(1.15)-2.2.2 拓撲基的性質(zhì)

拓撲的基拓撲學(xué)拓撲基的性質(zhì)下面，我們討論拓撲基的一些基本性質(zhì).證明：給定B中元素的一個族B'，這些B'的元素也是T的元素.由于T是一個拓撲，于是B'中的元素的并也在T中.反之，給定U∈T，對于每一個x∈U，存在B的一個元素Bx，使得x∈Bx?U，故，

證畢.引理2.2.2

若X是一個集合，B是X

的某個拓撲T的一個基,則即T中的開集都是由

B中子族取并集得到的.T拓撲基的性質(zhì)引理2.2.3

設(shè)X是一個拓撲空間，C是X的開集的一個族，它滿足對于X的每一個開集U及每一個x∈U，存在C的一個元素C，使得x∈C?U.那么C

就是X上這個拓撲的一個基.引理2.2.2表明X中的每一開集U都可以表示成某些基元素之并.需要注意的是U的這種表示不是唯一的.我們已經(jīng)使用兩種不同的方法描述了如何由基生成拓撲.有的時候我們需要反過來做，即由一個拓撲找出生成它的基.證明：首先，C滿足基的定義中的第一個條件∶對于任意x∈X，由C的定義及X

為開集,存在C∈

C，使得x∈C?X.下面驗證第二個條件.設(shè)x∈C1∩C2.其中C1與C2是C的兩個元素.因為C1與C2是開集，所以C1∩C2也是開集.于是根據(jù)假設(shè)，存在C∈C，使得x∈C?C1∩C2.當(dāng)拓撲是由基給出的時候，可以用基作為判定拓撲粗細的一個標(biāo)準(zhǔn).下面我們來證明這樣的個準(zhǔn)則.拓撲基的性質(zhì)引理2.2.4

設(shè)B和B'分別是X的拓撲T和T'的基.則下列條件等價∶(1)T'細于T.(2)對于每一個x∈X及包含x的每一個基元素B∈B，存在一個基元素B'∈B'，使得x∈B'?

B.

設(shè)T'表示

X的由

C所生成的拓撲，T為X

的拓撲,上述證明表明對任意U,

即，T?T'.反之，因為C的每一個元素都是T的一個元素，所以C的元素的任意并也在T中.于是根據(jù)引理2.2.2,T'

?T.這就證明了T=T'.證畢.T'拓撲基的性質(zhì)證明：(2)?(1).對于T的一個元素U，我們證明U∈T'.取x∈U.因為

B生成T，則存在一個元素B∈

B，使得x∈B?U.條件(2)告訴我們，存在一個元素B'∈

B'，使得x∈B'?

B.于是x∈B'?U.根據(jù)定義U∈

T'.

(1)?(2).給定x∈X和B∈B，其中x∈B.根據(jù)定義，B∈T，再根據(jù)條件(1)，T?T'.因此,B∈T'.因為B'生成了T'，所以存在一個元素B'∈B'，使得x∈

B'?B.證畢.例2.2.4現(xiàn)在可以看出，平面上所有圓形域的族B與所有矩形域的族B'，生成的是同一拓撲，圖2.2.4給出了證明的圖示.圖2.2.4定義2.2.5設(shè)B為實直線R上所有開區(qū)間

(a,b)={x|

a<x<b}的族，由B生成的拓撲稱為實直線上的標(biāo)準(zhǔn)拓撲

(standardtopology),當(dāng)X=R時，若無特別聲明，我們將總假設(shè)考慮的是這個標(biāo)準(zhǔn)拓撲.設(shè)B'為所有半開區(qū)間

[a,b)={x|a≤x<b}的族，其中a<b.由B'生成的拓撲稱為R的下限拓撲（lowerlimittopology).具有下限拓撲的R記作Rl

.拓撲基的性質(zhì)下面我們來定義實直線R上三種有趣的拓撲。拓撲基的性質(zhì)對于n∈Z+,令K

表示所有形如1/n

的數(shù)所組成的集合，即

K={1/n|n∈Z+},設(shè)B''為所有開區(qū)間(a,b)及形如(a,b)-K

形成的集合的族.由

B''所生成的拓撲稱為R

上的

K-拓撲(K-topology).具有K-拓撲的R記作Rk.引理2.2.6

Rl

和Rk

的拓撲都嚴格細于標(biāo)準(zhǔn)拓撲，但它們之間不可比較.易見，這三個集族都是基，在每個集族中的兩個基元素的交或者是另一個基元素，或者是空集，這些拓撲間的關(guān)系如下∶證明：以T，T'，T''分別表示R，Rl，Rk中的拓撲.任意給定T中的一個基元素(a，b)以及一個點x∈(a，b)，T'

中的元素[x，b)包含著x并且包含于(a，b).另一方面，任意給定T'中的一個基元素[x，d)，卻不存在T中的元素(a，b)，使得它包含于

[x，d)同時又包含著x.因此T'嚴格細于T.對Rk進行類似的討論．任意給定T中的一個基元素(a，b)以及一個點x∈(a，b)，則

(a，b)是T''中的一個基元素并且包含著x.另一方面，給定T"中的一個基元素B=(－1，1)－K以及B中一個點0，卻不存在包含于B中并且包含著

0的開區(qū)間.用上述類似的方法可知，[0,b)∈T',但不存在包含0并且包含于[0,b)

的T''的基元.另一方面，對B=(－1，1)－K