2018年、2019年全國卷Ⅰ理數(shù)高考試題及答案

絕密★啟用前

2019年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學

本試卷共4頁，23小題，滿分150分，考試用時120分鐘。

注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上。

用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡的相應位置上。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應題目選項的

答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案。答案不能

答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目

指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；

不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，將試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的。

1.已知集合加={川一4<x<2},7V={X|X2-X-6<0},則MN=

A.{XH<X<3}B.{X|-4<X<-21C.{X|-2<X<2}D.{%[2<X<3}

2.設復數(shù)z滿足|z—i|=l,z在復平面內對應的點為(x,y),貝ij

A.(x+l)2+y2=lB.(x-l)2+/=lCx2+(y-l)2=l

D.x2+(j；+l)2=l

3.己知a=log2（）2b=202,c=0.2°'3,則

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

4.古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是避二1

2

（避二1刈.618,稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外，最美人

2

體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是避二L若某人滿足上述兩個黃金

2

分割比例，且腿長為105cm,頭頂至脖子下端的長度為26cm,則其身高可能是

A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm

sin￥4-x

5.函數(shù)人x）=^---------7在［一兀，兀］的圖像大致為

COSX+X-

6.我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個

爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“——"，如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機取

一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是

7.已知非零向量a,。滿足|a|=2g|,且(a-A)J.3,則a與白的夾角為

5兀

D.

T

8.如圖是求一的程序框圖，圖中空白框中應填入

11I

A.A=D.A=l+—

2+AA1+2A2A

9.記S.為等差數(shù)列｛4｝的前〃項和.已知邑=。，%=5,則

A.an=2n-5B.an=3n—IOCS〃=2/—8〃

cI7

D.S=—n2-2n

〃tJ2

io.已知橢圓C的焦點為耳(一1,0),鳥(1,0),過&的直線與C交于4,B兩點.若

\AF2\=2\F2B\,IAB1=1班I，則C的方程為

222

x

A.—+y2=1R.y_i

2,32

11.關于函數(shù)/（x）=sin|x|+|sinx|有下述四個結論:

TT

①/U）是偶函數(shù)②/U）在區(qū)間（二,兀）單調遞增

2

@/（x）在［-兀，兀］有4個零點④《尤）的最大值為2

其中所有正確結論的編號是

A.①②④B.②④C.0@D.①③

12.已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球。的球面上，PA=PB=PC,△ABC是邊長為2的正

三角形，E,F分別是B4,PB的中點，ZCEF=90°,則球。的體積為

A.8灰兀B.4-島tC.2街TtD.瓜it

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.曲線y=3（d+x）ex在點（0,0）處的切線方程為.

1

14.記S”為等比數(shù)列｛〃“｝的前”項和.若q=§,a~=a6,則Ss=__________.

15.甲、乙兩隊進行籃球決賽，采取七場四勝制（當一隊贏得四場勝利時，該隊獲勝，決賽

結束）.根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主設甲隊主場

取勝的概率為0.6,客場取勝的概率為0.5,且各場比賽結果相互獨立，則甲隊以4：1

獲勝的概率是.

22

16.已知雙曲線C：=一4=1（。>0/>0）的左、右焦點分別為吊，尸2,過吊的直線與

6rb

。的兩條漸近線分別交于A,5兩點.若4A=耳3?65=0,則。的離心率為

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題,

每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

(-)必考題：共60分。

17.(12分)

△ABC的內角4//的對邊分別為“也小設6皿臺小由。？=sin2A-sinBsinC.

(1)求A；

(2)若J5a+Z?=2c,求sinC.

18.(12分)

如圖，直四棱柱A8CO-ABC。的底面是菱形，44=4,AB=2,ZBAD=60°,E,M,

N分別是BC,BBi，AQ的中點.

(1)證明：MN〃平面CQE；

(2)求二面角的正弦值.

19.(12分)

3

已知拋物線C：J=3x的焦點為F,斜率為|■的直線/與C的交點為A,B,與x軸的交

點為P.

(1)若|AQ+|BQ=4,求/的方程;

(2)若AP=3PB,求|AB|.

20.(12分)

已知函數(shù)/(x)=sinx—ln(l+x),/'*)為/(x)的導數(shù).證明：

7T

(1)/(了)在區(qū)間(-1,萬)存在唯一極大值點；

(2)/(x)有且僅有2個零點.

21.(12分)

為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物

試驗.試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗.對于兩只白鼠，隨機

選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結果得出后，再安排下一輪試驗.當其

中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數(shù)多

的藥更有效.為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以

乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的

白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、

乙兩種藥的治愈率分別記為a和p,一輪試驗中甲藥的得分記為X.

(1)求X的分布列；

(2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，p(i=0,l,,8)表示“甲藥的累計得分

為i時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則Po=0,p$=l,Pj=api+bpj+cpM

a=1,2,,7),其中a=P(X=-I),b=P(X=0),c=P(X=l).假設a=0.5,

4=0.8.

⑴證明：｛PM-p10=0,1,2,,7)為等比數(shù)列；

(ii)求p-并根據(jù)A的值解釋這種試驗方案的合理性.

（-）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第

一題計分。

22.［選修4一4：坐標系與參數(shù)方程］（10分）

\-t2

X=2，

在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為｛1+r。為參數(shù)）.以坐標原點。

為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線/的極坐標方程為

2/?cose+Gpsine+ll=0.

（1）求C和/的直角坐標方程；

（2）求C上的點到/距離的最小值.

23.［選修4—5：不等式選講］（10分）

已知a,b,c為正數(shù)，且滿足“兒=1.證明：

（1）-+-+-<a2+b2+c2；

abc

(2)(a+bY+(Z?+c)，+(c+a)，N24.

2019年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學?參考答案

一、選擇題

1.C2.C3.B4.B5.D6.A7.B8.A9.A10.B11.C12.D

二、填空題

121

13.y=3x14.——15.0.1816.2

3

三、解答題

17.解：(I)由已知得sin?B+sii?C-sin?A=sinBsinC,故由正弦定理得

b2+c2-a2=bc.

,222i

由余弦定理得cosA=+c—a=J.

2bc2

因為0°<。<180°,所以A=60°.

(2)由(1)知B=120°—C,由題設及正弦定理得應sinA+sin(120°—C)=2sinC,

即^■+@cosC+』sinC=2sinC,可得cos(C+60")=—.

222v72

由于0°<C<12()°,所以sin(C+60°)=子，故

sinC=sin(C+60-6())

=sin(C+60)cos60-cos(C+60)sin60

一V6+V2?

4

18.解：(1)連結B|C,ME.

因為M,E分別為88”8c的中點，

所以ME〃8C，且ME=LBC.

2

又因為N為的中點，所以M)=LAI。.

2

由題設知4B|=￡>C,可得B|C=AQ,故ME=NO,

因此四邊形MNDE為平行四邊形，MN//ED.

又MN2平面EDC”所以MN〃平面CQE.

(2)由已知可得。EJ_D4.

以。為坐標原點，DA的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系。-刈z,則

4(2,0,()),4(2,0,4),M(l,>/3,2)，N(l,(),2),AA=(O,O,T),=(T石，-2),

AN=(—1,0,—2),MN=0-6⑼.

/n-AM=0

設機=(x,y,z)為平面AMA的法向量，貝叫，

m-\A-0

—x+yfiy—2z_0>i—

所以〈-可取力=(G,i,o).

-4z=0.

nMN=0,

設〃=(p,q,r)為平面4MN的法向量，則<

〃4N=0.

所以，回‘一°’可取〃=(2,(),-1).

-p-2r-0.

手曰/MN2A/3_V15

J足cos\z?i,it)——-——---7=-----,

I加l〃|2x755

所以二面角A一%-N的正弦值為巫.

3

19.解：設直線/:y=5%+「,4(%,乂),8(%2，%)?

(1)由題設得/(jo),故IA/n+18/|=%+/+|,由題設可得%+%2=|?

，3

y=—x+t12(/-1)

由12,可得9d9+12Q—l)x+4〃9=0,則不+々=一一-~~

J2=3X9

12(/-1)57

從而----9—=/'得f=_g.

37

所以/的方程為y=

28

(2)由AP=3PB可得y=—

_3

由＜v=5'+'，可得y2—2y+2r=0.

丁=3%

所以X+%=2.從而一3y2+%=2,故%=T,y=3.

代入C的方程得％=3,%

故.

20.解：(1)設g(x)=7'(x),則g(x)=cosx———,g'(x)=-sinx+——J-

1+x(1+x)

當時，g'(x)單調遞減，而g'(0)>0,g'(］)<0,可得g'(x)在［―I,］)有

唯一零點，

設為a.

則當工￡(-1,4)時，g'(x)>0；當時，g'(x)v0.

所以g(x)在(Ta)單調遞增，在N總單調遞減，故g(x)在11,"存在唯

一極大值點，即/'(X)在卜15)存在唯一極大值點.

(2)/(x)的定義域為(-

(i)當xe(—l,0］時，由(1)知，/(x)在(一1,0)單調遞增，而/(0)=0,

所以當xe(-l,0)時，f\x)<0,故/⑴在(-1,0)單調遞減，又/(0)=0,從

而x=0是/(x)在(-1,0］的唯一零點.

(ii)當時，由⑴知，尸。)在(0㈤單調遞增，在單調

遞減，而1(0)=0,/'仔］<0,所以存在/jag),使得/(￡)=0,且當

x6(0,0時，/'(x)>0；當時，:(x)<0.故”X)在(0,/7)單調遞

增，在單調遞減.

X/(0)=0,/M=l-lnfl+^>0,所以當xe(0弓時，f(x)>0.從而,

/(%)在(og沒有零點.

(iii)當彳6仁，兀時，尸(x)<0,所以f(x)在e，兀單調遞減.而/撲。，

/(7t)<0,所以/(x)在《，兀有唯一零點.

(iv)當不￡(兀,”)時，lnO+l)>l,所以/(九)<0，從而/'(X)在(兀,+00)沒有

零y占八、、?

綜上，/(X)有且僅有2個零點.

21.解：X的所有可能取值為一1,0,1.

p(X=_l)=(l_a)〃，

P(X=0)=。夕+(1-a)(l-'),

P(X=1)—),

所以X的分布列為

X0

(l-a)"a/?+(lP)a[\-

(2)(i)由(1)得Q=0.4,b=0.5,c=0.1.

因此p,.=0.4^+0.5pi+0.\pM,故此1(R+]—R.)=0.4(Pj-pj_J,即

Pi「Pi=4(Pi-Pi".

又因為月一00=回工0,所以｛PM—〃J(i=0,l,2,,7)為公比為4,首項為用的等

比數(shù)列.

(ii)由⑴可得

48—1

+++

P8=P8-P7P7-P6+R-Po+Po=(08一科)+(〃7一。6)+(Pl-Po)=^~Pl

3

由于28=1，故P1=不一J"，所以

1

A=(P4-P)+(P3-P2)+(P2-P)+(P-Po)=-^—P

3lll257

“4表示最終認為甲藥更有效的概率，由計算結果可以看出，在甲藥治愈率為

0.5,乙藥治愈率為0.8時，認為甲藥更有效的概率為〃4=一匚。。0。39,此

時得出錯誤結論的概率非常小，說明這種試驗方案合理.

2

22.解：（1）因為—1〈七二<1,且d+j』］=f-I+-4r--=b所以c的直角

1+r2（2jU+，2

5+『)

v2

坐標方程為J+2L=1（工?！?）.

/的直角坐標方程為2x+J§y+ll=0.

x=cosa,

（2）由（1）可設C的參數(shù)方程為《（。為參數(shù)，一TCVaVTC）.

y=2sina

「4cos|6Z--l+ll

_.,,7弘12cosa+2,3sina+111I3）

C上的點到/的距離為-------------i=---------L=----'尸"——.

當。=-當時，4cos（a—1]+11取得最小值7,故C上的點到/距離的最小值為J7.

23.解：(1)+b2>lab,b1+c2>2bc,c2+cr>2ac,又abc=T,故有

,22,,ab+hc+ca111

a2+。+c>ab+be+ca=--------------=—+-+

abcab

所以！

abc

（2）因為。,b,c為正數(shù)且a〃c=1,故有

(?+與3+s+c)3+(c+a)3>3y(a+))3s+c)3(a+c)3

=3(a+〃)S+c)(a+c)

>3x(2-Jab)x(2A/^C)X(2A/^C)

=24.

所以3+Z?)3+S+C)3+(C+Q)3N24.

絕密★啟用前

試卷類型：A

2018年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學

本試卷共4頁，23小題，滿分150分。考試用時120分鐘。

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上。用2B鉛

筆將試卷類型(A)填涂在答題卡相應位置上。將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼

處”。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應題目選項的答案信息點

涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內

相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。

不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，將試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共6()分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

1.設z=^~L+2i,則|z|=()

1+Z?1

A.0B.-C.1D.y/2

2

2.己知集合4=卜|行一了一2>0},則為4=()

A.{x|—l<x<2}B.{x|-1WXW2}

C.1x|x<-1}{x\x>2}D.{x|xW-1}{x|x22}

3.某地區(qū)經(jīng)過一年的新農村建設，農村的經(jīng)濟收入增加了一倍.實現(xiàn)翻番.為更好地了解

該地區(qū)農村的經(jīng)濟收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農村建設前后農村的經(jīng)濟收入構成比

例.得到如下餅圖：

則下面結論中不正確的是（）

A.新農村建設后，種植收入減少

B.新農村建設后，其他收入增加了一倍以上

C.新農村建設后，養(yǎng)殖收入增加了一倍

D.新農村建設后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟收入的一半

4.記S〃為等差數(shù)列｛q｝的前〃項和.若3S3=S2+S4，4=2,則%=（）

A.-12B.-10C.10D.12

5.設函數(shù)，（6=d+（a-l）f+以,若/⑺為奇函數(shù),則曲線y=在點（0,0）處的切

線方程為（)

A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x

6.在△ABC中，AO為8。邊上的中線，石為AO的中點，則（)

3113

A.-AB——ACB.-AB--AC

4444

3113

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444A

B

7.某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如右圖所示，圓柱表面上的點加在正視圖上

的對應點為A,圓柱表面上的點N在左視圖上的對應點為3,則在此圓柱側面上，從M

到N的路徑中，最短路徑的長度為()

A.2>/17B.2亞C.3D.2

8.設拋物線C：V=4x的焦點為尸，過點(—2,0)且斜率為2的直線與C交于河，N兩點，

則?7W=()

A.5B.6C.7D.8

9.已知I函數(shù),g(x)=/(x)+x+“，若g(x)存在2個零點，則。的取值

[Inx,x>0

范圍是()

A.[-1,0)B.[+°o)C.[—1,+8)D.[1,+8)

10.下圖來自古希臘數(shù)學家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個半圓

構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形A8C的斜邊BC,直角邊鉆，

AC,△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為I,黑色部分記為II,其余部分

記為III,在整個圖形中隨機取一點，此點取自1,H,III的概率分別記

為Pi，Pi，P3>則()

p,p=p

A.Pi=p2B.p,=C.23D.p}=p2+p3

11.已知雙曲線C：X-V=1,。為坐標原點，尸為C的右焦點，過戶的直線與C的兩條

3

漸近線的交點分別為M,N.若△OMN為直角三角形，則|"M=()

A.-B.3C.2x/3D.4

2

12.已知正方體的棱長為1,每條棱所在直線與平面a所成的角都相等，則a截此正方體所

得截面面積的最大值為（)

A3后R2百3&有

A.D??U.

4342

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

x-2y-2W0

13.若x,y滿足約束條件■x-y+l20,則z=3x+2y的最大值為.

yW0

14.記5.為數(shù)列｛a,,｝的前〃項和.若5,,=2q+1,則臬=.

15.從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法

共有種.（用數(shù)字填寫答案）

16.已知函數(shù)f（x）=2sinx+sin2x,則/（x）的最小值是.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題,

每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

（一）必考題：共60分。

17.(12分)在平面四邊形ABC。中，ZADC=90°,ZA=45°,AB=2,BD=5.

(1)求cos/408；

(2)若DC=2五,求BC.

18.（12分）如圖，四邊形A8CQ為正方形，E,F分

別為4。，BC的中點，以?！檎酆郯颜?/p>

起，使點C到達點P的位置，且PFLM.

（1）證明：平面P￡F_L平面AB/X）；

（2）求OP與平面群出）所成角的正弦值.

19.（12分）設橢圓C：—+/=1的右焦點為尸，過E的直線/與C交于A,B兩點，點M

2

的坐標為(2,0).

(1)當/與x軸垂直時，求直線AM的方程；

(2)設。為坐標原點，證明：ZOMA=ZOMB.

20.(12分)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)

品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品，檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件

作檢驗，再根據(jù)檢驗結果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗，設每件產(chǎn)品為不合格品的

概率都為p(O<p<l),且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立.

(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為/(p),求〃p)的最大值點為；

(2)現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件，結果恰有2件不合格品，以⑴中確定的為作為p的

值.已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格

品支付25元的賠償費用.

(i)若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為X,

求砍；

(ii)以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作

檢驗？

21.(12分)已知函數(shù)/■(x)=，-x+alnx.

(1)討論f(x)的單調性；

(2)若存在兩個極值點為，x2)證明：a-2.

%一%2

(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的

第一題計分。

22.［選修4一4：坐標系與參數(shù)方程］(10分)

在直角坐標系xOy中，曲線G的方程為、=左3+2.以坐標原點為極點，x軸正半軸

為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為夕2+2Pcos6?-3=0.

(1)求G的直角坐標方程；

(2)若G與C2有且僅有三個公共點，求G的方程.

23.［選修4—5：不等式選講］(10分)

/(x)=|x+l|—|ar-1|.

(1)當。=1時，求不等式的解集；

(2)若xd(0,1)時不等式成立，求a的取值范圍.

2018年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學答案解析

一、選擇題。

123456789101112

CBABDABDCABA

二、填空題。

13.￡14,-6315.1616.

2

上匕+2'="

1、C解析:z=—+2z=+2i=i.-.|z|=Vo2+l2=1

1+i(1+/X1-D1+1

2、B解析:A=|x|x2-x-2>0|={x|x<-1或無>21:.CRA={X\-1<X<2]

3、A解析：設建設前經(jīng)濟收入為則建設后經(jīng)濟收入為2a.

對于A項：種植收入原來為0.6。，后來為2。37%=0.74。，增加，故A錯誤;

對于B項：其他收入原來為0.04。，后來為2。5%=0.1。，增加的倍數(shù)為

().1。一0.04。1廠1十丁&

----------------=1.5>1,故B正確；

0.04。

對于C項：養(yǎng)殖收入原來為0.3a,后來為2。30%=0.6a,增加的倍數(shù)為幽二%=1,

0.3。

故C正確;

對于D項：新農村建設后，養(yǎng)殖收入為2。30%=0.6。，第三產(chǎn)業(yè)收入為2。28%=0.56。,

而經(jīng)濟收入的一半為一x2Q=a，則0.6。+0.56。=1.16。>a,故D正確.

2

4、B解析：設等差數(shù)列的公差為d.

3(3q+3d)=2q+d+4q+6d4=2

則《=><d③=>%=q+4d=2+4x(-3)=-10.

q=2

5、D解析：/(幻為奇函數(shù)

/.f(—X)=—f(X)—X+(〃—1)X~—CLX=-X—(。—1)犬—QX

.?.2(〃-1)%2=0恒成立=。-1=0=々=1,則f(x)=x3+x/(x)=3x2+1

.?./(X)在點(0,0)處的切線斜率為左=f(0)=1,則所求切線方程為y—0=x-0,即

y=x.

6、A解析：

EB=ED+DB=-AD+-CB=-x-(AB+AC)+-(AB-AC)=-AB--AC.

2222244

7、B解析：將此圓柱的四分之一側面展開如右圖所示：

則最短路徑為MN|=V22+42=26

2

8、D解析：由已知，得尸(1,0),直線為y=,(x+2)

y2=4x卜=1"》=4

則42=>4或4n/(l,2),N(4,4)4-

y=-(x+2)[y=2[y=4

、J

2-y=m(x)

.?.fM|FN=(0,2)(3,4)=0x3+2x4=8.

T-3-2-1、、01234X

9、C解析：g(x)存在2個零點

、

、、

方程/(x)+x+a=0有兩個根-3?、、

-4-y="x-a

<=>方程/(x)=-x-。有兩個根

O函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=-x-a的圖象有兩個不同交點

如右圖所示，則只需-a<1即可

即a的取值范圍是[-1,+8).

10、A解析：此題屬于幾何概型，總區(qū)域面積相同，故只要求出I,n,in的面積進行比

較即可。

設5C=a,AC=/?,AB=c,則62+。2=〃2

則S]=—be,S=—bc+—7i(—)2+—^(―)2-—^(―)2=—bc+—7v(b2+c2-a2)=—bc

222222222282

S3乃(怖了—=—gbe,故《二g.

11、B解析：由已知，得。2=3=>a=J§,b~=1=>/?=1

F(2,0),漸近線的方程為丁=±9》=±等%

則/=〃+/=4=。=2

則NMOE=30°,由于雙曲線的對稱性，不妨設NOMN=90°

法一：在Rt"OF中，ZMOF=30\\OF\=2

則10M=10目cos30。=2X三=G

在RtMON中，NMON=60",則NONA/=900-60’=30"

\OM\

|MN|=3

tan30

法二：直線MN的傾斜角為90°+30°=120°,其斜率為左=tan120°=一百

故直線MN的方程為y=-6(x-2)

3

y=-G(x-2)尤=一

2.“3

則4

y=-x「力

3y=T

y=-向x-2)

x=3「

V3=廠nN(3,-6)

y=Y

.?.網(wǎng)=J(3_|)2+(_g_

3

12、A解析：如下圖所示，平面做。與正方體的每條棱所在直線所成的角都相等，則

平面a//平面做C.

構造平面肱VPQRS//平面ABC，設AS=x

則SP=0,SR=PQ=MN=4ix,SM=RQ=PN=6C-Q

則

S梯形SR°P+S梯形SMNP=gx[夜+V2(l-x)]x+gX(亞+V2x)x向；*

S六邊形

=一后+小+"技、一夕+苧

???當尤=；時's'=￥

13、6解析：畫出可行域如右圖所示：

3zz

將z=3x+2y變形為,=一會+3z最大，即截距,最大.

則當直線＞=-平移經(jīng)過點A（2,0）時，截距最大.

zniax=3x2+2x0=6.

14>z63解析：Sn=2an+1①

/.當〃=1時，q=5=2a]+1nq=-1

當“22時，S,i=2a,i+1②

①-②，得a“=2a”-2%,即工=2（〃22）

an-\

數(shù)列｛““｝是首項為-1,公比為2的等比數(shù)列

-1x(1-26)

=-63

1^2

15、16解析：法一（直接法）：分成兩類：1女2男、2女1男

則不同的選法共有C；仁+仁&=16（利.

法二（間接法）：“至少有1位女生入選”的對立事件為“沒有一位女生入選”

則不同的選法共有C；-容=16(種).

16、-半解析：法一：易知的最小正周期為7=24，則問題轉化求/(x)在［0,2乃|

的最小值.

/(x)=2sinx+sin2x

f(x)=2cos%+2cos2x=2cosx4-2(2cos2x-1)

=2(2cos2x+cosx-l)=2(cosx4-l)(2cosx-1)

令/=cosx(-則f(x)=2(t+l)(2r-1)

令/(x)=0,得r=—1或r=g

.?.當時，f(x)<0,/(x)單調遞減；

當;<fWl時，/(x)>0,/(x)單調遞增.

|ITT,冗

當「=—時，/(x)取得最小值，止匕時cosx=-=>%=—或彳=—

2233

TV￡再、c?乃?24373Q兀、.571.10萬373

又/(—)=2sin—+sin——=-----,/(—)=2sin——+sin------=--------

33323332

法二：/(x)=2sinx+2sinxcosx=2sinx(cosx+1)

4,^=COSX(-1</<1)

則f2(x)=4(1-r2)(z+1)2=4(1-r)(1+f)3=g(3—30(1+03

3—3/+1+，+1+，+1+，27

x）4

44T

當且僅當3—3r=l+f,即，=,時等號成立.

2

.36?y3G一〃、3百

-X

??一丁-/（X）<n/（）min萬

17、解：（1）在4。5中，由正弦定理，得

BD_AB

sin45°sinZADB

9V2

..4?sin45°ZXTV2

sinZzADnDB=------------=------=——

BD55

又BA<BD.?.NADB<NA=45°,故NAOB為銳角.

r.cosZ.A.DB-

（2）由（1）知,cosZBDC=cos（90°-ZADB）=sinZADB=—

在5OC中，由余弦定理，得

BC2=BD2+DC2-2BDPCcosZBDC

=52+（272）2-2x5x272x^-=25

又BC>QBC=5.

18、解：（1）證明：四邊形A3CO為正方形

AB±BC

E,尸分別為AO,BC的中點

EF//ABEF1BC,即EF±BF

又PF±BF,PFEF=F,PF、EFu平面PEF

BF±平面尸￡戶又BFu平面ABED

平面PEF±平面AB/D

（2）法一（幾何法）：如圖，過點P作于點H,連接。

由（1）知，平面PEF_1?平面487D

且平面平面ABFD=EF,PHu平面PET7

..「“，平面鉆尸。

NPDH為直線QP與平面A8H）所成角的平面角

由（1）知，BF_L平面PEF

又PEu平面PEF

BF±PE

又AD//BF

AD1PE

不妨設正方形的邊長為2,則PF=DE=\,PD=EF=2

.-.P￡=V22-12=73.DF7P+22=6

.?.在PEF中,EF2=PE1+PF2=>PE±PF

PEPFA/3X1y/3

?.rDrUi=---------=--------=----

EF22

3r

:.在RfP"。中，sinNPDH=