湖南省婁底市常林中學高三數(shù)學文上學期期末試卷含解析

湖南省婁底市常林中學高三數(shù)學文上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知,則“”是“函數(shù)在上為減函數(shù)”的A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：B2.若函數(shù)f(x),g(x)分別是R上的奇函數(shù)、偶函數(shù)且滿足f(x)+g(x)=ex，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，則有

（

）A．f(e)<f(3)<g(3)

B．g(3)<f(3)<f(e)C．f(3)<f(e)<g(3)

D．g(3)<f(e)<f(3)參考答案：A3.（5分）已知函數(shù)f（x）=（a﹣3）x﹣ax3在[﹣1，1]的最小值為﹣3，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣1]B．[12，+∞）C．[﹣1，12]D．參考答案：D【考點】：函數(shù)的最值及其幾何意義．【專題】：計算題；函數(shù)的性質及應用．【分析】：分析四個選項，可發(fā)現(xiàn)C、D選項中a可以取0，故代入a=0可排除A、B；再注意C、D選項，故將代入驗證即可；從而得到答案．

解：當a=0時，f（x）=﹣3x，x∈[﹣1，1]，顯然滿足，故a可以取0，故排除A，B；當時，，，所以f（x）在[﹣1，1]上遞減，所以，滿足條件，故排除C，故選：D．【點評】：本題考查了函數(shù)的最值的求法及排除法的應用，屬于中檔題．4.若（其中為虛數(shù)單位，），則=（）A．—3

B．3

C．—1

D．l參考答案：B5.若不等式－2≤x2－2ax＋a≤－1有唯一解,則a的取值為(

)A．

B．

C.

D．

參考答案：D【知識點】一元二次不等式與二次函數(shù)的關系E3解析：若不等式－2≤x2－2ax＋a≤－1有唯一解，則x2－2ax＋a=－1有相等實根，所以，解得a=,所以選D.【思路點撥】遇到一元二次不等式的解集問題，可結合其對應的二次函數(shù)的圖象進行解答.6.已知f（x）=lnx﹣+，g（x）=﹣x2﹣2ax+4，若對?x1∈（0，2]，?x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）成立，則a的取值范圍是(

) A．[﹣，+∞） B．[，+∞） C．[﹣，] D．（﹣∞，]參考答案：A考點：函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系．專題：函數(shù)的性質及應用；導數(shù)的綜合應用．分析：由題意，要使對?x1∈（0，2]，?x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）成立，只需f（x1）min≥g（x2）min，且x1∈（0，2]，x2∈[1，2]，然后利用導數(shù)研究它們的最值即可．解答： 解：因為f′（x）===，易知當x∈（0，1）時，f′（x）＜0，當x∈（1，2）時，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，1）上遞減，在[1，2]上遞增，故f（x）min=f（1）=．對于二次函數(shù)g（x）=）=﹣x2﹣2ax+4，該函數(shù)開口向下，所以其在區(qū)間[1，2]上的最小值在端點處取得，所以要使對?x1∈（0，2]，?x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）成立，只需f（x1）min≥g（x2）min，即或，所以或．解得．故選A．點評：本題考查了不等式恒成立問題以及不等式有解問題的綜合思路，概念性很強，注意理解．7.已知命題；命題若，則，下列命題為真命題的是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A8.若關于x的不等式x3﹣3x2﹣9x+2≥m對任意x∈[﹣2，2]恒成立，則m的取值范圍是（）A．（﹣∞，7] B．（﹣∞，﹣20] C．（﹣∞，0] D．[﹣12，7]參考答案：B【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；函數(shù)恒成立問題．【專題】計算題．【分析】設y=x3﹣3x2﹣9x+2，則y′=3x2﹣6x﹣9，令y′=3x2﹣6x﹣9=0，得x1=﹣1，x2=3（舍），由f（﹣2）=0，f（﹣1）=7，f（2）=﹣20，知y=x3﹣3x2﹣9x+2在x∈[﹣2，2]上的最大值為7，最小值為﹣20，由此能求出關于x的不等式x3﹣3x2﹣9x+2≥m對任意x∈[﹣2，2]恒成立的m的取值范圍．【解答】解：設y=x3﹣3x2﹣9x+2，則y′=3x2﹣6x﹣9，令y′=3x2﹣6x﹣9=0，得x1=﹣1，x2=3，∵3?[﹣2，2]，∴x2=3（舍），列表討論：x（﹣2，﹣1）﹣1（﹣1，2）f′（x）+0﹣f（x）↑極大值↓∵f（﹣2）=﹣8﹣12+18+2=0，f（﹣1）=﹣1﹣3+9+2=7，f（2）=8﹣12﹣18+2=﹣20，∴y=x3﹣3x2﹣9x+2在x∈[﹣2，2]上的最大值為7，最小值為﹣20，∵關于x的不等式x3﹣3x2﹣9x+2≥m對任意x∈[﹣2，2]恒成立，∴m≤﹣20，故選B．【點評】本題考查利用導數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上最值的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．9.若，則下列結論不正確的個數(shù)是（

）

①a2<b2

②ab<b2

③

④

A.1個

B.2個

C.3個

D.4個參考答案：A10.已知離心率為e的雙曲線和離心率為的橢圓有相同的焦點是兩曲線的一個公共點，若等于A.

B.

C.

D.3參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知定義在上的函數(shù)，滿足，且對任意的都有，則

．參考答案：12.函數(shù)在上的最大值為

．參考答案：略13.在等差數(shù)列{an}中，a1＝﹣2014，其前n項和為Sn，若﹣＝2002，則S2016的值等于參考答案：2016【解答】解：等差數(shù)列{an}中，a1＝﹣2014，，∵﹣＝2002，∴＝2002，∴d＝2，則S2016＝2016×（﹣2014），＝2016．14.已知向量，其中，且與垂直，則的值為

．參考答案：由題可知，，因為與垂直，所以，即，即.15.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結果S=

.參考答案：16.設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1+a13=4，則S13．參考答案：26【考點】等差數(shù)列的前n項和．【分析】利用等差數(shù)列通項公式直接求解．【解答】解：∵等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1+a13=4，∴S13==．故答案為：26．17.設△ABC的內角為A，B，C，所對的邊分別是，，.若，則角C=__________.參考答案：由，得，，所以，C＝三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.我國是世界上嚴重缺水的國家之一，城市缺水問題較為突出，某市政府為了節(jié)約生活用水，計劃在本市試行居民生物用水定額管理，即確定一個居民月用水量的標準，為了確定一個較為合理的標準，必須先了解全市居民日常用水量的分布情況。現(xiàn)采用抽樣調查的方式，獲得了位居民某年的月均用水量（單位：t），樣本統(tǒng)計結果如下圖表。 （I）分別求出n，a，b的值；（II）若從樣本中月均用水量在［5,6］（單位：t）的5位居民中任選2人作進一步的調查研究，求月均用水量最多的居民被選中的頻率（5位居民的月均水量均不相等），參考答案：解析：（I）…………6分

（II）設A,B,C,D,E代表用水量從多到少的5位居民，從中任選2位，總的基本事件為AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE共10個，包含A的有AB,AC,AD,AE共4個，所以

12分略19.已知三棱錐P-ABC中，底面△ABC是等邊三角形，頂點P在底面的射影Q恰好落在BC邊的中線AD上，，.（I）證明：面面：（Ⅱ）求直線AD與平面PAB所成角的正弦值.參考答案：（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）【分析】（I）要證面面，只要證經(jīng)過平面的一條垂線即可，又題意可證面，則問題得證；（Ⅱ）過點作，連接，再過點作，連接，通過線面垂直的判定定理可得面，得到就直線與平面所成的角，求得各幾何量，在RT中，求解即可.【詳解】（I）∵是等邊三角形，且是邊的中點，∴，又底面，∴，得面，又面，所以面面.（Ⅱ）過點作，連接，再過點作，連接，∵底面，∴，得面，即，所以面，即是直線在平面上的射影，∴就直線與平面所成的角，∵，，∴，，，，∴中，，所以，直線與平面所成角的正弦值是.【點睛】本題考查了平面與平面垂直的判定，考查了線面角的定義及作法，考查了運算能力，是中檔題．20.(本題滿分12分）設函數(shù)（，為常數(shù)），且方程有兩個實根為.（1）求的解析式；（2）證明：曲線的圖像是一個中心對稱圖形，并求其對稱中心.參考答案：【知識點】函數(shù)解析式的求解及常用方法．B1【答案解析】（1）；（2）證明：略，對稱中心（1,1）.

解析：（1）由解得

故．（2）證明：已知函數(shù)，都是奇函數(shù)．所以函數(shù)也是奇函數(shù)，其圖像是以原點為中心的中心對稱圖形．而．可知，函數(shù)的圖像沿軸方向向右平移1個單位，再沿軸方向向上平移1個單位,即得到函數(shù)的圖像，故函數(shù)的圖像是以點為中心的中心對稱圖形．【思路點撥】（1）把方程的2個實數(shù)根分別代入方程得到方程組，解此方程組求出待定系數(shù)，進而得到函數(shù)的解析式．（2）利用2個奇函數(shù)的和仍是奇函數(shù)，再利用圖象平移找出所求函數(shù)的對稱中心．21.（本小題滿分12分）

設函數(shù)

（1）求函數(shù)的單調減區(qū)間；

（2）若，求函數(shù)的值域；參考答案：解：（1）

…………4分

令

…………6分

得

因此，函數(shù)f(x)的單調減區(qū)間為

…………8分

(2)當時，

因此，函數(shù)f(x)的值域為

…………12分略22.已知函數(shù).（1）當時，恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；（2）證明：當時，函數(shù)有最小值；設最小值為，求函數(shù)的值域.參考答案：（1）；（2）分析：分析題意，該題可借助于利用導數(shù)求函數(shù)的單調性和最值的方法進行解答，對于（1），首先將式子進行轉化，構造新函數(shù)，借助于導數(shù)來完成即可；對于（2）利用導數(shù)求函數(shù)最值，不難得到函數(shù)的最小值為，則，再利用導數(shù)求出其值域即可.詳解：（1）因為對恒成立，等價于對恒成立，設得，故在上單調遞增，當時，