長郡中學(xué)備戰(zhàn)高考14講專題08-數(shù)列(老師版)

專題08數(shù)列一、單選題1.【2020屆湖南省長沙市長郡中學(xué)高三下學(xué)期第四次適應(yīng)性考試】《九章算術(shù)》第三章“衰分”介紹比例分配問題，“衰分”是按比例遞減分配的意思，通常稱遞減的比例為“衰分比”.如：已知，，三人分配獎金的衰分比為，若分得獎金1000元，則，所分得獎金分別為800元和640元.某科研所四位技術(shù)人員甲、乙、丙、丁攻關(guān)成功，共獲得單位獎勵68780元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配獎金，且甲與丙共獲得獎金36200元，則“衰分比”與丁所獲得的獎金分別為A．，14580元 B．，14580元C．，10800元 D．，10800元【答案】B【解析】設(shè)“衰分比”為，甲獲得的獎金為，則.，解得，故.故選：.2.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期第二次月考】等差數(shù)列的前項和為，已知，則的值為（）A．63 B．21 C． D．21【答案】C【解析】∵，∴，∴，∴，故選：C．3.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2019-2020學(xué)年高三下學(xué)期2月質(zhì)量檢測】已知函數(shù)，在等差數(shù)列中，，，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由等差中項性質(zhì)可得，即，所以，則.故選：C.4.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期入學(xué)摸底】設(shè)數(shù)列的前項和為，當(dāng)時，，，成等差數(shù)列，若，且，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，，成等差數(shù)列，可得，則，，，可得數(shù)列中，每隔兩項求和是首項為，公差為的等差數(shù)列.則，，則的最大值可能為.由，，可得.因為，，，即，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，，符合題意，故的最大值為.故選：A.5.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期月考（二）】設(shè)是數(shù)列的前n項和，滿足，且，則（）A．10 B． C． D．11【答案】A【解析】因此數(shù)列為等差數(shù)列，首項為1，公差為1，即故選：A6.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2020屆高三下學(xué)期第一次高考模擬】已知數(shù)列的首項，且滿足，則的最小的一項是A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知得，，所以數(shù)列為首項為，公差為的等差數(shù)列，，則，其對稱軸.所以的最小的一項是第項.故選A.7.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2020屆高三下學(xué)期高考模擬卷（二）】數(shù)列是等差數(shù)列，且，，那么（）A． B． C．5 D．-5【答案】B【解析】由于數(shù)列是等差數(shù)列，所以，又，，∴，解得，故選：B.8.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2021屆高三下學(xué)期二?！恳阎瘮?shù)，數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，且，若，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，，所以，，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，所以，所以，所以，故選：D9.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2021屆高三下學(xué)期考前沖刺卷】已知數(shù)列，，其中為最接近的整數(shù)，若的前項和為20，則（）A．15 B．30 C．60 D．110【答案】D【解析】由題意知，函數(shù)為最接近的整數(shù)，又由，，，，由此可得在最接近的整數(shù)中，有2個1，4個2，6個3，8個4，，又由數(shù)列滿足，可得，則，因為的前項和為20，即，可得數(shù)列構(gòu)成首項為，公差為的對稱數(shù)列的前10項和，所以.故選：D.10.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2021屆高三下學(xué)期考前沖刺卷】《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)巨著，書中有這樣一道題：“今有垣厚五尺，兩鼠對穿.大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.問何日相逢？”題意為：有一堵墻厚五尺，有兩只老鼠從墻的正對面打洞穿墻.大老鼠第一天打進(jìn)一尺，以后每天打進(jìn)的長度是前一天的倍；小老鼠第一天也打進(jìn)一尺，以后每天打進(jìn)的長度是前一天的一半.若這一堵墻厚尺，則幾日后兩鼠相逢()A． B． C． D．【答案】B【解析】大鼠從第一天起打進(jìn)尺數(shù)依次為：1，2，4，8，…，小鼠從第一天起打進(jìn)尺數(shù)依次為：1，，，，…，前3天兩鼠完成量的總和為，前4天兩鼠完成量的總和為，所以第4天兩鼠相逢.故選：B11.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2021屆高三下學(xué)期月考（七）】素數(shù)在密碼學(xué)、生物學(xué)等方面應(yīng)用廣泛，下表為森德拉姆(Sundaram，1934)素數(shù)篩法矩陣：4710131619…71217222732…101724313845…132231404958…162738496071…193245587184……其特點是每行每列的數(shù)均成等差數(shù)列，如果正整數(shù)n出現(xiàn)在矩陣中，則一定是合數(shù)，反之如果正整數(shù)n不在矩陣中，則一定是素數(shù)，下面結(jié)論中不正確的是（）A．第4行第10列的數(shù)為94 B．第7行的數(shù)構(gòu)成公差為15的等差數(shù)列C．592不會出現(xiàn)在此矩陣中 D．第10列中前10行的數(shù)之和為1255【答案】C【解析】根據(jù)題意，第i行的等差數(shù)列的公差為．第j列的等差數(shù)列的公差等于．設(shè)表示第i行第j列的數(shù)，因為第4行的數(shù)構(gòu)成了以13為首項，9為公差的等差數(shù)列．所以，A正確；因為第7行的第1個數(shù)為22．第2個數(shù)為37．所以公差為15，B正確；按照題意，如果592不會出現(xiàn)在此矩陣中，則是素數(shù)，而是合數(shù)，所以592會出現(xiàn)在此矩陣中，C錯誤；第10列中前10行的數(shù)構(gòu)成以為首項，公差為21的等差數(shù)列，其和為，D正確．故選：C12.【湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)2021屆高三下學(xué)期二模】《萊茵德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一．書中有一道這樣的題：把100個面包分給5個人，使每個人的所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，則最小一份的量為A． B． C． D．【答案】C【解析】得中間的那份為20個面包，設(shè)最小的一份為，公差為d，根據(jù)題意，于是有解得．故選C．13.【湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)2021屆高三下學(xué)期三?！慷x：在數(shù)列中，若滿足(，d為常數(shù))，稱為“等差比數(shù)列”，已知在“等差比數(shù)列”中，，，則等于（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意可得：，，，根據(jù)“等差比數(shù)列”的定義可知數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，則，所以，，所以．故選：C14.【湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)2021屆高三下學(xué)期月考（七）】在等差數(shù)列中，，．記，則數(shù)列（）．A．有最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項【答案】B【解析】由題意可知，等差數(shù)列的公差，則其通項公式為：，注意到，且由可知，由可知數(shù)列不存在最小項，由于，故數(shù)列中的正項只有有限項：，.故數(shù)列中存在最大項，且最大項為.故選：B.二、多選題1.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期月考（五）】已知是公比q的正項等比數(shù)列的前n項和，若，，則下列說法正確的是（）A． B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C． D．?dāng)?shù)列是公差為2的等差數(shù)列【答案】ABC【解析】公比q為正數(shù)，且，，，又，解得，.，，，∴數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列.，故ABC正確，，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，故D錯誤.故選：ABC.2.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期月考（一）】已知數(shù)列的前項和為，且，（，為非零常數(shù)），則下列結(jié)論正確的是（）A．是等比數(shù)列 B．當(dāng)時，C．當(dāng)時， D．【答案】ABC【解析】由，得.時，，相減可得，又，數(shù)列為首項為，公比為的等比數(shù)列，故A正確；由A可得時，，故B正確；由A可得等價為，可得，故C正確；，，則，即D不正確；故選：ABC.3.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2021屆高三下學(xué)期保溫卷二】在數(shù)列中，若（為常數(shù)），則稱為“等方差數(shù)列”．下列對“等方差數(shù)列”的判斷正確的是A．若是等差數(shù)列，則是等方差數(shù)列B．是等方差數(shù)列C．若是等方差數(shù)列，則（為常數(shù)）也是等方差數(shù)列D．若是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列為常數(shù)列【答案】BCD【解析】對于A，若是等差數(shù)列，如，則則不是常數(shù)，故不是等方差數(shù)列，故A錯誤；對于B，數(shù)列中，是常數(shù)，是等方差數(shù)列，故B正確；對于C，數(shù)列中的項列舉出來是，，，，，，，數(shù)列中的項列舉出來是，，，，，，將這k個式子累加得，，，k為常數(shù)是等方差數(shù)列，故C正確；對于D，是等差數(shù)列，，則設(shè)是等方差數(shù)列，是常數(shù)，故，故，所以，是常數(shù)，故D正確.故選：BCD.三、填空題1.【2020屆湖南省長沙市長郡中學(xué)高三下學(xué)期第四次適應(yīng)性考試】正整數(shù)數(shù)列滿足，已知，的前6項和的最大值為，把的所有可能取值從小到大排成一個新數(shù)列，所有項和為，則________.【答案】62【解析】正整數(shù)數(shù)列滿足,且,所以或1,再依次分析,則可得的前6項分別為:128,64,32,16,8,4;或21,64,32,16,8,4;或20,10,5,16,8,4;或3,10,5,16,8,4;或16,8,4,2,1,4;或2,1,4,2,1,4;因此,,,故答案為:622.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期第二次月考】正項等比數(shù)列中，存在兩項使得，且，則的最小值為______.【答案】6【解析】因為正項等比數(shù)列中，，所以，即，又，所以，由可得出，于是，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，所以所求最小值?，故答案為：6.3.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2019-2020學(xué)年高三下學(xué)期2月質(zhì)量檢測】記為等比數(shù)列的前項和，，且，則公比______.【答案】或【解析】若，則，，等式不成立，所以.由，得，結(jié)合整理，得.又，所以或.故答案為：或.4.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期入學(xué)摸底】在①數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a3＋a7＝18；②數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且a2a6＝64，a2a3<0；③Sn－1＝an－1(n≥2)這三個條件中任選一個，補充到下面的問題中，并加以解答.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，.（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）是否存在正整數(shù)k∈{8，9，10}，使Sk>512，若存在，求出相應(yīng)的正整數(shù)k的值；若不存在，請說明理由.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析.【解析】選擇條件①，（1）因為數(shù)列{an}為等差數(shù)列，則又因為a3＋a7＝18，∴，所以數(shù)列{an}的公差所以（2）由（1）可得當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，所以不存在正整數(shù)k∈{8，9，10}，使Sk>512；選擇條件②，因為數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則，又a2a6＝64，所以，因為，又a1＝1，則，設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，則所以（2）由（1）可得當(dāng)n=8時，當(dāng)n=9時，當(dāng)n=10時，所以不存在正整數(shù)k∈{8，9，10}，使Sk>512，選擇條件③，當(dāng)n=2時，，即，當(dāng)時，，兩式相減可得，即，則，即，又，所以數(shù)列{an}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，則；（2）由（1）可得，當(dāng)n=8時，，當(dāng)n=9時，，當(dāng)n=10時，，則存在正整數(shù)k∈{8，9，10}，使Sk>512．5.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期月考（二）】已知數(shù)列的通項公式為，將這個數(shù)列中的項擺放成如圖所示的數(shù)陣，記為數(shù)陣從左至右的列，從上到下的行共個數(shù)的和，則數(shù)列的前2020項和為______．【答案】【解析】由題意，設(shè)數(shù)列的前項和為．∵數(shù)列的通項公式為，∴數(shù)列是以4為首項，2為公差的等差數(shù)列．∴第1行的所有項的和即為：．則第2行的所有項的和為：；第3行的所有項的和為：；…第行的所有項的和為：；∴．．∴數(shù)列的前2020項和為．故答案為：．6.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期月考（三）】已知數(shù)列的前項和，且，則數(shù)列的通項公式為________.【答案】【解析】當(dāng)時，，整理可得，即，所以為常數(shù)列，故，所以，故答案為：.7.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期月考（一）】已知數(shù)列滿足，則前48項之和為___________.【答案】1176【解析】由，則，，，，，，，…可知相鄰奇數(shù)項的和為2，偶數(shù)項中，每隔一項構(gòu)成公差為8的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的求和公式計算即可得到所求值.因，，而，，所以數(shù)列前48項之和為.故答案為：1176.8.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2020屆高三下學(xué)期高考模擬卷（二）】十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契從兔子繁殖規(guī)律中發(fā)現(xiàn)了“斐波那契數(shù)列”，斐波那契數(shù)列滿足以下關(guān)系：，，，記其前n項和為，（1）___________．（2）設(shè)，（，y為常數(shù)），___________．【答案】1【解析】因為斐波那契數(shù)列滿足，，，∴；；；…；故．所以，因為．．故答案為：1，．9.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2021屆高三下學(xué)期保溫卷一】請寫出一個符含下列要求的數(shù)列的通項公式：①為無窮數(shù)列；②為單調(diào)遞增數(shù)列；③.這個數(shù)列的通項公式可以是______.【答案】.【解析】因為函數(shù)的定義域為，且在上單調(diào)遞增，，所以滿足3個條件的數(shù)列的通項公式可以是，故答案為：.10.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2021屆高三下學(xué)期二?！咳艏现辽俸袃蓚€元素（實數(shù)），且中任意兩個元素之差的絕對值都大于2，則稱為“成功集合”，已知集合，則的子集中共有__________個“成功集合”．【答案】49【解析】設(shè)集合的子集中有個成功集合，則，．對于時，可將滿足要求的子集分為兩類：一類是含有的子集，去掉后剩下小于的單元素子集或滿足要求的子集，前者有個，后者有個；另一類是不含的子集，即滿足要求的子集，有個．于是，．從而根據(jù)遞推關(guān)系得：，，，，，．故答案為：11.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2021屆高三下學(xué)期考前沖刺卷】如果數(shù)列滿足，且，則這個數(shù)列的第項等于___________.【答案】【解析】由，化簡得，且，，得，所以是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，所以，即故答案為：12.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2021屆高三下學(xué)期一?！慷x函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù)，例如：，，.當(dāng)時，的值域為.記集合中元素的個數(shù)為，則的值為________.【答案】【解析】表示不超過的最大整數(shù)，當(dāng)時，，，在各區(qū)間內(nèi)的元素個數(shù)為，，，，，，，，.故答案為：.13.【湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)2021屆高三下學(xué)期二?！恳阎獢?shù)列中，，且，數(shù)列滿足，則的通項公式是_____.【答案】【解析】∵，∴，又，則，∴.故答案為：.四、解答題1.【2020屆湖南省長沙市長郡中學(xué)高三下學(xué)期第四次適應(yīng)性考試】已知數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，數(shù)列滿足，且與的等差中項是.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，的前項和為，求.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,設(shè)其公比為,因為,,所以,因此,又?jǐn)?shù)列滿足,且與的等差中項是,所以,即,所以:,,……,,上述累加可得,所以;(2),若為奇數(shù),則,所以即.2.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期第二次月考】已知數(shù)列{an}的首項，，．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)記，若Sn<100，求最大正整數(shù)n；(3)是否存在互不相等的正整數(shù)m，s，n，使m，s，n成等差數(shù)列，且am－1，as－1，an－1成等比數(shù)列？如果存在，請給以證明；如果不存在，請說明理由．【答案】（1）見解析；（2）99；（3）不存在【解析】(1)因為＝＋，所以－1＝－.又因為－1≠0，所以－1≠0(n∈N*)．所以數(shù)列為等比數(shù)列．(2)由(1)可得－1＝·n－1，所以＝2·n＋1.Sn＝＋＋…＋＝n＋2＝n＋2·＝n＋1－，若Sn<100，則n＋1－<100，因為函數(shù)y=n＋1－單調(diào)增，所以最大正整數(shù)n的值為99.(3)假設(shè)存在，則m＋n＝2s，(am－1)(an－1)＝(as－1)2，因為an＝，所以＝2，化簡得3m＋3n＝2·3s，因為3m＋3n≥2·＝2·3s，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n時等號，又m，s，n互不相等，所以不存在．3.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期月考（二）】在遞增的等比數(shù)列中，，，其中.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，則，又，∴，或，（舍）.∴，即.故（）.（2）由（1）得，.∴.4.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期月考（三）】已知正項數(shù)列的前項和為，且滿足：，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)由又有，，兩式相減得因為，所以又，，解得，滿足因此數(shù)列是等差數(shù)列，首項為，公差為所以(2)所以.5.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期月考（五）】已知等差數(shù)列的前n項和為，p，，，且.數(shù)列滿足.（1）求p?q的值；（2）設(shè)數(shù)列的前2n項和為，證明：.【答案】（1），；（2）證明見解析.【解析】解：（1），，，，解得.由得，解得.，.（2）等差數(shù)列的公差，.，，解得..∴數(shù)列的前項和，又，關(guān)于n遞增，.6.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期月考（一）】已知正項等差數(shù)列中，，且，成等比數(shù)列，數(shù)列的前n項和為，.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和.【答案】（1）；；（2）.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由，且，成等比數(shù)列，∴，即，由已知，∴，∴，∴；由得：，∴數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，則；（2），∴.7.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2021屆高三下學(xué)期保溫卷二】在公比大于0的等比數(shù)列中，已知依次組成公差為4的等差數(shù)列（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)的公比為，因為成等差數(shù)列，所以，則，又，所以又因為，所以，所以；（2）由題可知，則，①，②①②得.故8.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2021屆高三下學(xué)期保溫卷一】已知數(shù)列滿足，且，其中，．（1）求證：是等比數(shù)列，并求的前項和；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求證：．【答案】（1）證明見解析，；（2）證明見解析.【解析】（1）因為，所以，，所以，，得到，．又因為，由，得到，故，且，所以為定值，所以數(shù)列是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，所以，．（2）因為，所以，所以．因為，所以，所以．9.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2021屆高三下學(xué)期二?！恳阎f增等差數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足.（1）求的前n項和；（2）若，求數(shù)列的通項公式.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)數(shù)列公差為，由，解得或（舍去），所以，則，即，所以，所以數(shù)列的前n項和.（2）由（1）知，又由，.10.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2021屆高三下學(xué)期考前沖刺卷】已知數(shù)列中，，且，設(shè)數(shù)列.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，求證：.【答案】（1）證明見解析，；（2）證明見解析.【解析】（1）由題意得：，即，且，是以為首項為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）得，；11.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2021屆高三下學(xué)期一模】已知等差數(shù)列的前n項和為，且滿足.（1）求數(shù)列的通項公式;（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）.【解析】:設(shè)公差為，依題意得解得所以.，.12.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2021屆高三下學(xué)期月考（六）】已知等比數(shù)列的