信號(hào)與系統(tǒng)基礎(chǔ)-第10章

第10章系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析第10章|主要內(nèi)容10.1系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述10.2系統(tǒng)的狀態(tài)方程10.4狀態(tài)模型求解方法10.3狀態(tài)模型建立方法10.5穩(wěn)定性的判別3問題引入：前面介紹的系統(tǒng)分析方法都是基于激勵(lì)和響應(yīng)之間的數(shù)學(xué)模型，討論給定系統(tǒng)對信號(hào)的變換特性。而系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)或結(jié)構(gòu)的變化對系統(tǒng)響應(yīng)是否有影響？若有，其影響又是怎樣的？另外，對多輸入多輸出的復(fù)雜系統(tǒng)又該如何分析？解決思路：在系統(tǒng)內(nèi)部尋找一些能夠反映系統(tǒng)內(nèi)部特性的參數(shù)，然后將激勵(lì)和響應(yīng)分別與這些參數(shù)聯(lián)系起來。同時(shí)，引入矩陣工具解決上述問題。研究結(jié)果：狀態(tài)空間分析法。核心內(nèi)容：系統(tǒng)的狀態(tài)模型。410.1系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述1．輸入～輸出描述

本章將介紹不僅與系統(tǒng)輸出和輸入信號(hào)有關(guān)，還涉及系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)的“狀態(tài)空間”描述法。圖10-1是一個(gè)SISO系統(tǒng)的兩種描述法示意圖。5

2．狀態(tài)變量描述10.1系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述狀態(tài)變量激勵(lì)響應(yīng)

在狀態(tài)空間描述法中，不是直接給出系統(tǒng)輸出和輸入之間滿足的微分（差分）方程，而是首先在系統(tǒng)內(nèi)部適當(dāng)?shù)剡x擇一組輔助變量——狀態(tài)變量，然后找出這組狀態(tài)變量與系統(tǒng)輸入之間滿足的關(guān)系式——狀態(tài)方程，再找出系統(tǒng)輸出和這組狀態(tài)變量以及輸入之間滿足的代數(shù)方程——輸出方程，從而完成系統(tǒng)輸入、狀態(tài)變量和系統(tǒng)輸出三者之間的關(guān)系描述。610.1系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述用“狀態(tài)方程”和“輸出方程”描述系統(tǒng)的方法就是狀態(tài)空間描述法。系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程可以統(tǒng)稱為系統(tǒng)的狀態(tài)模型。根據(jù)狀態(tài)模型分析系統(tǒng)特性的方法就是狀態(tài)空間分析法。下面，先介紹系統(tǒng)狀態(tài)空間分析法中常用的幾個(gè)術(shù)語。需要說明的是，這里“狀態(tài)”和“起始狀態(tài)”等概念都是第2章和第3章相關(guān)概念的延續(xù)與補(bǔ)充。710.1系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述系統(tǒng)狀態(tài)：當(dāng)所有外部輸入已知時(shí)，為確定系統(tǒng)未來運(yùn)動(dòng)規(guī)律而必須知道的一組數(shù)目最少的

信息數(shù)據(jù)就是系統(tǒng)狀態(tài)。(2)狀態(tài)變量：能夠表示系統(tǒng)狀態(tài)且隨時(shí)間變化的變量就是狀態(tài)變量,用表示。系統(tǒng)在任意時(shí)刻的響應(yīng)值，都可以由該時(shí)刻系統(tǒng)的狀態(tài)變量和激勵(lì)信號(hào)共同確定。需要指出：一個(gè)系統(tǒng)中狀態(tài)變量的選取通常不唯一，但是狀態(tài)變量的數(shù)目是唯一的，也就是說，構(gòu)成狀態(tài)方程組的一階微分方程個(gè)數(shù)是唯一的。狀態(tài)變量雖然可以有不同的選擇，但也不能隨便選取，要求狀態(tài)變量必須滿足獨(dú)立性與完備性條件。所謂獨(dú)立性指各狀態(tài)變量之間必須線性無關(guān)，即任何一個(gè)狀態(tài)變量不能由其他狀態(tài)變量的線性組合表示。而完備性則是指在已確定的狀態(tài)變量之外不可能再找到一個(gè)。810.1系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述(3)狀態(tài)向量：狀態(tài)變量的列向量形式就是狀態(tài)向量，用表示，具有個(gè)狀態(tài)變量的狀態(tài)向量被稱為維狀態(tài)變量。910.1系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述(4)狀態(tài)與起始狀態(tài)：狀態(tài)變量在某一時(shí)刻的值就是系統(tǒng)在時(shí)刻的狀態(tài)。向量形式為狀態(tài)變量在起始時(shí)刻的值稱為系統(tǒng)的起始狀態(tài)。向量形式為1010.1系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述(5)狀態(tài)空間：放置狀態(tài)向量的空間就是狀態(tài)空間。狀態(tài)向量在即為相應(yīng)的個(gè)狀態(tài)變量。個(gè)坐標(biāo)軸上的投影(6)狀態(tài)方程：狀態(tài)方程指的是一組可以描述一個(gè)階系統(tǒng)的激勵(lì)向量、起始狀態(tài)向量和狀態(tài)向量三者關(guān)系的一階微分方程。(7)輸出方程：一組可以描述激勵(lì)向量、狀態(tài)向量和響應(yīng)向量三者關(guān)系的代數(shù)方程稱為系統(tǒng)的輸出方程。1110.1系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述變?yōu)?，微分方程變?yōu)椴罘址匠蹋┘纯蛇m用于離散系統(tǒng)。采用狀態(tài)空間分析法研究系統(tǒng)特性主要有以下特點(diǎn)：(1)一階微分方程組便于求解，尤其便于計(jì)算機(jī)處理。(2)由于系統(tǒng)響應(yīng)（輸出）與狀態(tài)變量和激勵(lì)（輸入）之間滿足的是代數(shù)方程（輸出方程），所以，只要解出狀態(tài)變量，則每一個(gè)響應(yīng)都可通過狀態(tài)變量和激勵(lì)的線性組合求出。(3)容易推廣到時(shí)變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)中去。注意：上述概念稍加變化（比如1210.2系統(tǒng)的狀態(tài)方程【例10-1】試寫出圖10-2所示系統(tǒng)的狀態(tài)方程?！窘狻扛鶕?jù)KCL和電感、電容的特性列出方程（10-1）（10-2）則將式（10-2）代入式（10-1），可得（10-3）式（10-3）正是我們熟悉的外部法系統(tǒng)模型。求解該方程即可得到給定激勵(lì)下的系統(tǒng)響應(yīng)。1310.2系統(tǒng)的狀態(tài)方程現(xiàn)在的問題是，不但要知道與的關(guān)系，還想了解隨的變化規(guī)律，那么就需要將式（10-1）和式（10-2）聯(lián)立求解，則有（10-4）式（10-4）是以和作為變量的一階聯(lián)立微分方程組。式（10-4）就是該系統(tǒng)的狀態(tài)方程，和就是所謂的狀態(tài)變量。1410.2系統(tǒng)的狀態(tài)方程通常，對于一個(gè)如圖10-3（a）所示具有個(gè)輸入和個(gè)輸出的MIMO連續(xù)系統(tǒng)，當(dāng)起始松弛時(shí)，其外部法描述的矩陣方程為（10-5）可簡記為（10-6）1510.2系統(tǒng)的狀態(tài)方程1610.2系統(tǒng)的狀態(tài)方程（狀態(tài)方程）和一組代數(shù)方程（輸出方程）在狀態(tài)空間描述法中，可用一組一階微分方程（10-7）加以描述，即1710.2系統(tǒng)的狀態(tài)方程（10-8）18如果我們記10.2系統(tǒng)的狀態(tài)方程19簡記為（10-9）則可得到狀態(tài)方程和輸出方程的矩陣表達(dá)形式10.2系統(tǒng)的狀態(tài)方程顯然，狀態(tài)變量是連接激勵(lì)與響應(yīng)的紐帶。式（10-9）即為為系統(tǒng)的狀態(tài)模型標(biāo)準(zhǔn)式，可大概地用圖10-3（b）描述。2010.3狀態(tài)模型建立方法10.3.1電路圖建立法（1）選取電路中所有電容上的電壓和電感上的電流作為狀態(tài)變量。（2）利用KCL寫出每一個(gè)電容電流與其他狀態(tài)變量和輸入量之間的關(guān)系式。（3）利用KVL寫出每一個(gè)電感電壓與其他狀態(tài)變量和輸入量之間的關(guān)系式。（4）若第2、3步所得到的KCL和KVL方程中含有非狀態(tài)變量，則應(yīng)利用適當(dāng)?shù)墓?jié)點(diǎn)KCL方程和回路KVL方程將非狀態(tài)變量消去。（5）將第2、3步（第4步）所得到的關(guān)系式整理成標(biāo)準(zhǔn)形式即得到電路的狀態(tài)方程。（6）由KCL和KVL寫出狀態(tài)變量和輸入量與輸出量之間的關(guān)系，即得到電路的輸出方程。2110.3狀態(tài)模型建立方法【例題10-2】寫出圖10-4所示電路的狀態(tài)方程和輸出方程。和為輸出，為電流源，為電壓源?！窘狻窟x電感電流為狀態(tài)變量，電容電壓為狀態(tài)變量。根據(jù)KCL和KVL可得寫成狀態(tài)方程矩陣形式2210.3狀態(tài)模型建立方法輸出方程為寫成輸出方程矩陣形式2310.3.2模擬圖建立法假設(shè)積分器輸出為，輸入為，則有顯然，積分器的輸出可以作為狀態(tài)變量，這是建立狀態(tài)方程的關(guān)鍵。(10-10)由模擬圖建立狀態(tài)方程比電路圖法更直觀、更簡單。其一般步驟如下：（1）選取積分器的輸出（或微分器的輸入）作為狀態(tài)變量。（2）圍繞加法器列出狀態(tài)方程和輸出方程。10.3狀態(tài)模型建立方法2410.3狀態(tài)模型建立方法【例題10-3】試建立圖10-5所示三階系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程?！窘狻窟x取三個(gè)積分器的輸出為狀態(tài)變量。圍繞第一個(gè)加法器列狀態(tài)方程2510.3狀態(tài)模型建立方法圍繞第二個(gè)加法器列輸出方程將上述各式用矩陣表示即可。2610.3狀態(tài)模型建立方法【例題10-4】圖10-6是一個(gè)系統(tǒng)流圖。試建立系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程?！窘狻窟x取積分器輸出為狀態(tài)變量，則有2710.3狀態(tài)模型建立方法寫成矩陣形式輸出方程為

不管系統(tǒng)是用框圖還是用流圖表示，建立狀態(tài)方程和輸出方程的步驟和方法是一樣的，這是因?yàn)榱鲌D其實(shí)就是框圖的簡化形式，兩者之間沒有本質(zhì)區(qū)別。2810.3.3數(shù)學(xué)模型建立法根據(jù)系統(tǒng)模型或系統(tǒng)函數(shù)如何建立狀態(tài)方程呢？我們看下面的例子。10.3狀態(tài)模型建立方法【例題10-5】已知一個(gè)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為。試建立該系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程?！窘狻肯雀鶕?jù)系統(tǒng)函數(shù)畫出兩種直接形式，并聯(lián)形式和串聯(lián)形式流圖如圖10-7所示。2910.3狀態(tài)模型建立方法3010.3狀態(tài)模型建立方法由直接形式一可得可見，這就是【例題10-3】的系統(tǒng)。3110.3狀態(tài)模型建立方法由直接形式二可得3210.3狀態(tài)模型建立方法對于并聯(lián)形式有，為相異單根?？傻貌⒙?lián)形式中的矩陣是對角陣，其對角線上的元素為系統(tǒng)的特征根。3310.3狀態(tài)模型建立方法對于串聯(lián)形式有可得串聯(lián)形式中的矩陣是三角陣，對角元素也是系統(tǒng)的特征根。34通過上述例題，可以有以下結(jié)論：（1）一個(gè)系統(tǒng)可以有不同形式的狀態(tài)方程和輸出方程，即狀態(tài)方程和輸出方程不唯一。（2）給定系統(tǒng)函數(shù)則可以有如下三種形式的狀態(tài)方程和輸出方程。(10-11)10.3狀態(tài)模型建立方法35形式一：

(10-12)

(10-13)10.3狀態(tài)模型建立方法36形式二：(10-4)

(10-5)10.3狀態(tài)模型建立方法37形式三：(10-16)

(10-17)10.3狀態(tài)模型建立方法38其中，是的部分分式展開式中的各項(xiàng)分子系數(shù)，即(10-18)注意：形式三要求系統(tǒng)函數(shù)有個(gè)相異單根。10.3狀態(tài)模型建立方法39離散系統(tǒng)也可以進(jìn)行狀態(tài)空間分析，其狀態(tài)方程的建立及分析方法與連續(xù)系統(tǒng)類似。由離散系統(tǒng)框圖建立狀態(tài)方程的步驟為：（1）選取延時(shí)器的輸出作為狀態(tài)變量；（2）圍繞加法器列出狀態(tài)方程和輸出方程。離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為：(10-19)離散系統(tǒng)也可以進(jìn)行狀態(tài)空間分析，其狀態(tài)方程的建立及分析方法與連續(xù)系統(tǒng)類似。由離散系統(tǒng)框圖建立狀態(tài)方程的步驟為：（1）選取延時(shí)器的輸出作為狀態(tài)變量；（2）圍繞加法器列出狀態(tài)方程和輸出方程。離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為：10.3狀態(tài)模型建立方法4010.3狀態(tài)模型建立方法【例題10-6】一離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為求其狀態(tài)模型。【解】由差分方程可寫出系統(tǒng)傳輸算子根據(jù)梅森公式可得其流圖。4110.3狀態(tài)模型建立方法則有狀態(tài)方程輸出方程4210.4狀態(tài)模型的求解方法狀態(tài)方程是一組聯(lián)立的一階微分方程，顯然可以在時(shí)域進(jìn)行求解，也可以在復(fù)頻域中求解。由于域求解比時(shí)域簡單容易，所以這里只介紹域求解方法。狀態(tài)方程域求解法在本質(zhì)上與微分方程s域求解法是一樣的。43考察狀態(tài)方程組中的第個(gè)方程（10-20）10.4狀態(tài)模型的求解方法44兩邊取拉氏變換按此方法將所有個(gè)狀態(tài)方程都取拉氏變換，就會(huì)得到（10-21）10.4狀態(tài)模型的求解方法45將式（10-21）寫成向量形式，有

式中為單位矩陣。從該式將狀態(tài)變量解出移項(xiàng)并整理得10.4狀態(tài)模型的求解方法（10-22）4610.4狀態(tài)模型的求解方法即（10-23）式中，我們定義分解矩陣 對式（10-23）取拉氏逆變換，即可得到狀態(tài)變量的時(shí)域解￡

￡（10-24）4710.4狀態(tài)模型的求解方法可見，式（10-24）中的第一項(xiàng)僅與起始狀態(tài)有關(guān)，當(dāng)時(shí)，該項(xiàng)為零，的函數(shù)，因此是狀態(tài)變量的零狀態(tài)分量。因此是狀態(tài)變量的零輸入分量。而第二項(xiàng)是輸入48由10.2節(jié)可知輸出方程由下式給出將式（10-23）代入上式可得（10-25）將式（10-25）中的零狀態(tài)響應(yīng)單獨(dú)寫出（10-26）10.4狀態(tài)模型的求解方法49而我們知道零狀態(tài)響應(yīng)與激勵(lì)信號(hào)之比為系統(tǒng)函數(shù)，即對比式（10-26）和式（10-27），可得系統(tǒng)函數(shù)矩陣（10-28）（10-27）10.4狀態(tài)模型的求解方法50其元素是聯(lián)系第個(gè)輸出與第個(gè)輸入的傳輸函數(shù)（系統(tǒng)函數(shù)），即（10-29）根據(jù)式（10-25）和式（10-28）可得系統(tǒng)響應(yīng)的時(shí)域解10.4狀態(tài)模型的求解方法5110.4狀態(tài)模型的求解方法【例題10-7】給定系統(tǒng)狀態(tài)方程為，其中，，起始條件為，；。求狀態(tài)變量?！窘狻恳?yàn)?，，且?210.4狀態(tài)模型的求解方法所以5310.4狀態(tài)模型的求解方法5410.4狀態(tài)模型的求解方法對上式求拉氏逆變換可得5510.4狀態(tài)模型的求解方法【例題10-8】設(shè)一個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程分別為求系統(tǒng)傳輸函數(shù)和輸出與輸入之間的傳輸函數(shù)?！窘狻扛鶕?jù)題意有，，，5610.4狀態(tài)模型的求解方法可以求得由公式可得5710.4狀態(tài)模型的求解方法因?yàn)閭鬏敽瘮?shù)矩陣中第行第列元素是聯(lián)系第個(gè)輸出和第個(gè)輸入之間的傳輸函數(shù)，與輸入之間的傳輸函數(shù)為所以，從上式中可以看出聯(lián)系輸出觀察該例題可以發(fā)現(xiàn)，因?yàn)?，所以中每個(gè)元素的分母都是，而且的分母也是的分母。顯然，系統(tǒng)傳輸函數(shù)的極點(diǎn)就是多項(xiàng)式也就是系統(tǒng)的自然頻率。的零點(diǎn)，58因此，系統(tǒng)的特征方程為（10-30）我們已經(jīng)知道系統(tǒng)特征根和零輸入響應(yīng)之間的關(guān)系，若由式（10-30）解出的特征根為個(gè)相異單根，則系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為（10-31）10.4狀態(tài)模型的求解方法5910.4狀態(tài)模型的求解方法【例題1