2017-2018學(xué)年人教A版高中數(shù)學(xué)選修4-5全冊教學(xué)案

2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版

選修4-5全冊教學(xué)案

目錄

第一講一1.不等式的基本性質(zhì)

第一講一2.基本不等式

第一講一3.三個正數(shù)的算術(shù)一幾何平均不等式

第一講二1.絕對值三角不等式

第一講二2.絕對值不等式的解法

第一講本講知識歸納與達標(biāo)驗收

第二講一比較法

第二講二綜合法與分析法

第二講三反證法與放縮法

第二講本講知識歸納與達標(biāo)驗收

第三講一二維形式的柯西不等式

第三講二一般形式的柯西不等式

第三講三排序不等式

第三講本講知識歸納與達標(biāo)驗收

第四講一數(shù)學(xué)歸納法

第四講二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

第四講本講知識歸納與達標(biāo)驗收

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1.不等式的基本性質(zhì)

對應(yīng)學(xué)生用書P1

1.實數(shù)大小的比較

(1)數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應(yīng)，可以利用數(shù)軸上點的左右位置關(guān)系來規(guī)定實數(shù)的大

小.在數(shù)軸上,右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.

(2)如果“一6>0,貝IJ必白；如果a=0,貝ijgj；如果a一人<0,則a〈b.

(3)比較兩個實數(shù)a與6的大小，歸結(jié)為判斷它們的差的符號;比較兩個代數(shù)式的

大小，實際上是比較它們的值的大小，而這又歸結(jié)為判斷它們的差的符號.

2.不等式的基本性質(zhì)

由兩數(shù)大小關(guān)系的基本事實，可以得到不等式的一些基本性質(zhì)：

(1)如果那么匕Va；如果那么a>6.即a>bob<a.

(2)如果a>6,b>c,那么4c.即a>b,b>c^a>c.

(3)如果a>b,那么6i+c>fe+c.

(4)如果a>b,c>0,那么ac>bc；如果a>b,c<0,那么ac<bc.

(5)如果—,那么。"*"(”CN,〃22).

(6)如果”>人>0,那么北>甑(“6N,〃22).

3.對上述不等式的理解

使用不等式的性質(zhì)時.，一定要清楚它們成立的前提條件，不可強化或弱化它們成立的條

件，盲目套用，例如：

(1)等式兩邊同乘以一個數(shù)仍為等式，但不等式兩邊同乘以同一個數(shù)c(或代數(shù)式)結(jié)果有

三種：①c>0時得同向不等式;②c=0時得等式:③”0時得異向不等式.

(2)a>b,c>d=a+c>b+4,即兩個同向不等式可以相加，但不可以相減;而a>b>0,

c>d>0^ac>bd,即已知的兩個不等式同向且兩邊為正值時，可以相乘，但不可以相除.

(3)性質(zhì)(5)、(6)成立的條件是已知不等式兩邊均為正值，并且〃GN,"22,否則結(jié)論不

成立.而當(dāng)n取正奇數(shù)時可放寬條件，a>b^d'>b'Xn=2k.-\-\,%GN),a>b'y[ci>'y[b(n=2k

+1,Z;GN+).

(4)在不等式的基本性質(zhì)中，條件和結(jié)論的邏輯關(guān)系有兩種：“臺”與“O”，即推出

關(guān)系和等價關(guān)系，或者說“不可逆關(guān)系”與“可逆關(guān)系”.這要求必須熟記與區(qū)別不同性質(zhì)

的條件.如。>匕，岫>0n54，而反之不成立.

1

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對應(yīng)學(xué)生用書P1

ixa實數(shù)大小的比較

114

日列1］已知x,y均為正數(shù)，設(shè)〃”=#；，試比較，”和〃的大小.

工為“￥I變形.轉(zhuǎn)化為因式與0比較|十?坦山,’

［思路點撥］兩式作差I(lǐng)乘積形式?I判斷正負(fù)，付出大小

I?蝴__1-I_1..4_x+y__4_(x+y)2-4xy_(x-y)?

［腫Jm〃一苫十yx+y-xyx+y-孫(x+y)一孫(％+)?'

?.3,y均為正數(shù)，

/.A>0,y>0,x),>0,x+y>0,(x—y)2^0.

.?.，"一")0,即機>”.(當(dāng)x=y時，等號成立).

［方法.規(guī)律.小結(jié)］-------------------------

比較兩個數(shù)(式子)的大不，一般用作差法，其步驟是：作差一變形一判斷差的符號一結(jié)

論，其中“變形”是關(guān)鍵，常用的方法是分解因式、配方等.

/////^,依靠鈍〃〃/

\.已知a,bGR,比較d+b"與的大小.

解：因為(“'+//*)—(a%+a/)

=a3(a—Z?)+/?,(/?—a)

=(〃一方)(/一/r)

=(a-b)2(cr+ab+bi)

=(a-b)2(〃+勻2+%2］20

(當(dāng)且僅當(dāng)4=方時，取“=”號)

所以“4+//》/〃+必3.

2.在數(shù)軸的正半軸上，A點對應(yīng)的實數(shù)為恚1，B點對應(yīng)的實數(shù)為1,試判別A點在

9十。

2點的左邊，還是在8點的右邊？

解.因為&_］=一(心)2<0

腫.U刀9+/19+?4

2

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所以飴W1

當(dāng)且僅當(dāng)4=4時取“=”,

所以當(dāng)“力士時，A點在B點左邊，當(dāng)4=小時，A點與B點重合.

EZS不等式的證明

［例2］已知a>b>Q,c<d<0,e<0.

求證:'a^'b^

［思路點撥］可以作差比較，也可用不等式的性質(zhì)直接證明.

、'土_ee?(〃-4-a+c)

［證明］7'a~~cb—d(a—c)(b—d)

c(b-a+c—d)

(a-c)(b—d)

Va>b>0,c<d<0,

?\b—a<0,c—d<0.

*.b—a+c—d<Q.

又???c?0,c<0,：.a-c>0.

同理b—d>0,

(a—c)(b—rf)>0.

?.&0,七e(b-二a-\礦-c—才d)>°.即:

c<d<03一c>—d>0］

法二:

a>b>0J

111

a—c>h—d>0=^

a-cb-d，

e<0

［方法■規(guī)律.小結(jié)］----------------------------'

進行簡單的不等式的證明，一定要建立在記準(zhǔn)、記熟不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)之上，如果不能

直接由不等式的性質(zhì)得到，可以先分析需要證明的不等式的結(jié)構(gòu)，利用不等式的性質(zhì)進行逆

推，尋找使其成立的充分條件.

〃^題?做親鈍'〃〃/

3.判斷下列命題的真假，并簡述理由.

(1)若a>b,c>d,則ac>bd；

3

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(2)若c>d>0,則42；

(3)若a>b,c<d,則a-c>b—d；

(4)若a>bf則a">b",y［a>y［b(nN且〃22).

解：(1)取Q=3,b=2,c=—2,d=-3,即3>2,—2>—3.此時〃c=Z?d=—6.因此(1)

為假命題.

(2)因同向不等式不能相除，取<7=6,匕=4,c=3,d=2,此時既=§=2.因此(2)為假命

題.

(3)??藤<",:?一c>一d,因此(3)為真命題.

(4)當(dāng)公功>0時，才能成立，取〃=-2,b=-3,當(dāng)〃為偶數(shù)時不成立，因此(4)為假命

題.

4.已知〃，b,x,y都是正數(shù),且?x>y,

求證：-^—>—^7.

x十。y-vb

證明：因為a,b,x,y都是正數(shù)，

且鼻心)，，所以蘇，

所以烏<2

xy

故"+1心+1,

xy

sx+ay+b,xy

即----<s---.所以一^

xyx+ay+h

3利用不等式的性質(zhì)求范圍

［例3］⑴己知：一畀0〈在芍，求a一夕的范圍.

(2)已知：-1Wa+bW1,1WCL26W3,求。+38的范圍.

［思路點撥］求代數(shù)式的范圍應(yīng)充分利用不等式的基本性質(zhì).

［解］⑴:一畀收若，

:.一畀口V方—.W-'V看且a<p.

/.一兀Wa一夕<兀且a—p〈O.

—7cWa一夕<0.即Q一4的范圍為［―兀，0).

4

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(2)7殳〃+36=丸1(〃+8)+42(〃-2b)

=(A)+22)a+(2］—2Qb.

5?

解得九=予22=-j.

55522

/.一WWQ3+Z?)WJ—2W—w(〃-2/7)W—1

.?.一節(jié)■，+3bWl.即“+3方的范圍為—y,1.

［方法.規(guī)律.小結(jié)］-------------------------

求代數(shù)式的取值范圍是不等式性質(zhì)應(yīng)用的一個重要方面，嚴(yán)格依據(jù)不等式的性質(zhì)和運算

法則進行運算，是解答此類問題的基礎(chǔ)，在使用不等式的性質(zhì)中，如果是由兩個變量的范圍

求其差的范圍，一定不能直接作差，而要轉(zhuǎn)化為同向不等式后作和.

〃〃4題俶雜鈍〃勿

X

5.若8VxV10,2VyV4,則；;的取值范圍是________.

y

解析：???2VyV4,

又8VxV10,

???2V：V5.

答案：(2,5)

6.已知1知a+夕W4,-2WQ——1,求2Q一尸的取值范圍.

解：設(shè)2a一4=m(a+/?)+〃(1—6)，

.m+〃=2,今j=T，

I/H—/?=-1.3

ln=2-

又1WQ+S<4,-2WQ-4W-1

j9T(a+6)W2,|

1-3W,(a—J

=>—,W2a一夕巨，.

5—-

一-

???。一夕的取值范圍為牙2

2-

5

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對應(yīng)學(xué)生用書P3

1.已知數(shù)軸上兩點A,8對應(yīng)的實數(shù)分別為x,y,若x<y<0,則國與|)，|對應(yīng)的點P,Q

的位置關(guān)系是()

A.P在。的左邊B.P在Q的右邊

C.P,。兩點重合D.不能確定

解析：'：x<y<0,二國>帆>0.故尸在。的右邊.

答案：B

2.下列命題中不正確的是()

A.若如>甑,則a>b

B.若c>d,則c

C.若a>b>0,c>d>0,則打g

D.若a>b>0,ac>bd,則c>d

解析：當(dāng)c>0,d>0時，才有a>b>0fac>bd^c>cl.

答案：D

3.已知則下列不等式正確的是()

A.ac>bcB.a(T>b(^

C.b(a—b)>c(a—b)D.\ac\>\bc\

解析：a>b>cb>0=>(</—b)b>{a-b)c.

答案：C

4-已知'cd。，+8),若帚<丘<3,則()

A.c<a<bB.b<c<.a

C.a〈b〈cD.c<b<a

rnhcaba+b+ca+b+c

解析：由市〈市〈市，可得市一1〈4+1<司+1，即FT〈吃L

又4,b,cE(0,+°°),所以a+/?>Z?+c>c+a由a+b>/?+c可得a>c;由b

c+a'

+c>c+?？傻胋>a,于是有c<a<b.

答案：A

5.已知0<a<l,則小!，/的大小關(guān)系是

1(a+l)(a-l)

解析：：片一%一<0

6

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?—

?Qa.

又。一。2=〃（1一〃）>0,

22

a>a..\a<a<~a.

答案:?<a<\

6.給出四個條件：

①②③〃>0>。，④a>b>0.

能得出5〈卷成立的有-

解析：由w，得5T<0,~^<o,故①②④可推得另成立.

答案：①②④

2

7.設(shè)X=〃出+5,y=2ab—a—4af若x>y,則實數(shù)〃，b應(yīng)滿足的條件為

解析：：心》

/.x—y=cilr+5-2ab+/+4。

=（?/?-l）2+（6r+2）2>0.

???（山一1#0或。+2*0.

即ab^l或aW—2.

答案：出?W1或2

、序下

8.若〃>0,Z?>0,求證：—+~^^a+b.

證明：岬+今-"-。=3-磁-9

（Q—。）訕+/7）

ah，

（。一力?》。恒成立，且已知人>0,

/.^+/?>0,ab>0.

.(a-8)2(。+匕),22

卻....￡+,〃+A

9.若/(x)=a?+瓜，且10(-1)W2,2O/(1)W4,求人一2)的取值范圍.

解：'：J[-\)=a~b,J[\)=a+b,

人.2)=4〃_26=偵_1)+助1),

A+B=4,4=3,

則今,

B-A=-28=1.

??次-2)=3貝-1)+啟).

???2q1)這4,1力-1)這2,

7

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二3W加-1)W6,

.?.5Wy(l)+浜-l)W10,

；.5W式-2)W10.

10.已知〃>0,aWl.

(1)比較下列各組大小.

①/+1與a+a；②a'+l與屋+a；

③a'+l與cJ+a).

(2)探討在如"EN-條件下，〃"'+"+1與的大小關(guān)系，并加以證明.

解：(1)：a>0,a^\,

二①/+1~(a+a)=a2+1~2a

=(a-l)2>0.

a2+l>a+a.

②/+1~(a2+a)

=“2(〃-1)一3—1)

=(o+1)3—1)2>0,

.*./+l>a2+<2,

③『+1—(1+/)

=a3(a2—1)—(a2—1)

=(“2-1)(/一[).

當(dāng)?>1時，a3>l,a2>l,

(a2—l)(a3-l)>0.

當(dāng)0<a<l時，0<473<l,0<a2<l,

(a2-l)(a3—1)>0.

即a5+l>a3+a2.

(2)根據(jù)(1)可探討，

得/'+"+1(證明如下)

/，+"+1一(/+消

=am(an-0+(1-?")

=(an,-l)(an-l).

當(dāng)a>\時，am>\,a">\,

(a'"—1)('—1)>0.

當(dāng)0<a<l時，

，(am—l)(a"—1)>0.

綜上(d"-

8

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即am+n+i>am+an.

9

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2.基本不等式

對應(yīng)學(xué)生用書P4

I.基本不等式的理解

重要不等式。2+序》2a。和基本不等式等，麗，成立的條件是不同的.前者成立的

條件是a與b都為實數(shù)，并且a與b都為實數(shù)是不等式成立的充要條件;而后者成立的條

件是〃與人都為正實數(shù)，并且“與匕都為正實數(shù)是不等式成立的充分不必要條件,如a=0,

b^o仍然能使成立.

兩個不等式中等號成立的充要條件都是a=b.

2.由基本不等式可推出以下幾種常見的變形形式

⑴*中；

⑵收孚

?a-\~b

(3)。慶(亍)92；

a-\-b2一『+/

(4)(—)2<-y-

(5)(a+b)224aA

對應(yīng)學(xué)生用書P5

EQ3利用基本不等式證明不等式

［例1］已知a,/?,c,GR+,且a+b+c=l.

求證：5+H99.

［思路點撥］解答本題可先利用1進行代換，再用基本不等式來證明.

［證明］法一：??&b,c￡R+,且。+b+c=l,

11,1a+b+c,a+b+c,a+b+c

-T------------+-----7----+-----------

/.a+b+c=abc

^.b.cac.a.b

+一+—+t/+工t+一+一

=3aabbcc

10

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=3+e+彳)+,+§+(5+§)23+2+2+2=9.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時，等號成立.

即鴻+》?

法二：?.?〃，b,c￡R+,且。+Z?+c=l,

.?3+Ht=(“+b+c)4+H小

=1+”￡+升1+小旦+”1

aabbcc

=3+仁+3+(，5+(5+9》3+2+2+2=9.當(dāng)且僅當(dāng)“=b=c時，等號成立.

［方法.規(guī)律.小結(jié)］-------------------------'

用基本不等式證明不等式時，應(yīng)首先依據(jù)不等式兩邊式子的結(jié)構(gòu)特點進行恒等變形，使

之具備基本不等式的結(jié)構(gòu)和條件，然后合理地選擇基本不等式進行證明.

題做條鈍7〃〃

1.已知a,b,c,d都是正數(shù)，求證：（ab+cz/）（qc+僅/）24abcd.

證明：因為a,b,c,d都是正數(shù)，

“cib+cd^/———,ac+bd、,-

所以27abed>0,,Nyjacbd>。,

(ab+cd)(ac+bd)

所^^4—cibccly

即(ah+cd)(ac+hd)24abed.

當(dāng)且僅當(dāng)ob=cd,add,即o=d,Z?=c時，等號成立.

2,22

2.已知a,b,c>0,求證：b+c.

證明：b,c,為，p彳■均大于0,

(y+*)+(—+c)+(,+。)

22(。+匕+c).

11

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2?22

bca

2122

當(dāng)且僅當(dāng)方=b,-=c,'=

即a=b=c時取等號.

利用基本不等式求最值

［例2］⑴求當(dāng)x>0時，加)=三百的值域:

⑵設(shè)0<x<|,求函數(shù)y=4x(3—2%)的最大值;

19，「一

(3)已知戈>0,y>0,且嚏+1=1,求x+y的最小值.

［思路點撥］根據(jù)題設(shè)條件，合理變形，創(chuàng)造能用基本不等式的條件，求最值.

2x2

[解](l)Vx>0,=丫2+]=.

■x+x

Vx+^2,

嗎

???0勺U)W1,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取”=

即於)值域為(0』].

(2)*.*0<x<^,<*.3—2x>0.

???y=4x(3-2x)=2[2x(3-2x)]

r2x+(3-2x)l_9

T2J~T

3

當(dāng)且僅當(dāng)2x=3—2x,即時，等號成立.

9

y=4x(3—2x)的最大值為

19

⑶j>0,T+T=1,

xy

.??1+)，=@+號(/+)，)=；+f+10^6+10=16.

當(dāng)且僅當(dāng)e=生，又1+2=1,

xy9xy，

即x=4,y=12時，上式取等號.

故當(dāng)x=4,y=12時，

有。+y)min—16.

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［方法.規(guī)律.小結(jié)］----------------------------'

在應(yīng)用基本不等式求最值時，分以下三步進行：

（1）首先看式子能否出現(xiàn)和（或積）的定值，若不具備，需對式子變形，湊出需要的定值；

（2）其次，看所用的兩項是否同正，若不滿足，通過分類解決，同負(fù)時，可提取（一1）變

為同正；

（3）利用已知條件對取等號的情況進行驗證.若滿足，則可取最值，若不滿足，則可通

過函數(shù)單調(diào)性或?qū)?shù)解決.

勿題做泰例”〃/

3.已知尤＞0,則2%+三的最小值和取得最小值時的x值分別是（）

A.8,2B.8,4

C.16,2D.16,4

解析：當(dāng)且僅當(dāng)2x=±即x=2時，取“=”號，故選A.

X\1XX

答案：A

4.設(shè)x,y￡R+,且滿足x+4y=40,貝IJg+lgy的最大值是（）

A.40B.10

C.4D.2

解析：Vx,y￡R+,

???而＜與匕=10.工用＜100.

???lgx+lgy=lg（孫）4g100=2.

答案：D

5.（浙江高考）若正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy,則3x+4y的最小值是（）

24「28

AA.yB.y

C.5D.6

13

解析：\*x+3y=5xy,/.~+~=5,

），＞0,...（3X+4），）G+￡）=￥+與+9+422、倍畢+13=25,，5（3x+

4y）225,

???3x+4y25,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時取等號.

/.3x+4y的最小值是5.

13

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答案：c

利用基本不等式解決實際問題

［例3］某國際化妝品生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場份額，擬在2014年巴西世界杯期間

進行一系列促銷活動，經(jīng)過市場調(diào)查和測算，化妝品的年銷量x萬件與年促銷費f萬元之間

滿足3—x與f+1成反比例的關(guān)系，如果不搞促銷活動，化妝品的年銷量只能是1萬件，已

知2014年生產(chǎn)化妝品的設(shè)備折舊、維修等固定費用為3萬元，每生產(chǎn)1萬件化妝品需要投

入32萬元的生產(chǎn)費用，若將每件化妝品的售價定為其生產(chǎn)成本的150%與平均每件促銷費

的一半之和，則當(dāng)年生產(chǎn)的化妝品正好能銷完.

(1)將2014年的利潤)，(萬元)表示為促銷費r(萬元)的函數(shù).

(2)該企業(yè)2014年的促銷費投入多少萬元時，企業(yè)的年利潤最大？

［思路點撥］(1)兩個基本關(guān)系式是解答關(guān)鍵，即利潤=銷售收入一生產(chǎn)成本一促銷費；

生產(chǎn)成本=固定費用+生產(chǎn)費用；

(2)表示出題中的所有已知量和未知量，利用它們之間的關(guān)系式列出函數(shù)表達式.

［解］(1)由題意可設(shè)

將，=0,x=l代入，得k=2.

當(dāng)年生產(chǎn)x萬件時，

?.?年生產(chǎn)成本=年生產(chǎn)費用+固定費用,

二年生產(chǎn)成本為32r+3=32(3一系力+3.

當(dāng)銷售x萬件時,

年銷售收入為150%［32(3—去?)+3］+%

由題意，生產(chǎn)x萬件化妝品正好銷完,

由年利澗=年銷售收入一年生產(chǎn)成本一促銷費,

得年利潤產(chǎn)得泮”

-?+98r+357+1,32

⑵尸—2(r+l)-=50―~+7+\

32

<50-2X淅=50—2716=42,

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2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版選修4-5教學(xué)案

當(dāng)且僅當(dāng)亍=而，即1=7時，等號成立，ymax=42,

二當(dāng)促銷費定在7萬元時，年利泗最大.

［方法.規(guī)律.小結(jié)］--------------------------

利用不等式解決實際應(yīng)用問題時，首先要仔細(xì)閱讀題目，弄清要解決的實際問題，確定

是求什么量的最值；其次，分析題目中給出的條件，建立y的函數(shù)表達式y(tǒng)=/U）（x一般為題

目中最后所要求的量）；最后，利用不等式的有關(guān)知識解題.求解過程中要注意實際問題對

變量x的范圍制約.

題毓條例"〃/

6.一商店經(jīng)銷某種貨物，根據(jù)銷售情況，年進貨量為5萬件，分若干次等量進貨（設(shè)每

次進貨x件），每進一次貨運費50元，且在銷售完該貨物時，立即進貨，現(xiàn)以年平均烹件貨

儲存在倉庫里，庫存費以每件20元計算，要使一年的運費和庫存費最省，每次進貨量x應(yīng)

是多少？

解：設(shè)一年的運費和庫存費共y元，

由題意知：y=過"X50+5X20=25：10+10G2.25X1（）6=j

5

,,,,25X10?L

當(dāng)且僅當(dāng)一--=101-即X=500時，），min=10000,

即每次進貨500件時，一年的運費和庫存費最省.

7.圍建一個面積為360m2的矩形場地，要求矩形場地的一面利用「…一一」1T

舊墻（利用舊墻需維修），其他三面圍墻要新建，在舊墻的對面的新墻

上要留一個寬度為2m的進出口，如圖所示，已知舊墻的維修費用為

45元/m,新墻的造價為180元/m,設(shè)利用的舊墻的長度為x（單位：元）.

（1）將y表示為x的函數(shù)；

（2）試確定x,使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用.

解：（1）如題圖所示，設(shè)矩形的另一邊長為am.

5Hy=45x+180（工一2）+180X2〃=225x+360a—360.

由已知xa=360,得。

所以y=225x+—360（x0）.

（2）Vx>0,

???225x+誓225225X360：=10800.

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2017?2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版選修4-5教學(xué)案

???尸225%+7一360與10440,

當(dāng)且僅當(dāng)225x=等時，等號成立.

即當(dāng)x=24m時，修建圍墻的總費用最小，最小總費用是10440元.

對應(yīng)學(xué)生用書P7

1.下列不等式中，正確的個數(shù)是（）

①若a,貝！

②若xER,則X2+2+^^》2

③若xWR,則f+l+*j*，2

④若a,6為正實數(shù)，則近乎，迎

A.0B.1

C.2D.3

解析：顯然①不正確；③正確；對②雖然x2+2=±J無解，但f+2+±y2成立,

XI乙XI/

故②正確：

④不正確，如。=1,b=4.

答案：C

2.已知a>0fb>0fa,b的等差中項是:，且a="+：,尸=〃+，則a-\-P的最小值是（）

A.3B.4

C.5D.6

解析：???a+b=2X；=l,。>0,/?>0,

.??a+夕=。+[+。+]

=1+4,1+/L、=5,

ab僅+外）

當(dāng)且僅當(dāng)〃=8=夕寸取"=''號.

答案：C

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2017?2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版選修4-5教學(xué)案

3.“。=1”是“對任意正數(shù)x,2x+fel”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

解析：當(dāng)a=l時，2%+￡=2^+122吸（當(dāng)且僅當(dāng)x=半時取等號），所以。=1今2%+，

》1（￡>0）,反過來，對任意正數(shù)x,如當(dāng)a=2時，2x+f》I恒成立，所以Zr+￡21=>/a

答案：A

4.某公司租地建倉庫，每月土地占用費力與倉庫到車站的距離成反比，而每月庫存貨

物的運費”與倉庫到車站的距離成正比，如果在距離車站10千米處建倉庫，這兩項費用乃

和”分別為2萬元和8萬元，那么，要使這兩項費用之和最小，倉庫應(yīng)建在離車站（）

A.5千米處B.4千米處

C.3千米處D.2千米處

解析：由已知：力=斗，

”=0.8x（x為倉庫到車站的距離）.

20

費用之不口}?=yi+J!2=0.8X+~

/20

》2A/0.8x--=8.

當(dāng)且僅當(dāng)0.8x=§,

即x=5時等號成立.

答案：A

5.若xKO,則yU）=2-3f一號的最大值是,取得最值時尤的值是.

解析：段）=2-3（f+3）（2-3X4=-10,

當(dāng)且僅當(dāng)￡=［即時取等號.

答案：一10±^2

6.當(dāng)時，函數(shù)j的最小值為.

解析：因為所以X—3>0,

所以），=元

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2017?2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版選修4-5教學(xué)案

當(dāng)且僅當(dāng)L戶1匾4，即尸^5時，取.

9

答案：5

3+x+x2

7.y=-I30）的最小值是.

&力“*3+x+x23..、廠

解析：Vx>0,y——■.+]-=.+]+x+1——122\3——1.

當(dāng)且僅當(dāng)x+l=/時取等號.

答案：2小一1

8.已知”>0,b>0,a+b=1,求證：

證明：（l）；a+〃=l,a>0,b>0,

.1,1,1IJj+b

-a+b+^b-a+b+^b~

=2"+鐺

=2（統(tǒng)）+4

>4號+4=8（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）,

?￡+奈8.

v7kaj\bjababf

由（1謁+）+如8.

.?.（2（1+辨9.

I4

9.設(shè)x>0,y>0且x+y=4,要使不等式恒成立，求實數(shù)機的取值范圍.

xy

解：由x>0,y>0且x+y=4.

產(chǎn)x+y

付丁一1，

18

2017?2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版選修4-5教學(xué)案

14+

X上

--

X+■y-4

1

+十4X7+4

X

當(dāng)且僅當(dāng)卜華時等號成立.

xy

y=2x(Vx>0,y>0,.?.)，=—2x舍去).

此時，結(jié)合x+y=4,

々…48

角不付y=y

140

?9+y最小值為不

.,.mW/

.?.〃？的取值范圍為(一8,

10.某房地產(chǎn)開發(fā)公司計劃在一樓區(qū)內(nèi)建造一個長方形公園ABCD,公園由長方形

AiBGA的休閑區(qū)和環(huán)公園人行道(陰影部分)組成.已知休閑區(qū)ABCQi的面積為4000平

方米，人行道的寬分別為4米和10米(如圖所示).

A圈

(1)若設(shè)休閑區(qū)的長和寬的比=x,求公園ABC。所占面積S關(guān)于x的函數(shù)S(x)的解

3c

析式;

(2)要使公園所占面積最小，休閑區(qū)AB|GD1的長和寬應(yīng)如何設(shè)計？

解：(1)設(shè)休閑區(qū)的寬為〃米，則其長為依米，由a2*=4000,得a=2°廖了

則S(x)=(?+8)(?A-+20)=a2x+(8x+20)a+160

=4000+(8x+20>")y^+160

yjx

=8O/W(25+寶)+4160(x>l).

(2)5^80710X2^/2^-^4-4160=1600+4160=5760.當(dāng)且僅當(dāng)2/=卡即x=2.5

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2017?2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版選修4-5教學(xué)案

時取等號，此時。=40,以=100.所以要使公園所占面積最小，休閑區(qū)A151G。1應(yīng)設(shè)計為長

100米，寬40米.

20

2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版選修4-5教學(xué)案

3.三個正數(shù)的算術(shù)一兒何平均不等式

對應(yīng)學(xué)生用書P8

1.定理3

如果dh,cGR+,那么病,當(dāng)且僅當(dāng)。=7=c時,等號成立，用文字語

言可敘述為：三個正數(shù)的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均.

(1)不等式竺空玉瓦成立的條件是：a,b,c?均為正數(shù),而等號成立的條件是：當(dāng)

且僅當(dāng)a=b=c.

n~\~h~\~c->0與0

(2)定理3可變形為：①a6cW()\@a3+bs+c33abc.

(3)三個及三個以上正數(shù)的算術(shù)一幾何平均值不等式的應(yīng)用條件與前面基本不等式的應(yīng)

用條件是一樣的，即“一正，二定，三相等”.

2.定理3的推廣

對于“個正數(shù)a”“2,…，%,它們的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均，即里士空二±&

2物］。2…當(dāng)且僅當(dāng)>=〃2=?=小時，等號成立.

對應(yīng)學(xué)生用書P8

OOES用平均不等式證明不等式

［例1］已知〃，b,c￡R+,求證:

23.

［思路點撥］欲證不等式的右邊為常數(shù)3,聯(lián)想到不等式a+6+c23/及(a,h,cGR

+),故將所證不等式的左邊進行恰當(dāng)?shù)淖冃?

b+c-a?c+a-b,a+b-c

［證明］-a--b~+-c-

21

2017?2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版選修4-5教學(xué)案

=匕+/R+匕+//-3

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取等號.

［方法.規(guī)律.小結(jié)］-------------------------'

證明不等式的方法與技巧

（1）觀察式子的結(jié)構(gòu)特點，分析題目中的條件.若具備“一正，二定，三相等”的條件,

可直接應(yīng)用該定理.

若題目中不具備該條件，要注意經(jīng)過適當(dāng)?shù)暮愕茸冃魏笤偈褂枚ɡ碜C明.

（2）三個正數(shù)的算術(shù)一幾何平均不等式是根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)和比較法證出的，因

此凡是利用該不等式證明的不等式，一般可用比較法證明.

〃■勿瑟組?親鈍'〃〃/

1.設(shè)a,b,c>0>求證：方+/

證明：因為a,b,c>0,由算術(shù)一幾何平均不等式可得

5+表+/3退*

即點+春+煉總（當(dāng)且僅當(dāng)"=匕=。時’等號成立）?

11I3

所以牙/

而京，+abc》2\^意晨=2?。ó?dāng)且僅當(dāng)a?2c2=3時，等號成立）,

所以，?+*+}+4歷.2?。ó?dāng)且僅當(dāng)4=%=C=細(xì)時，等號成立）.

2.已知4］,。2，…，斯都是正數(shù),且…詼=1，求證：

（2+。］）（2+。2），，，（2+?！ǎ?3".

證明：因為處是正數(shù)，根據(jù)三個正數(shù)的平均不等式，有2+卬=1+1+0》3%.

同理2+q23y［aj（j=2,,i,,???）.

將上述各不等式的兩邊分別相乘即得

（2+勾）（2+。2）…（2+&）

2（3惠）（3我）…（3祐）

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2017?2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版選修4-5教學(xué)案

3_______

=3月…〃小

?.”例…。產(chǎn)1，.??(2+。［)(2+。2)…(2+。,?)23〃.

當(dāng)且僅當(dāng)671=6/2=?,,=^,=1時，等號成立.

as用平均不等式求最值

［例2］⑴求函數(shù)產(chǎn)。一1尸(3—2x)(la<1)的最大值.

4

(2)求函數(shù)y=x+，_［、2(x>l)的最小值.

［思路點撥］對于積的形式求最大值，應(yīng)構(gòu)造和為定值.

(2)對于和的形式求最小值，應(yīng)構(gòu)造積為定值.

3

解：(I)VI<x<2，.㈠-2x>0,%—1>0.

y=(x—1)2(3—21)

1+%—1+3—2XA

=(X-1)(x-1)(3-2x)W(---------------------------J'3

=93,

當(dāng)且僅當(dāng)%—1=/-1=3—2x,

口4乙3、上1

即N時，ym