2021年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第一部分　簡單題型

2021年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第一部分簡單題型專練

題型一函數(shù)圖象的分析與判斷

◎類型1函數(shù)圖象的識別

1.(2020遼寧撫順］如圖，在RtZi4?C中,。，/1(7即72/1,破148于點D.點戶從點A出發(fā)，沿月一AC的路徑運

動，運動到點C停止，過點戶作加4C于點EPFLBC于氤F.設(shè)點戶運動的路程為x,四邊形CE%的面積為M不妨設(shè)

點P與點A或點。重合時，尸0),則能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是(A)

2.如圖，點48是反比例函數(shù)萬1(%>0)的圖象上的點,力和3的橫坐標(biāo)分別是2和1,點P從點0出發(fā)沿。一曲線AB-

8。運動，速度為每秒1個單位長度，設(shè)點P的運動時間為t,過點P作/"_L,v軸于點沙的面積為H點P與點0

或點C重合時，令SR),則能表示S與r之間的函數(shù)關(guān)系的圖象是(A)

3.［2020鄭州適應(yīng)性測試］如圖，在正方形ABCD中、CD4cm.動點P從點A出發(fā)，以或cm/s的速度沿射線力。運動到點

。停止.動點。同時從點A出發(fā)，以1cm/s的速度沿折線4笫運動到點。停止.設(shè)△和0的面積為*nr')(當(dāng)點R0重

合時，令y=O),點。的運動時間為Ms),則下列圖象能反映y與*之間的函數(shù)關(guān)系的是(D)

4.[2020河南省實驗三模]如圖,四邊形力及小是菱形,47=2/4比飛0。，點戶從〃點出發(fā),沿折線以切運動，過點P作直

線⑦的垂線，垂足為點。，設(shè)點戶運動的路程為x,△。內(nèi)的面積為M當(dāng)點F與點?；螯cC重合時，規(guī)定*0）,則下列圖

象能正確反映y與x之間的函數(shù)關(guān)系的是（B）

5.[2020開封二模]如圖，在。4CT中,月以6,a>104氏1陽點/>從點3出發(fā)沿著8~/1-C的路徑運動,同時點0從點A

出發(fā)沿著的路徑運動，點R0的運動速度相同，當(dāng)點尸到達點C時，點。隨之停止運動.連接戶。設(shè)點戶的運

動路程為x,片戶〃則下列圖象中能大致反映y與x之間的函數(shù)關(guān)系的是（C）

6.[2018開封二模]如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，已知40,1）,//3,0）,以線段皿為邊向上作菱形且點〃在y軸上.

若菱形4及力以每秒2個單位長度的速度沿射線腦滑行,當(dāng)頂點。落在、軸上時停止.設(shè)菱形落在x軸下方的部分

的面積為S,則能夠反映面積S與滑行時間，之間函數(shù)關(guān)系的圖象大致是(A)

④類型2由幾何動點和函數(shù)圖象解決幾何問題

7.[2018信陽二模]某校在一公園內(nèi)舉行定向越野挑戰(zhàn)賽.路線圖如圖（1）所示，點￡為矩形ABCD這4?的中點，在矩形

靦的四個頂點（監(jiān)測點）處都有定位儀，可監(jiān)測運動員的越野進程，其中一位運動員戶從點2出發(fā)，沿著B-E—D也

路線勻速行進，到達點〃停止.設(shè)運動員P的運動時間為，，到某監(jiān)測點的距離為y.若y與t的函數(shù)關(guān)系的圖象大致

如圖（2）所示，則這個監(jiān)測點是（B）

圖(1)圖(2)

A.監(jiān)測點。B.監(jiān)測點。

C.監(jiān)測點BD.監(jiān)測點A

8.[2020許昌二模]如圖⑴,4?是半圓0的直徑，點C是半圓。上異于點46的一點，連接AC.BC.點/，從點A出發(fā)，沿折

線4方以1cm/s的速度勻速運動到點"圖⑵是點P運動時△*5的面積Mem）與時間Ms）之間函數(shù)關(guān)系的圖象（當(dāng)

點戶與點A或點5重合時，令片0）,則點〃的橫坐標(biāo)為（A）

圖⑴圖⑵

A.a+2B.2C.a*3D.3

9.［2020濮陽模擬］如圖(l),在等邊三角形48。中，點。是成,的中點，點P為4;上一動點，連接PD.設(shè)AP=x、PD=y，巖y

與x的函數(shù)關(guān)系的大致圖象如圖(2)所示，則-的周長為(A)

?c

圖⑴圖⑵

A.12B.6C.4D.2

10.［2020洛陽一模］如圖(1),在△』力中,°,￡廣分別是邊4ca?上的動點(點￡不與點4,(、重合)，且AE=CF,D

是，俗的中點，連接DE、DF,EF、設(shè)跖=蒼△期的面積為匕圖⑵是y關(guān)于x的函數(shù)圖象，則下列說法不正確的是(C)

A.△田■.是等腰直角三角形

B.0=1

C.△陽1■的周長可以等于6

D.四邊形碗下的面積為2

11.(2020南陽宛城區(qū)一模］如圖(I),在Rt44%中,N〃B=90。，點。為〃■邊的中點，動點尸從點〃出發(fā)，沿著H

的路徑以每秒1個單位長度的速度運動到3點，在此過程中線段CP的長度j，與運動時間M秒)的函數(shù)關(guān)系圖象如圖

(2)所示，貝I］比"的長為_竿二.

2+vn*

圖(1)圖（2）

題型二平面直角坐標(biāo)系中的規(guī)律探索

?類型1旋轉(zhuǎn)型

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形以比、是正方形，點4的坐標(biāo)為（3,3）,點〃是邊找的中點，現(xiàn)將正方形以貿(mào),繞點0

順時針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)45。，則第2020秒時，點。的坐標(biāo)為（D）

A.（苧,-3/）B.（-3或,-苧）

a（一律山（塌）

2.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，已知菱形/f及方的頂點仄0,1）204即50。，動射線。戶與菱形的邊相交于點R若射線OP

從OA開始，繞點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)，速度為每秒15。，則第2020s時，點戶的坐標(biāo)是（A）

C.(gO)D.(喂)

3.如圖，菱形4及力的頂點〃在y軸上，邊加與.1，軸交于點￡且血加了軸,40,5次）,/1（-3,275）,把菱形被力繞坐標(biāo)原

點〃順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60。，則第63次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點C,的坐標(biāo)為(D)

A.(5V3,6)B.(-575,-6)

C.(-6,573)D.(-6-5V3)

4.[2020開封一模]如圖，指針例如分別從與、軸正半軸和y軸正半軸重合的位置出發(fā)，繞著原點。順時針轉(zhuǎn)動，已知

0A每秒轉(zhuǎn)動45°M的轉(zhuǎn)動速度是0A的翔第2020秒時,N4位的度數(shù)為（C）

A.130°B.145°C.150°D.165°

5.[2020許昌一模]如圖，在正方形1及力中，頂點4（T,0）,QI,2）,點B在'軸正半軸上，點F是應(yīng)'的中點，⑦與y軸交于

點&AF與跖交于點6.將正方形ABCD繞氤。順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第99次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點G的坐標(biāo)為（B）

A?瑞）B.（噗）

（第5題），（第6題）

⑥類型2翻滾型

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,□△CM8的頂點兒?的坐標(biāo)分別為將Rt△物。沿x軸向右做無滑動滾動，

則經(jīng)過40次滾動后，點4的坐標(biāo)為（B）

A.（39+13百,V5）B.（39+1475,0）

C.（42+14V3,V3）D.（42+15V3.0）

7.如圖，一段拋物線尸4用M0WA<4）,記為G,它與x軸交于點將拋物線G繞點4旋轉(zhuǎn)180°得C,交*軸于點

4；將C繞點4旋轉(zhuǎn)180。得應(yīng)交x軸于點4……如此進行下去，直至得到若點/佃3）在Cw上，則實數(shù)m=_S

081或8083.

?類型3漸變型

8.[2019湖北鄂州]如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，點4,4,4,…,4在x軸上，點8區(qū),8,在直線y考x上,若4（1,0）,且

△484,丑4,…,△464,“都是等邊三角形,從左到右的小三角形（陰影部分）的面積分別記為$55「“,$,則&可

A.22,，V3B.22,HV3C.22,,2V3D.

9.[2020湖南衡陽]如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（孝，苧），將線段6W繞點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°，再將

其長度伸長為01\的2倍，得到線段期;又將線段Q/2繞點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)15。，長度伸長為OR的2倍彳導(dǎo)到線

段OR；如此下去，得到線段。入M,…,。S為正整數(shù)），則點以為的坐標(biāo)是（0,-2。.

?類型4徘徊型

10.[2020平頂山三模]如圖,正方形力及力的四個頂點均在坐標(biāo)軸上.已知點/!(-2,0),鳳-3,0),點戶是正方形ABCD也上

的一個動點，連接器將功繞點￡逆時針旋轉(zhuǎn)90"得到￡五若點?從點,1出發(fā)，以每秒在個單位長度沿

4fAe-外/I方向運動，則第2020秒時，點尸的坐標(biāo)為(C)

A.(-4,4)B.(5,-3)C.(-3,5)D.(-4,2)

11.[2020安陽二模]如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,仍的頂點A的坐標(biāo)為(2,1),頂點8的坐標(biāo)為(2,0),將△//作如下

變換.第1次變換:先將/關(guān)于、軸作軸對稱變換，再向右移動1個單位長度居到△4Q8;第2次變換:先將

△408關(guān)于x軸作軸對稱變換，再向右移動1個單位長度居到△4Q8……依此規(guī)律，得到△“成w摳皿,.則點4儂

的坐標(biāo)是(D)

A.(2020,1)B.(2020,-1)

C.(4042,1)D.(2022,1)

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,有一組邊長為2的等邊三角形，分別為△尻4摳，△民4風(fēng)△氏4&/\居4層……若

點戶從點。出發(fā)，沿-4一6一4一區(qū)一4一區(qū)一…以每秒1個單位長度的速度移動，則第2021秒時，點戶的坐標(biāo)是

孥

13.如圖，而=。＞3,。廬2,〃是上一點,,4"力比：點P從點"出發(fā)，沿平行于的的方向運動到砥上的點A處，再沿平行

于/IC的方向運動到49上的點8處,然后沿平行于小的方向運動到4C上的點A處,繼而沿平行于4？的方向運動到

及7上的點用處……則點月"的坐標(biāo)為(，0).

y

題型三陰影部分面積、周長的相關(guān)計算

?類型I陰影部分面積的相關(guān)計算

1.[2017河南B卷]如圖，把半徑為2的0。沿弦4氏4,折疊，使Q和祀都經(jīng)過圓心〃，則陰影部分的面積為（C）

樣B.V3C.2V3D.4V3

（第2題）

2.[2020平頂山三模]如圖，在RtZU施中,N4Q8=90°,如之,如=1,將RtZUQS繞點〃順時針旋轉(zhuǎn)90°后得Rt△7?法；將

線段即繞點?逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得線段分別以點Q,為圓心，如，碩的長為半徑畫經(jīng)和5?,連接,44則圖中陰影

部分的面積是(B

.14-n10-n

A-Bn—

C.HD.n+5

3.[2020河南省實驗三模]有一張矩形紙片月及力，其中4介4,以A9為直徑的半圓正好與及;邊相切，如圖（1）.將該紙片

沿叫點￡在,仍邊上）折疊，使A點落在曲■上，如圖（2）,這時，半圓還露在外面的部分（陰影部分）的面積是:二_

V3.

圖⑴

4.[2018黑龍江大慶]如圖，在RtAW中,/〃》由0。，然=及72將Rt△4完,繞點/I逆時針旋轉(zhuǎn)30°后得到RQADE,

點5經(jīng)過的路徑為弧能則圖中陰影部分的面積為

5.［2020平頂山三模］如圖，將沿⑦方向平移得到Rt&EFD,D為及?的中點，連接AE.以點。為圓心，以切的

長為半徑畫弧，分別交陽跖于點咐：若N4%%30。，心2,則圖中陰影部分的面積為_苧_.

6.如圖，在等腰直角三角形,4砥中，/以090°,及大4企,分別以點用。為圓心、然的長為半徑畫弧,交斜邊比■于點

7.(2019焦作二模］如圖,已知點是以為直徑的半圓。的三等分點，弧防的長為缸，過點6作BCLAE,交花的

延長線于點C則圖中陰影部分的面積為_竽學(xué)_.

④類型2陰影部分周長與最值問題的綜合

8.如圖，在RtZUSC中,N陰。90°,M=4C=4,點〃在射線以上運動(不與點6重合)，以點4為圓心、，。為半徑，在AD

的右側(cè)作扇形49￡使NZWQ90°,點尸為〃的中點，連接能則當(dāng)外最短時，扇形49￡的周長為?平.

---一L--

(第8題)

9.如圖,在菱形4?切中,4〃=1,/上60。，點￡是線段44上一動點(不與點4,8重合)，連接〃￡將線段比.繞點〃逆時針

旋轉(zhuǎn)60。，點萬的對應(yīng)點為點￡連接仍；則△〃杼?周長的最小值為.

10.如圖(1),在平面直角坐標(biāo)系中,4(6,0),以0,275),點。在j，軸正半軸上，點。與坐標(biāo)原點重合，且CDA.以切為直徑

作圓，當(dāng)點〃從初始位置沿x軸向右運動時，點。沿y軸向下運動，如圖(2),設(shè)該圓與直線4?交于點￡￡則在此運動過

程中,圖⑵中陰影部分的周長的最大值為.

圖⑴圖⑵

11.如圖,在矩形/靦中，，加3,除3次,作該矩形的外接圓，點P為矩形4?力內(nèi)一動點,且滿足反鬲S炬彩…則圖中

陰影部分的周長的最小值為A：”.

(第11題)P々第12題)

12.如圖,在扇形4如中,N4Q5=90°,點C在筋上，且4%a0。，點P是線段加上一動點.若3-2,則圖中陰影部分

周長的最小值是-煞6_.

題型四圓的相關(guān)證明與計算

?類型1與圓有關(guān)的證明與計算

1.(2020四川宜賓］如圖，已知/的是0。的直徑，點('是圓上異于點44的一點，連接及"并延長至點。，使CD=BC,連接AD

交00于點￡連接的力C

(1)求證:△4?是等腰三角形；

(2)連接“并延長，與以點8為切點的切線交于點￡若，仍=4,b=1,求加'的長.

⑴證明：：如?是。"的直徑，

/4啰=90°,

.,.ACLBD.

又■.'BC=CD,

.：直線〃垂直平分線段助

.：AB=AD,

,：△4砌是等腰三角形.

(2):副是等腰三角形/。=做

；./BA吟/BAD.

???/BOC=/BAD.

7M是O0的切線,

?：N期R00.

：'44是0。的直徑，

?：NAEBTO°二4()BR

??.△OBFS^AEB、

.OBOF

AB'

?JABA

?：()C二OB爭B2M)二ABA

???OF=OC+CFA

4

r.DE=AD-AE^.

2.如圖，9為。。的直徑，過。0外的點〃作〃反1力于點￡射線a:切0。于點C交仍的延長線于點產(chǎn)，連接然交DE

于點片過點C作QAB于點H.

⑴求證:N加2N4

⑵若出-2,cosN氏求〃'的長.

⑴證明:連接0C.

：7T切?！ㄓ邳c(；.：Na用90°,

"P+/BOC6.

???DEIAP,?，?/P+/D鄭)；

"COB=/D.

根據(jù)圓周角定理可得戶2/力,

?：N%2N4

(2)由(I)可知NC7用=/〃，

."cosZ6W=cos娓,

.OH_3

**ocT

設(shè)7〃的半徑為八則0—則子

?:尸=5,

.:好5-2考,

.\CH-4、AH=()AM)H心埒A,

.'.ACy/AH2+CH2V82+42lV5.

3.[2020陜西]如圖,a'是。。的內(nèi)接三角形,N兩。=75。/做=5°.連接40并延長，交O0于點4連接BD.過點

。作。0的切線，與BA的延長線相交于點￡

(1)求證:49〃比

(2)若(48=12,求線段EC的長.

⑴證明:如圖，連接*

:與?！ㄏ嗲杏邳c。

.".OCLEC.

.?.ZAOC^.ZABC=90°，即OCLAD,

.\AD//EC.

⑵如圖，過點.4作"工&；垂足為/,；則四邊形.4龐尸為矩形.

:.:四邊形，陽■■為正方形，

:.AF=CF=OA.

：2極M45。/BACT5",

.：ZJ<^=180°-45°-75°=60°,

?：ZP=60°.

:力〃是?！ǖ闹睆?，

.：/小〃=90°,.：N=30°,

.:在RtZ\4%9中,」〃二^用國,

cos300

:AD"EC、.：Z￡=N劭"30°,

.:在RtZU陽中，"、焉=12,

."Q/:六"-12+1VI

@類型2圓背景下的特殊四邊形的動態(tài)探究題

4.[2020鄭州適應(yīng)性測試]如圖，在RtZ\48C中,N/130。，以斜邊47上的中線⑺為直徑作分別與4C%交于點

E,F.過點尸作。。的切線交.48于點M.

⑴求證:好工破

⑵若0。的直徑是6,填空：

&連接0F、0M,當(dāng)FM=：3時,四邊形6M!正是平行四邊形；

強旌接然例當(dāng)時，四邊形(砌?是正方形.

⑴證明:連接OF,

:CD是RtZiUa'斜邊上的中線，

:.CD=BD,

...ZDCB=NB.

,.,0C=0F,

；./0CF=/0FC,

二乙0FC=4/3,

.,.OF//BD.

：/1/是。。的切線，

.；/0網(wǎng)=90"

.：NFMB=90°,g|]MFLAB.

(2)?3

(g6V2

解法提示:①當(dāng)四邊形〃短步是平行四邊形時,"〃/〃/陽

又點”是⑶的中點，.：點￡,，/分別是線段出的中點，

.㈤/是△以射的中位線,.：/■；吟⑦=3.

②當(dāng)四邊形成勿;是正方形時,NB35:

又/)C=DA,，NA=NDCAA5。，工/期=90°,

.,.AC-V2(7)-f>y/2.

5.[2020河南省實驗三模]如圖，在RtZ\4?f中,N為C=90°,NG=30。，以4c邊上一點。為圓心,04長為半徑作OQOO

恰好經(jīng)過比'邊的中點〃,并與4c邊相交于另一點F.

(1)求證:物是0。的切線.

⑵若48=75,￡是府上一動點，連接AE,AD,DE.填空：

①S靛的長度是!”時,四邊形ABDE是菱形;

②3黛的長度是gn或“時,是直角三角形.

--------3------------------

⑴證明:連接00.

丁在RtAUC中，/川GOO。，/CW0°,

.\AB=^BC.

丁〃是火的中點，

"BA3/BDA.

VOA=ODt

???/OAD=NODA,

?：NODB=/BAO§Q：

即0D1BD、

,:"是。。的切線.

(2)靖五

②畀或冗

解法提示：。旌接⑼

:四邊形/朦是菱形，

.\AE=DE.

7/DOC0-30°W0°,

,：/4勿刁20°,,：/力劭巧0°,

,：△力比’是等邊三角形，

r.AD=DE=AE,

/.ADDEAE.

在RtZ\45r中,NC30°,

.：6C之初~2V5,.：O?V5,

???OD:CD?tanUx￡,

..2nxl2

②：,/,介60°,.：分兩種情況討論.

當(dāng)/4后90。時，點/：與點/」重合，此時公駕

當(dāng)/〃45為0’時,〃ZT是O。的直徑.

由百乙4aM20°,

.：4峪60°,

1

.??此iL時Ln-/+&f601TX1q1".

綜上可知,當(dāng)?的長度是gn或H時,△/〃/：.是直角三角形.

6.[2020洛陽三模]如圖，已知4斤是O。的直徑,依切。0于點產(chǎn)，過4作理的垂線交小于點C交。。于另一點連接

PA,OP.

(1)求證:4戶平分NGL5.

(2)若點P是直徑上方。0上一動點,。0的半徑為2.

①當(dāng)弦4p的長是時，以點4Q/Q為頂點的四邊形是正方形；

②SQ的長度是—魚匣泊—時，以點4〃,。/為頂點的四邊形是菱形.

⑴證明：：7T切O。于點A

，OP工PC.

VACLPC,

.\AC//O1\

?：ZCAP=NAP().

V()P=OAt

?：NOAP=/APO,

???/CAP=/OAP,

,"尸平分N。反

⑵郎歷

吟吟

解法提示:①：,四邊形次乃。是正方形，

?：N4FR00,

，八PFOA2rL

②當(dāng)點〃在線段CA的延長線上時，如圖(I),

:‘四邊形/為菱形，

.\AP=OP.

又OP=OA,

「△如尸是等邊三角形，

AZAOP=60°,

..60xnx22

,"QF5-H”.

當(dāng)點〃在線段々上時，如圖⑵，連接切,

圖(2)

丁四邊形月加9為菱形，

.\DP=AD=OA=OP.

又OP=OD=OA,

.：△"火切是等邊三角形,

?：/AOD=/DOP軟：

二N/。片120°,

..120xnx24_

,?公-180-L

綜上可知，崩的長為立或如

7.[2019鄭州一中三模]如圖是等腰三角形的外接圓,4戶區(qū)延長比■至點〃，使⑦刃，連接交00于點￡

連接BE￡E,BE交4C于點F.

⑴求證:血

(2)填空：

①當(dāng)NABC=60時,四邊形4a若是菱形；

鰥4￡=百,心2企廁座的長為_竽_

(1)證明：：?四邊形ABCE為的內(nèi)接四邊形,

.：ZABC=ZCED,NDCE=^BAE.

VAB--AC,.：/ABC=/ACB,???/CED=/ACB.

又：2AEB=NACB,,：NCED=Z.AEB.

VAB=ACtCD=ACt/.AB-CDt

?,.△AB—4CDE,

???CE=AE.

(2)(060°

,5V3

-?----

3

解法提示:B接以則OE=OA.

丁四邊形力眾方為菱形,?

?"0=力拄";?：△力如是等邊三角形,?：N/1〃W6)°,

.：/」"120,.：/J/7r-iz.wixi2()6().

，②由題知CIi-\!：-y[3j)C-.\L^42.

???/DEC=4DBA/D=4D、

?:△陽S△〃創(chuàng)，

,DC_CEHn2V20

"DAAB,Bi~DA77!'

...86丙5歷

..a二〃彳.1/：^-v3^-.

8.[2020平頂山三模]如圖，創(chuàng)為半圓。的半徑,,如_力。且四二力，〃為半圓。上一點，連接力，作口過點。作半圓0

的切線CD交力。的延長線于點Q切點為〃，連接PD.

⑴當(dāng)陽〃四時，求證:期隔

⑵直接回答，當(dāng)。等于多少度時尸必比為菱形；

⑶連接仍當(dāng)點P落在線段如上，且的號5時，直接寫出切的直

⑴證明:連接加，延長CP交/W于點￡

Q

7力zu_/fa?:n創(chuàng)向0°.

在口必砥中,AB二PC、AB〃PC,

，PC，AO,/PEOtQ°.

VPD//AQ,

???/CP2/PEO4Q"、4O)P=/Q.

丁(力為半圓〃的切線，點〃為切點，

」OD=AOtOD1.CQ、?"ODQK°=/CPD,PC=OI).

又/CDP二/Q、

??.△PCgXDOQ於CD=OQ.

(2)當(dāng)/必任&)'時尸必成為菱形.

解法提示:連接曲則OP-OA.

當(dāng)門加％是菱形時,“小自

又AB二OA、JAP=O/kOP,

「△力8是等邊三角形,.：/用缶60°.

(3)2^272.

解法提示:如圖，連接以儀;延長CP交OA于點

由題意知出-伊-?廿”-〃〃W5,且△明?為等腰直角三角形，

，OE—*\..,?CE岳

在Rt△他沖，由勾股定理可得“二〃〃d+泛+1)=1義夜.

在I“△他.中，由勾股定理可得CD=(K'OD=\>2yf2(夜)22衣.

題型五閱讀理解題

1.閱讀下列材料，并完成相應(yīng)任務(wù).

古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家歐多克索斯曾提出:能否將一條線段分成不相等的兩部分,使較短線段與較長線段的比

等于較長線段與原線段的比?這就是黃金分割問題.后來得到這個相等的比就是與L。.618033988749….黃金分

割在我們生活中有廣泛的應(yīng)用，黃金分割點也可以用折紙的方式得到,如下：

第一步:如圖，裁一張正方形紙片/以刀，先折出歐的中點￡再展平，然后折出線段］￡；最后展平；

第二步:將紙片折疊，使/為落到線段取上,折痕為對獷的對應(yīng)點為"，展平;

第三步:將紙片折疊，使/打落在//上，折痕為4'1'的對應(yīng)點為8〃，展平.

這時B〃就是熊的黃金分割點.

任務(wù)：（1）試根據(jù)以上操作步驟證明B”就是AB的黃金分割點；

⑵請寫出一個生活中應(yīng)用黃金分割的實際例子.

⑴證明:設(shè)正方形八RCD的邊長為2,則BE1,

由折■可知,EB'=EB=L

在^AABE中,VVAB2+BE2V22+I2V5,

...計「\lIB'-Vs-I.

由折紙第三步得八B”二AB,二遙1,

.AB"V5-1

**AB*-T-1

VBB//AB-AB3-V5.

.BB^3-百底1

.,AB17=V5-1-21

??,點B"是AB的黃金分割點.

⑵舞臺上的報幕員站在舞臺長度的黃金分割點的位置時最美觀.（答案不唯一，正確即可）

2.閱讀材料并完成相應(yīng)任務(wù)：

婆羅摩笈多是一位印度數(shù)學(xué)家與天文學(xué)家，他的一些數(shù)學(xué)成就在世界數(shù)學(xué)史上有較高的地位，其中就包括他提出的婆

羅摩笈多定理（也稱布拉美古塔定理）.

婆羅摩笈多定理:若圓內(nèi)接四邊形的對角線相互垂直,則垂直于一邊且過對角線交點的直線將平分對邊.

下面對該定理進行證明.

已知:如圖⑴，四邊形ABCD內(nèi)接于。0,對角線AC±BD于點P,PM±BC于點此延長MP交AD于點N.

求證:AN=ND.

證明:???AC_LBD,PM_LBC,

???NBPM+NPBM=90°,NPCB+NPBC=90°,

JZBPM=ZPCB.

任務(wù)：

⑴請完成該證明的剩余部分；

⑵請利用婆羅摩笈多定理完成如下問題:如圖⑵，已知戊△ABC中,NBAC=90°,AB=AO4,BC,AC分別交00于點D,E,連

接AD.BE交于點P,過點P作MN〃BC,分別交DE.AB于點M,N.若AD_LBE,求NP的長.

圖⑴圖(2)

解:⑴又NNPD=NBPM,NADP=NPCB,

.,.ZNPD=ZADP,/.ND=NP.

VZNPD+ZNPA=90",NADP+NDAP=90°,

:.ZNPA=ZDAP,.\AN=NP,:,AN=ND.

(2)VZBAC-90°,

ABE是Q0的直徑:ZBDM-900.

又MN〃BC「?MNJ_DE.

又AD±BEf.'.AN=NB,

，'吟B=2.

3.請閱讀下列材料,并完成相應(yīng)的任務(wù).

三等分角

三等分角是古希臘三大幾何問題之一.如圖⑴，容熹銳角ABC可被取作矩形BCAD的對角線BA和邊BC的夾角,

以B為端點的射線交CA于點E,交DA的延長線于點F,若EF=2AB,則射線BF是NABC的一條三等分線.

圖(1)圖(2)

證明:如圖⑵，取EF的中點G,連接AG.

任務(wù)：

⑴完成材料中的證明過程.

圖⑶

⑵如圖(3),矩形ABCD中,對角線AC的延長線與外角ZCBE的平分線交于點F.若BF^AC,則NF=30。.

解:(I)如圖，:四邊形ADBC是矩形，

.,.AD±AC,ADZ/BC,

???NF=N4.

V在加ZXAEF中，點(；是EF的中點，

.,.AG-iEF-FG,

???N1=NF,

，N2=2NI；=2N4.

又：EF=2AB,

.,.AB=AG,.'.N3=N2,工Z3=2Z4,/.ZABC=3Z4,

，射線BF是/ABC的一條三等分線.

(2)30°

解法提示:取AC的中點H,連接BH.

易知NFBE=45",

，NFAB+NF=45°.

VZCBA=90°,

.,.BH-iAC-AH-BF,.*.ZHAB-ZHBA,/FH】//F,

Z.ZFHB-2ZHAB,.-.ZF-2ZEAB,.-.1zE+ZI--151,

/.ZE=30°.

4.[2020山西]閱讀與思考

下面是小宇同學(xué)的數(shù)學(xué)日記，請仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù).

X年X月X日星期日

沒有直角尺也能作出直角

今天，我在書店一本書上看到下面的材料:木工師傅有一塊如圖⑴所示的四邊形木板，他已經(jīng)在木板上畫出一條裁割線八8,現(xiàn)

根據(jù)木板的情況，要過AB上的一點C,作出AB的垂線，用鋸子進行裁割,然而手頭沒有直角尺，怎么辦呢？

辦法一:如圖⑴，可利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD=30然后分別以D,C為圓心，以50。必與40面為半徑畫圓弧，兩

弧相交于點E,作直線CE,則NDCE必為90°.

辦法二:如圖(2),可以取一根筆直的木棒,用鉛筆在木棒上點出M,\兩點，然后把木棒斜放在木板上，使點M與點C重合,用鉛筆

在木板上將點N對應(yīng)的位置標(biāo)記為點Q,保持點N不動，將木棒繞點N旋轉(zhuǎn)，使點M落在AB上,在木板上將點M對應(yīng)的位置標(biāo)記為

點R.連接RQ并延長，在延長線上截取線段QS=MM得到點S,作直線SC,則NRCS=90°.

我有如下思考:以上兩種辦法依據(jù)的是什么數(shù)學(xué)原理呢？我還有什么辦法不用直角尺也能作出垂線呢？

任務(wù)：

⑴填空：“辦法一”依據(jù)的一個數(shù)學(xué)定理是勾股定理的逆定理(或如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那

么這個三角形是直耳三角形).

⑵根據(jù)“辦法二”的操作過程，證明NRCS=90。.

圖⑶

(3)①尺規(guī)作圖:請在圖⑶的木板上，過點C作出AB的垂線(在木板上保留作圖痕跡,不寫作法);

②說明你的作法所依據(jù)的數(shù)學(xué)定理或基本事實(寫出一個即可).

⑴勾股定理的逆定理(或如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形)

⑵證明:由作圖方法可知QR-QC,QS二QC,

???ZQCR-ZQRC,ZQCS-ZQSC.

jr??NSRC+/RCS/RSC=l8(T,

???NQCR+NQCS+NQRC+NQSO18(r,

.\2(ZQCR+ZQCS)=180o,

.?.ZQCR*-ZQCS=90°，即NRCS=90°.

⑶①如圖，直線CP即為所求.

②答案不唯一，寫一個即可.如:三邊分別相等的兩個三角形全等(或S￡S);等腰三角形頂角的平分線、底邊上的高、底邊上的中線

重合(或等腰三角形“三線合一”)；到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.

題型六函數(shù)綜合題

?類型1反比例函數(shù)與一次函數(shù)結(jié)合

1.[2019安陽一模]如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)yT(k/0)與一次函數(shù)y=ax+b(aW0)的圖象交于第二、四象

限的A,B兩點，過點A作AD±y軸于點D,連接AO,已知OD=3,SAA?=3,點B的坐標(biāo)為(n,-l).

(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;

⑵請根據(jù)圖象直接寫出ax+bN；的自變量x的取值范圍.

解:⑴???ADJ_y軸，

AS?AD,

又SVin—3,OD—3,

.?.a-ixBXAD.AAl)2,

.??點A的坐標(biāo)為「2,3).

把A(2,3)代入y?中，得k=6,

故反比例函數(shù)的解析式為>4

當(dāng)y-104,---l,.'.x-6t.,.B(6,1).

把A(-2,3),B(6,T)分別代入y-ax+b中,

a=4,

-2a+b=3,解得.

得，

6a+b=-1,.b=2,

故一次函數(shù)的解析式為y=丸七

(2)xW-2或0<xW6.

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中尸ABCD的頂點A,B,C的坐標(biāo)為A(l,0),B(3,l),C(3,3),反比例函數(shù)丫=3>0)的圖象經(jīng)過點D,

點P是一次函數(shù)y=kx+3-3k(kW0)的圖象與該反比例函數(shù)圖象的一個公共點.

⑴求反比例函數(shù)的解析式；

⑵通過計算說明一次函數(shù)kkx+3-3k(kW0)的圖象一定經(jīng)過點C;

⑶對于一次函數(shù)\=kx+3-3k(k區(qū)0),當(dāng)y隨x的增大而增大時，求點P的橫坐標(biāo)的取值范圍.

解:⑴?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

.,.AD=BC,AD#BC.

VB(3,1),C(3,3),

.??點B向上平移2個單位長度得到點C.

又點A的坐標(biāo)為(1,0),

，點D的坐標(biāo)為(1,2).

.反比例函數(shù)r爭\>0)的圖象經(jīng)過點D(l,2),

二2與..反比例函數(shù)的解析式為y=^(x>0).

(2)當(dāng)x=3時,v=kx43-3k=3k+33k=3,

二一次函數(shù)「kx-3-3k(kK0)的圖象一定過點C.

⑶設(shè)點P的橫坐標(biāo)為a,

:一次函數(shù)尸kx+3-3k(kW0)經(jīng)過點C,且y隨x的增大而增大,

.\k>0,a<3.

當(dāng)點P的縱坐標(biāo)等于3時，將y-3代入V

X

得鴻.

易得點P的橫坐標(biāo)a的取值范圍為，2<3.

@類型2反比例函數(shù)與幾何圖形結(jié)合

3.如圖，點A是反比例函數(shù)位于第一象限的圖象上的一點，過點A作x軸的垂線，垂足為點B,取AB的中點C.

⑴若點C的坐標(biāo)為(2,2),求反比例函數(shù)的解析式.

⑵在⑴中所求得的k值條件下，作點C關(guān)于x軸的對稱點D,再過點D作x軸的平行線,交反比例函數(shù)y=：位于第三象

限的圖象于點E,若點A在反比例函數(shù)的圖象上運動，則在此過程中,ZSCED的面積是否發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，請寫

出變化規(guī)律;如果不發(fā)生變化,請求出4CED的面積.

解:0)1.點C的坐標(biāo)為(2,2),且點C是AB的中點，

...點A的坐標(biāo)為(2,4),；.k=2X4=8,

...反比例函數(shù)的解析式為y1

(2)ACED的面積不發(fā)生變化.

設(shè)點A的坐標(biāo)為(a9,則點C的坐標(biāo)為(a$,點I)的坐標(biāo)為(/

,.?DE〃K軸,.?.點E的縱坐標(biāo)為上.

a

八84z

T)---，得Bx-2(1,

xa

4

???點E的坐標(biāo)為(-2a,-2a)-3a.

又。吟(鴻

AS,,-i[EI)-CD-1^X3aX-8-12.

22a

4.[2019河南省實驗三模]如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有一矩形0ABCQ為坐標(biāo)原點，點A在y軸正半軸上，點E是邊AB

上的一個動點(不與點A.B重合)，過點E的反比例函數(shù)yT(x〉0)的圖象與邊BC交于點F,連接0E,EF.

⑴若△0AE的面積為S”且S,=l,求k的值；

(2)若0A=2,0C=4,當(dāng)4BEF沿直線EF折疊，且點B恰好落在0C上時，求k的值.

解:⑴由點E在反比例函數(shù)廣*訓(xùn)的圖象上，設(shè)卜：出白口。0),??5=|?xi?

,；S=1k-2

(分設(shè)A施;西直線日折疊，點B恰好落在0C上的點I)處，過點E作EGXOC于點G.

四邊形OABC為矩形,()A=2,0C=4,

???E專2),I；(4$,??.BE=41,BE=2.

由折疊可知,ED=BE-1*DF：BF=2%/EDF-/ABC-9(尸.

VZGED+ZEDG-900,ZEDG+ZFDC-90°,

，NGED=-△EGDs&w,

在/?zAli(；D中口;+GD-ED,即2-(ik)J-(4-|k)\

解得k:3.

④類型3函數(shù)圖象與性質(zhì)的探究

5.某班數(shù)學(xué)興趣小組對函數(shù)產(chǎn)+1的圖象和性質(zhì)進行了探究，探究過程如下,請補充完整.

X-1

(l)x與y的幾組對應(yīng)值列表如下：5

-3

2

53

--

32

則01二3;

⑵在疝函所示的平面直角坐標(biāo)系中，已描出了以上表中各組對應(yīng)值為坐標(biāo)的點，并畫出了函數(shù)圖象的一部分,請畫出

該函數(shù)圖象的另一部分.

(3)函數(shù)y=|^+1的圖象是軸對稱圖形，對稱軸是直線[；當(dāng)x滿足X”時,y隨x的增大而減小;

⑷進一步探究函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)：

①方程I工+1=2的解為x=0或x=2;

V-1-------------

②不等式；1+1〉2的解集為()、,x集或l，x;2.

解:⑴3

(2)畫圖如圖所示.

(3)X=1X>1

(4)@x-0或x=2

②O〈x<l或Kx<2

6.[2020北京川、云在學(xué)習(xí)過程中遇到一個函數(shù)y=1x|(x:-x+l)(x>-2).

下面是小云對其探究的過程，請補充完整：

(1)當(dāng)-2Wx<0時，

2

對于函數(shù)y1二|x|,即y尸-x,當(dāng)-2Wx<0時,y隨x的增大而減小，且y1>0；對于函數(shù)y2=x-x+l,S-2^x<0時,y隨x

的增大而減小，且y2〉0；結(jié)合上述分析，進一步探究發(fā)現(xiàn)，對于函數(shù)y,當(dāng)-2Wx<0時,y陵x的增大而減小.

⑵當(dāng)x20時，

對于函數(shù)y,當(dāng)x20時,y與x的幾組對應(yīng)值如下表：

11

X0-2-3

2

117

y0——1——

1662

結(jié)合上表，進一步探究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x20時,v隨x的增大而增大.在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy中，畫出x'O時的函

數(shù)y的圖象.

⑶過點(0,m)(m>0)作平行于x軸的直線1,結(jié)合(1)(2)的分析，解決問題:若直線1與函數(shù)丫4卜(x?-x+l)(x2-2)的圖象

O

有兩個交點，則m的最大值是.

3--

解:⑴減小減小減小

(2)x20時的函數(shù)y的圖象如圖所示.

如圖⑴，點D是前上一動點，線段BO8的點A是線段BC的中點，過點C作CF〃BD,交DA的延長線于點F.當(dāng)△!)€「

為等腰三角形時,求線段BD的長度.

小亮分析發(fā)現(xiàn)，此問題很難通過常規(guī)的推理計算徹底解決，于是嘗試結(jié)合學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗研究此問題,請將下面的探

究過程補充完整：

⑴根據(jù)點D在R上的不同位置，畫出相應(yīng)的圖形，測量線段BD,CD,FD的長度彳導(dǎo)到下表的幾組對應(yīng)值.

Wcm01.02.03.04.05.06.07.08.0

CD/czff8.07.77.26.65.9a3.92.40

FD/cm8.07.46.96.56.16.06.26.78.0

操作中發(fā)現(xiàn)：

①“當(dāng)點D為優(yōu)的中點時,BD=5.0cnf.則上表中a的值是5.0；

②“線段CF的長度無須測量即可得到”.請簡要說明理由.

⑵將線段BD的長度作為自變量x,CD和FD的長度都是x的函數(shù)，分別記為ya)和妨,并在平面直角坐標(biāo)系xOy中畫

出了函數(shù)用的圖象，如圖(2)所示,請在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)網(wǎng)的圖象.

⑶繼續(xù)在同一坐標(biāo)系中畫出所需的函數(shù)圖象，并結(jié)合圖象直接寫出:當(dāng)△DCF為等腰三角形時，線段BD長度的近似值

(結(jié)果保留一位小數(shù)).

圖(2)

解:⑴①5.0

②由題意可得,△ACFgZsABD,

/.CF=BD.

(2)y「的圖象如圖所示.

(3)y-的圖象如圖所示.

當(dāng)△DCF為等腰三角形時，線段BD的長度約為3.5。見5.0陰或6.3c加(答案不唯一)

8.如圖(1),半圓0的直徑AB=5儆點M在AB上，且AM=1c他點P是半圓0上的動點，過點B作BQ1PM交PM(或PM的

延長線外點Q.設(shè)PM=x。見BQ=y(當(dāng)點P與點A或點B重合時,y的值為0)

圖⑴

小石根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗,對函數(shù)y隨自變量X的變化而變化的規(guī)律進行了探究.

下面是小石的探究過程,請補充完整：

⑴通過取點、畫圖、測量滑到了x與y的幾組值，如下表:

XIi]122.533.54

y03.743.83.32.50

圖(2)

(2)在如圖(2)所示的由小正方形組成的網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系，描出以補全后的表中各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點，畫

出該函數(shù)的圖象.

⑶結(jié)合畫出的函數(shù)圖象，解決問題：

當(dāng)BQ與直徑AB所夾的銳角為60。時,PM的長度約為1.1或3.7(答案不唯一)cm.(結(jié)果保留一位小數(shù))

解:⑴40

當(dāng)x=4時，點P與點B重合，此時y=0.

⑵函數(shù)圖象如圖所示：

(3)1.1或3.7(答案不唯一)

解法提示:在々△BQV中，

:/Q=90°，/=60",

/.ZBMQ-