高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)和大學(xué)所有數(shù)學(xué)公式

定義：有限集A的元素的個(gè)數(shù)叫做集合A的基數(shù)，記為card(A)規(guī)定card(<t>)=0.

基本公式：

⑴。"U8)=card(A)+card(B)—card(AB)

(2)card(AU8UC)=card(A)+card[B}+card(C)

—card{Zfl8)—card(5QC)—card(CQA)

+ca，Wn8DC)

(3)card(?A)=card(U)-card(A)

(二)含絕對(duì)值不等式、一元二次不等式的解法及延伸

1.整式不等式的解法

根軸法(零點(diǎn)分段法)

①將不等式化為加(x-x)(X-X2)…(x-x.)〉0(<0)形式，并將各因式x的系數(shù)化“+”；(為了統(tǒng)一方便)

②求根，并在數(shù)軸上表示出來；

③由右上方穿線，經(jīng)過數(shù)軸上表示各根的點(diǎn)(為什么？)；

④若不等式(x的系數(shù)化“+”后)是“〉0”，則找“線”在x軸上方的區(qū)間；若不等式是“<0”，則

找“線”在x軸下方的區(qū)間.

、a%③—；'m-2V1—?%

(自右向左正負(fù)相間)

則不等式為X"+42/-2+???+%,>0(<0)(&>0)的解可以根據(jù)各區(qū)間的符號(hào)確定.

特例①一元一次不等式ax>b解的討論；

②一元二次不等式ax2+box>0(a>0)解的討論.

A>0△=0A<0

二次函數(shù)Iu

y=ax'+bx+c

（a>0）的圖象--------X

一元二次方程

有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根

ax2+6x+c=0b

無實(shí)根

X|,X2(X|<x2)x.=x.------

(a>0的根2a

ax2+6x+c>0b

<xx----->

（。>0）的解集2aR

ax2+6x+c<0

{巾］<

x<x2}0

（。>0）的解集0

2.分式不等式的解法

(1)標(biāo)準(zhǔn)化：移項(xiàng)通分化為1?〉o(或I?〈o)；I?云0(或13忘0)的形式,

g(x)g(x)g(x)g(x)

(2)轉(zhuǎn)化為整式不等式(組)>0=/(x)g(x)>0;1^20=X趣于-0

g(x)g(x)lg(x)H°

3.含絕對(duì)值不等式的解法

(1)公式法：［ax+W<c,與麻+4>c(c>0)型的不等式的解法.

(2)定義法：用“零點(diǎn)分區(qū)間法”分類討論.

(3)幾何法：根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義用數(shù)形結(jié)合思想方法解題.

4.一元二次方程根的分布

一元二次方程ax2+bx+c=0(a^O)

(1)根的“零分布”：根據(jù)判別式和韋達(dá)定理分析列式解之.

(2)根的“非零分布”：作二次函數(shù)圖象，用數(shù)形結(jié)合思想分析列式解之.

(三)簡(jiǎn)易邏輯

1、命題的定義：可以判斷真假的語句叫做命題。

2、邏輯聯(lián)結(jié)詞、簡(jiǎn)單命題與復(fù)合命題：

“或”、“且”、“非”這些詞叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞；不含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題是簡(jiǎn)單命題；由簡(jiǎn)單

命題和邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”構(gòu)成的命題是復(fù)合命題。

構(gòu)成復(fù)合命題的形式：P或q(記作“pVq”)；p且q(記作“pAq”)；非P(記作“rq").

3、“或”、“且”、“非”的真值判斷

原命題互逆逆命題

(1)“非P”形式復(fù)合命題的真假與F的真假相反；若P則q若q則P

互

(2)“p且q”形式復(fù)合命題當(dāng)P與q同為真時(shí)為真，為

其逆互

他情況時(shí)為假；否逆否

為

(3)“p或q”形式復(fù)合命題當(dāng)p與q同為假時(shí)為假，其否

互逆否命題

他情況時(shí)為真.否命題

若1p則1q互逆若iq則IP

4、四種命題的形式：

原命題：若P則q；逆命題：若q則P;

否命題：若rP則rq；逆否命題：若rq則rp。

(1)交換原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是逆命題；

(2)同時(shí)否定原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是否命題；

(3)交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時(shí)否定，所得的命題是逆否命題.

5,四種命題之間的相互關(guān)系：

一個(gè)命題的真假與其他三個(gè)命題的真假有如下三條關(guān)系：(原命題=逆否命題)

①、原命題為真，它的逆命題不一定為真。

②、原命題為真，它的否命題不一定為真。

③、原命題為真，它的逆否命題一定為真。

6、如果已知p=q那么我們說，p是q的充分條件，q是p的必要條件。

若p=>q且q=>p,則稱P是q的充要條件，記為p=q.

7、反證法：從命題結(jié)論的反面出發(fā)(假設(shè))，引出(與已知、公理、定理…)矛盾，從而否定假設(shè)證

明原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法。

高中數(shù)學(xué)第二章-函數(shù)

考試內(nèi)容：

映射、函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性.

反函數(shù).互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系.

指數(shù)概念的擴(kuò)充.有理指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì).指數(shù)函數(shù).

對(duì)數(shù).對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).對(duì)數(shù)函數(shù).

函數(shù)的應(yīng)用.

考試要求：

(1)了解映射的概念，理解函數(shù)的概念.

(2)了解函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的概念，掌握判斷一些簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的方法.

(3)了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的反函數(shù).

(4)理解分?jǐn)?shù)指數(shù)惠的概念，掌握有理指數(shù)累的運(yùn)算性質(zhì)，掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì).

(5)理解對(duì)數(shù)的概念，掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì).

(6)能夠運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.

§02.函數(shù)知識(shí)要點(diǎn)

一、本章知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)：

一定義F:ATB

反函數(shù)

映身寸L研究圖像

性質(zhì)

函數(shù)一

二次函數(shù)

具體函數(shù)指數(shù)T旨級(jí)函數(shù)

又寸數(shù)一對(duì)數(shù)函數(shù)

二、知識(shí)回顧：

(-)映射與函數(shù)

1.映射與一一映射

2.函數(shù)

函數(shù)三要素是定義域，對(duì)應(yīng)法則和值域，而定義域和對(duì)應(yīng)法則是起決定作用的要素，因?yàn)檫@二者確定

后，值域也就相應(yīng)得到確定，因此只有定義域和對(duì)應(yīng)法則二者完全相同的函數(shù)才是同一函數(shù).

3.反函數(shù)

反函數(shù)的定義

設(shè)函數(shù)＞=/(X)(Xe⑷的值域是C,根據(jù)這個(gè)函數(shù)中x,y的關(guān)系，用y把x表示出，得到

X=(p(y).若對(duì)于y在C中的任何一個(gè)值,通過x=(p(y),x在A中都有唯一的值和它對(duì)應(yīng)，那么，x=(p(y)

就表示y是自變量,X是自變量y的函數(shù)，這樣的函數(shù)x=9(y)(yeC)叫做函數(shù)y=/(%)(%C4)

的反函數(shù)，記作％=/”(歹),習(xí)慣上改寫成歹=/T(X)

(-)函數(shù)的性質(zhì)

1.函數(shù)的單調(diào)性

定義：對(duì)于函數(shù)f(X)的定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值X1,X2.

⑴若當(dāng)X［<X2時(shí)，都有f(Xi)<f(Xz),則說f(X)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)；

⑵若當(dāng)X1<X2時(shí)，都有f(X>f(X2),則說f(X)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).

若函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，則就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,

這一區(qū)間叫做函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.此時(shí)也說函數(shù)是這一區(qū)間上的單調(diào)函數(shù).

2.函數(shù)的奇偶性

偶函數(shù)的定義：如果對(duì)于函數(shù)f(X)的定義域內(nèi)任意一個(gè)X,都有

f(-X)=f(X),那么函數(shù)f(X)就叫做偶函數(shù).

/(X)是偶函數(shù)=/(-.x)=/(.、)O/(-.x)-/(.x)=0co=l(/(.x)w0)

/(?V)

奇函數(shù)的定義：如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)X,都有

f(-x)=-f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù).

/(X)是奇函數(shù)=/(_.t)=-/(-r)o/(r)+=oo織=-l(/(x)工0)

正確理解奇、偶函數(shù)的定義。必須把握好兩個(gè)問題：

(1)定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)/(X)為奇

函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分條件；(2)/(r)=/(x)或

/(-X)=-〃x)是定義域上的恒等式。

2.奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，偶函數(shù)

的圖象關(guān)于、軸成軸對(duì)稱圖形。反之亦真，因此，也

可以利用函數(shù)圖象的對(duì)稱性去判斷函數(shù)的奇偶性。

3.奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間同增同減；偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間增

減性相反.

4.如果"X)是偶函數(shù)，則./(x)=〃|x|),反之亦成立。

若奇函數(shù)在x=0時(shí)有意義，則"0)=0。

7.奇函數(shù)，偶函數(shù)：

⑴偶函數(shù)：/(-x)=/(x)

設(shè)(a,b)為偶函數(shù)上一點(diǎn)，則也是圖象上一點(diǎn).

偶函數(shù)的判定：兩個(gè)條件同時(shí)滿足

①定義域一定要關(guān)于y軸對(duì)稱，例如：y=x?+l在［1,-1)上不是偶函數(shù).

②滿足/(-x)=/(x),或/(-x)-/(x)=0,若/(x)xO時(shí)，-^-=1.

/(-x)

⑵奇函數(shù)：/(-x)=-/U)

設(shè)(a,b)為奇函數(shù)上一點(diǎn)，則也是圖象上一點(diǎn).

奇函數(shù)的判定：兩個(gè)條件同時(shí)滿足

①定義域一定要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，例如：y=x3在［1,-1)上不是奇函數(shù).

②滿足/(—x)=—/(x),或/(—x)+/(x)=0,若/(x)xO時(shí)，~~~=~1?

/(-x)

8.對(duì)稱變換：?y=f(x)>軸對(duì)稱>y=/(_x)

@y=f(.x)一軸對(duì)稱>y=_/(x)

③y=/(x)原點(diǎn)對(duì)稱>y=_/(_x)

9.判斷函數(shù)單調(diào)性(定義)作差法：對(duì)帶根號(hào)的一定要分子有理化，例如:

(X|-X)(X1+x)

/(X1)-f{x2)=Jx；+/>2-Jx：+l>~22

Jx1+62+J靖+/

在進(jìn)行討論.

10.外層函數(shù)的定義域是內(nèi)層函數(shù)的值域.

x

例如：已知函數(shù)/(x)=l+——的定義域?yàn)?函數(shù)//(x)］的定義域是8,則集合4與集合8之間的

1-X

關(guān)系是BnA

解：/(x)的值域是/(/(x))的定義域B,/(x)的值域wR,故BeR,而4={x|xwl},故BnA.

11.常用變換：

?f(x+y)=f(x)f(y)<=>f(x-y)=.

f(y)

證：/(x-y)=<=>/W=f[(x-y)+y]=f(x-y)f(y)

f(x)

Y

②/(-)=fW-f(y)of(x?y)=/(x)+f(y)

y

YY

證：/(x)=/(-y)=/(-)+/(y)

yy

12.⑴熟悉常用函數(shù)圖象；

例：y=2區(qū)一|x|關(guān)于),'軸對(duì)稱.T5r=

值域{yX2,yeR}一值域#x前的系數(shù)之比.

(=)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

a>l0<a<l

對(duì)數(shù)函數(shù)產(chǎn)/板/的圖象和性質(zhì):

對(duì)數(shù)運(yùn)算：

10ga(A1?N)=log"M+logaN⑴

log“芍=log”M一*N

n12

logaM=nloga(±M))

log°y/~M=—logA/

n

Jg“N=N

換底公式：log.NJ°g/V

log/,a

推論：log?6?logbc?log。a=1

=>log%。2.10g"2%?log",-a〃=log?,an

(以上M>0,N>-0,a^O,a^l5b>-0,b^l,c>0,c^l,aI5a2...an>0且Wl)

\

1

圖

O

象

(1)定義域：(0,+8)

(2)值域：R

(3)過點(diǎn)(1,0),即當(dāng)x=l時(shí),y=0

性

質(zhì)(4)XG(0/)時(shí)j<0xe(0,l)時(shí)>>°

X€(1,+8)時(shí)y>0

xG(i,+°o)時(shí)yv0

(5)在(0,+oo)上是增函數(shù)在(0,+8)上是減函數(shù)

注⑴：當(dāng)a,bYO時(shí)，k)g(6rb)=log(-a)+log(-b).

⑵：當(dāng)M>0時(shí)，取“+”，當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)且VYO時(shí)，A/">0,而MY0,故取“一”.

例如：log。'2H2k?gaX：(2k)gaX中X>O而log^X?中XWR).

⑵y=a”(。A0,aH1)與y=logax互為反函數(shù).

當(dāng)aMl時(shí)，y=log“x的"值越大，越靠近x軸；當(dāng)OYaYl時(shí)，則相反.

(四)方法總結(jié)

(1).相同函數(shù)的判定方法：定義域相同且對(duì)應(yīng)法則相同.

⑴對(duì)數(shù)運(yùn)算：

10ga(A/-N)=log。M+logoN⑴

log“￡=logoM-logaN

N

n12)

\ogaM=?loga(±M)

log“V77=-logoM

n

a1°g?N=N

換底公式：log。N=酗'

log小

推論：log”b?log/,c-logca=1

=>l°g“12「Ogg%?log%-即=10g%4“

(以上M>0,NA0,a〉0,aHl,b〉0,bwl,cA0,cl,a1，a2...an>0且*1)

注⑴：當(dāng)a,〃YO時(shí)，log(a/)=log(-a)+log(-6).

⑵：當(dāng)MMO時(shí)，取"+"，當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)且MYO時(shí)，AT?。，而MYO,故取“一”.

例如：10gaX2#210gaX；(210gaX中X>0而logqX2中XGR).

(2)y=a*與y=log“x互為反函數(shù).

當(dāng)">1時(shí)，y=log“x的“值越大，越靠近x軸；當(dāng)OYOYI時(shí)，則相反.

⑵.函數(shù)表達(dá)式的求法：①定義法；②換元法；③待定系數(shù)法.

(3).反函數(shù)的求法：先解x,互換x、y,注明反函數(shù)的定義域(即原函數(shù)的值域).

(4).函數(shù)的定義域的求法：布列使函數(shù)有意義的自變量的不等關(guān)系式，求解即可求得函數(shù)的定義域.常

涉及到的依據(jù)為①分母不為0；②偶次根式中被開方數(shù)不小于0；③對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0,底數(shù)大于零且不等

于1;④零指數(shù)嘉的底數(shù)不等于零；⑤實(shí)際問題要考慮實(shí)際意義等.

(5).函數(shù)值域的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”；③反函數(shù)法；④換元法；⑤不等式法；

⑥函數(shù)的單調(diào)性法.

⑹.單調(diào)性的判定法：①設(shè)X1,X2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且X1<X2；②判定f(X1)與f(X2)

的大??；③作差比較或作商比較.

(7).奇偶性的判定法:首先考察定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,再計(jì)算f(-X)與f(x)之間的關(guān)系:①f(-X)=f(x)

為偶函數(shù)；f(-x)=-f(x)為奇函數(shù)；②f(-x)-f(x)=0為偶；f(x)+f(-x)=O為奇；③f(-x)/f(x)=l是偶；

f(X)-j-f(-x)=-l為奇函數(shù).

(8).圖象的作法與平移：①據(jù)函數(shù)表達(dá)式，列表、描點(diǎn)、連光滑曲線；②利用熟知函數(shù)的圖象的平移、

翻轉(zhuǎn)、伸縮變換；③利用反函數(shù)的圖象與對(duì)稱性描繪函數(shù)圖象.

高中數(shù)學(xué)第三章數(shù)列

考試內(nèi)容：

數(shù)列.

等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式.

等比數(shù)列及其通項(xiàng)公式.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式.

考試要求：

(1)理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公

式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng).

(2)理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.

(3)理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，井能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.

§03.數(shù)列知識(shí)要點(diǎn)

1.⑴等差、等比數(shù)列:

等差數(shù)列等比數(shù)列

定義為+1-—=^^0)

a〃

遞推公式冊(cè)=冊(cè)-1+〃；??=?,?-?+

；a”=a〃國(guó)

通項(xiàng)公式a=+(n-l)J

n