第二章圓錐曲線與方程教案

第二章圓錐曲線與方程一、課程目標(biāo)在必修階段學(xué)習(xí)平面解析幾何初步的基礎(chǔ)上,在本模塊中,學(xué)生將學(xué)習(xí)圓錐曲線與方程,了解圓錐曲線與二次方程的關(guān)系,掌握圓錐曲線的基本幾何性質(zhì),感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用。結(jié)合已學(xué)過的曲線及其方程的實(shí)例,了解曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系,進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想。二、學(xué)習(xí)目標(biāo)：（1）、圓錐曲線：①了解圓錐曲線的實(shí)際背景，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用。②經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓、拋物線模型的過程，掌握它們的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形及簡單性質(zhì)。③了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道雙曲線的有關(guān)性質(zhì)。④能用坐標(biāo)法解決一些與圓錐曲線有關(guān)的簡單幾何問題（直線與圓錐曲線的位置關(guān)系）和實(shí)際問題。⑤通過圓錐曲線的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想。三、本章知識結(jié)構(gòu)框圖：坐坐標(biāo)法曲線與方程曲線與方程求曲線的方程橢圓橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的簡單幾何性質(zhì)雙曲線雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線的簡單幾何性質(zhì)拋物線拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的簡單幾何性質(zhì)四、課時分配本章教學(xué)時間約需9課時，具體分配如下：2.1曲線與方程約1課時2.2橢圓約2課時2.3雙曲線約2課時2.4拋物線約2課時直線與圓錐曲線的位置關(guān)系約1課時小結(jié)約1課時2.1求曲線的軌跡方程（新授課）一、教學(xué)目標(biāo)知識與技能：結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的曲線及方程的實(shí)例，了解曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系，了解兩條曲線交點(diǎn)的求法；能根據(jù)曲線的已知條件求出曲線的方程，并初步學(xué)會通過方程來研究曲線的性質(zhì)。過程與方法：通過求曲線方程的學(xué)習(xí)，可培養(yǎng)我們的轉(zhuǎn)化能力和全面分析問題的能力，幫助我們理解研究圓錐曲線的基本方法。情感、態(tài)度與價值觀：通過曲線與方程概念的學(xué)習(xí)，可培養(yǎng)我們數(shù)與形相互聯(lián)系，對立統(tǒng)一的辯證唯物主義觀。二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：求動點(diǎn)的軌跡方程的常用技巧與方法．難點(diǎn)：作相關(guān)點(diǎn)法求動點(diǎn)的軌跡方法．三、教學(xué)過程(一)復(fù)習(xí)引入平面解析幾何研究的主要問題是：1、根據(jù)已知條件，求出表示平面曲線的方程；2、通過方程，研究平面曲線的性質(zhì)．我們已經(jīng)對常見曲線圓、橢圓、雙曲線以及拋物線進(jìn)行過這兩個方面的研究，今天在上面已經(jīng)研究的基礎(chǔ)上來對根據(jù)已知條件求曲線的軌跡方程的常見技巧與方法進(jìn)行系統(tǒng)分析．(二)幾種常見求軌跡方程的方法1．直接法由題設(shè)所給(或通過分析圖形的幾何性質(zhì)而得出)的動點(diǎn)所滿足的幾何條件列出等式，再用坐標(biāo)代替這等式，化簡得曲線的方程，這種方法叫直接法．例1、(1)求和定圓x2+y2=R2的圓周的距離等于R的動點(diǎn)P的軌跡方程；(2)過點(diǎn)A(a，o)作圓O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割線，求割線被圓O截得弦的中點(diǎn)的軌跡．對(1)分析：動點(diǎn)P的軌跡是不知道的，不能考查其幾何特征，但是給出了動點(diǎn)P的運(yùn)動規(guī)律：|OP|=2R或|OP|=0．解：設(shè)動點(diǎn)P(x，y)，則有|OP|=2R或|OP|=0．即x2+y2=4R2或x2+y2=0．故所求動點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=4R2或x2+y2=0．對(2)分析：題設(shè)中沒有具體給出動點(diǎn)所滿足的幾何條件，但可以通過分析圖形的幾何性質(zhì)而得出，即圓心與弦的中點(diǎn)連線垂直于弦，它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)．解答為：設(shè)弦的中點(diǎn)為M(x，y)，連結(jié)OM，則OM⊥AM．∵kOM·kAM=-1，其軌跡是以O(shè)A為直徑的圓在圓O內(nèi)的一段弧(不含端點(diǎn))．2．定義法利用所學(xué)過的圓的定義、橢圓的定義、雙曲線的定義、拋物線的定義直接寫出所求的動點(diǎn)的軌跡方程，這種方法叫做定義法．這種方法要求題設(shè)中有定點(diǎn)與定直線及兩定點(diǎn)距離之和或差為定值的條件，或利用平面幾何知識分析得出這些條件．直平分線l交半徑OQ于點(diǎn)P(見圖2－45)，當(dāng)Q點(diǎn)在圓周上運(yùn)動時，求點(diǎn)P的軌跡方程．分析：∵點(diǎn)P在AQ的垂直平分線上，∴|PQ|=|PA|．又P在半徑OQ上．∴|PO|+|PQ|=R，即|PO|+|PA|=R．故P點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和是定值，可用橢圓定義寫出P點(diǎn)的軌跡方程．解：連接PA∵l⊥PQ，∴|PA|=|PQ|．又P在半徑OQ上．∴|PO|+|PQ|=2．由橢圓定義可知：P點(diǎn)軌跡是以O(shè)、A為焦點(diǎn)的橢圓．3．相關(guān)點(diǎn)法若動點(diǎn)P(x，y)隨已知曲線上的點(diǎn)Q(x0，y0)的變動而變動，且x0、y0可用x、y表示，則將Q點(diǎn)坐標(biāo)表達(dá)式代入已知曲線方程，即得點(diǎn)P的軌跡方程．這種方法稱為相關(guān)點(diǎn)法(或代換法)．例3、已知拋物線y2=x+1，定點(diǎn)A(3，1)，B為拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AB上，且有BP∶PA=1∶2，當(dāng)B點(diǎn)在拋物線上變動時，求點(diǎn)P的軌跡方程．分析：P點(diǎn)運(yùn)動的原因是B點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動，因此B可作為相關(guān)點(diǎn)，應(yīng)先找出點(diǎn)P與點(diǎn)B的聯(lián)系．解：設(shè)點(diǎn)P(x，y)，且設(shè)點(diǎn)B(x0，y0)∵BP∶PA=1∶2，且P為線段AB的內(nèi)分點(diǎn)．4．待定系數(shù)法求圓、橢圓、雙曲線以及拋物線的方程常用待定系數(shù)法求．例4、已知拋物線y2=4x和以坐標(biāo)軸為對稱軸、實(shí)軸在y軸上的雙曲線僅有兩個公共點(diǎn)，又直線y=2x被雙曲線所截的的線段長等于，求此雙曲線方程。a2x2-4b2x+a2b2=0∵拋物線和雙曲線僅有兩個公共點(diǎn)，根據(jù)它們的對稱性，這兩個點(diǎn)的橫坐標(biāo)應(yīng)相等，因此方程a2x2-4b2x+a2b2=0應(yīng)有等根．∴△=16b4-4a4b2=0，即a2=2b．由弦長公式得：即a2b2=4b2-a2．(三)鞏固練習(xí)1．△ABC一邊的兩個端點(diǎn)是B(0，6)和C(0，-6)，另兩邊斜率的積是，求頂點(diǎn)A的軌跡。2．點(diǎn)P與一定點(diǎn)F(2，0)的距離和它到一定直線x=8的距離的比是1∶2，求點(diǎn)P的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形？3．求拋物線y2=2px(p＞0)上各點(diǎn)與焦點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程．(四)課時小結(jié)求曲線的軌跡方程一般地有直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、待定系數(shù)法，還有參數(shù)法、復(fù)數(shù)法也是求曲線的軌跡方程的常見方法，這等到講了參數(shù)方程、復(fù)數(shù)以后再作介紹．（五）布置作業(yè)：習(xí)題2.1A組2.3.4四、課后反思：2.2.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（新授課）一、教學(xué)目標(biāo)知識與技能：了解橢圓的實(shí)際背景，掌握橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程。過程與方法：通過橢圓的概念引入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的分析探索能力，熟練掌握解決解析問題的方法—坐標(biāo)法。情感、態(tài)度與價值觀：通過對橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的學(xué)習(xí)，滲透數(shù)形結(jié)合的思想，讓學(xué)生體會運(yùn)動變化、對立統(tǒng)一的思想，提高對各種知識的綜合運(yùn)用能力．二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：橢圓的定義和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．難點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)．三、教學(xué)過程(一)橢圓概念的引入問題1：什么叫做曲線的方程？求曲線方程的一般步驟是什么？問題3：圓的幾何特征是什么？你能否可類似地提出一些軌跡命題作廣泛的探索？一般學(xué)生能回答：“平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓”．對學(xué)生提出的軌跡命題如：“到兩定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡．”“到兩定點(diǎn)距離平方差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡．”“到兩定點(diǎn)距離之差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡．”取一條一定長的細(xì)繩，把它的兩端固定在畫圖板上的F1和F2兩點(diǎn)(如圖2-13)，當(dāng)繩長大于F1和F2的距離時，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在圖板上慢慢移動，就可以畫出一個橢圓．教師進(jìn)一步追問：“橢圓，在哪些地方見過？”有的同學(xué)說：“立體幾何中圓的直觀圖．”有的同學(xué)說：“人造衛(wèi)星運(yùn)行軌道”等……在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生概括橢圓的定義：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做焦距．學(xué)生開始只強(qiáng)調(diào)主要幾何特征——到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)、教師在演示中要從兩個方面加以強(qiáng)調(diào)：(1)將穿有鉛筆的細(xì)線拉到圖板平面外，得到的不是橢圓，而是橢球形，使學(xué)生認(rèn)識到需加限制條件：“在平面內(nèi)”．(2)這里的常數(shù)有什么限制嗎？教師邊演示邊提示學(xué)生注意：若常數(shù)=|F1F2|，則是線段F1F2；若常數(shù)＜|F1F2|，則軌跡不存在；若要軌跡是橢圓，還必須加上限制條件：“此常數(shù)大于|F1F(二)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)1．標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)由橢圓的定義，可以知道它的基本幾何特征，但對橢圓還具有哪些性質(zhì)，我們還一無所知，所以需要用坐標(biāo)法先建立橢圓的方程．如何建立橢圓的方程？根據(jù)求曲線方程的一般步驟，可分：(1)建系設(shè)點(diǎn)；(2)點(diǎn)的集合；(3)代數(shù)方程；(4)化簡方程等步驟．(1)建系設(shè)點(diǎn)建立坐標(biāo)系應(yīng)遵循簡單和優(yōu)化的原則，如使關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)、關(guān)鍵幾何量(距離、直線斜率等)的表達(dá)式簡單化，注意充分利用圖形的對稱性，使學(xué)生認(rèn)識到下列選取方法是恰當(dāng)?shù)模詢啥c(diǎn)F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系(如圖2-14)．設(shè)|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)為橢圓上任意一點(diǎn)，則有F1(-1，0)，F(xiàn)2(c，0)．(2)點(diǎn)的集合由定義不難得出橢圓集合為：P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．(3)代數(shù)方程(4)化簡方程（學(xué)生板演，教師點(diǎn)撥）2．兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的比較(引導(dǎo)學(xué)生歸納)0)、F2(c，0)，這里c2=a2-b2；-c)、F2(0，c)，這里c2=a2+b2，只須將(1)方程的x、y互換即可得到．教師指出：在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，∵a2＞b2，∴可以根據(jù)分母的大小來判定焦點(diǎn)在哪一個坐標(biāo)軸上．(三)例題講解例、平面內(nèi)兩定點(diǎn)的距離是8，寫出到這兩定點(diǎn)的距離的和是10的點(diǎn)的軌跡的方程．分析：先根據(jù)題意判斷軌跡，再建立直角坐標(biāo)系，采用待定系數(shù)法得出軌跡方程．解：這個軌跡是一個橢圓，兩個定點(diǎn)是焦點(diǎn)，用F1、F2表示．取過點(diǎn)F1和F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系．∵2a=10，2c=8．∴a=5，c=4，b2=a2-c2=25-16=9．∴b=3因此，這個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是思考：焦點(diǎn)F1、F2放在y軸上呢？（四）課堂練習(xí)：課本42頁練習(xí)1、2、3、4(五)課時小結(jié)1．定義：橢圓是平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)3．圖形（六）布置作業(yè)：習(xí)題2.2A組1、7四、課后反思2.2.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)（新授課）一、教學(xué)目標(biāo)知識與技能：通過橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的討論，使學(xué)生掌握橢圓的幾何性質(zhì)，能正確地畫出橢圓的圖形，并能根據(jù)幾何性質(zhì)解決一些簡單的問題，從而培養(yǎng)我們的分析、歸納、推理等能力。過程與方法：掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想。情感、態(tài)度與價值觀：通過本小節(jié)的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會方程與曲線的對應(yīng)關(guān)系，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用。二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)及初步運(yùn)用．難點(diǎn)：橢圓離心率的概念的理解．三、教學(xué)過程(一)復(fù)習(xí)提問1．橢圓的定義是什么？2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？(二)幾何性質(zhì)根據(jù)曲線的方程研究曲線的幾何性質(zhì)，并正確地畫出它的圖形，是解析幾何的基本問題之一。1、范圍即|x|≤a，|y|≤b，這說明橢圓在直線x=±a和直線y=±b所圍成的矩形里，注意結(jié)合圖形講解，并指出描點(diǎn)畫圖時，就不能取范圍以外的點(diǎn)．2．對稱性先請大家閱讀課本橢圓的幾何性質(zhì)2．設(shè)問：為什么“把x換成-x，或把y換成-y？，或把x、y同時換成-x、-y時，方程都不變，所以圖形關(guān)于y軸、x軸或原點(diǎn)對稱的”呢？事實(shí)上，在曲線的方程里，如果把x換成-x而方程不變，那么當(dāng)點(diǎn)P(x，y)在曲線上時，點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)Q(-x，y)也在曲線上，所以曲線關(guān)于y軸對稱．類似可以證明其他兩個命題．同時向?qū)W生指出：如果曲線具有關(guān)于y軸對稱、關(guān)于x軸對稱和關(guān)于原點(diǎn)對稱中的任意兩種，那么它一定具有另一種對稱．如：如果曲線關(guān)于x軸和原點(diǎn)對稱，那么它一定關(guān)于y軸對稱．事實(shí)上，設(shè)P(x，y)在曲線上，因?yàn)榍€關(guān)于x軸對稱，所以點(diǎn)P1(x，-y)必在曲線上．又因?yàn)榍€關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以P1關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)P2(-x，y)必在曲線上．因P(x，y)、P2(-x，y)都在曲線上，所以曲線關(guān)于y軸對稱．最后指出：x軸、y軸是橢圓的對稱軸，原點(diǎn)是橢圓的對稱中心即橢圓中心．3．頂點(diǎn)只須令x=0，得y=±b，點(diǎn)B1(0，-b)、B2(0，b)是橢圓和y軸的兩個交點(diǎn)；令y=0，得x=±a，點(diǎn)A1(-a，0)、A2(a，0)是橢圓和x軸的兩個交點(diǎn)．強(qiáng)調(diào)指出：橢圓有四個頂點(diǎn)A1(-a，0)、A2(a，0)、B1(0，-b)、B2(0，b)．教師還需指出：(1)線段A1A2、線段B1B2分別叫橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于2a和2b(2)a、b的幾何意義：a是長半軸的長，b是短半軸的長；這時，教師可以小結(jié)以下：由橢圓的范圍、對稱性和頂點(diǎn)，再進(jìn)行描點(diǎn)畫圖，只須描出較少的點(diǎn)，就可以得到較正確的圖形．4．離心率教師直接給出橢圓的離心率的定義：等到介紹橢圓的第二定義時，再講清離心率e的幾何意義．先分析橢圓的離心率e的取值范圍：∵a＞c＞0，∴0＜e＜1．再結(jié)合圖形分析離心率的大小對橢圓形狀的影響：(2)當(dāng)e接近0時，c越接近0，從而b越接近a，因此橢圓接近圓；(3)當(dāng)e=0時，c=0，a=b兩焦點(diǎn)重合，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程成為x2+y2=a2，圖形就是圓了．(三)應(yīng)用為了加深對橢圓的幾何性質(zhì)的認(rèn)識，掌握用描點(diǎn)法畫圖的基本方法，給出如下例1．例1、求橢圓16x2+25y2=400的長軸和短軸的長、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)，并用描點(diǎn)法畫出它的圖形．本例前一部分請一個同學(xué)板演，教師予以訂正，估計不難完成．后一部分由教師講解，以引起學(xué)生重視，步驟是：(2)描點(diǎn)作圖．先描點(diǎn)畫出橢圓在第一象限內(nèi)的圖形，再利用橢圓的對稱性就可以畫出整個橢圓(圖2-19)．要強(qiáng)調(diào)：利用對稱性可以使計算量大大減少．本例實(shí)質(zhì)上是橢圓的第二定義，是為以后講解拋物線和圓錐曲線的統(tǒng)一定義做準(zhǔn)備的，同時再一次使學(xué)生熟悉求曲線方程的一般步驟，因此，要詳細(xì)講解：設(shè)d是點(diǎn)M到直線l的距離，根據(jù)題意，所求軌跡就是︱MF︴=將上式化簡，得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)．這是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，所以點(diǎn)M的軌跡是橢圓．由此例不難歸納出橢圓的第二定義．(四)橢圓的第二定義1．定義平面內(nèi)點(diǎn)M與一個定點(diǎn)的距離和它到一定直線的距離的比是常數(shù)線叫做橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)e是橢圓的離心率．2．說明這時還要講清e的幾何意義是：橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比．(五)課時小結(jié)解法研究圖形的性質(zhì)是通過對方程的討論進(jìn)行的，同一曲線由于坐標(biāo)系選取不同，方程的形式也不同，但是最后得出的性質(zhì)是一樣的，即與坐標(biāo)系的選取無關(guān)．前面我們著重分析了第一個標(biāo)準(zhǔn)方程的橢圓的性質(zhì)，類似可以理解第二個標(biāo)準(zhǔn)方程的橢圓的性質(zhì)．布置學(xué)生最后小結(jié)下列表格：（五）布置作業(yè)1．求下列橢圓的長軸和短軸的長、焦距、離心率、各個頂點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程：(1)25x2+4y2-100=0，(2)x2+4y2-1=0．2．我國發(fā)射的科學(xué)實(shí)驗(yàn)人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地球的中心為一個焦點(diǎn)的橢圓，近地點(diǎn)距地面266Km，遠(yuǎn)地點(diǎn)距地面1826Km，求這顆衛(wèi)星的軌道方程．3．點(diǎn)P與一定點(diǎn)F(2，0)的距離和它到一定直線x=8的距離的比是1∶2，求點(diǎn)P的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形．四、課后反思：2.3.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（新授課）一、教學(xué)目標(biāo)知識與技能：使學(xué)生理解并掌握雙曲線的定義，掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)及標(biāo)準(zhǔn)方程。過程與方法：了解雙曲線的實(shí)際背景，經(jīng)歷從具體情境中抽象出雙曲線模型的過程，感受雙曲線定義在解決實(shí)際問題中的作用。情感、態(tài)度與價值觀：通過對雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的學(xué)習(xí)，滲透數(shù)形結(jié)合的思想，啟發(fā)我們在研究問題時，抓住問題的本質(zhì)。二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：雙曲線的定義和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．難點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)．三、教學(xué)過程(一)復(fù)習(xí)提問1．橢圓的定義是什么？平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．教師要強(qiáng)調(diào)條件：(1)平面內(nèi)；(2)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)；(3)常數(shù)2a＞|F1F2|．2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？(二)雙曲線的概念把橢圓定義中的“距離的和”改為“距離的差”，那么點(diǎn)的軌跡會怎樣？它的方程是怎樣的呢？1．簡單實(shí)驗(yàn)(邊演示、邊說明)如圖2-23，定點(diǎn)F1、F2是兩個按釘，MN是一個細(xì)套管，兩條細(xì)繩分別拴在按釘上且穿過套管，點(diǎn)M移動時，|MF1|-|MF2|是常數(shù)，這樣就畫出曲線的一支；由|MF2|-|MF1|是同一常數(shù)，可以畫出另一支．注意：常數(shù)要小于|F1F2|，否則作不出圖形．這樣作出的曲線就叫做雙曲線．2．設(shè)問問題1：定點(diǎn)F1、F2與動點(diǎn)M不在平面上，能否得到雙曲線？請學(xué)生回答，不能．強(qiáng)調(diào)“在平面內(nèi)”．問題2：|MF1|與|MF2|哪個大？請學(xué)生回答，不定：當(dāng)M在雙曲線右支上時，|MF1|＞|MF2|；當(dāng)點(diǎn)M在雙曲線左支上時，|MF1|＜|MF2|．問題3：點(diǎn)M與定點(diǎn)F1、F2距離的差是否就是|MF1|-|MF2|？請學(xué)生回答，不一定，也可以是|MF2|-|MF1|．正確表示為||MF2|-|MF1||．問題4：這個常數(shù)是否會大于等于|F1F2|？請學(xué)生回答，應(yīng)小于|F1F2|且大于零．當(dāng)常數(shù)=|F1F2|時，軌跡是以F1、F2為端點(diǎn)的兩條射線；當(dāng)常數(shù)＞|F1F2|時，無軌跡．3．定義在上述基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生概括雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對值是常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點(diǎn)F1、F2叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩個焦點(diǎn)之間的距離叫做焦距．教師指出：雙曲線的定義可以與橢圓相對照來記憶，不要死記．(三)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程現(xiàn)在來研究雙曲線的方程．我們可以類似求橢圓的方程的方法來求雙曲線的方程．這時設(shè)問：求橢圓的方程的一般步驟方法是什么？不要求學(xué)生回答，主要引起學(xué)生思考，隨即引導(dǎo)學(xué)生給出雙曲線的方程的推導(dǎo)．標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)：(1)建系設(shè)點(diǎn)取過焦點(diǎn)F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸(如圖2-24)建立直角坐標(biāo)系．設(shè)M(x，y)為雙曲線上任意一點(diǎn)，雙曲線的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐標(biāo)分別是(-c，0)、(c，0)．又設(shè)點(diǎn)M與F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)．(2)點(diǎn)的集合由定義可知，雙曲線就是集合：P={M||MF1|-|MF2||=2a}={M|MF1|-|MF2|=±2a}．(3)代數(shù)方程(4)化簡方程(由學(xué)生演板)將這個方程移項(xiàng)，兩邊平方得：化簡整理得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)．(以上推導(dǎo)完全可以仿照橢圓方程的推導(dǎo)．)由雙曲線定義，2c＞2a即c＞a，所以c2-a2＞0．設(shè)c2-a2=b2(b＞0)，代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2．這就是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的比較(引導(dǎo)學(xué)生歸納)：說明：(1)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b；(2)如果x2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在x軸上；如果y2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在y軸上．注意有別于橢圓通過比較分母的大小來判定焦點(diǎn)在哪一坐標(biāo)軸上．(3)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中a、b、c的關(guān)系是c2=a2+b2，不同于橢圓方程中c2=a2-b2．(四)例題講解：1．求滿足下列的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點(diǎn)F1(-3，0)、F2(3，0)，且2a=4；3．已知兩點(diǎn)F1(-5，0)、F2(5，0)，求與它們的距離的差的絕對值是6的點(diǎn)的軌跡方程．如果把這里的數(shù)字6改為12，其他條件不變，會出現(xiàn)什么情況？解：由定義，所求點(diǎn)的軌跡是雙曲線，因?yàn)閏=5，a=3，所以b2=c2-a2=52-32=42．因?yàn)?a=12，2c=10，且2a＞2c．所以動點(diǎn)無軌跡．(五)課時小結(jié)1．定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|)3．圖形：4．焦點(diǎn)：F1(-c，0)、F2(c，0)；F1(0，-c)、F2(0，c)．5．a(chǎn)、b、c的關(guān)系：c2=a2+b2五、布置作業(yè)1．根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是(-6，0)、(6，0)，并且經(jīng)過點(diǎn)A(-5，2)；3．已知圓錐曲線的方程為mx2+ny2=m+n(m＜0＜m+n)，求其焦點(diǎn)坐標(biāo)．四、課后反思：2.3.2雙曲線的幾何性質(zhì)（新授課）一、教學(xué)目標(biāo)知識與技能：理解并掌握雙曲線的幾何性質(zhì)，并能從雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程出發(fā)，推導(dǎo)出這些性質(zhì)，并能根據(jù)這些幾何性質(zhì)解決一些簡單問題，從而培養(yǎng)我們的分析、歸納和推理等能力。過程與方法：在與橢圓的性質(zhì)的類比中獲得雙曲線的性質(zhì)，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想，掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法。情感、態(tài)度與價值觀：通過本小節(jié)的學(xué)習(xí)，加深對直角坐標(biāo)系中曲線與方程的關(guān)系概念的理解，這樣才能解決雙曲線中的弦、最值等問題．二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：雙曲線的幾何性質(zhì)及初步運(yùn)用．難點(diǎn)：雙曲線的漸近線方程的導(dǎo)出和論證．三、教學(xué)過程(一)復(fù)習(xí)提問引入新課1．橢圓有哪些幾何性質(zhì)，是如何探討的？2．雙曲線的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？下面我們類比橢圓的幾何性質(zhì)來研究它的幾何性質(zhì)．(二)類比聯(lián)想得出性質(zhì)(性質(zhì)1～3)引導(dǎo)學(xué)生完成下列關(guān)于橢圓與雙曲線性質(zhì)的表格(讓學(xué)生回答，教師引導(dǎo)、啟發(fā)、訂正并板書)．(三)問題之中導(dǎo)出漸近線(性質(zhì)4)在學(xué)習(xí)橢圓時，以原點(diǎn)為中心，2a、2b為鄰邊的矩形，對于估計仍以原點(diǎn)為中心，2a、2b為鄰邊作一矩形(板書圖形)，那么雙曲線和這個矩形有什么關(guān)系？這個矩形對于估計和畫出雙曲線簡圖(圖2-26)有什么指導(dǎo)意義？這些問題不要求學(xué)生回答，只引起學(xué)生類比聯(lián)想．接著再提出問題：當(dāng)a、b為已知時，這個矩形的兩條對角線的方程是什么？下面，我們來證明它：雙曲線在第一象限的部分可寫成：當(dāng)x逐漸增大時，|MN|逐漸減小，x無限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是說，雙曲線在第一象限的部分從射線ON的下方逐漸接近于射線ON．在其他象限內(nèi)也可以證明類似的情況．現(xiàn)在來看看實(shí)軸在y軸上的雙曲線的漸近線方程是怎樣的？由于焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線方程是由焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線方程，將x、y字母對調(diào)所得到，自然前者漸近線方程也可由后者漸近線方程將x、y字母對調(diào)這樣，我們就完滿地解決了畫雙曲線遠(yuǎn)處趨向問題，從而可比較精再描幾個點(diǎn)，就可以隨后畫出比較精確的雙曲線．(四)離心率(性質(zhì)5)由于正確認(rèn)識了漸近線的概念，對于離心率的直觀意義也就容易掌握了，為此，介紹一下雙曲線的離心率以及它對雙曲線的形狀的影響：變得開闊，從而得出：雙曲線的離心率越大，它的開口就越開闊．這時，教師指出：焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的幾何性質(zhì)可以類似得出，雙曲線的幾何性質(zhì)與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)，即不隨坐標(biāo)系的改變而改變．(五)典型例題剖析：1．求雙曲線9y2-16x2=144的實(shí)半軸長和虛半軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程．由此可知，實(shí)半軸長a=4，虛半軸長b=3．焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，-5)，(0，5)．本題實(shí)質(zhì)上是雙曲線的第二定義，要重點(diǎn)講解并加以歸納小結(jié)．解：設(shè)d是點(diǎn)M到直線l的距離，根據(jù)題意，所求軌跡就是集合：化簡得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)．這就是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．由此例不難歸納出雙曲線的第二定義．(六)雙曲線的第二定義1．定義(由學(xué)生歸納給出)平面內(nèi)點(diǎn)M與一定點(diǎn)的距離和它到一條直線的距離的比是常數(shù)e=叫做雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)e是雙曲線的離心率．2．說明(七)課時小結(jié)：將雙曲線的幾何性質(zhì)按兩種標(biāo)準(zhǔn)方程形式列表小結(jié)．（八）布置作業(yè)1．已知雙曲線方程如下，求它們的兩個焦點(diǎn)、離心率e和漸近線方程．(1)16x2-9y2=144；(2)16x2-9y2=-144．2．求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)實(shí)軸的長是10，虛軸長是8，焦點(diǎn)在x軸上；(2)焦距是10，虛軸長是8，焦點(diǎn)在y軸上；曲線的方程．點(diǎn)到兩準(zhǔn)線及右焦點(diǎn)的距離．四、課后反思：2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（新授課）一、教學(xué)目標(biāo)知識與技能：使學(xué)生掌握拋物線的定義，理解焦點(diǎn)、準(zhǔn)線方程的幾何意義，能夠根據(jù)已知條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。過程與方法：掌握開口向右的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，進(jìn)一步理解求曲線的方法——坐標(biāo)法；通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生在解決問題時應(yīng)具有觀察、類比、分析和計算的能力。情感、態(tài)度與價值觀：通過一個簡單實(shí)驗(yàn)引入拋物線的定義，可以對學(xué)生進(jìn)行理論來源于實(shí)踐的辯證唯物主義思想教育．二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程．難點(diǎn)：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)．三、教學(xué)過程(一)導(dǎo)出課題我們已學(xué)習(xí)了圓、橢圓、雙曲線三種圓錐曲線．今天我們將學(xué)習(xí)第四種圓錐曲線——拋物線，以及它的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程．課題是“拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”．請大家思考兩個問題：問題1：同學(xué)們對拋物線已有了哪些認(rèn)識？在物理中，拋物線被認(rèn)為是拋射物體的運(yùn)行軌道；在數(shù)學(xué)中，拋物線是二次函數(shù)的圖象？問題2：在二次函數(shù)中研究的拋物線有什么特征？在二次函數(shù)中研究的拋物線，它的對稱軸是平行于y軸、開口向上或開口向下兩種情形．引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考：如果拋物線的對稱軸不平行于y軸，那么就不能作為二次函數(shù)的圖象來研究了．今天，我們突破函數(shù)研究中這個限制，從更一般意義上來研究拋物線．(二)拋物線的定義1．回顧平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F的距離和一條定直線l的距離的比是常數(shù)e的軌跡，當(dāng)0＜e＜1時是橢圓，當(dāng)e＞1時是雙曲線，那么當(dāng)e=1時，它又是什么曲線？2．簡單實(shí)驗(yàn)如圖2-29，把一根直尺固定在畫圖板內(nèi)直線l的位置上，一塊三角板的一條直角邊緊靠直尺的邊緣；把一條繩子的一端固定于三角板另一條直角邊上的點(diǎn)A，截取繩子的長等于A到直線l的距離AC，并且把繩子另一端固定在圖板上的一點(diǎn)F；用一支鉛筆扣著繩子，緊靠著三角板的這條直角邊把繩子繃緊，然后使三角板緊靠著直尺左右滑動，這樣鉛筆就描出一條曲線，這條曲線叫做拋物線．反復(fù)演示后，請同學(xué)們來歸納拋物線的定義，教師總結(jié)．3．定義這樣，可以把拋物線的定義概括成：平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(定點(diǎn)F不在定直線l上)．定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．(三)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)定點(diǎn)F到定直線l的距離為p(p為已知數(shù)且大于0)．下面，我們來求拋物線的方程．怎樣選擇直角坐標(biāo)系，才能使所得的方程取較簡單的形式呢？讓學(xué)生議論一下，教師巡視，啟發(fā)輔導(dǎo)，最后簡單小結(jié)建立直角坐標(biāo)系的幾種方案：方案1：(由第一組同學(xué)完成，請一學(xué)生板練．)以l為y軸，過點(diǎn)F與直線l垂直的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系(圖2-30)．設(shè)定點(diǎn)F(p，0)，動點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，過M作MD⊥y軸于D，拋物線的集合為：p={M||MF|=|MD|}．化簡后得：y2=2px-p2(p＞0)．方案2：(由第二組同學(xué)完成，請一學(xué)生板練)以定點(diǎn)F為原點(diǎn)，平行l(wèi)的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系(圖2-31)．設(shè)動點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，且設(shè)直線l的方程為x=-p，定點(diǎn)F(0，0)，過M作MD⊥l于D，拋物線的集合為：p={M||MF|=|MD|}．化簡得：y2=2px+p2(p＞0)．方案3：(由第三、四組同學(xué)完成，請一學(xué)生板練．)取過焦點(diǎn)F且垂直于準(zhǔn)線l的直線為x軸，x軸與l交于K，以線段KF的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系(圖2-32)．拋物線上的點(diǎn)M(x，y)到l的距離為d，拋物線是集合p={M||MF|=d}．化簡后得：y2=2px(p＞0)．比較所得的各個方程，應(yīng)該選擇哪些方程作為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程呢？引導(dǎo)學(xué)生分析出：方案3中得出的方程作為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．這是因?yàn)檫@個方程不僅具有較簡的形式，而方程中的系數(shù)有明確的幾何意義：一次項(xiàng)系數(shù)是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離的2倍．由于焦點(diǎn)和準(zhǔn)線在坐標(biāo)系下的不同分布情況，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種情形(列表如下)：將上表畫在小黑板上，講解時出示小黑板，并講清為什么會出現(xiàn)四種不同的情形，四種情形中P＞0；并指出圖形的位置特征和方程的形式應(yīng)結(jié)合起來記憶．即：當(dāng)對稱軸為x軸時，方程等號右端為±2px，相應(yīng)地左端為y2；當(dāng)對稱軸為y軸時，方程等號的右端為±2py，相應(yīng)地左端為x2．同時注意：當(dāng)焦點(diǎn)在正半軸上時，取正號；當(dāng)焦點(diǎn)在負(fù)半軸上時，取負(fù)號．(四)四種標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用例題：(1)已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=6x，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；(2)已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F(0，-2)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程．方程是x2=-8y．練習(xí)：根據(jù)下列所給條件，寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點(diǎn)是F(3，0)；(3)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2．由三名學(xué)生板練，教師予以糾正．這時，教師小結(jié)一下：由于拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，且每一種形式中都只含一個系數(shù)p，因此只要給出確定p的一個條件，就可以求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程給定以后，它的標(biāo)準(zhǔn)方程就唯一確定了；若拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程沒有給定，則所求的標(biāo)準(zhǔn)方程就會有多解．(五)課時小結(jié)本節(jié)課主要介紹了拋物線的定義，推導(dǎo)出拋物線的四種標(biāo)準(zhǔn)方程形式，并加以運(yùn)用．（六）布置作業(yè)到準(zhǔn)線的距離是多少？點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是多少？2．求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程：(1)x2=2y；(2)4x2+3y=0；(3)2y2+5x=0；(4)y2-6x=0．3．根據(jù)下列條件，求拋物線的方程，并描點(diǎn)畫出圖形：(1)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是x軸，并且頂點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離等于6；(2)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是y軸，并經(jīng)過點(diǎn)p(-6，-3)．4．求焦點(diǎn)在直線3x-4y-12=0上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．四、課后反思：2.4.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)（新授課）一、教學(xué)目標(biāo)知識與技能：使學(xué)生理解并掌握拋物線的幾何性質(zhì)，能運(yùn)用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)出它的幾何性質(zhì)，同時掌握拋物線的簡單畫法。過程與方法：通過對拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的研究，得出拋物線的幾何性質(zhì)，并應(yīng)用拋物線的性質(zhì)解決有關(guān)拋物線的實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，提高我們的綜合素質(zhì)。情感、態(tài)度與價值觀：使學(xué)生進(jìn)一步掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法，加深對直角坐標(biāo)系中曲線方程的關(guān)系概念的理解，這樣才能解決拋物線中的弦、最值等問題．二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：拋物線的幾何性質(zhì)及初步運(yùn)用．難點(diǎn)：拋物線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用三、教學(xué)過程(一)復(fù)習(xí)1．拋物線的定義是什么？2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？下面我們類比橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)，從拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p＞0)出發(fā)來研究它的幾何性質(zhì)．(二)幾何性質(zhì)怎樣由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程確定它的幾何性質(zhì)？以y2=2px(p＞0)為例，用小黑板給出下表，請學(xué)生對比、研究和填寫．填寫完畢后，再向?qū)W生提出問題：和橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)相比，拋物線的幾何性質(zhì)有什么特點(diǎn)？學(xué)生和教師共同小結(jié)：(1)拋物線只位于半個坐標(biāo)平面內(nèi)，雖然它也可以無限延伸，但是沒有漸近線．(2)拋物線只有一條對稱軸，這條對稱軸垂直于拋物線的準(zhǔn)線或與頂點(diǎn)和焦點(diǎn)的連線重合，拋物線沒有中心．(3)拋物線只有一個頂點(diǎn)，它是焦點(diǎn)和焦點(diǎn)在準(zhǔn)線上射影的中點(diǎn)．(4)拋物線的離心率要聯(lián)系橢圓、雙曲線的第二定義，并和拋物線的定義作比較．其結(jié)果是應(yīng)規(guī)定拋物線的離心率為1．注意：這樣不僅引入了拋物線離心率的概念，而且把圓錐曲線作為點(diǎn)的軌跡統(tǒng)一起來了．(三)應(yīng)用舉例為了加深對拋物線的幾何性質(zhì)的認(rèn)識，掌握描點(diǎn)法畫圖的基本方法，給出如下例1．例1已知拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)解：因?yàn)閽佄锞€關(guān)于x軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)程是y2=4x．后一部分由學(xué)生演板，檢查一下學(xué)生對用描點(diǎn)法畫圖的基本方法掌握情況．第一象限內(nèi)的幾個點(diǎn)的坐標(biāo)，得：(2)描點(diǎn)作圖描點(diǎn)畫出拋物線在第一象限內(nèi)的一部分，再利用對稱性，就可以畫出拋物線的另一部分(如圖2-33)．例2已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是x軸，拋物線上的點(diǎn)M(-3，m)到焦點(diǎn)的距離等于5，求拋物線的方程和m的值．解法一：由焦半徑關(guān)系，設(shè)拋物線方程為y2=-2px(p＞0)，則準(zhǔn)線方因?yàn)閽佄锞€上的點(diǎn)M(-3，m)到焦點(diǎn)的距離|MF|與到準(zhǔn)線的距離得p=4．因此，所求拋物線方程為y2=-8x．又點(diǎn)M(-3，m)在此拋物線上，故m2=（-8）*(-3)．解法二：由題設(shè)列兩個方程，可求得p和m．由學(xué)生演板．由題意在拋物線上且|MF|=5，故本例小結(jié)：(1)解法一運(yùn)用了拋物線的重要性質(zhì)：拋物線上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離(即此點(diǎn)的焦半徑)等于此點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離．可得焦半徑公式：設(shè)P(x0，這個性質(zhì)在解決許多有關(guān)焦點(diǎn)的弦的問題中經(jīng)常用到，因此必須熟練掌握．(2)由焦半徑不難得出焦點(diǎn)弦長公式：設(shè)AB是過拋物線焦點(diǎn)的一條弦(焦點(diǎn)弦)，若A(x1，y1)、B(x2，y2)則有|AB|=x1+x2+p．特別地：當(dāng)AB⊥x軸，拋物線的通徑|AB|=2p(詳見課本習(xí)題)．例3過拋物線y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)F的一條直線與這拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，且A(x1，y1)、B(x2，y2)(圖2-34)．證明：(1)當(dāng)AB與x軸不垂直時，設(shè)AB方程為：此方程的兩根y1、y2分別是A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，則有y2y2=-p2．或y1=-p，y2=p，故y1y2=-p2．綜合上述有y1y2=-p2又∵A(x1，y1)、B(x2，y2)是拋物線上的兩點(diǎn)，本例小結(jié)：(1)涉及直線與圓錐曲線相交時，常把直線與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去一個變量，得到關(guān)于另一變量的一元二次方程，然后用韋達(dá)定理求解，這是解決這類問題的一種常用方法．(2)本例命題1是課本習(xí)題中結(jié)論，要求學(xué)生記憶．(四)課堂練習(xí)1．過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點(diǎn)，若x1+x2=6，求|AB|的值．2．證明：與拋物線的軸平行的直線和拋物線只有一個交點(diǎn)．(五)課時小結(jié)：1．拋物線的幾何性質(zhì)；2．拋物線的應(yīng)用．（六）布置作業(yè)1．在拋物線y2=12x上，求和焦點(diǎn)的距離等于9的點(diǎn)的坐標(biāo)．2．有一正三角形的兩個頂點(diǎn)在拋物線y2=2px上，另一頂點(diǎn)在原點(diǎn)，求這個三角形的邊長．3．圖2-35是拋物線拱橋的示意圖，當(dāng)水面在l時，拱頂高水面2m，水面寬4m，水下降11m后，水面寬多少？4．求證：以拋物線的焦點(diǎn)弦為直徑的圓，必與拋物線的準(zhǔn)線相切．四、課后反思：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系（專題課）一、教學(xué)目標(biāo)知識與技能：使學(xué)生掌握直線與圓錐曲線的位置及其判定，重點(diǎn)掌握直線與圓錐曲線相交的有關(guān)問題．過程與方法：通過對直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的研究，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用直線、圓錐曲線的各方面知識的能力．情感、態(tài)度與價值觀：通過直線與圓錐曲線的位置及其判定，滲透歸納、推理、判斷等方面的能力．二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：直線與圓錐曲線的相交的有關(guān)問題．難點(diǎn)：圓錐曲線上存在關(guān)于直線對稱的兩點(diǎn)，求參數(shù)的取值范圍．三、教學(xué)過程(一)問題提出1．點(diǎn)P(x0，y0)和圓錐曲線C：f(x，y)=0有哪幾種位置關(guān)系？它們的條件是什么？引導(dǎo)學(xué)生回答，點(diǎn)P與圓錐曲線C的位置關(guān)系有：點(diǎn)P在曲線C上、點(diǎn)P在曲線C內(nèi)部(含焦點(diǎn)區(qū)域)、點(diǎn)P在曲線的外部(不含焦點(diǎn)的區(qū)域)．那么這三種位置關(guān)系的條件是什么呢？這是我們要分析的問題之一．2．直線l：Ax+By+C=0和圓錐曲線C：f(x，y)=0有哪幾種位置關(guān)系？引導(dǎo)學(xué)生類比直線與圓的位置關(guān)系回答．直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系可分為：相交、相切、相離．那么這三種位置關(guān)系的條件是什么呢？這是我們要分析的問題之二．(二)講授新課1．點(diǎn)M(x0，y0)與圓錐曲線C：f(x，y)=0的位置關(guān)系的焦點(diǎn)為F1、F2，y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，一定點(diǎn)為P(x0，y0)，M點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為d，則有：2．直線l∶Ax＋Bx＋C=0與圓錐曲線C∶f(x，y)＝0的位置關(guān)系：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系可分為：相交、相切、相離．對于拋物線來說，平行于對稱軸的直線與拋物線相交于一點(diǎn)，但并不是相切；對于雙曲線來說，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個交點(diǎn)，但并不相切．這三種位置關(guān)系的判定條件可引導(dǎo)學(xué)生歸納為：注意：直線與拋物線、雙曲線有一個公共點(diǎn)是直線與拋物線、雙曲線相切的必要條件，但不是充分條件．3．應(yīng)用求m的取值范圍．解法一：考慮到直線與橢圓總有公共點(diǎn)，由直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的充要條件可求．由一名同學(xué)板練．解答為：由橢圓方程及橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，知：0＜m＜5．又∵直線與橢圓總有公共點(diǎn)，即(10k)2-4x(m+5k2)×5(1-m)≥0，亦即5k2≥1-m對一切實(shí)數(shù)k成立．∴1-m≤0，即m≥1．故m的取值范圍為m∈(1，5)．解法二：由于直線過定點(diǎn)(0，1)，而直線與橢圓總有公共點(diǎn)，所以定點(diǎn)(0，1)必在橢圓內(nèi)部或邊界上，由點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系的充要條件易求．另解：由橢圓方程及橢圓的焦點(diǎn)在x軸上知：0＜m＜5．又∵直線與橢圓總有公共點(diǎn)．∴直線所經(jīng)過的定點(diǎn)(0，1)必在橢圓內(nèi)部或邊界上．故m的取值范圍為m∈(1，5)，小結(jié)：解法一由直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的充要條件求，思路易得，但計算量大；解法二由點(diǎn)與圓錐曲線的位置關(guān)系的充要條件求，思路靈活，且簡捷．稱，求m的取值范圍．解法一：利用判別式法．并整理得：∵直線l′與橢圓C相交于兩點(diǎn)，解法二：利用內(nèi)點(diǎn)法．設(shè)兩對稱點(diǎn)為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P1P2的中點(diǎn)為M(x0，y0)，∴y1+y2=3(x1+x2)．(1)小結(jié)：本例中的判別式法和內(nèi)點(diǎn)法，是解決圓錐曲線上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線的對稱的一般方法，類似可解拋物線、雙曲線中的對稱問題．練習(xí)1：(1)直線過點(diǎn)A(0，1)且與拋物線y2=x只有一個公共點(diǎn)，這樣的直線有幾條？(2)過點(diǎn)P(2，0)的直線l與雙曲線x2-y2=1只有一個公共點(diǎn)，這樣的直線有幾條？練習(xí)2：求曲線C∶x2+4y2=4關(guān)于直線y=x-3對稱的曲線C′的方程．由教師引導(dǎo)方法，學(xué)生板練完成．(三)課時小結(jié)本課主要研究了點(diǎn)、直線與圓錐曲線的三種位置關(guān)系及重要條件．（四）布置作業(yè)的值．2．k取何值時，直線y＝kx與雙曲線4x2-y2=16相交、相切、相離？3．已知拋物線x=y2+2y上存在關(guān)于直線y=x+m對稱的相異兩點(diǎn)，求m的取值范圍．四、課后反思：第二章圓錐曲線小結(jié)與復(fù)習(xí)（兩課時）（復(fù)習(xí)課）一、教學(xué)目標(biāo)：知識與能力：通過小結(jié)與復(fù)習(xí)，使同學(xué)們完整準(zhǔn)確地理解和掌握三種曲線的特點(diǎn)以及它們之間的區(qū)別與聯(lián)系過程與方法：通過本節(jié)教學(xué)使學(xué)生較全面地掌握本章所教的各種方法與技巧，尤其是解析幾何的基本方法――坐標(biāo)法；并在教學(xué)中進(jìn)一步培養(yǎng)他們形與數(shù)結(jié)合的思想、化歸的數(shù)學(xué)思想以及“應(yīng)用數(shù)學(xué)”的意識情感、態(tài)度與價值觀：結(jié)合教學(xué)內(nèi)容對學(xué)生進(jìn)行運(yùn)動變化和對立統(tǒng)一的觀點(diǎn)的教育二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：重點(diǎn)：三種曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和圖形、性質(zhì)難點(diǎn)：做好思路分析，引導(dǎo)學(xué)生找到解題的落足點(diǎn)三、教學(xué)過程：（一）基礎(chǔ)知識回顧：1．橢圓定義：在平面內(nèi)，到兩定點(diǎn)距離之和等于定長（定長大于兩定點(diǎn)間的距離）的動點(diǎn)的軌跡2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，（）3．橢圓的性質(zhì)：由橢圓方程()(1)范圍:,，橢圓落在組成的矩形中．(2)對稱性:圖象關(guān)于軸對稱．圖象關(guān)于軸對稱．圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱原點(diǎn)叫橢圓的對稱中心，簡稱中心．軸、軸叫橢圓的對稱軸．從橢圓的方程中直接可以看出它的范圍，對稱的截距（3）頂點(diǎn)：橢圓和對稱軸的交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)橢圓共有四個頂點(diǎn)：，兩焦點(diǎn)共有六個特殊點(diǎn)叫橢圓的長軸，叫橢圓的短軸．長分別為分別為橢圓的長半軸長和短半軸長橢圓的頂點(diǎn)即為橢圓與對稱軸的交點(diǎn)(4)離心率:橢圓焦距與長軸長之比橢圓形狀與的關(guān)系：，橢圓變圓，直至成為極限位置圓，此時也可認(rèn)為圓為橢圓在時的特例橢圓變扁，直至成為極限位置線段，此時也可認(rèn)為圓為橢圓在時的特例4橢圓的第二定義:一動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是一個內(nèi)常數(shù)，那么這個點(diǎn)的軌跡叫做橢圓其中定點(diǎn)叫做焦點(diǎn)，定直線叫做準(zhǔn)線，常數(shù)就是離心率橢圓的第二定義與第一定義是等價的，它是橢圓兩種不同的定義方式5．橢圓的準(zhǔn)線方程對于，左準(zhǔn)線；右準(zhǔn)線對于，下準(zhǔn)線；上準(zhǔn)線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離橢圓的準(zhǔn)線方程有兩條，這兩條準(zhǔn)線在橢圓外部，與短軸平行，且關(guān)于短軸對稱6．橢圓的焦半徑公式：（左焦半徑）,（右焦半徑）,其中是離心率焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的焦半徑公式：（其中分別是橢圓的下上焦點(diǎn)）焦半徑公式的兩種形式的區(qū)別只和焦點(diǎn)的左右有關(guān)，而與點(diǎn)在左在右無關(guān)可以記為：左加右減，上減下加7．雙曲線的定義：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的差的絕對值為常數(shù)（小于）的動點(diǎn)的軌跡叫雙曲線即這兩個定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做焦距在同樣的差下，兩定點(diǎn)間距離較長，則所畫出的雙曲線的開口較開闊（兩條平行線）兩定點(diǎn)間距離較短（大于定差），則所畫出的雙曲線的開口較狹窄（兩條射線）雙曲線的形狀與兩定點(diǎn)間距離、定差有關(guān)8．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及特點(diǎn)：（1）雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程有焦點(diǎn)在x軸上和焦點(diǎn)y軸上兩種：焦點(diǎn)在軸上時雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(,)；焦點(diǎn)在軸上時雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(,)(2)有關(guān)系式成立，且其中a與b的大小關(guān)系:可以為9焦點(diǎn)的位置:從橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程不難看出橢圓的焦點(diǎn)位置可由方程中含字母、項(xiàng)的分母的大小來確定，分母大的項(xiàng)對應(yīng)的字母所在的軸就是焦點(diǎn)所在的軸而雙曲線是根據(jù)項(xiàng)的正負(fù)來判斷焦點(diǎn)所在的位置，即項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在軸上；項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在軸上10．雙曲線的幾何性質(zhì)：（1）范圍、對稱性由標(biāo)準(zhǔn)方程，從橫的方向來看，直線x=-a,x=a之間沒有圖象，從縱的方向來看，隨著x的增大，y的絕對值也無限增大，所以曲線在縱方向上可無限伸展，不像橢圓那樣是封閉曲線雙曲線不封閉，但仍稱其對稱中心為雙曲線的中心（2）頂點(diǎn)頂點(diǎn)：，特殊點(diǎn)：實(shí)軸：長為2a,a叫做半實(shí)軸長虛軸：長為2b，b叫做虛半軸長雙曲線只有兩個頂點(diǎn)，而橢圓則有四個頂點(diǎn)，這是兩者的又一差異（3）漸近線過雙曲線的漸近線（）（4）離心率雙曲線的焦距與實(shí)軸長的比，叫做雙曲線的離心率范圍：雙曲線形狀與e的關(guān)系：，e越大，即漸近線的斜率的絕對值就大，這是雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊由此可知，雙曲線的離心率越大，它的開口就越闊11．等軸雙曲線定義：實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，這樣的雙曲線叫做等軸雙曲線等軸雙曲線的性質(zhì)：（1）漸近線方程為：；（2）漸近線互相垂直；（3）離心率12．共漸近線的雙曲線系如果已知一雙曲線的漸近線方程為，那么此雙曲線方程就一定是：或?qū)懗?3．共軛雙曲線以已知雙曲線的實(shí)軸為虛軸，虛軸為實(shí)軸，這樣得到的雙曲線稱為原雙曲線的共軛雙曲線區(qū)別：三量a,b,c中a,b不同（互換）c相同共用一對漸近線雙曲線和它的共軛雙曲線的焦點(diǎn)在同一圓上確定雙曲線的共軛雙曲線的方法：將1變?yōu)?114．雙曲線的第二定義：到定點(diǎn)F的距離與到定直線的距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線其中，定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，定直線叫做雙曲線的準(zhǔn)線常數(shù)e是雙曲線的離心率．15．雙曲線的準(zhǔn)線方程：對于來說，相對于左焦點(diǎn)對應(yīng)著左準(zhǔn)線，相對于右焦點(diǎn)對應(yīng)著右準(zhǔn)線；焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離（也叫焦參數(shù)）對于來說，相對于上焦點(diǎn)對應(yīng)著上準(zhǔn)線；相對于下焦點(diǎn)對應(yīng)著下準(zhǔn)線16