數(shù)學八年級上冊第12章全等三角形同步練習

第十二章全等三角形

第一節(jié)全等三角形

一、單選題（共10小題）

1.如圖，用AABC沿直角邊8C所在直線向右平移到向AZ江戶，則下列結(jié)論中，錯誤的

是（）

A.AABCMADEFB.BE=CFC.AC^DFD.BE=EC

【答案】D

【解析】由平移的性質(zhì)，結(jié)合圖形，對選項進行一一分析，選擇正確答案.

【詳解】A、Rt^ABC向右平移得到aDEF,則△ABC^ADEF成立，故正確，不符合題意；

B、AABC^ADEF,則BC=EF,BC-EC=EF-EC,即BE=CF,故正確，不符合題意；

C、AABC^ADEF,則AC=DF成立，故正確，不符合題意；

D、BE=EC不能成立，故錯誤，符合題意，

故選I）.

【點睛】本題考查了平移的基本性質(zhì)：①平移不改變圖形的形狀和大?。虎诮?jīng)過平移，對應

點所連的線段平行且相等，對應線段平行且相等，對應角相等.

2.下列四組三角形中，一定是全等三角形的是（）

A.周長相等的兩個等邊三角形

B.三個內(nèi)角分別相等的兩個三角形

C.兩條邊和其中一個角相等的兩個三角形

D.面積相等的兩個等腰三角形

【答案】A

【解析】依據(jù)全等三角形的概念即可做出選擇.

【詳解】解：A.周長相等的兩個等邊三角形，三邊都相等，故A正確；

B.三個內(nèi)角分別相等的兩個三角形，三角形相似，不一定全等，故B錯誤；

C.兩條邊和其中一個角相等的兩個三角形，只有這個角是兩邊夾角三角形才全等，故C錯

誤;

D.面積相等的兩個等腰三角形，不一定全等，故D錯誤；

答案為：A.

【點睛】本題考查了全等三角形的定義，即全等三角形不僅形狀相同，而且大小相等.

3.如圖，Z\ACB絲△A'C'B',ZACB=70°,ZACB'=100°，則ZBCA'的度數(shù)為（）

A.30°B.35°C.40°D.50°

【答案】C

【解析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和角的和差即可得到結(jié)論.

【詳解】解：；AACB^AA'C,NACB=70°,

NACB=NA'CB'=70°,

又,:ZACB'=100°,

ZBCB*=ZACB，-ZACB=100°-70°=30°,

...NBCA'=NB'CA'-NB'CB=70°-30°=40°.

故答案為：C.

【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關鍵.

4.（2019?丹東市第十七中學初一期中）下列語句：錯誤的個數(shù)是（）

①面積相等的兩個三角形全等；

②兩個等邊三角形一定是全等圖形；

③如果兩個三角形全等，它們的形狀和大小一定都相同；

④邊數(shù)相等的兩個多邊形形全等

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形即可作出判斷.

【詳解】

解：①面積相等的兩個三角形不一定全等，故此說法錯誤；

②兩個等邊三角形一定是相似圖形，但不一定全等，故此說法錯誤；

③如果兩個三角形全等，它們的形狀和大小一定都相同，符合全等形的定義，正確；

④邊數(shù)相同的圖形不一定能互相重合，故此說法錯誤；

練上可得錯誤的說法有①②④共3個.

故選：B.

【點睛】

本題考查全等形的概念，屬于基礎題，掌握全等形的定義是關鍵.

5.(2019?哈爾濱風華中學初一期中)如圖，△ABOWZXDCO,ZD=80°,ZD0C=70°,則/

B=().

A.35°B.30°C.25°D.20°

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到對應角相等，再根據(jù)對頂角相等和三角形內(nèi)角和為180。，即可

求得答案.

【詳解】

因為△ABOVZWCO,ZD=80°,

所以ND=NA=80°,

由于/D0C=70°,/DOC是/AOB的對頂角，

所以ND0ONA0B=70°,

由于三角形內(nèi)角和為180°.

則NB=180°-ZA0B-ZA=30°.

故選擇B項.

【點睛】

本題考查全等三角形的性質(zhì)，解題的關鍵是知道兩個全等三角形的對應角相等.

6.如圖，小強利用全等三角形的知識測量池塘兩端M、N的距離，如果△PQO絲△NMO,則只

需測出其長度的線段是（)

PQ

A.PQB.MOC.PAD.MQ

【答案】A

【解析】

【分析】

利用全等三角形對應邊相等可知要想求得MN的長，只需求得其對應邊PQ的長，據(jù)此可以得

到答案.

【詳解】

解：VAPQO^ANMO,

.,.PQ=MN,

...要想利用△PQO也△NMO求得MN的長，只需求得線段PQ的長.

故選：A.

【點睛】

本題考查全等三角形的應用，解題的關鍵是如何將實際問題與數(shù)學知識有機的結(jié)合在一起.

7.（2019?山東省臨沂實驗中學初二期末）如圖，XABC^XADE,若/班C=75°，N￡=40°,

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出/C=/E=40。，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出即可.

【詳解】

'：［\ABC^/\ADE,/斤40。，

小/后40。，

ZBA（=75°,

：./斤180。-/胡小/e65。，

故選C.

【點睛】

本題考查全等三角形的性質(zhì).

8.下列說法中：全等三角形的對應邊相等；全等三角形的對應角相等；全等三角形的周長

相等；周長相等的兩個三角形全等；全等三角形的面積相等；面積相等的兩個三角形全等，

正確說法有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】C

【解析】

【分析】

全等三角形是指能夠完全重合的兩個三角形，全等三角形的對應邊相等，對應角相等，根據(jù)

以上知識點逐個判斷即可.

【詳解】

解：全等三角形的對應邊相等；正確.

全等三角形的對應角相等；正確.

全等三角形的周長相等；正確.

周長相等的兩個三角形全等；錯誤.

全等三角形的面積相等；正確.

面積相等的兩個三角形全等；錯誤

正確的說法有4個，

故選：C.

【點睛】

本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，熟記性質(zhì)是解題的關鍵.

9.（2019?中國科技大學附屬中學初二期中）如圖，zxABCgAADE，如果AB=5cm，

BC=7cm，AC=6cm，那么DE的長是（）

A.6cmB.5cmC.7cmD.無法確定

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)全等三角形的對應邊相等解答即可.

【詳解】

???△ABC^AADE.

...妗BC=7cm，

故選C.

【點睛】

本題考查了全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應邊相等、對應角相等，找準對應邊是解題

的關鍵.

【答案】D

【解析】A.?.?兩個圖案的形狀不形同，故不全等;

B.?.?兩個圖案的大小不相等，故不全等；

C.?.?兩個圖案的形狀不形同，故不全等；

D.?.?兩個圖案的形狀形同，大小相等，故全等；

二、填空題（共5小題）

11.（2019?丹東市第十七中學初一期中）如圖，AABD^ACBD,若NA=80°,NABC=第。，

則NBDO°

【答案】65

【解析】根據(jù)全等三角形對應角相等可得/C=/A,ZABD=ZCBD,再求出/CBD,然后根據(jù)

三角形的內(nèi)角和等于180。列式計算即可得解.

【詳解】解：；△ABDZZ\CBD,

.*.ZC=ZA=80o,ZABD=ZCBD,

：NABC=70°,

ZCBD=ZABC=X70°=35°，

ii

在aBCD中，ZBDC=180°-ZC-ZCBD=180°-80°-35°=65°.

故答案為:65.

【點睛】本題考查了全等三角形對應角相等的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟記性質(zhì)并準確

識圖是解題的關鍵.

12.（2019?騰沖縣第八中學初二期中）如圖，已知△ABCZ/\ADE,若AB=8,AC=3,則BE

的值為.

【解析】根據(jù)^ABC絲ZXADE,得到AE=AC,由AB=8,AC=3,根據(jù)BE=AB-AE即可解答.

【詳解】VAABC^AADE,

；.AE=AC,

VAB=8,AC=3,

BE=AB-AE=AB-AC=8-3=5.

故答案為：5.

【點睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)，解決本題的關鍵是熟記全等三角形的對應邊相等.

13.（2019?東臺市三倉鎮(zhèn)中學初二期中）一個三角形的三邊為2、5、x,另一個三角形的

三邊為y、2、4,若這兩個三角形全等，則x+y=.

【答案】9

【解析】根據(jù)全等三角形對應邊相等求出x、y的值，然后相加即可得解.

【詳解】解：；兩個三角形全等，

x=4,y=5,

.*.x+y=4+5=9.

故答案為:9.

【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，比較簡單，準確確定對應邊是解題的關鍵.

14.（2019?哈爾濱風華中學初一期中）如圖，△ABC會aDEF,BE=7,AD=3,AB=.

【答案】5；

【解析】先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)AB=DE,再結(jié)合題意得DB=AE,則由BE=7,AD=3,

可得答案.

【詳解】因為△AB-EF,

所以AB=DE,

則DB=AB-DA,AE=DE-AE,

貝1JDB=AE,

由BE=7,AD=3,

BE—AD7-3

可得AE==2,

則AB=BE-AE=5.

【點睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)，解題的關鍵是根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出DB=AE.

15.（2019?江蘇泗陽縣實驗初級中學初二期中）已知aABC之Z\DEF,△ABC的周長為12,

則aDEF的周長為

【答案】12

【解析】利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問題.

【詳解】?.?△4?電與勺周長相等.

。的周長為12,，△加7;1的周長為12.

故答案為：12.

【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，記住全等三角形的周長相等是解決問題的關鍵.

三、解答題(共1小題)

16.(2019?麗水市第四中學初二期中)如圖，ZSABC絲4DEF,ZA=33°,ZE=57°,CE=5cm.

(1)求線段BF的長；

(2)試判斷DF與BE的位置關系，并說明理由.

【答案】(1)5cm;(2)見解析.

【解析】(1)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BC=EF,求出EC=BF即可；(2)根據(jù)全等三角形的

性質(zhì)可得/A=ND=33°,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出/DFE的度數(shù)，即可得出答案.

【詳解】⑴必.產(chǎn)△DEF'

:=EF'

???BC+CF=EF+CFf

即BF=CE=5an;

c/o

(2)-/△ABC=^DEF9”=33。'

ZJ!=Z.D=33°'

v乙D+4E+LDFE=180。'LE=57。'

???LDFE=180。-57。-33。=90°'

???DF1BE，

【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，能靈活運用全等三角形的性質(zhì)

進行推理是解此題的關鍵.

第十二章全等三角形

第二節(jié)三角形全等的判定

一、單選題（共10小題）

1.如圖，已知N1=N2,要說明AABOMAACD,還需從下列條件①NADB=NAT>C，

②/B=NC,③DB=DC，④AB=A。中選一個，則正確的選法個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個I）.4個

【答案】C

【解析】欲使AABD絲aACD,已知/1=/2,AD公共，可根據(jù)全等三角形判定定理AAS、SAS、

ASA添加條件，逐一證明即可.

【詳解】解―=N2,AD公共,

①如添加/ADB=NADC,利用ASA即可證明4ABD<ZXACD；

②如添加NB=NC,利用AAS即可證明△ABDZ/XACD；

③如添加DB=DC,因為SSA,不能證明△ABDgZ\ACD,所以此選項不能作為添加的條件；

④如添加AB=AC,利用SAS即可證明AABD絲△ACD；

故選：C.

【點睛】此題主要考查學生對全等三角形判定定理的理解和掌握，此類添加條件題，要求學

生應熟練掌握全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA,AAS,IIL.注意：AAA、SSA不能判

定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，

角必須是兩邊的夾角.

2.如圖，CDLAB,BEVAC,垂足分別為〃，E,BE,⑺相交于點0,0B=0C,連接40,則圖

中一共有（）對全等三角形.

D,E

*C

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】共有四對.分別為△ADOTAAEO,AADC^AAEB,AABO^AACO,△BOD^ZXCOE.做

題時要從已知條件開始結(jié)合圖形利用全等的判定方法由易到難逐個尋找.

【詳解】解：VCD1AB,BE±AC,OB=OC,

AZAD0=ZAE0=90°,ZDOB-ZEOC,

VBO=CO,

.,.△DOB^AEOC；

AOD=OE,BD=CE；

VOA=OA,OD=OE,ZAD0=ZAE0=90°,

AAADO^AAEO；

，AD二AE,ZDAO=ZEAO；

VAB=AC,ZDAO-ZEAO,()A=OA,

/.△ABO^AACO；

VAD=AE,AC=AB,ZBAE=ZCAD,

.'.△ADC^AABE(SSS).

所以共有四對全等三角形.

故選：C.

【點睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、

ASA、AAS、HL.

注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若

有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角.

3.點D、E分別在級段AB、AC上，CD與BE相交于點0,已知AB=AC,添加以下哪一個條

件不能判定AABE絲Z\ACD()

A

A.ZB=ZCB.ZBEA=ZCDAC.BE=CDD.CE=BD

【答案】C

【解析】把選項代入，可知A、B、D都符合全等三角形的判定，只有C項不符合.

【詳解】添加A選項中條件可用ASA判定兩個三角形全等;

添加B選項以后是AAS,判定兩個三角形全等;

添加C是S$A,無法判定這兩個三角形全等;

添加D因為AB=AC,CE=BD,所以AD=AE,又因為NA=/A,AB=AC所以，這兩個三角形全等,

SAS.

故選C.

【點睛】本題考查全等三角形的判定，要掌握ASA,SSS,SAS,AAS是解題的關鍵.

4.如圖，已知點/、D、C.尸在同一直線上，AB-DE,AD-CF,添加下列條件后，仍不能判斷

A.BC=EFB./?=/EDF

C.ABIIDED.ZBCA=ZEDF

【答案】D

【解析】首先根據(jù)等式的性質(zhì)可得AC=￡＞尸，然后利用SSS、SAS.ASA.A4s進行分析即

可.

【詳解】解：

：.AD^CI>CF+DC,

：.A(=DF,

/、添加心廳1可利用S5S定理判定屋△4%,故此選項不合題意;

B、添加//=/曲'可利用弘S定理判定△/16整△晰故此選項不合題意;

a添加四〃〃可證出/a/切c,可利用sis定理判定△被注△應月故此選項不合題意;

。、添加/8。=/瓦＞不能判定△zLKX△應仁故此選項符合題意；

故選：D.

【點睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、

ASA.AAS.HL.注意：AAA.S%不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須

有邊的參與，若有兩邊??角對應相等時，角必須是兩邊的夾角.

5.根據(jù)下列圖中所給定的條件，其中三角形全等的是（）

①②③

④

A.①②B.②③C.①④D.①③

【答案】C

【解析】四個三角形均給出了兩個邊和一個角，根據(jù)三角形判定條件，即可正確確定答案.

【詳解】解：四個三角形均給出了兩個邊和一個角且分別為3,3.5和65；①中兩個邊和一

個角的關系為SAS；②中兩個邊和一個角的關系為ASS；③中兩個邊和一個角的關系為SSA；

④中兩個邊和一個角的關系為SAS；由SSA不能判定三角形全等；故①④全等，故選C。

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定方法，需要注意的是SSA不能判定三角形全等。

6.如圖，BEXF,AE1BC,DFXBC,要根據(jù)“HL”證明RtAABE^RtADCF,則還要添加一

個條件是（）

A.AB=DCB.ZA=ZDC.ZB=ZCD.AE=BF

【答案】A

【解析】根據(jù)垂直定義求出NCFD=NAEB=90°,再根據(jù)全等三角形的判定定理推出即可.

【詳解】解：條件是AB=DC,

理由是：：AE，BC,DF±BC,

.,.ZCFD=ZAEB=90°,

在RtZkABE和RtADCF中,

AB=CD

BE=CF

ARtAABE^RtADCF(HL),

故選:A.

【點睛】本題考查全等三角形的判定定理的應用，能靈活運用全等三角形的判定定理進行推

理是解題的關鍵.

7.如圖，用直尺和圓規(guī)作射線0C,使它平分乙〃心則△⑺緇△31的理由是()

A.SSSB.倒SC.AASD.HL

【答案】A

【解析】根據(jù)SSS證明三角形全等即可.

【詳解】由作圖可知，OD=OE,DC=EC,

在aODC與AOEC中

oc=oc

<OD=OE,

DC=EC

.".△ODC^AOEC(SSS),

故選：A.

【點睛】考查全等三角形的判定，關鍵是根據(jù)三角形全等的判定方法解答.

8.工人師傅常用角尺平分一個任意角，具體做法如下：如圖，已知NAOB是一個任意角，

在邊OA,0B上分別取OM=ON,移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與點M,N重合，則

過角尺頂點C的射線0C便是/AOB角平分線.在證明絲時運用的判定定理是

MA

A.SSSB.SASC.ASAD.AAS

【答案】A

【解析】根據(jù)題意即可判斷是用SSS判定全等.

【詳解】VOM=ON,尺子兩邊刻度相同，0C為公共邊，故用SSS判定△MOCgZiNOC,

故選A.

【點睛】此題主要考查全等三角形的判定方法，解題的關鍵是熟知全等三角形的判定方法.

9.如圖，點D、E分別在線段AB、AC上，CD與BE相交于點。.若AB=AC,則添加下列條件

仍不能判定A48E三川。的是（）

A.BE=CDB.AD=AEC.BD=CED./B=/C

【答案】A

【解析】根據(jù)全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA對各選項添加的條件，逐一證明即可.

【詳解】解：：AB=AC,NA為公共角,

A、如添BE=CD,因為SSA,不能證明△ABE/Z\ACD,所以此選項不能作為添加的條件;

B、如添AD=AE,利用SAS即可證明△ABEgz^ACD；

C、如添BD=CE,等量關系可得AD=AE,利用SAS即可證明aABE名Z\ACD；

D、如添加/B=/C,利用ASA即可證明AABE絲△ACD.

故選：A.

【點睛】本題考查全等三角形的判定，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理

10.在下列條件下，不能判定ABC^AB,CX）

A.ZA=ZA\AB=A'B'，BC=B'C'B.ZA=ZA'.NC=NC,AC^A'C'

C.NB=NB'，NC=NC',AC=A'C'D.BA=B'A'，BC=B'C',AC=4C'

【答案】A

【解析】根據(jù)全等三角形的判定SSS,AAS,ASA,SAS判斷即可.

【詳解】解：A、若AB=A'B',BC=B'C',NB=NB',根據(jù)SAS推出aABC<AAB'C',

故本選項正確；

B、根據(jù)ASA即可推出△ABC絲△AB'C',故本選項錯誤；

C、根據(jù)AAS即可推出aABC絲Z\AB'C',故本選項錯誤；

I）、根據(jù)SSS即可推出aABC絲ZXAB'C',故本選項錯誤.

故選：A.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定定理的理解，解題的關鍵是能熟練地運用判定定理進

行推理.

二、填空題（共5小題）

11.（2019?湖南中考真題）如圖，已知A」D=AE，請你添加一個條件，使得

△ADC名AAEB,你添加的條件是____.（不添加任何字母和輔助線）

【解析】根據(jù)圖形可知證明ADC也AEB己經(jīng)具備了一個公共角和一對相等邊，因此可

以利用ASA、SAS、AAS證明兩三角形全等.

【詳解】???〃=〃，AD=AE，

...可以添加AB=AC,此時滿足SAS；

添加條件/ADC=/AEB，此時滿足ASA；

添加條件/ABE=/ACD，此時滿足AAS,

故答案為：陽=人（2或/\0€=為￡6或46￡=/^口；

【點睛】本題考查了全等三角形的判定，是一道開放題，解題的關鍵是牢記全等三角形的判

定方法.

12.（2018?安徽朱仙莊礦中學初一期中）如圖，已知NBAC=NDAE=90°,AB=AD,要使

△ABCADE,還需要添加的條件是（只需添加一個條件即可）

【答案】AE=AC（答案不唯一）

【解析】根據(jù)全等三角形的判定定理即可.

【詳解】

AE=AC；

理由是：??在△ABC和ZiADE中

AB=AD

<NBAC=ZDAE,

AC^AE

A△ABCADE（SAS）,

故答案是：AE=AC（答案不唯-）.

【點睛】考查了全等三角形的判定定理的應用，能熟記判定定理的內(nèi)容是解此題的關鍵，注

意：全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,兩直角三角形全等還有HL.

13.（2018?廉江市實驗學校初二期中）如圖，點D、E分別在線段AB、AC上,AE=AD,要使

△ABE^AACD,則需添加的一個條件是___.

A

【答案】A六AC或/斤NC或NADONAEB或NBD俏NCEB（這四個條件中一個）

【解析】要使^ABE也△ACD,已知AE=AD,/A=/A,具備了一組邊和一組角對應相等，還

缺少邊或角對應相等的條件，結(jié)合判定方法及圖形進行選擇即可.

【詳解】：NA=NA,AE=AD,

添力口：ZADC=ZAEB（ASA）,ZB=ZC（AAS）,AB=AC（SAS）,ZBDO=ZCEO（ASA）,

??,△ABE^AACD.

故填：AB=AC或乙B=NC或乙ADONAEB或/BDONCEB（這四個條件中一個）.

【點睛】本題考查三角形全等的判定方法；判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、

ASA,AAS、HL.添加時注意；AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，不能添加，根據(jù)己知結(jié)

合圖形及判定方法選擇條件是正確解答本題的關健.

14.（2018?四川中考真題）如圖，已知AB=BC,要使△ABD絲aCBD,還需添加一個條件，

你添加的條件是一.（只需寫一個，不添加輔助線）

【答案】ZABD=ZCBD（或AD=CD）

【解析】由已知1比6G及公共邊防加，可知要使△仍:陷切，已經(jīng)具備了兩個“S”了，

然后根據(jù)全等三角形的判定定理，應該有兩種判定方法①必S,②SSS所以可添NABkNCBD

或｛介切.

【詳解】

解：答案不唯一.

?AABD=ACBD.

在和△網(wǎng)中，

'AB=BC

?-,</ABD=NCBD，

,BD=BD

（與S）；

②AD-CD.

在△/初和中,

'AB=BC

,?,<BD=BD-

AD=CD

：.XAB哈XCBD(555).

故答案為：4ABD-/CBD或AD=CD.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定定理，能靈活運用判定進行證明是解此題的關

健.熟記全等三角形的判定方法有：SSS,SAS,ASA,AAS.

15.(2019?武漢市育才中學初二期中)如圖,四邊形ABCD,AB〃CD,ZABC=ZBCD=90°,

點E為邊BC上一點，連接AE、DE,AE=DE,AE±DE,若AB=1,CD=3,則線段BC=

【答案】4

【解析】根據(jù)等角的余角相等求出N1=N3,再利用“角角邊”證明aABE和4ECD全等，然

后根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AB=CE,BE=CD,再根據(jù)BC=BE+CE代入數(shù)據(jù)計算即可得解.

【詳解】

.??Z2+Z3=90°,

又?.?NABC=90°,

.,.Zl+Z2=90°,

.?.Z1=Z3,

在AABE和4ECD中,

Z1=Z3

<ZABC=ZBCD=9Q°,

AE=DE

.'.△ABE^AECD（AAS）,

；.AB=CE=1,BE=CD=3,

.*.BC=BE+CE=3+1=4.

故答案為：4.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用等角的余角相等求出三角形全等的條件

是解題的關犍，利用阿拉伯數(shù)字加弧線表示角更形象直觀.

三、解答題（共3小題）

16.（2019?湖北中考真題）如圖，在AABC中，。是邊上的一點，AB=DB，8E平

分NA8C,交AC邊于點E，連接。E.

（1）求證：

（2）若NA=1OO。，ZC=50°,求NAE3的度數(shù).

【答案】（1）見解析；（2）65°

【解析】（1）由角平分線定義得出NABE=ND3￡，由S4s證明AABEwADBE即可:

（2）由三角形內(nèi)角和定理得出NA5C=30°,由角平分線定義得出

ZABE=ZDBE=LNABC=15°,在△/$￡中，由三角形內(nèi)角和定理即可得出答案.

2

【詳解】（I）證明：BE平分NABC，

ZABE=ZDBE，

AB=DB

在^ABE和垃）BE中，<NABE=ZDBE,

BE=BE

(2)ZA=100°,ZC=50°,

ZABC=30°,

破平分NA8C，

ZABE=NDBE=-ZABC=15°，

2

在AABE中，ZAEB=180°-ZA-ZABE=180°-l(X)°-l5°=65°.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理；熟練

掌握三角形內(nèi)角和定理和角平分線定義，證明三角形全等是解題的關鍵.

17.(2019?湖北中考真題)如圖，已知NC=N￡>=90°,BC與AD交于點、E,AC=BD,

【答案】詳見解析

【解析】由HL證明得出NA5C=N班￡>，由等腰三角形的判定定

理即可得出結(jié)論.

【詳解】VZC=ZD=9O°.

MCB和/SBDA是直角三角形，

[AB^BA

在RtAACB和RtA8D4中，\AC_BD'

/.RtAACB=RtABDA(HL),

???ZABC=ABAD,

/.AE=BE.

【點睛】本題考查J'全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定；熟練掌握等腰三角形的

判定定理，證明三角形全等是解題的關鍵.

18.(2019?湖南中考真題)已知，如圖，AB=AE,AB〃DE,ZECB=70°,ZD=110°,求

證：AABC絲/XEAD.

【答案】證明見解析.

【解析】由/ECB=70°得NACB=110°,再由AB〃DE,證得/CAB=/E,再結(jié)合已知條件

AB=AE,可利用AAS證得△ABCgZXEAD.

【詳解】由/ECB=70°得NACB=110°,

又「/Dnio。，

.\/ACB=/D,

VAB/7DE,

.\ZCAB=ZE,

二在AABC和4EAD中，

NACB=ND

<NCAB=NE,

AB=AE

??.△ABC^AEAD（AAS）.

【點睛】本題是全等三角形證明的基礎題型，在有些條件還需要證明時，應先把它們證出來,

再把條件用大括號列出來，根據(jù)等三角形證明的方法判定即可.

第十二章全等三角形

第三節(jié)角的平分線的性質(zhì)

一、單選題（共10小題）

1.（2019?湖南中考真題）如圖，在AABC中，ZC=90\AC=8,DC=；AD,BD

平分NABC,則點〃到四的距離等于（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【詳解】如圖，過點D作DE_LAB于E,

AC=8，DC=-AD.

3

1

CD=8x=2,

T+3

/C=90°，BD平分/ABC，

??.DE=CD=2,

即點D到AB的距離為2,

故選C.

【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解題

的關鍵.

2.(2019?成都市武侯區(qū)西蜀實驗學校初一期末)如圖，在岫BC中,

NC=90°,A5=10,AO是AABC的一條角平分線.若C￡>=3,則的面積為

()

A.3B.10C.12D.15

【答案】D

【解析】要求△ABD的面積，現(xiàn)有AB=10可作為三角形的底，只需求出該底上的高即可，需

作DELAB于E.根據(jù)角平分線的性質(zhì)求得DE的長，即可求解.

【詳解】解：如圖，作DELAB于E,

；AD平分NBAC,DE±AB,DC1AC,

.,.DE=CD=3.

.二△ABD的面積為,X3X10=15.

2

故選：D.

【點睛】此題主要考查角平分線的性質(zhì)，熟練掌握是解題的關鍵.

3.如圖，在△ABC中，ZC=90°,AC=BC,AD平分NCAB,交BC于點D,DE_LAB于點E,

且AB=10,則AEDB的周長是（）

A.4B.6C.8D.10

【答案】D

【解析】先證出RtZ\ACDgRt^AED,推出AE=AC,ADBE的周長=DE+EB+DE=AB,即可求解.

【詳解】解：：AD是NBAC的平分線，DE_LAB,ZC=90",

.,.ZC=ZAED=90°,CD=DE,

在RtAACD和RtAAED中

AD=AD

CD=DE

.".RtAACD^RtAAED,

.*.AE=AC,

AADBE的周長

=DE+EB+DE

=CD+DB+EB

=BC+EB

=AC+EB

=AE+EB

=AB

=10,

故選：D.

【點睛】本題考查了角平分線性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應用，能求出AE=AC,CD=DE

是解此題的關鍵，注意：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等.

4.如圖，0E是NAO5的平分線，8〃O8,交。4于點C,交0E于點。。若NACD=55°,

則NCDO的度數(shù)是（）

A.25°B.27.5°C,22.5°D.55°

【答案】B

【解析】由CD〃OB,可求/A0B=55°,由0E是NAOB的平分線，可求/BOD=27.5°,然

后根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等可得NCDO=27.5°.

【詳解】

；CD//OB,

.--ZAOB=ZACD=55。，

,?0E是NAOB的平分線，

AZB0D=-ZA0B=27.5°,

2

ZCD0=27.5°.

故選B.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)：①兩宜線平行同位角相等，②兩直線平行內(nèi)錯角相等，

③兩直線平行同旁內(nèi)角互補.在運用平行線的性質(zhì)定理時，一定要找準同位角，內(nèi)錯角和同

旁內(nèi)角.也考查了角平分線的定義.

5.如圖，直線A3、C。相交于點G,EGLCD,GF平分NAGD若NBGE=28°,貝！J

NFGD的度數(shù)是（）

A.63°B.62°C.56°D.59°

【答案】D

【解析】首先根據(jù)EGLCD.得到NDGE=90°,然后求出NBGD的度數(shù)，根據(jù)平角定義求

得/AGD的度數(shù)，最后根據(jù)角平分線定義即可解答.

【詳解】VEG1CD,

.".ZDGE=90°,

???ZBGE=28°，

AZBGD=62°,

.,.ZAGD=118°.

平分NAGD,

AZFGD=-ZAGD=59°.

2

故選D.

【點睛】本題綜合考查了直角，平角的定義，角平分線的定義以及角的運算，熟練掌握相關

定義是解答此類題目的基礎.根據(jù)題意，求得/BGD的度數(shù)是解題的關鍵.

6.如圖，也是NEAC的平分線，AD//BC,NB=30°,則/（；為（）

【解析】由AD//BC,ZB=30°利用平行線的性質(zhì)即可得出NEAD的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的

定義即可求出NEAC的度數(shù)，得出NEAC=NB+/C,代入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)

【詳解】W：VAD//BC,ZB=30°,

AZEAD=ZB=30°.

又「AD是NEAC的平分線，

.,.ZEAC=2ZEAD=60°.

VZEAC=ZB+ZC,

.,.ZC=ZEAC-ZB=30°.

故選：A.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，解題的關鍵是求出/EAC=60°.本

題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)平行線的性質(zhì)找出相等或互補的角是關

鍵.

7.如圖，直線AB、CD相交于點0,0D平分NAOE,ZB0C=50°,則NEOB=（）

【答案】D

【解析】由對頂角的性質(zhì)求出NAOD,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到NAOE,然后根據(jù)鄰補角的性

質(zhì)求出NEOB.

【詳解】解：VZB0C=50°,/.ZA0D=50",

.,.ZA0E=100°,ZE0B=180°-100°=80°,

故選D.

【點睛】本題考查了對頂角相等的性質(zhì)，鄰補角的定義以及角平分線的定義，熟記概念與性

質(zhì)并準確識圖是解題的關鍵.

8.（2018?廣東省湛江市第二十三中學初一期末）已知射線0C在NA0B內(nèi)部，下列說法不

能確定射線0C是NA0B的平分線的是（）

1

A.ZAOC+ZBOC=ZAOBB.ZAOC=-ZAOB

2

C.ZA0B=2ZB0CD.NAOC=NBOC

【答案】A

【解析】根據(jù)角平分線的定義（從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線叫

做這個角的平分線）即可求解.

【詳解】0C在ZAOB的時部時都有ZAOC+ZBOC=ZAOB，但不能說明0C是ZAOB的

平分線，故選項A錯誤；

當=時，0C在NAOB的內(nèi)部時，0C是NA03的平分線，故選項B正確；

2

當NAO8=2NBOC時，0C在NAQ8的內(nèi)部時，0C是NAOB的平分線，故選項C正確；

當NA0C=N30。時，0C在NAQB的內(nèi)部時，0C是NA08的平分線，故選項D正確；

故答案選A.

【點睛】本題主要考查角平分線的定義，正確理解角平分線的定義是解題的關鍵.

9.到三角形三條邊的距離都相等的點是這個三角形的（）

A.三條中線的交點

B.三條高的交點

C.三條角平分線的交點

D.三條邊的垂直平分線的交點

【答案】C

【解析】因為角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等，所以到三角形的三邊的距離相等的

點是三條角平分線的交點.

【詳解】解：???角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等，

...到三角形的三邊的距離相等的點是三條角平分線的交點.

故選：C.

【點睛】該題考查的是角平分線的性質(zhì)，因為角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等，所

以到三角形的三邊的距離相等的點是三條角平分線的交點，易錯選項為D.

10.（2018?湖北省十堰市東風教育分局第四中學初一期末）如圖/1=N2,N3=N4,NA0F

=-ZAOB=^°,下列說法正確的是（）

2

A.射線刃是/旅的平分線B.N4是/4次?的余角

C.N2的余角是/呼D.N3的補角是/灰切

【答案】B

【解析】根據(jù)角平分線的定義和余角的定義即可得到結(jié)論.

【詳解】

:NA0F=二NA()B=90。,AZ^<%Z3=90°.

2

VZ3=Z4,：.ZA0C+Z4=W°,二/4是的余角.

故選B.

【點睛】本題考查了余角和補角，角平分線的定義，正確的識別圖形是解題的關鍵.

二、填空題（共5小題）

11.（2019?湖北中考真題）如圖，直線A3//CD,直線EC分別與A8,8相交于點A、

點C,AO平分N84C,已知NACO=80，則ZDAC的度數(shù)為

【答案】50

【解析】依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到/的「的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義，即可得到NZMC

的度數(shù).

【詳解】解：AB//CP,ZACZ)=80,

ZBAC=100，

乂AD平分NS4C,

ADAC=-ABAC=50,

2

故答案為：50.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，以及角平分線的定義.解題關鍵在于，兩直線平行,

同旁內(nèi)角互補.

12.（2018?四川中考真題）如圖，在aABC中，AF平分NBAC,AC的垂直平分線交BC于點

E,NB=70°,ZFAE=19°,則NC=度.

D

BFEC

【答案】24

【解析】根據(jù)角平分線和垂直平分線的性質(zhì)得到角之間的關系，再利用三角形內(nèi)角和180

度求角.

【詳解】：然是4C的垂直平分線，

：.EA=EC,

AEAC=AC,

：.ZFAC=ZFA^-ZEA(=19°+ZEAC,

?.3尸平分/胡C,

:.NFAB=/FAC

在△［比'中，N班/仆4加小180°所以70°+NG2NAJtM80°,

.?.70°+N川32X(19°+Z￡4O=180",

.,.NC=N￡4俏24°,

故本題正確答案為24.

【點睛】本題主要考查角平分線和垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和等于180度的應用、角

的概念及其計算.

13.(2019?樂清育英學校初中分校初一期中)如圖，CD平分NACB,