遼寧省丹東市2024屆高三下學期總復習質(zhì)量測試（一）數(shù)學試卷（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1遼寧省丹東市2024屆高三下學期總復習質(zhì)量測試（一）數(shù)學試卷一、選擇題1.已知拋物線的焦點到準線的距離為1，則（）A.2 B.1 C. D.〖答案〗D〖解析〗由拋物線，可化為，因為拋物線的焦點到準線的距離為1，可得，解得.故選：D.2.已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)，則對應的點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗，所以，其對應的點在第三象限.故選：C.3.已知等差數(shù)列的公差為d，其前n項和為，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗因為，所以“”是“”的充要條件.故選：C.4.直三棱柱中，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗取中點，連接，因為，所以，以為原點，分別為軸，過點且垂直于面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設，注意到，所以，所以，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：A.5.若，，，則（）A.-2 B. C. D.1〖答案〗B〖解析〗由，，，可得，所以，則.故選：B.6.的展開式中常數(shù)項為（）A.24 B.25 C.48 D.49〖答案〗D〖解析〗的展開式通項為，令，得滿足題意的數(shù)組可以是：，規(guī)定，故所求為.故選：D.7.已知橢圓，直線與C交于A，B兩點，且與x軸和y軸分別交于E，F(xiàn)兩點，若，則C離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗分別令，得，不失一般性，設點，聯(lián)立與得，化簡并整理得，而，所以，若，則，也就是，解得，所以，即，則C的離心率為.故選：B.8.已知，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以，所以，所以，所以，即，所以，即，所以.故選：A.二、選擇題9.已知甲乙兩人進行射擊訓練，兩人各試射次，具體命中環(huán)數(shù)如下表（最高環(huán)數(shù)為環(huán)），從甲試射命中的環(huán)數(shù)中任取個，設事件表示“至多個超過平均環(huán)數(shù)”，事件表示“恰有個超過平均環(huán)數(shù)”，則下列說法正確的是（）人員甲乙命中環(huán)數(shù)A.甲試射命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)小于乙試射命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)B.甲試射命中環(huán)數(shù)的方差大于乙試射命中環(huán)數(shù)的方差C.乙試射命中環(huán)數(shù)的的分位數(shù)是D.事件，互為對立事件〖答案〗BCD〖解析〗對于A，甲試射命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)為，乙試射命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)為，故A錯誤；對于B，甲試射命中環(huán)數(shù)相比乙試射命中環(huán)數(shù)，更為分散，則甲對應的方差更大，故B正確；對于C，乙試射命中環(huán)數(shù)排序為，因為，所以分位數(shù)為，故C正確；對于D，因為甲試射命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)為，且甲試射命中的環(huán)數(shù)中有兩個超過平均數(shù)的，則任取個的情況為：“沒有個超過平均環(huán)數(shù)”、“有個超過平均環(huán)數(shù)”和“有個超過平均環(huán)數(shù)”，而事件表示“沒有個超過平均環(huán)數(shù)”或“有個超過平均環(huán)數(shù)”，事件事件表示“恰有個超過平均環(huán)數(shù)”，所以事件，互為對立事件，D正確.故選：BCD10.已知函數(shù)（，）滿足，且在上單調(diào)遞減，則（）A. B.為奇函數(shù)C.的對稱軸為， D.在上有3個零點〖答案〗AC〖解析〗由于在上單調(diào)遞減，，故對應的點是的對稱中心，即.同樣地由于在上單調(diào)遞減，故最小正周期.同時，由于對任意的實數(shù)，方程在一個形如的區(qū)間上至多有兩個根，且在有兩個根的情況下，這兩個根的平均值對應的直線一定是的的對稱軸，而，，從而，故對應的直線一定是的的對稱軸.現(xiàn)在，由于是的對稱中心，是的的對稱軸，故是的對稱軸.而在上單調(diào)遞減，，故，在上單調(diào)遞減.再由是的對稱中心，就知道，所以，故.此時得到，代入得，即.從而，由知，所以，即.經(jīng)驗證，滿足條件.然后逐一驗證各個選項：我們已經(jīng)推出，故A正確；由，知函數(shù)在處有定義但不過原點，從而不可能是奇函數(shù)，B錯誤；由于當且僅當，即，即，故的對稱軸是，C正確；由于當且僅當，即，即，故在上全部零點是，只有2個，D錯誤.故選：AC.11.已知圓，直線與交于兩點，點為弦的中點，，則（）A.弦有最小值為 B.有最小值為C.面積的最大值為 D.的最大值為9〖答案〗BCD〖解析〗圓圓心，半徑，直線過定點，因為，所以點在圓內(nèi)，所以直線與圓一定相交，當點為弦的中點時，有最小值，此時直線的斜率不存在，而直線的斜率一定存在，所以，故A錯誤；因為點為弦的中點，所以，即，所以點的軌跡是以為直徑的圓(去除），圓心為，半徑為，所以軌跡方程為，因為，所以點在圓外，所以的最小值為，故B正確；對于C，，要使面積取得最大值，只要點到直線的距離最大即可，直線的方程為，即，圓心到直線的距離，所以點到直線的距離最大值為，所以面積的最大值為，故C正確；對于D，設，聯(lián)立，得，則，故，所以點的坐標為，則，當時，，當時，，當時，，當且僅當，即時，取等號，綜上所述的最大值為9，故D正確.故選：BCD.三、填空題12.已知集合，，若，則的取值范圍是________．〖答案〗〖解析〗因為，，所以，則不等式無解，所以，解得.故〖答案〗為：.13.已知球的直徑為，，為球面上的兩點，點在上，且，平面，若是邊長為的等邊三角形，則球心到平面的距離為________．〖答案〗〖解析〗因為，為球的直徑，所以，故球心到平面的距離即為到平面的距離的2倍，如圖設球的半徑為，由題意可知，由，，可得，故如圖，由題意平面，則，，且，設到平面的距離為，則由可得，，得，得，則球心到平面的距離為，故〖答案〗為：14.若為完全平方數(shù)，則正整數(shù)x的取值組成的集合為________．〖答案〗〖解析〗由題意設，則，注意到是偶數(shù)，所以與的奇偶性相同，（否則若和中，有一個是奇數(shù)，有一個是偶數(shù)，則它們的和是奇數(shù)，這與是偶數(shù)矛盾），注意到是偶數(shù)，所以與必然都是偶數(shù)，考慮80分解方式，滿足題意的數(shù)組只可能是三種情況，所以x的取值可能是.故〖答案〗為：.四、解答題15.記內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知面積為S，且．（1）求C；（2）若，，求S．解：（1）因為，即，整理得，即，所以，又，所以.（2）因為，，即，又，所以.16.不透明的盒中有六個大小形狀相同的小球，它們分別標有數(shù)字，0，1，1，2，2，現(xiàn)從中隨機取出3個小球．（1）求取出的3個小球上的數(shù)字兩兩不同的概率；（2）記取出的3個小球上的數(shù)字之積為X，求X的分布列及數(shù)學期望．解：（1）總?cè)》〝?shù)目，考慮全部的取出的3個小球上的數(shù)字兩兩不同的情況，3個小球上的數(shù)字可能是，0，1或，0，2或，1，2或0，1，2，分別有2，2，4，4種情況，故所求概率.（2）如果取出的3個小球上的數(shù)字包含0，此時取出的3個小球上的數(shù)字之積為0，總的情況數(shù)有種；如果取出的3個小球上的數(shù)字為，1，1，此時取出的3個小球上的數(shù)字之積為，總的情況數(shù)有1種；如果取出的3個小球上的數(shù)字為，1，2，此時取出的3個小球上的數(shù)字之積為，總的情況數(shù)有4種；如果取出的3個小球上的數(shù)字為1，1，2，此時取出的3個小球上的數(shù)字之積為2，總的情況數(shù)有2種；如果取出的3個小球上的數(shù)字為，2，2，此時取出的3個小球上的數(shù)字之積為，總的情況數(shù)有1種；如果取出的3個小球上的數(shù)字為1，2，2，此時取出的3個小球上的數(shù)字之積為4，總的情況數(shù)有2種.而總的情況有種，故，，，，，，所以分布列為0240.50.050.20.10.050.1數(shù)學期望.17.如圖，在四棱錐中，，，，，，點在棱上．（1）求證：平面平面；（2）若平面分兩部分幾何體與的體積之比，求二面角的正弦值．（1）證明：取的中點，連接，因為，，所以，因為，，所以，因為，為的中點，所以，，而，故，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）解：連接，過點作于，在中，，則，所以，又因為，所以為等邊三角形，因為為的中點，所以且，又平面，所以平面，又平面，所以，所以即為二面角的平面角，因為幾何體與的體積之比，所以，，設點到平面的距離為，則，則，解得，因為平面，平面，所以，又平面，所以平面，所以，所以，則，所以，所以，故，在中，，所以二面角的正弦值為.18.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當時，數(shù)列滿足，①求證：；②求證：．（1）解：由函數(shù)，可得其定義域為，且，當時，，可得在上單調(diào)遞增；當時，令，可得，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，所以，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明：①當時，，令，可得由（1）知，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，即，所以，即，又由函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，因為，則，所以，即，所以.②因為，且，可得當時，，，，，所以，所以，所以當時，，所以，則，所以，所以.19.我們所學過的橢圓、雙曲線、拋物線這些圓錐曲線，都有令人驚奇的光學性質(zhì)，且這些光學性質(zhì)都與它們的焦點有關．如從雙曲線的一個焦點處出發(fā)的光線照射到雙曲線上，經(jīng)反射后光線的反向延長線會經(jīng)過雙曲線的另一個焦點（如圖所示，其中是反射鏡面也是過點處的切線）．已知雙曲線（，）的左右焦點分別為，，從處出發(fā)的光線照射到雙曲線右支上的點P處（點P在第一象限），經(jīng)雙曲線反射后過點．（1）請根據(jù)雙曲線的光學性質(zhì)，解決下列問題：當，，且直線的傾斜角為時，求反射光線所在的直線方程；（2）從處出發(fā)的光線照射到雙曲線右支上的點處，且三點共線，經(jīng)雙曲線反射后過點，，，延長，分別交兩條漸近線于，點是的中點，求證：為定值．（3）在（2）的條件下，延長交y軸于點，當四邊形的面積為8時，求的方程．（1）解：因為，，所以，，故雙曲線方程為，直線的方程為，由，解得，即，所以，所以反射光線所在的直線方程為，即；（2）