(1.5)-2023數(shù)值實(shí)驗(yàn)-練習(xí)4

考慮線性方程組一、選主元與不選主元方法的對(duì)比第三章：線性方程組的數(shù)值求解（一）選主元clear,clcn=100;d=[7;15*ones(n-2,1);14];A=diag(6*ones(n,1))+diag(8*ones(n-1,1),-1)+diag(ones(n-1,1),1);

x=A\dclear,clcn=100;d=[7;15*ones(n-2,1);14];A=diag(6*ones(n,1))+diag(8*ones(n-1,1),-1)+diag(ones(n-1,1),1);

[L,U,P]=lu(A);y=L\(P*d);xx=U\yKappa=cond(A,1)追趕去法解三對(duì)角線性方程組clear,clcn=40;a=[0;8*ones(n-1,1)];b=6*ones(n,1);c=ones(n-1,1);d=[7,15*ones(n-2,1);14];L=zeros(n,1);U=zeros(n,1);y=zeros(n,1);x=zeros(n,1);fori=2:nU(1)=b(1);L(i)=a(i)/U(i-1);U(i)=b(i)-L(i)*c(i-1);endy(1)=d(1);fori=2:ny(i)=d(i)-L(i)*y(i-1);endx(n)=y(n)/U(n);fori=n-1:-1:1x(i)=(y(i)-c(i)*x(i+1))/U(i);endx（二）不選主元（一）追趕去法（8n-7、8個(gè)向量）clear,clc,ticn=400;a=[0;6*ones(n-1,1)];b=8*ones(n,1);c=ones(n-1,1);d=[9,15*ones(n-2,1);14];L=zeros(n,1);U=zeros(n,1);y=zeros(n,1);x=zeros(n,1);fori=2:nU(1)=b(1);L(i)=a(i)/U(i-1);U(i)=b(i)-L(i)*c(i-1);endy(1)=d(1);fori=2:ny(i)=d(i)-L(i)*y(i-1);endx(n)=y(n)/U(n);fori=n-1:-1:1x(i)=(y(i)-c(i)*x(i+1))/U(i);endt1=toc二、（時(shí)間、空間）復(fù)雜性對(duì)比clear,clc,ticn=100;d=[9;15*ones(n-2,1);14];A=diag(8*ones(n,1))+diag(6*ones(n-1,1),-1)+diag(ones(n-1,1),1);

x=A\d;t2=tocKappa=cond(A,1)（二）普通LU分解法（存儲(chǔ)量、計(jì)算量增加）二、（時(shí)間、空間）復(fù)雜性對(duì)比例如：Hilbert矩陣就是一個(gè)著名的病態(tài)矩陣n46810

283752.9E+73.39E+103.54E+13155141.5E+71.53E+101.60E+13283752.9E+73.39E+103.54E+13對(duì)稱正定矩陣希爾伯特矩陣及其條件數(shù)clear,clcn=10;A=hilb(n);b=sum(A’)’;x=A\dKappa=cond(A,1)二、病態(tài)方程組的解法

常用的幾種判定方程組為病態(tài)的經(jīng)驗(yàn)方法

當(dāng)相對(duì)來(lái)說(shuō)很小時(shí)，或者矩陣的某些行（列）近似線性相關(guān)時(shí)，可能為病態(tài)；

矩陣在采用選主元消去法求解方程組時(shí)，在消元過(guò)程中出現(xiàn)很小的主元，可能為病態(tài)；

解方程組得到了一個(gè)很大的解，或者特征值相差大數(shù)量級(jí)，可能為病態(tài)；

當(dāng)系數(shù)矩陣的元素間數(shù)量級(jí)相差很大，且無(wú)一定規(guī)則時(shí)，可能為病態(tài)。

求解病態(tài)方程組時(shí)，常用的幾種處理原則

采用高精度的算術(shù)運(yùn)算；

采用預(yù)處理方法；可逆矩陣和的選擇要求滿足：其中

采用某些特殊的數(shù)值方法求解；

重新尋找出現(xiàn)病態(tài)的原因，改變?cè)瓎?wèn)題的提法。希爾伯特矩陣及其條件數(shù)改進(jìn)：（正則化方法）clear,clcn=1000;A=hilb(n)+10^(-7)*eye(n);b=sum(A’)’;x=A\dKappa=cond(A,1)11程序1：LU分解的程序；請(qǐng)