝90°﹣．17．已知直線MN與PQ互相垂直，垂足為O，點(diǎn)A在射線OQ上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在射線OM上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A，B均不與點(diǎn)O重合．（1）如圖1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，則∠AIB＝135°．（2）如圖2，AI平分∠BAO交OB于點(diǎn)I，BC平分∠ABM，BC的反向延長(zhǎng)線交AI的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．①若∠BAO＝30°，則∠ADB＝45°．②在點(diǎn)A，B的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠ADB的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若不變，求出∠ADB的度數(shù)；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）如圖3，已知點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，∠BAO的平分線AI，∠OAE的平分線AF與∠BOP的平分線所在的直線分別相交于點(diǎn)D，F(xiàn)．在△ADF中，如果有一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角的3倍，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠ABO的度數(shù)．【答案】（1）135°；（2）①45°，②不變．∠ADB＝45°（3）60°或45°．【解答】解：（1）∵AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，∴，∴∠BIC＝180°﹣∠IBA﹣∠IAB＝＝＝＝＝90°+α，∵直線MN與PQ互相垂直，垂足為O，∴∠BOA＝90°，∴，故答案為：135°．（2）①∵直線MN與PQ互相垂直，垂足為O，∴∠BOA＝90°，∵∠BAO＝30°，∴∠ABM＝120°，∵AI平分∠BAO交OB于點(diǎn)I，BC平分∠ABM，∴，∠BAD＝＝15°，∴∠ADB＝∠CBA﹣∠BAD＝60°﹣15°＝45°，故答案為：45．②不變，∠ADB＝45°．設(shè)∠BAO＝α，∵AI平分∠BAO交OB于點(diǎn)I，BC平分∠ABM，∴，∠MBA＝90°+α，，∴∠ADB＝∠CBA﹣∠BAD＝45，∴不變，∠ADB＝45°．（3）∵∠BAO的平分線AI，∠OAE的平分線AF，∴∠DAF＝90°，∵一個(gè)角是另一角的3倍，∴分兩種情況討論：①當(dāng)∠DAF＝3∠ADF時(shí)，∠ADF＝30°，∵OF為∠BOP的平分線，∴∠DOA＝135°，∴∠OAI＝15°，∴∠OAB＝30°，∴∠OBA＝90°﹣30°＝60°；②當(dāng)∠AFD＝3∠ADF時(shí)，∠ADF＝22.5°，∵OF為∠BOP的平分線，∴∠DOA＝135°，∴∠OAI＝22.5°，∴∠OAB＝45°，∴∠OBA＝90°﹣45°＝45°．∴∠OBA等于60°或45°．18．直線MN與直線PQ垂直相交于O，點(diǎn)A在直線PQ上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在直線MN上運(yùn)動(dòng)．（1）如圖1，已知AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線，點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠AEB的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明變化的情況；若不發(fā)生變化，試求出∠AEB的大?。?）如圖2，已知AB不平行CD，AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線，又DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線，點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠CED的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不發(fā)生變化，試求出其值．（3）如圖3，延長(zhǎng)BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線及延長(zhǎng)線相交于E、F，在△AEF中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，試求∠ABO的度數(shù)．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∠AEB的大小不變，∵直線MN與直線PQ垂直相交于O，∴∠AOB＝90°，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∵AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線，∴∠BAE＝∠OAB，∠ABE＝∠ABO，∴∠BAE+∠ABE＝（∠OAB+∠ABO）＝45°，∴∠AEB＝135°；（2）∠CED的大小不變．延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)F．∵直線MN與直線PQ垂直相交于O，∴∠AOB＝90°，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∴∠PAB+∠MBA＝270°，∵AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線，∴∠BAD＝∠BAP，∠ABC＝∠ABM，∴∠BAD+∠ABC＝（∠PAB+∠ABM）＝135°，∴∠F＝45°，∴∠FDC+∠FCD＝135°，∴∠CDA+∠DCB＝225°，∵DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線，∴∠CDE+∠DCE＝112.5°，∴∠E＝67.5°；（3）∵∠BAO與∠BOQ的角平分線相交于E，∴∠EAO＝∠BAO，∠EOQ＝∠BOQ，∴∠E＝∠EOQ﹣∠EAO＝（∠BOQ﹣∠BAO）＝∠ABO，∵AE、AF分別是∠BAO和∠OAG的角平分線，∴∠EAF＝90°．在△AEF中，∵有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，故有：①∠EAF＝3∠E，∠E＝30°，∠ABO＝60°；②∠EAF＝3∠F，∠E＝60°，∠ABO＝120°（舍去）；③∠F＝3∠E，∠E＝22.5°，∠ABO＝45°；④∠E＝3∠F，∠E＝67.5°，∠ABO＝135°（舍去）．∴∠ABO為60°或45°．19．已知AM∥CN，點(diǎn)B為平面內(nèi)一點(diǎn)，AB⊥BC于B．（1）如圖1，直接寫(xiě)出∠A和∠C之間的數(shù)量關(guān)系∠A+∠C＝90°；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AM于點(diǎn)D，求證：∠ABD＝∠C；（3）如圖3，在（2）問(wèn)的條件下，點(diǎn)E、F在DM上，連接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度數(shù)．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）如圖1，AM與BC的交點(diǎn)記作點(diǎn)O，∵AM∥CN，∴∠C＝∠AOB，∵AB⊥BC，∴∠A+∠AOB＝90°，∴∠A+∠C＝90°，故答案為：∠A+∠C＝90°；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG＝90°，又∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG＝90°，∴∠ABD＝∠CBG，∵AM∥CN，BG∥AM，∴CN∥BG，∴∠C＝∠CBG，∴∠ABD＝∠C；（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)B作BG∥DM，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE，由（2）可得∠ABD＝∠CBG，∴∠ABF＝∠GBF，設(shè)∠DBE＝α，∠ABF＝β，則∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，∠GBF＝β＝∠AFB，∠BFC＝3∠DBE＝3α，∴∠AFC＝3α+β，∵∠AFC+∠NCF＝180°，∠FCB+∠NCF＝180°，∴∠FCB＝∠AFC＝3α+β，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°，可得（2α+β）+3α+（3α+β）＝180°，①由AB⊥BC，可得β+β+2α＝90°，②由①②聯(lián)立方程組，解得α＝15°，∴∠ABE＝15°，∴∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°．20．如圖，已知直線l1∥l2，l3、l4和l1、l2分別交于點(diǎn)A、B、C、D，點(diǎn)P在直線l3或l4上且不與點(diǎn)A、B、C、D重合．記∠AEP＝∠1，∠PFB＝∠2，∠EPF＝∠3．（1）若點(diǎn)P在圖（1）位置時(shí)，求證：∠3＝∠1+∠2；（2）若點(diǎn)P在圖（2）位置時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系；（3）若點(diǎn)P在圖（3）位置時(shí)，寫(xiě)出∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系并給予證明；（4）若點(diǎn)P在C、D兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）證明：過(guò)P作PQ∥l1∥l2，由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，可得：∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF；∵∠3＝∠QPE+∠QPF，∴∠3＝∠1+∠2．（2）∠3＝∠2﹣∠1；證明：過(guò)P作直線PQ∥l1∥l2，則：∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF；∵∠3＝∠QPF﹣∠QPE，∴∠3＝∠2﹣∠1．（3）∠3＝360°﹣∠1﹣∠2．證明：過(guò)P作PQ∥l1∥l2；同（1）可證得：∠3＝∠CEP+∠DFP；∵∠CEP+∠1＝180°，∠DFP+∠2＝180°，∴∠CEP+∠DFP+∠1+∠2＝360°，即∠3＝360°﹣∠1﹣∠2．（4）過(guò)P作PQ∥l1∥l2；①當(dāng)P在C點(diǎn)上方時(shí)，同（2）可證：∠3＝∠DFP﹣∠CEP；∵∠CEP+∠1＝180°，∠DFP+∠2＝180°，∴∠DFP﹣∠CEP+∠2﹣∠1＝0，即∠3＝∠1﹣∠2．②當(dāng)P在D點(diǎn)下方時(shí)，∠3＝∠2﹣∠1，解法同上．綜上可知：當(dāng)P在C點(diǎn)上方時(shí)，∠3＝∠1﹣∠2，當(dāng)P在D點(diǎn)下方時(shí)，∠3＝∠2﹣∠1．21．如圖1，已知線段AB，CD相交于點(diǎn)O，連接AD，CB，我們把形如圖1的圖形稱(chēng)之為“8字形”．如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，并且與CD，AB分別相交于點(diǎn)M，N，試解答下列問(wèn)題：（1）在圖1中，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系；（2）在圖2中，若∠D＝40°，∠B＝36°，試求∠P的度數(shù)；（3）如果圖2中∠D和∠B為任意角時(shí)，其他條件不變，試問(wèn)∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系（直接寫(xiě)出結(jié)論即可）【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）在△AOD中，∠AOD＝180°﹣∠A﹣∠D，在△BOC中，∠BOC＝180°﹣∠B﹣∠C，∵∠AOD＝∠BOC（對(duì)頂角相等），∴180°﹣∠A﹣∠D＝180°﹣∠B﹣∠C，∴∠A+∠D＝∠B+∠C；（2）∵∠D＝40°，∠B＝36°，∴∠OAD+40°＝∠OCB+36°，∴∠OCB﹣∠OAD＝4°，∵AP、CP分別是∠DAB和∠BCD的角平分線，∴∠DAM＝∠OAD，∠PCM＝∠OCB，又∵∠DAM+∠D＝∠PCM+∠P，∴∠P＝∠DAM+∠D﹣∠PCM＝（∠OAD﹣∠OCB）+∠D＝×（﹣4°）+40°＝38°；（3）根據(jù)“8字形”數(shù)量關(guān)系，∠OAD+∠D＝∠OCB+∠B，∠DAM+∠D＝∠PCM+∠P，所以，∠OCB﹣∠OAD＝∠D﹣∠B，∠PCM﹣∠DAM＝∠D﹣∠P，∵AP、CP分別是∠DAB和∠BCD的角平分線，∴∠DAM＝∠OAD，∠PCM＝∠OCB，∴（∠D﹣∠B）＝∠D﹣∠P，整理得，2∠P＝∠B+∠D．22．如圖（1），在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O（a）若∠A＝60°，求∠BOC的度數(shù)；（b）若∠A＝n°，則∠BOC＝90°+n°；（c）若∠BOC＝3∠A，則∠A＝36°；（2）如圖（2），在△A′B′C′中的外角平分線相交于點(diǎn)O′，∠A′＝40°，求∠B′O′C′的度數(shù)；（3）上面（1），（2）兩題中的∠BOC與∠B′O′C′有怎樣的數(shù)量關(guān)系？【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）（a）∵∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，∴∠1+∠2＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝×（180°﹣60°）＝60°，∴∠BOC＝180°﹣60°＝120°；（b））∵∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，∴∠1+∠2＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝×（180°﹣n°）＝90°﹣n°，∴∠BOC＝180°﹣（90°﹣n°）＝90°+n°．故答案為：90°+n°；（c）∵∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，∠BOC＝3∠A，∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，∴∠1+∠2＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，∴90°﹣∠A+3∠A＝180°，解得∠A＝36°故答案為：36°；（2）∵∠A′＝40°，∴∠A′的外角等于180°﹣40°＝140°，∵△A′B′C′另外的兩外角平分線相交于點(diǎn)O′，三角形的外角和等于360°，∴∠1+∠2＝×（360°﹣140°）＝110°，∴∠B′O′C′＝180°﹣110°＝70°；（3）∵由（1）知，∠BOC＝，由（2）知，∠B′O′C′＝180°﹣，∴∠B′O′C′＝180°﹣∠BOC．23．已知，BC∥OA，∠B＝∠A＝100°，試回答下列問(wèn)題：（1）如圖1所示，求證：OB∥AC；（2）如圖2，若點(diǎn)E、F在BC上，且滿(mǎn)足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF．試求∠EOC的度數(shù)；（3）在（2）的條件下，若平行移動(dòng)AC，如圖3，那么∠OCB：∠OFB的比值是否隨之發(fā)生變化？若變化，試說(shuō)明理由；若不變，求出這個(gè)比值．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵BC∥OA，∴∠B+∠O＝180°，又∵∠B＝∠A，∴∠A+∠O＝180°，∴OB∥AC；（2）∵∠B+∠BOA＝180°，∠B＝100°，∴∠BOA＝80°，∵OE平分∠BOF，∴∠BOE＝∠EOF，又∵∠FOC＝∠AOC，∴∠EOF+∠FOC＝（∠BOF+∠FOA）＝∠BOA＝40°；（3）結(jié)論：∠OCB：∠OFB的值不發(fā)生變化．理由為：∵BC∥OA，∴∠FCO＝∠COA，又∵∠FOC＝∠AOC，∴∠FOC＝∠FCO，∴∠OFB＝∠FOC+∠FCO＝2∠OCB，∴∠OCB：∠OFB＝1：2＝；24．有一款燈，內(nèi)有兩面鏡子AB、BC，當(dāng)光線經(jīng)過(guò)鏡子反射時(shí)，入射角等于反射角，即圖1、圖2中的∠1＝∠2，∠3＝∠4．（1）如圖1，當(dāng)AB⊥BC時(shí)，說(shuō)明為什么進(jìn)入燈內(nèi)的光線EF與離開(kāi)燈的光線GH互相平行．（2）如圖2，若兩面鏡子的夾角為α°（0＜α＜90）時(shí)，進(jìn)入燈內(nèi)的光線與離開(kāi)燈的光線的夾角為β°（0＜β＜90），試探索α與β的數(shù)量關(guān)系．（3）若兩面鏡子的夾角為α°（90＜α＜180），進(jìn)入燈內(nèi)的光線與離開(kāi)燈的光線所在直線的夾角為β°（0＜β＜90）．直接寫(xiě)出α與β的數(shù)量關(guān)系．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：如圖1所示：∵∠1＝∠2，又∵∠5＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣2∠2，∴∠5＝180°﹣2∠2，同理∠6＝180°﹣2∠3，∵∠2+∠3＝90°，∴∠5+∠6＝180°，∴EF∥GH，即進(jìn)入燈內(nèi)的光線EF與離開(kāi)燈的光線GH互相平行．（2）解：2α+β＝180°，理由如下：如圖2所示：由（1）所證，有∠5＝180°﹣2∠2，∠6＝180°﹣2∠3，∵∠2+∠3＝180°﹣∠α，∴∠β＝180°﹣∠5﹣∠6＝2（∠2+∠3）﹣180°＝2（180°﹣∠α）﹣180°＝180°﹣2∠α，∴α與β的數(shù)量關(guān)系為：2α+β＝180°，（3）解：2α﹣β＝180°．25．如圖，四邊形ABCD，BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD＝α，∠BCD＝β．（1）如圖1，若α+β＝105°，求∠MBC+∠NDC的度數(shù)；（2）如圖1，若BE與DF相交于點(diǎn)G，∠BGD＝45°，請(qǐng)直接寫(xiě)出α，β所滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系式；（3）如圖2，若α＝β，判斷BE，DF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】（1）105°；（2）β﹣α＝90°（或α﹣β＝﹣90°等均正確）；（3）BE∥DF，理由見(jiàn)答案．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD的內(nèi)角和為360°，∴α+β＝∠A+∠BCD＝360°﹣（∠ABC+∠ADC），∵∠MBC和∠NDC是四邊形ABCD的外角，∴∠MBC＝180°﹣∠ABC，∠NDC＝180°﹣∠ADC，∴∠MBC+∠NDC＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ADC＝360°﹣（∠ABC+∠ADC），＝α+β＝105°；（2）β﹣α＝90°（或α﹣β＝﹣90°等均正確）．理由：如圖1，連接BD，由（1）有，∠MBC+∠NDC＝α+β，∵BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，∴∠CBG＝∠MBC，∠CDG＝∠NDC，∴∠CBG+∠CDG＝∠MBC+∠NDC＝（∠MBC+∠NDC）＝（α+β），在△BCD中，∠BDC+∠CBD＝180°﹣∠BCD＝180°﹣β，在△BDG中，∠BGD＝45°，∠GBD+∠GDB+∠BGD＝180°，∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD＝180°，∴（∠CBG+∠CDG）+（∠BDC+∠CBD）+∠BGD＝180°，∴（α+β）+180°﹣β+45°＝180°，∴β﹣α＝90°．（3）BE∥DF．理由：如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CP∥BE，則∠EBC＝∠BCP，∴∠DCP＝∠BCD﹣∠BCP＝β﹣∠EBC，由（1）知∠MBC+∠NDC＝α+β，∵α＝β，∴∠MBC+∠NDC＝2β，又∵BE、DF分別平分∠MBC和∠NDC，∴∠EBC+∠FDC＝（∠MBC+∠NDC）＝β，∴∠FDC＝β﹣∠EBC，又∵∠DCP＝β﹣∠EBC，∴∠FDC＝∠DCP，∴CP∥DF，又CP∥BE，∴BE∥DF．26．已知，AB∥CD，點(diǎn)E為射線FG上一點(diǎn)．（1）如圖1，若∠EAF＝30°，∠EDG＝40°，則∠AED＝70°；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在FG延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)CD與AE交于點(diǎn)H，則∠AED、∠EAF、∠EDG之間滿(mǎn)足怎樣的關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明你的結(jié)論；（3）如圖3，DI平分∠EDC，交AE于點(diǎn)K，交AI于點(diǎn)I，且∠EAI：∠BAI＝1：2，∠AED＝22°，∠I＝20°，求∠EKD的度數(shù)．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）如圖，延長(zhǎng)DE交AB于H，∵AB∥CD，∴∠D＝∠AHE＝40°，∵∠AED是△AEH的外角，∴∠AED＝∠A+∠AHE＝30°+40°＝70°，故答案為：70；（2）∠EAF＝∠AED+∠EDG．理由：∵AB∥CD，∴∠EAF＝∠EHC，∵∠EHC是△DEH的外角，∴∠EHG＝∠AED+∠EDG，∴∠EAF＝∠AED+∠EDG；（3）∵∠EAI：∠BAI＝1：2，∴設(shè)∠EAI＝α，則∠BAE＝3α，∵∠AED＝22°，∠I＝20°，∠DKE＝∠AKI，又∵∠EDK+∠DKE+∠DEK＝180°，∠KAI+∠KIA+∠AKI＝180°，∴∠EDK＝α﹣2°，∵DI平分∠EDC，∴∠CDE＝2∠EDK＝2α﹣4°，∵AB∥CD，∴∠EHC＝∠EAF＝∠AED+∠EDG，即3α＝22°+2α﹣4°，解得α＝18°，∴∠EDK＝16°，∴在△DKE中，∠EKD＝180°﹣16°﹣22°＝142°．27．如圖，在△ABC中，BD、CD分別是∠ABC、∠ACB的平分線，BP、CP分分別是∠ABC、∠ACB的外角平分線．（1）當(dāng)∠A＝40°時(shí)，分別求∠D和∠P的度數(shù)．（2）當(dāng)∠A的大小變化時(shí)，試探究∠D+∠P的度數(shù)是否變化．如果不變化，求出∠D+∠P的值；如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵BD、CD分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，∴∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，在△BCD中，∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+∠A＝90°+20°＝110°；∵BP、CP分別是∠ABC與∠ACB的外角平分線，∴∠CBP＝∠CBE，∠BCP＝∠BCF，∴∠CBP+∠BCP＝∠CBE+∠BCF＝（∠CBE+∠BCF）＝（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）＝（180°+∠A），∴∠BPC＝180°﹣（∠CBP+∠BCP）＝180°﹣（180°+∠A）＝90°﹣∠A＝90°﹣×40°＝70°．（2）∠D+∠P的值不變．∵由（1）知∠D＝90°+∠A，∠P＝90°﹣∠A，∴∠D+∠P＝180°．28．直線MN與直線PQ相交于O，點(diǎn)A在射線OP上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在射線OM上運(yùn)動(dòng)．（1）如圖1，若∠AOB＝80°，已知AE、BE分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠AEB的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明變化的情況；若不發(fā)生變化，試求出∠AEB的大?。?）如圖2，若∠AOB＝80°，已知AB不平行CD，AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線，AD、BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠F＝50°；DE、CE又分別是∠ADC和∠BCD的角平分線，點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠CED的大小也不發(fā)生變化，其大小為：∠CED＝65°．（3）如圖3，若∠AOB＝90°，延長(zhǎng)BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線及其延長(zhǎng)線相交于E、F，則∠EAF＝90°；（4）如圖3，若AF，AE分別是∠GAO，∠BAO的角平分線，∠AOB＝90°，在△AEF中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的4倍，則∠ABO的度數(shù)＝36°或45°．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∠AEB的大小不變，∵直線MN與直線PQ相交于O，∴∠AOB＝80°，∴∠OAB+∠OBA＝80°，∵AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線，∴∠BAE＝∠OAB，∠ABE＝∠ABO，∴∠BAE+∠ABE＝（∠OAB+∠ABO）＝50°，∴∠AEB＝130°；（2）∠CED的大小不變．延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)F．∵直線MN與直線PQ相交于O，∴∠AOB＝80°，∴∠OAB+∠OBA＝80°，∴∠PAB+∠MBA＝280°，∵AD、BC分別是∠BAP和∠A