高考真題-理科數(shù)學(xué)（全國乙卷）2

2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國乙卷）

理科數(shù)學(xué)

一、選擇題

2+i

1.設(shè)1+1+1,則2=（）

A.l-2iB.l+2iC.2-iD.2+i

【答案】B

【解析】

【分析】由題意首先計(jì)算復(fù)數(shù)z的值，然后利用共輾復(fù)數(shù)的定義確定其共輾復(fù)數(shù)即可.

2+ii(2+i)2i-l

【詳解】由題意可得z=

l+i2+i51-1+ii2

則彳=1+2i.

故選：B.

2.設(shè)集合U=R,集合M={x|x<l},N={x[—l<x<2},則{x|xN2}=()

A.今(MjN)B.NJ由M

C.N）D.MDQ,N

【答案】A

【解析】

［分析］由題意逐一考查所給的選項(xiàng)運(yùn)算結(jié)果是否為{x|x>2}即可.

【詳解】由題意可得MN={x|x<2},則電（MN）={x|xN2},選項(xiàng)A正確;

^,M={x|x>l},則7^_6/={幻兀>—1},選項(xiàng)B錯誤；

MN={x|-l<x<l},則6（"cN）={x|x?-l或x?l},選項(xiàng)C錯誤；

GN={x|xV-l或x22},則MU，,N={x|x<l或x“},選項(xiàng)D錯誤；

故選：A.

3.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的一個(gè)零件的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1,則該零件的表面積為（）

A.24B.26C.28D.30

【答案】D

【解析】

【分析】由題意首先由三視圖還原空間幾何體，然后由所得的空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征求解其表面積即可.

【詳解】如圖所示，在長方體ABC。一AAGA中，AB=BC=2,M=3,

點(diǎn)”,/,J,K為所在棱上靠近點(diǎn)4,G，2,4的三等分點(diǎn)，O,L,M,N為所在棱的中點(diǎn)，

則三視圖所對應(yīng)的幾何體為長方體ABC。-A4G9去掉長方體ONIC「LMHB］之后所得的幾何體，

該幾何體的表面積和原來的長方體的表面積相比少2個(gè)邊長為1的正方形，

其表面積為：2x（2x2）+4x（2x3）-2x（lxl）=30.

故選：D.

x

4.已知/（》）=奪x一e是偶函數(shù)，則。=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義運(yùn)算求解.

【詳解】因?yàn)椤▁)=昌為偶函數(shù)，則“同―/(—x)=g—匕坐二=止42]=0，

e-1e(,x—1e6—]e(,x—1

又因?yàn)閄不恒為0,可得e"-e(a-l)A=0-即e'=e(a-1)A'，

則x=(a—l)x,即l=a—1,解得a=2.

故選：D.

5.設(shè)O為平面坐標(biāo)系坐標(biāo)原點(diǎn)，在區(qū)域｛(再y)[1?/+丁244｝內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，記該點(diǎn)為A,則直線OA

7T

的傾斜角不大于一的概率為()

4

11八1

A.-B.-C.-D.—1■

8642

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意分析區(qū)域的幾何意義，結(jié)合幾何概型運(yùn)算求解.

【詳解】因?yàn)閰^(qū)域｛(乂力14/+y2^4｝表示以0(0,0)圓心，外圓半徑R=2，內(nèi)圓半徑r=l的圓環(huán)，

7T7T

則直線OA的傾斜角不大于一的部分如陰影所示，在第一象限部分對應(yīng)的圓心角/M0N=—,

44

2x工

結(jié)合對稱性可得所求概率,41.

r=-----=—

2兀4

6.已知函數(shù)/(x)=sin(5+°)在區(qū)間小單調(diào)遞增，直線x=工和x=§為函數(shù)y=/(x)的圖像的

A.-立B.--C.1D.立

2222

【答案】D

【解析】

5H

【分析】根據(jù)題意分別求出其周期，再根據(jù)其最小值求出初相，代入x=-L即可得到答案.

12

(兀2兀、

【詳解】因?yàn)?(X)=Sin(s+⑼在區(qū)間k,三單調(diào)遞增，

T27rjr2兀

所以人=三一2且。＞0,則丁=兀，w=—=2,

2362T

當(dāng)》=工時(shí)，/(x)取得最小值，則2?工+0=2E—色，kEZ,

662

則Q=2E—型，keZ,不妨取％=0,則/(x)=sin[2x-?],

故選：D.

7.甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有

()

A.30種B.60種C.120種D.240種

【答案】C

【解析】

【分析】相同讀物有6種情況，剩余兩種讀物的選擇再進(jìn)行排列，最后根據(jù)分步乘法公式即可得到答案.

【詳解】首先確定相同得讀物，共有C；種情況,

然后兩人各自的另外一種讀物相當(dāng)于在剩余的5種讀物里，選出兩種進(jìn)行排列，共有A；種，

根據(jù)分步乘法公式則共有C：?A；=120種，

故選：C.

8.已知圓錐PO的底面半徑為G，。為底面圓心，PA,P8為圓錐的母線，N4O8=120。，若,.月48的面

積等于當(dāng)叵，則該圓錐的體積為()

4

A.nB.瓜兀C.3冗D.3a兀

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用三角形面積公式求出圓錐的母線長，進(jìn)而求出圓錐的高，求出體積作答.

【詳解】在J^OB中，ZAOB=\20°.而OA=OB=^),取AC中點(diǎn)C,連接OC,PC,有

OC±AB,PC1AB,如圖,

NABO=30，0C=也,AB=2BC=3,由.的面積為也，得，x3xPC=^,

2424

解得PC=苧，于是po=JPC?—Od=’（孚了一吟丫=瓜，

所以圓錐的體積兀*042*尸。=；兀乂（6）2、述=述兀.

故選：B

9.己知一ABC為等腰直角三角形，A3為斜邊，△A3。為等邊三角形，若二面角C—AB—O為150°,則

直線CD與平面4BC所成角的正切值為（）

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，推導(dǎo)確定線面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.

【詳解】取48的中點(diǎn)E，連接CE,OE,因?yàn)?ABC是等腰直角三角形，且為斜邊，則有CE1AB，

又△AB。是等邊三角形，則。E1AB，從而NCE。為二面角C—A5—￡＞的平面角，即NCE￡）=150,

D,

顯然CEcDE=E,CE,DEu平面CDE,于是451平面COE,又ABu平面ABC,

因此平面CDE_L平面ABC,顯然平面COEc平面ABC=CE,

直線CDu平面CDE,則直線CO在平面ABC內(nèi)的射影為直線CE,

從而NOCE為直線C￡)與平面ABC所成的角，令49=2,則CE=1,OE=G，在eCDE中，由余弦

定理得:

CD=7CE2+DE2-ICE-DEcosZCED=^1+3-2x1x73x(-^)^77)

DECD

由正弦定理得toi4,

sinNDCEsinNCEDWsinZDC￡=V7=2V7

顯然/OCE是銳角，cosNDCE=Jl-sii?NDCE

所以直線CO與平面ABC所成的角的正切為且.

5

故選：C

10.已知等差數(shù)列｛為｝的公差為等，集合S^cosageN*｝,若5=｛。,4，則而=()

I

A.-1B.——C.0D.J1

22

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)給定的等差數(shù)列，寫出通項(xiàng)公式，再結(jié)合余弦型函數(shù)的周期及集合只有兩個(gè)元素分析、推理

作答.

27t2兀2兀

【詳解】依題意，等差數(shù)列｛"”｝中，a”=q+(〃—1)+(q——),

2兀2it

顯然函數(shù)y=cos[7〃+(%—3-)]的周期為3,而〃eN*，即cosa“最多3個(gè)不同取值，又

{cosan|nGN*}={a.b},

則在cosQ］,cosQ2，cosa3中，cos<21=cosa2cosa3ggcosa}cosa2=cosa3,

2TT2冗7T

于是有cos6=cos（6+—）,即有6+（e+—）=2Ai,ZeZ,解得6=——,keZ,

333

LL1I.1/1兀、.兀、4兀_,兀、171兀1

所以2GZ,ab—COS（K7l——）COSr［z（K7l——）+=—COS（K7T—1）COSK7l=—COSKJlCOS-.

故選：B

11.設(shè)A,B為雙曲線/-￡?=1上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段AB中點(diǎn)的是（）

9

A.（1,1）B.（-1,2）C.（1,3）D.（T,T）

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)點(diǎn)差法分析可得原/左=9,對于A、B、D：通過聯(lián)立方程判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，逐項(xiàng)分析判斷;

對于C：結(jié)合雙曲線的漸近線分析判斷.

【詳解】設(shè)義不乂）,3（孫必），則A3的中點(diǎn)加（三芋,與&

可得心8="^，攵23+%

%一%X]+%2X]+K?

2

X；-迎=122

9,,兩式相減得［；一總）一支二￥

因A8在雙曲線上，則〈0,

后-"-9

-9

所以心屋上=旦二與=9.

Xy-X2

對于選項(xiàng)A：可得k=1,&"=9，則AB:y=9x—8,

y=9x—8

聯(lián)立方程〈2V2，消去y得72d-2x72x+73=o,

x--=1

9

此時(shí)△=（-2x72）2-4x72x73=-288<0,

所以直線A8與雙曲線沒有交點(diǎn)，故A錯誤;

995

對于選項(xiàng)B：可得女=-2,&B=—/，則A6:y=-]X—7，

[95

y=—x—

22

聯(lián)立方程<2，消去y得45￥+2乂45%+61=0，

一了一

I9

此時(shí)△=(2x45『-4x45x61=Tx45xl6<0,

所以直線AB與雙曲線沒有交點(diǎn)，故B錯誤；

對于選項(xiàng)C：可得k=3,心8=3，則A8:y=3x

由雙曲線方程可得a=1,b=3,則AB:y=3x為雙曲線的漸近線，

所以直線A8與雙曲線沒有交點(diǎn)，故C錯誤；

,,997

對于選項(xiàng)D：k=4,kAB=-9則248:了=11一]，

97

y=-x——

44

聯(lián)立方程〈2，消去V得63/+126%-193=0，

r2y-

I9

此時(shí)△=1262+4X63X193>0，故直線AB與雙曲線有交兩個(gè)交點(diǎn)，故D正確；

故選：D.

12.已知I。的半徑為1,直線以與一。相切于點(diǎn)A,直線PB與10交于8,C兩點(diǎn)，。為BC的中點(diǎn)，

若|P0|=夜，則PA.PD的最大值為()

.1+V2R1+2V2

22

C1+72D.2+72

【答案】A

【解析】

【分析】由題意作出示意圖，然后分類討論，利用平面向量的數(shù)量積定義可得

PAPD=---sinf2?--Y或PAP。=，+YZsin(2a+&]然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可確定

2214,2214/

PA?P￡>的最大值?

【詳解】如圖所示，|。4|=1,|0尸|=攻，則由題意可知:NAR?=45，

由勾股定理可得PA=ylOP'-OA1=1

JI

當(dāng)點(diǎn)A。位于直線P0異側(cè)時(shí)，設(shè)ZOPCa,0<a<一,

4

則：PA/。=|PA|-|PD|cos|a+?

1x72cosacosa+-

I4

夜?〕

=V2cosacosa------sma

27

cos2a-sinacostz

1+cos2a1.仁

----------------sin2a

22

sinj2a-巳

22I4J

0<a<-,則—巳W2c—至《生

4444

Tt

???當(dāng)2a」一一時(shí)，P/LPD有最大值L

44

71

當(dāng)點(diǎn)A,。位于直線PO同側(cè)時(shí)，設(shè)NOPC6z,0<a<—,

則:P4-PD=|PA|-|PD|COS

=lxV2cosacosa--

I4

c°sa+交sina

V2cosa

2

=cos2a+sinacosa

_1+cos2a

+—sin2a

22

iV2.r吟

2214)

0<a<-,則2?2a+工4工

4442

.,?當(dāng)2&+2=2時(shí)，PA-~D有最大值1+&?

422

綜上可得，pap。的最大值為L也.

2

故選：A

【點(diǎn)睛】本題的核心在于能夠正確作出示意圖，然后將數(shù)量積的問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值的問題，考查

了學(xué)生對于知識的綜合掌握程度和靈活處理問題的能力.

二、填空題

13.已知點(diǎn)A（l,石）在拋物線C：V=2px上，則A到C的準(zhǔn)線的距離為.

9

【答案】4

【解析】

【分析】由題意首先求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后由拋物線方程可得拋物線的準(zhǔn)線方程為尤=-*,最后利

4

用點(diǎn)的坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程計(jì)算點(diǎn)A到C的準(zhǔn)線的距離即可.

【詳解】由題意可得：（6『=2pxl,則2〃=5,拋物線的方程為V=5x,

準(zhǔn)線方程為x=2,點(diǎn)A到C的準(zhǔn)線的距離為1一

4

9

故答案為：一.

4

x-3y<-1

14.若x,y滿足約束條件<x+2y<9,則z=2x—y的最大值為.

3x+y>7

【答案】8

【解析】

【分析】作出可行域，轉(zhuǎn)化為截距最值討論即可.

【詳解】作出可行域如下圖所示：

z=2x-y,移項(xiàng)得y=2x-z,

x-3y=-1x=5

聯(lián)立有《，解得<

x+2y=9)=2

設(shè)A（5,2）,顯然平移直線y=2x使其經(jīng)過點(diǎn)A,此時(shí)截距-z最小，則z最大,

代入得z=8,

故答案為：8.

15.已知｛a,,｝為等比數(shù)列，a2a4a5=，GAo=_8，則ai=.

【答案】-2

【解析】

【分析】根據(jù)等比數(shù)列公式對化簡得44=1，聯(lián)立。9即）=-8求出/=—2,最后得

%=aq-(/—cf'——2.

【詳解】設(shè)｛%｝的公比為q(q。O),則4%%=。3a6=/qa5q,顯然H0,

貝ijq=q2,即q/=q2,則aq=l,因?yàn)?<7[0=-8,則4</.qq9=-8,

則=?,=—8=(—2)3,則/=_2,則%=/=-2,

故答案為：—2.

16.設(shè)ae(O,I),若函數(shù)/(x)=a'+(l+a)'在(0,+。)上單調(diào)遞增，則“的取值范圍是.

【解析】

【分析】原問題等價(jià)于/'(x)=，］na+(l+ayin(l+a)ZO恒成立，據(jù)此將所得的不等式進(jìn)行恒等變形,

可得(三］>――粵二，由右側(cè)函數(shù)的單調(diào)性可得實(shí)數(shù)。的二次不等式，求解二次不等式后可確定實(shí)

\a)ln(l+a)

數(shù)。的取值范圍.

【詳解】由函數(shù)的解析式可得尸(x)="lnQ+(l+ayln(l+a)20在區(qū)間(0,+8)上恒成立,

1+々

則(i+〃y1口(1+。)2-優(yōu)1114,即>-mj在區(qū)間(0,+。)上恒成立,

a黑

故]匕父=1>——"而a+le(l,2),故ln(l+a)>0,

\a)ln(l+6f)

ln(Q+l)N-lna[a(a+l]>1

故0二1即0匚>故”<1

結(jié)合題意可得實(shí)數(shù)4的取值范圍是

故答案為:

三、解答題

17.某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行10次配對試驗(yàn)，每次配對試驗(yàn)選用材質(zhì)

相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個(gè)用甲工藝處理，另一個(gè)用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的

伸縮率.甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為演，y(i=l,2,…,10).試驗(yàn)結(jié)果如下:

試驗(yàn)序號i12345678910

伸縮率Xj545533551522575544541568596548

伸縮率%536527543530560533522550576536

2

記Z；=X,.-y(i=1,2,…,10),記Z|,Z2,…,z10的樣本平均數(shù)為之,樣本方差為5.

(1)求I，s2;

(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高(如果

z>2J—?則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否

V10

則不認(rèn)為有顯著提高)

【答案】(1)2=11，?=61；

(2)認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.

【解析】

【分析】(1)直接利用平均數(shù)公式即可計(jì)算出U再得到所有的4值，最后計(jì)算出方差即可；

(2)根據(jù)公式計(jì)算出2點(diǎn)的值，和三比較大小即可.

【小問1詳解】

_545+533+551+522+575+544+541+568+596+5484…

x--------------------------------------------------=552.3,

10

_536+527+543+530+560+533+522+550+576+536

y=-------------------------------------------------=541.3,

10

z=x-7=552.3-541.3=11,

43一。的值分別為:9,6,8,-8,15,11,19,18,20,12,

,,2(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+0+(19-II)2+(18-II)2+(20-II)2+(12-II)2八

6X5=------------------------------------------------------------------------------------=61

10

【小問2詳解】

由(1)知:Z=ll,2篇=2扃="4，故有522篇，

所以認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.

18.在.ABC中，已知NBAC=120°,AB=2,AC=L

(1)求sinZABC；

(2)若。為8。上一點(diǎn)，且NB4O=90。，求八40。的面積.

【答案】(1)叵;

14

(2)

10'

【解析】

【分析】(1)首先由余弦定理求得邊長BC的值為BC=J7,然后由余弦定理可得cos8=偵，最后由同

14

所

角三角函數(shù)基本關(guān)系可得sinB=—;

14

S1

(2)由題意可得%=4,則S&ACD=-S&ABC'據(jù)此即可求得AADC的面積.

【小問1詳解】

由余弦定理可得：

BC2=a2=h2+c2-2Z?ccosA

=4+l-2x2xlxcosl20=7，

c°s/+27+4-1577

則BC=A/7.

2x2x77-14'

【小問2詳解】

S-xAfix/ir)xsin90

由三角形面積公式可得新毀=彳------------------=4,

S^ACD—xACxADxsin30

2

則%ACO=(3-昵=(x］；x2xlxsinl20)=

19.如圖，在三棱錐P-ABC中，ABJ.BC，AB=2，6c=2&，PB=PC=?BP,AP,BC的

中點(diǎn)分別為。，E,O,A0=&。。，點(diǎn)尸在AC上，BFLAO.

p

(1)證明：防//平面AOO；

(2)證明：平面AOO_L平面2EF；

(3)求二面角O—AO—C的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；

(2)證明見解析；(3)顯.

2

【解析】

【分析】(1)根據(jù)給定條件，證明四邊形。DEb為平行四邊形，再利用線面平行的判定推理作答.

(2)由(1)的信息，結(jié)合勾股定理的逆定理及線面垂直、面面垂直的判定推理作答.

(3)由(2)的信息作出并證明二面角的平面角，再結(jié)合三角形重心及余弦定理求解作答.

【小問1詳解】

連接。后,。/，設(shè)=則5尸=5A+A尸=(l-r)BA+/5C,AO=-BA+^BC,BFYAO,

121,

則BFAO=[(l-r)BA+tBC]-(—BA++-tBC2=4?！?)+4f=0,

22

解得r=_L,則/為AC的中點(diǎn)，由。,E,。,尸分別為PB.PABCAC的中點(diǎn)，

2

于是DE11AB,DE=>AB,OF//AB,OF==AB,即DE//OF,DE=OF,則四邊形8所為平行四

22

邊形，

EF//DO,EF=DO,又EFu平面A。。DOu平面ADO,

所以瓦7/平面ADO.

p

【小問2詳解】

由(1)可知EF//OD,則40=后,。0=亞，得4。=右。0=叵，

22

因此0。2+4。2=4。2="則OO，A。，有EF上A0,

2

又AO±BF,BFEF=F,BF,EFu平面BEF，

則有AOJ?平面BEF，又AOu平面AOO,所以平面ADOJ_平面BEb.

【小問3詳解】

過點(diǎn)。作O”//所交AC于點(diǎn)4,設(shè)AZ>BE=G,

由AOJ_8F,得“OLAO,且F"='A"，

3

又由(2)知，ODLAO,則/DOH為二面角。一40—。的平面角，

因?yàn)椤分別為PB,PA的中點(diǎn)，因此G為,PA6的重心，

1113

即有。G=±AO,GE=—6E,又FH=±AH,即有。H=2Gb,

3332

3_15

+?24+6-PA2_迎

cosNABO=-^-4-2X2XJ6,解得尸^=4?，同理得8E=*，

2x2x—xxy2

2

(176_5

于是BE2+EF2=BF2=3,即有貝3尸2=—x-----——，

323

從而GF=姮,DH=，晅=叵,

3232

在△。由中‘。"弓"=等’。。=乎‘。"=乎

6+3_15

=也,

于是cosNZ)C"=4喧&=一三,sinNO0H=

2x——x——

22

所以二面角。一AO—C的正弦值為走

2

20.已知橢圓C:與+齊=1（。＞人＞0）的離心率是日，點(diǎn)4（-2,0）在。上.

（1）求C的方程;

（2）過點(diǎn)（一2,3）的直線交C于P,。兩點(diǎn)，直線AP,AQ與y軸的交點(diǎn)分別為M,N,證明：線段MN的

中點(diǎn)為定點(diǎn).

22

【答案】（1）-^+―=1

94

（2）證明見詳解

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意列式求解a/,c,進(jìn)而可得結(jié)果；

（2）設(shè)直線PQ的方程，進(jìn)而可求點(diǎn)M,N的坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理驗(yàn)證也詈為定值即可.

2

【小問1詳解】

b=2a-3

由題意可得＜a2=〃+c2,解得%=2

cV5c=V5

e=——=—i

.a3

22

所以橢圓方程為上+工=1.

94

【小問2詳解】

由題意可知：直線PQ的斜率存在，設(shè)PQ:y=Z（x+2）+3,P（X],yJ,Q（X2，y2），

y=%（x+2）+3

聯(lián)立方程〈Jx2,消去），得：（4女之+9）/+8Z（2攵+3）x+16（左?+3%）=o,

I94

則△=64E（2k+3）2-64（4乃+9）儼+2>k）=一1728A>0,解得攵<0,

可得…金

因?yàn)锳（—2,0）,則直線AP:y=r^§（尤+2）,

令A(yù)。，解得”能，即川。，含）

百+2

同理可得N0,2%C

IW+2J

2y2必

則％+2%+2_[%（玉+2）+3][左（巧+2）+3]

-H

2%1+2元2+2

[例+（22+3）]（毛+2）+[h2+（2A+3）]（x+2）2例x2+（4%+3）（玉4-x2）+4（2/:+3）

（玉+2）（毛+2）X1X2+2（XI+X2）+4

32咚+3%限必+；）（〃+嘰

4F+94A+9''108

16k2+3%）16k（2k+3）+4~36

4F+94代+9

所以線段PQ的中點(diǎn)是定點(diǎn)（0,3）.

(1)由特例得出一個(gè)值，此值一般就是定值；

(2)證明定值，有時(shí)可直接證明定值，有時(shí)將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)(某些變量)無關(guān);

也可令系數(shù)等于零，得出定值；

(3)得出結(jié)論.

21.已知函數(shù)/(x)=(：+ajln(l+x).

(1)當(dāng)a=-l時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)。，/⑴)處的切線方程；

(2)是否存在a,b,使得曲線y=關(guān)于直線x=b對稱，若存在，求“，人的值，若不存在，說明理

由.

(3)若“X)在(0,+8)存在極值，求a的取值范圍.

【答案】(1)(ln2)x+y-ln2=0；

(2)存在〃=■!■力=一!滿足題意，理由見解析.

22

【解析】

【分析】(1)由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，最后求

解切線方程即可；

(2)首先求得函數(shù)的定義域，由函數(shù)的定義域可確定實(shí)數(shù)力的值，進(jìn)一步結(jié)合函數(shù)的對稱性利用特殊值法可

得關(guān)于實(shí)數(shù)”的方程，解方程可得實(shí)數(shù)”的值，最后檢驗(yàn)所得的。力是否正確即可；

(3)原問題等價(jià)于導(dǎo)函數(shù)有變號的零點(diǎn)，據(jù)此構(gòu)造新函數(shù)g(x)=ax2+x一(x+i)]n(x+l),然后對函數(shù)求

導(dǎo)，利用切線放縮研究導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，分類討論a和0＜。＜,三中情況即可求得實(shí)數(shù)”的取值

22

范圍.

【小問1詳解】

當(dāng)a=-l時(shí)，/(x),

則尸(x)=—yxln(x+l)+[—]]x,

據(jù)此可得/(l)=0,/'(l)=_ln2,

函數(shù)在(1,/。))處切線方程為y-0=—ln2(x-l),

即(ln2)x+y-ln2=0.

【小問2詳解】

由函數(shù)的解析式可得/[_[=(x+a)lnQ+l^j,

1y?1

函數(shù)的定義域滿足一+i=——＞o,即函數(shù)的定義域?yàn)?f,—1)5°，”)，

XX1

定義域關(guān)于直線對稱，由題意可得6=2-

2

由對稱性可知/[_5+mJ=/[一

3

取機(jī)=］可得=

即(a+1)In2=(a-2)In耳，則a+l=2—a,解得a=

經(jīng)檢驗(yàn)〃=滿足題意，故〃=',8=-』.

2222

即存在a=工功=-L滿足題意.

22

【小問3詳解】

由函數(shù)的解析式可得r(x)=(一

由/(X)在區(qū)間(0,+8)存在極值點(diǎn)，則/'(X)在區(qū)間(0,+。)上存在變號零點(diǎn)；

令1*}n(x+l)+6+”W=。，

則—(x+l)ln(x+l)+(x+ar2)=o,

令屋￡)=加+%—(工+1)111(%+1),

/(X)在區(qū)間(0,+8)存在極值點(diǎn)，等價(jià)于g(x)在區(qū)間(0,+8)上存在變號零點(diǎn)，

/(X)=2ax-ln(x+l),g”(x)=2a--—

x+1

當(dāng)a?0時(shí)，g'(x)<0，g(x)在區(qū)間(。,+8)上單調(diào)遞減，

此時(shí)g(x)<g(O)=O,g(x)在區(qū)間(0,+動上無零點(diǎn)，不合題意；

當(dāng)aN；,2azi時(shí)，由于匕<1,所以g"(x)>0,g'(x)在區(qū)間(0,+e)上單調(diào)遞增,

所以g'(x)>g'(O)=O,g(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增,g(x)>g(0)=0，

所以g(x)在區(qū)間(0,+8)上無零點(diǎn)，不符合題意；

1?/、11

當(dāng)0<。<—時(shí)，由g(x)=2。------=0可得X=——1,

2x+12a

當(dāng)無時(shí)，g"(x)<0，g'(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，g〃(x)>o,g'(x)單調(diào)遞增，

故g'(x)的最小值為g'((-1)=1-2a+In2a,

_y11

令加(x)=l-x+lnx(0<x<l)，則m'(x)=----->0,

函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，/?/(%)<m(l)=0,

據(jù)此可得l—x+lnx<0恒成立,

則g'----1—1—2cl+In2。<0,

2aJ

令〃(x)=Inx—f>0),則/(x)=-20+*+l,

當(dāng)x?0,l)時(shí),〃'(x)>0,〃(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)XG(1,+QO)時(shí),單調(diào)遞減，

故〃(x)</?(1)=0,即InX<V一x(取等條件為X=1),

所以g'(x)=2ax-ln(x+l)>2ax-[(x+lj_(》+])]=2ax-^x2+x),

g'(2a—l)>2a(2a—1)—[(2a—iy+(2a—1)]=0,且注意到g'(0)=0,

根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知:g'(x)在區(qū)間(0,+8)上存在唯一零點(diǎn)吃.

當(dāng)xe(O,不)時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)減，

當(dāng)xe(x(),+oo)時(shí)，g'(x)>0,g(尤)單調(diào)遞增，

所以g(天)<g(o)=o.

令"(x)=lnx_g(x_L],則"(x)」」(l+V]=一(x二1)W0,

21X)v7x2<x2J2x2

則〃(x)單調(diào)遞減，注意到〃⑴=0,

故當(dāng)xe(l,+oo)時(shí)，In九一](x—J<0,從而有l(wèi)nx<,(x—),

所以g(x)=cue+x-(x+l)ln(x+l)

1

>CLX^+X-+1^X—(X+1)-

x+T

所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,+力)上存在變號零點(diǎn)，符合題意.

綜合上面可知:實(shí)數(shù)a得取值范圍是((),()

【點(diǎn)睛】(1)求切線方程的核心是利用導(dǎo)函數(shù)求切線的斜率，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等

函數(shù)的和、差、積、商，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)，合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)要進(jìn)行換元.

(2)根據(jù)函數(shù)的極值(點(diǎn))求參數(shù)的兩個(gè)要領(lǐng)：①列式:根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利

用待定系數(shù)法求解;②驗(yàn)證:求解后驗(yàn)證根的合理性.本題中第二問利用對稱性求參數(shù)值之后也需要進(jìn)行驗(yàn)證.

四、選做題

【選修4-4】(10分)

22.在直角坐標(biāo)系xOy中，以