《現(xiàn)代控制理論》課件第4章

經(jīng)典控制理論以傳遞函數(shù)描述系統(tǒng)的輸入—輸出特性，輸出量即被控量，只要系統(tǒng)是穩(wěn)定的，輸出量便可以受控，且輸出量總是可以被測量的，因而不需要提出能控性和能觀性的概念。輸出方程描述由狀態(tài)變化所引起的輸出變量的變化過程。

現(xiàn)代控制理論建立在狀態(tài)空間表達式描述系統(tǒng)的基礎(chǔ)上。線性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性狀態(tài)方程描述輸入變量引起狀態(tài)變量的變化。兩個基本問題：在有限時間內(nèi)，控制作用能否使系統(tǒng)從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到要求的狀態(tài)？控制作用對狀態(tài)變量的支配能力，稱狀態(tài)的能控性問題。在有限時間內(nèi)，能否通過對系統(tǒng)輸出的測定來估計系統(tǒng)的初始狀態(tài)？系統(tǒng)的輸出量（或觀測量）能否反映狀態(tài)變量，稱狀態(tài)的能觀性問題。線性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性能控性和能觀性回答：輸入能否控制系統(tǒng)狀態(tài)的變化——能控性狀態(tài)的變化能否由輸出反映——能觀性能控性和能觀性的概念是卡爾曼（Kalman）在1960年首先提出,是經(jīng)典控制進入現(xiàn)代控制理論的標志之一。

線性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性135本章主要內(nèi)容7本章內(nèi)容基于MATLAB分析系統(tǒng)的能控性和能觀性2468連續(xù)定常系統(tǒng)的能控性線性定常系統(tǒng)的能控性離散時間系統(tǒng)的能控性和能觀性對偶原理

線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解系統(tǒng)的實現(xiàn)問題傳遞函數(shù)中零極點對消和能控能觀之間的關(guān)系

橋形電路(a)兩個電容相等。選各自的電壓為狀態(tài)變量，且設(shè)電容上的初始電壓為零，根據(jù)電路理論，則兩個狀態(tài)分量恒相等。相平面圖(b)中相軌跡為一條直線，因此系統(tǒng)狀態(tài)只能在相平面的一條直線上移動，不論電源電壓如何變動，都不能使系統(tǒng)的狀態(tài)變量離開這條直線,顯然，它是不完全能控的。4.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性(a)(b)4.1.1能控性定義若存在一分段連續(xù)控制向量，能在有限時間區(qū)間內(nèi)將系統(tǒng)從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到任意終端狀態(tài)

，那么就稱此狀態(tài)是能控。4.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程：若系統(tǒng)任意

時刻的所有狀態(tài)都是能控的，就稱此系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，簡稱系統(tǒng)能控。以二階系統(tǒng)為例，假如相平面中的P點能在輸入的作用下轉(zhuǎn)移到任一指定狀態(tài)，那么相平面上的P點是能控狀態(tài)。

PP3P1P2PnP40x1x24.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性假如能控狀態(tài)充滿整個狀態(tài)空間，則該系統(tǒng)被稱為狀態(tài)完全能控。

4.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性注1：在線性定常系統(tǒng)中，可假定初始時刻，初始狀態(tài)，任意

終態(tài)狀態(tài)為零狀態(tài)。注2：討論能控性時，控制作用從理論上來說是無約束的，取值并非唯一。注3：假定系統(tǒng)從零狀態(tài)轉(zhuǎn)移到任意指定終端狀態(tài)，則稱

此狀態(tài)能達，簡稱系統(tǒng)能達。對于線性定常系統(tǒng)，能控性和能達性是等價的；4.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性線性定常系統(tǒng)能控性判別準則有兩種形式(2)直接根據(jù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程A和B，來判斷系統(tǒng)的能控性。先將系統(tǒng)進行狀態(tài)變換，把系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成約旦標準型，判斷系統(tǒng)的能控性；4.1.2能控性判據(jù)4.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性1線性變換的能控性判別系統(tǒng)狀態(tài)方程：系統(tǒng)的輸入矩陣B沒有全為0的行。1具有對角標準型的線性定常系統(tǒng)系統(tǒng)矩陣A具有互不相同的特征值，則系統(tǒng)能控的充要條件是：即：4.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性不能控能控4.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性狀態(tài)變量x3不受控制例1判斷下面系統(tǒng)系統(tǒng)的能控性：例2判斷系統(tǒng)的能控性：4.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性

若約旦標準型的線性定常系統(tǒng)

系統(tǒng)矩陣具有重特征值，則系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充要條件是：

輸入矩陣中與每個約旦塊最后一行相對應(yīng)的那些行，不為全零行。即：4.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性能控不能控分析：4.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性結(jié)論：1系統(tǒng)的能控性，取決于系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣；2在A為對角矩陣時，如果B的元素有為0的，則與之對應(yīng)的一階標量狀態(tài)方程必為齊次微分方程，與u無關(guān)；該方程無強制分量，在非零初始條件下，系統(tǒng)狀態(tài)不可能在有限時間內(nèi)衰減到0；3在A為約旦標準型時，由于前一個狀態(tài)總是受下一個狀態(tài)的控制，所以當b相應(yīng)于約旦快的最后一行為0時，相應(yīng)的為一個一階標量齊次微分方程，系統(tǒng)不完全能控。4.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性2具有一般系統(tǒng)矩陣的多輸入系統(tǒng)系統(tǒng)的狀態(tài)方程：系統(tǒng)能控的充要條件是1.在對應(yīng)相同特征值部分，它與每一個約旦塊最后一行相對應(yīng)

的一行的元素不全為0；2.中對于互異特征值部分，它的各行元素沒有全0行。

如令可變換成約旦標準型：4.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性例3：判斷系統(tǒng)的能控性。解：（1）求特征根，取變換：把方程變?yōu)榧s旦標準型：可以判斷出系統(tǒng)是不能控的。線性變換矩陣3.2線性4.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性定常系統(tǒng)的能控性判別例4：判斷系統(tǒng)的能控性。解：（1）求特征根，取變換：把方程變?yōu)榧s旦標準型：可以判斷出系統(tǒng)是能控的。4.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性2直接從A和B判斷系統(tǒng)的能控性系統(tǒng)狀態(tài)方程：此時，能控性矩陣為nxn維。能控=M滿秩狀態(tài)完全能控的充要條件是能控性矩陣M的秩為n,1）單輸入系統(tǒng)4.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性注1如系統(tǒng)是單輸入系統(tǒng)，則系統(tǒng)能控的充要條件是：能控矩陣M滿秩。注2如果系統(tǒng)是單輸入系統(tǒng)，還可根據(jù)輸入和狀態(tài)矢量間的傳遞函數(shù)來確定

系統(tǒng)的能控性。

系統(tǒng)完全能控的充要條件是：u-x之間的傳函沒有重合的零極點。

如果傳函中有對消零極點，約去一個公因子后，相當于狀態(tài)變量減少了一維，系統(tǒng)出現(xiàn)了一個低維的能控子空間和一個不能控子空間，所以系統(tǒng)不完全能控。4.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性解1：例

考察如下系統(tǒng)的能控性：解2：4.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性2）多輸入系統(tǒng)此時，能控性矩陣為nxnr維。狀態(tài)完全能控的充要條件是能控性矩陣M的秩為n,系統(tǒng)狀態(tài)方程：4.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性則能控型矩陣例

判斷系統(tǒng)的能控性其秩為3，該系統(tǒng)能控易知4.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性其秩為2，所以系統(tǒng)不能控.

例

判斷線性定常系統(tǒng)的能控性：4.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性注：1.在多輸入系統(tǒng)中，有時不用計算出全部的矩陣，相對于單輸入系統(tǒng)，系

統(tǒng)的能控條件比較容易滿足。2.對于一個線性系統(tǒng)來說，經(jīng)過線性非奇異狀態(tài)變換后，其狀態(tài)能控性不

變。

3.定常連續(xù)系統(tǒng)與定常離散系統(tǒng)能控性判別條件，發(fā)現(xiàn)兩者是一致的，這

有其內(nèi)在聯(lián)系。如果離散系統(tǒng)的系矩陣和控制矩陣與連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩

陣和控制矩陣相同，則它們的能控性相同。4.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性4.1.3能控性標準型系統(tǒng)能控單輸入能控系統(tǒng)，其能控性矩陣M是滿秩，也就是M中只有唯一一組線性無關(guān)矢量，一旦組合規(guī)律確定，其能控標準型是唯一的。對于多輸入系統(tǒng)，其能控標準型則不唯一。線性定常系統(tǒng)4.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性4.1.3能控性標準型

如果單入系統(tǒng)是能控的，那么存在線性非奇異變換變換矩陣使其變換為：特征多項式4.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性4.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性單輸入系統(tǒng)的能控標準型：系統(tǒng)矩陣輸出矩陣輸入矩陣傳遞函數(shù)4.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性例

求線性定常系統(tǒng)的能控標準型。解：能控性矩陣

系統(tǒng)完全能控。線性變換矩陣

4.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性變換后的標準I型：變換后的系統(tǒng)矩陣4.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性4.1.4輸出能控性若存在一連續(xù)控制向量，能在有限時間區(qū)間內(nèi)將系統(tǒng)從初始輸出轉(zhuǎn)移到任意終端輸出

，那么就稱輸出是能控。線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程：判據(jù)：系統(tǒng)輸出完全能控的充要條件是輸出能控矩陣Q的秩為m。4.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性例

分析系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和輸出能控性。解（1）狀態(tài)能控性系統(tǒng)不能控。（2）輸出能控性輸出能控。4.2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀性4.2.1

線性連續(xù)時變系統(tǒng)的能控性定義

控制系統(tǒng)多數(shù)采用反饋控制形式。在現(xiàn)代控制理論中，反饋信息是由狀態(tài)變量組合而成。但并非所有的狀態(tài)變量在物理上都能測到。于是提出能否通過對輸出的測量獲取全部狀態(tài)變量的信息，這就是能觀測問題。4.2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀性

能觀測性的概念非常重要，這是由于在實際問題中，狀態(tài)反饋控制遇到的困難是一些狀態(tài)變量不易直接測量。而構(gòu)造控制器時，必須首先估計出不可量測的狀態(tài)變量。在“系統(tǒng)綜合”部分我們將指出，當且僅當系統(tǒng)是能觀測時，才能對系統(tǒng)狀態(tài)變量進行觀測或估計。定義對于線性定常系統(tǒng)在任意給定輸入u(t)下，在有限時間區(qū)間[t0,tf]內(nèi),能夠根據(jù)[t0,tf]期間輸出量y(t)唯一地確定系統(tǒng)在t0時刻的初始狀態(tài)x(t0),就稱狀態(tài)x(t0)時刻是能觀測的。若系統(tǒng)每一個狀態(tài)都能觀測，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測的，簡稱能觀的。4.2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀性1.能觀性表示的是輸出量反應(yīng)狀態(tài)矢量的能力，所以在分析能觀性問

題時，可令輸入變量為零；2.如果輸出量的維數(shù)等于狀態(tài)變量的維數(shù)，且C是非奇異的，那么3.定義中把能觀性看做是對初始狀態(tài)的確定，因為初始狀態(tài)一旦確定，

其他時刻狀態(tài)也可求出：注：4.2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀性如果具有約旦標準型的線性定常系統(tǒng)

系統(tǒng)矩陣具有互不相同的特征值，則系統(tǒng)能觀的充要條件是：

系統(tǒng)的輸出矩陣C不包含元素全為0的列。1具有約旦標準型系統(tǒng)的能觀性判別4.2.2能觀性判據(jù)4.2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀性分析：4.2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀性例1判斷下列系統(tǒng)的能觀性：例1判斷下列系統(tǒng)的能觀性：系統(tǒng)能觀系統(tǒng)不能觀4.2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀性

若約旦標準型的線性定常系統(tǒng)

系統(tǒng)矩陣具有重特征值，則系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀的充要條件是：

輸出矩陣C中與每個約旦塊第一列相對應(yīng)的那些列，不為全零列。4.2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀性能觀不能觀分析：4.2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀性能觀不能觀不能觀能觀4.2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀性試判別系統(tǒng)的能觀測性。例2如下線性定常系統(tǒng),4.2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀性2具有一般系統(tǒng)矩陣的能觀性判別系統(tǒng)的狀態(tài)方程：系統(tǒng)能觀的充要條件是1.在對應(yīng)相同特征值部分，它與每一個約旦塊第一列相對應(yīng)的一列的元素不全為0；2.

中對于互異特征值部分，它的各列元素沒有全0列。

如令可變換成約旦標準型：4.2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀性例3：判斷系統(tǒng)的能觀性。解：（1）求特征根，取變換：

把方程變?yōu)榧s旦標準型：可以判斷出系統(tǒng)是能觀的。4.2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀性直接從A和C判斷系統(tǒng)的能觀性狀態(tài)完全能觀的充要條件是能觀性矩陣N的秩為n。4.2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀性證明：已知系統(tǒng)(A，C)狀態(tài)方程的解為可設(shè)初始時刻為零，即t0=0則有利用凱萊-哈密爾頓（CayleyHamilton）定理4.2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀性所以因為一般m<n，此時，方程無唯一解。要使方程有唯一解，可以在不同時刻進行觀測，得到y(tǒng)(t1)，y(t2)，…，y(tf)，此時把方程個數(shù)擴展到n個，即4.2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀性上式表明，根據(jù)在（0，tf）時間間隔的測量值y(t1)，y(t2)，…，y(tf)，能將

初始狀態(tài)x(0)唯一地確定下來的充要條件是

能觀性矩陣N的秩為n。4.2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀性例4判斷下列系統(tǒng)的能觀性。秩等于2，所以系統(tǒng)是能觀的。解：4.2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀性例5判斷下列系統(tǒng)的能觀性。秩等于1，所以系統(tǒng)是不能觀的。解：4.2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀性例6判斷下列系統(tǒng)的能觀性。秩等于2，所以系統(tǒng)是能觀測的。解：4.2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀性注：1.在多輸出系統(tǒng)中，有時不用計算出全部的矩陣，相對于單輸出系統(tǒng)，

系統(tǒng)的能觀條件比較容易滿足。2.對于一個線性系統(tǒng)來說，經(jīng)過線性非奇異狀態(tài)變換后，其狀態(tài)能觀

性不變。

3.定常連續(xù)系統(tǒng)與定常離散系統(tǒng)能觀性判別條件，發(fā)現(xiàn)兩者是一致的，

這有其內(nèi)在聯(lián)系。如果離散系統(tǒng)的系矩陣和輸出矩陣與連續(xù)系統(tǒng)的系

統(tǒng)矩陣和輸出矩陣相同，則它們的能觀性相同。4.2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀性4.2.3

能觀標準型

如果單輸出系統(tǒng)是能觀的，那么存在線性非奇異變換

將系統(tǒng)變換為能觀標準型變換矩陣：4.2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀性

如果單輸出系統(tǒng)是能觀測的，則存在線性非奇異變換

將系統(tǒng)變換為能觀標準II型.變換矩陣

4.2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀性變換后的系統(tǒng)矩陣4.2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀性單輸出系統(tǒng)的能觀標準型輸入矩陣系統(tǒng)矩陣輸出矩陣4.2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀性例4求線性系統(tǒng)的能觀標準型.解：能觀性矩陣

系統(tǒng)能觀.

線性轉(zhuǎn)換矩陣

4.2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀性59變換后的標準II型：變換后的系統(tǒng)矩陣4.3線性定常離散系統(tǒng)的能控性和能觀性1能控性定義定義如果存在控制向量序列u(k),u(k+1),…,u(N-1)，使系統(tǒng)從第k步的狀態(tài)

向量開始，在第L步到達零狀態(tài)，其中L是大于k的有限數(shù)，那么就稱

此系統(tǒng)在第k步上是能控的。如果在第k步上，系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，簡稱能控。4.3.1離散系統(tǒng)的

能控性線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程4.3線性定常離散系統(tǒng)的能控性和能觀性

根據(jù)上述定義，在有限個采樣周期里，如能找到階梯控制信號，使得任意一個初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)，那么系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控制的。任意給一個初始狀態(tài)：能否找到一個階梯控制在三個采樣周期內(nèi)使。4.3線性定常離散系統(tǒng)的能控性和能觀性采用遞推法4.3線性定常離散系統(tǒng)的能控性和能觀性現(xiàn)令，求解三個寫成矩陣由于系數(shù)矩陣是非奇異的：只要能找到u(0),u(1),u(2),可以判斷出系統(tǒng)是能控的。4.3線性定常離散系統(tǒng)的能控性和能觀性2能控性判據(jù)單輸入線性定常離散系統(tǒng)完全能控的充要條件是：能控性矩陣例1系統(tǒng)系統(tǒng)能控。判斷能控性。4.3線性定常離散系統(tǒng)的能控性和能觀性多輸入線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程完全能控的充要條件是多輸入離散系統(tǒng)能控性的判定條件4.3線性定常離散系統(tǒng)的能控性和能觀性解：計算出能控性矩陣M的秩，即可例2系統(tǒng)如下，判斷系統(tǒng)的能控性。系統(tǒng)能控。4.3線性定常離散系統(tǒng)的能控性和能觀性4.3.2離散系統(tǒng)的能觀性線性定常離散系統(tǒng)

根據(jù)能觀性定義，如果知道有限采樣周期內(nèi)的輸出，就能唯一的確定任意初始狀態(tài)，則系統(tǒng)是完全能觀的。若系統(tǒng)在已知y(0),y(1),…,y(n-1)時，應(yīng)該能確定x(0):4.3線性定常離散系統(tǒng)的能控性和能觀性線性定常離散系統(tǒng)

狀態(tài)完全能觀的充要條件是：能觀性矩陣4.3線性定常離散系統(tǒng)的能控性和能觀性例3判斷系統(tǒng)的能觀性。解：系統(tǒng)的能觀性矩陣為秩為2，所以系統(tǒng)能觀。4.3線性定常離散系統(tǒng)的能控性和能觀性例4判斷系統(tǒng)的能觀性。

秩小于3，所以系統(tǒng)不能觀。

解：

4.4對偶原理4.4.1對偶系統(tǒng)如：考慮如下兩個系統(tǒng)：對偶系統(tǒng)4.4對偶原理互為對偶的系統(tǒng)，輸入端和輸出端互換，信號傳遞方向相反。4.4對偶原理兩個對偶系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣的關(guān)系

兩個對偶系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣是互為轉(zhuǎn)置的。兩個對偶系統(tǒng)特征值相同4.4對偶原理4.4.2對偶原理系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀的充要條件和系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充要條件相同；系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充要條件和系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀的充要條件相同。

有了對偶原理，一個系統(tǒng)的能控性可以通過對偶系統(tǒng)的能觀性解決而解決；系統(tǒng)的能觀性問題可以通過對偶系統(tǒng)的能控性問題的解決而解決。4.5線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解系統(tǒng)中有一個狀態(tài)變量不能控稱系統(tǒng)不能控，不可控系統(tǒng)含能控和不能控兩種狀態(tài)變量；系統(tǒng)有一個狀態(tài)變量不可觀稱系統(tǒng)不可觀，不可觀測系統(tǒng)含能觀和不能觀兩種狀態(tài)變量。狀態(tài)變量可分解成：能控能觀狀態(tài)變量、能控不能觀狀態(tài)變量、

不能控能觀狀態(tài)變量、不能控不能觀狀態(tài)變量

四類，相應(yīng)空間也分成四類，稱為系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解。

4.5線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解把系統(tǒng)的狀態(tài)空間按能控性和能觀性進行結(jié)構(gòu)分解是狀態(tài)空間分析中的一個重要內(nèi)容。在理論上它揭示了狀態(tài)空間的本質(zhì)特征，為最小實現(xiàn)問題的提出提供了理論依據(jù)。在實踐上，它與狀態(tài)反饋、系統(tǒng)鎮(zhèn)定等問題有著密切的聯(lián)系。標準分解采用系統(tǒng)坐標變換的方法對狀態(tài)空間進行分解，將其劃分成能控（能觀）部分與不能控（不能觀）部分。4.5線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解4.5.1按能控性進行結(jié)構(gòu)分解設(shè)線性定常系統(tǒng)：是狀態(tài)不完全能控的，能控性M矩陣可使系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式變換成：其中

，存在非奇異變換4.5線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解

在變換后的系統(tǒng)中，將前n1維部分提出來：n1維能控子系統(tǒng)不能控子系統(tǒng)。n-n1維4.5線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解2將所得列向量作為矩陣Rc的前n1個列，其余列n-n1

可以在保證Rc為非奇異矩陣的條件下任意選擇。關(guān)鍵變換矩陣Rc的構(gòu)造求法如下：1在能控性矩陣中選擇n1個線性無關(guān)的列向量；4.5線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解例1

線性系統(tǒng)如下，如不是完全能控，將該系統(tǒng)進行能控性分解。

解：能控性矩陣秩

所以系統(tǒng)不完全能控，可進行能控性結(jié)構(gòu)分解。

4.5線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解在能控性矩陣中任選兩列線性無關(guān)的列向量。為計算簡單，選取其中的第1列和第2列，易知它們是線性無關(guān)的。

再選任一列向量，與前兩個列向量線性無關(guān)。

變換矩陣

4.5線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解狀態(tài)變換后的系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式

二維能控子系統(tǒng)

4.5線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解

另選取變換矩陣

狀態(tài)變換后的系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式

二維能控子系統(tǒng)

4.5線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解4.5.2按能觀性進行結(jié)構(gòu)分解設(shè)線性定常系統(tǒng)：

是狀態(tài)不完全能觀的，能觀性N矩陣可使系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式變換成：

其中，存在非奇異變換4.5線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解變換后的系統(tǒng)中，將前n1維部分和后n-n1維分別提出來:n-n1維不能觀子系統(tǒng)

n1維能觀子系統(tǒng)。2將所得列向量作為矩陣的前n1個列，其余列n-n1

可以在保證為非奇異矩陣的條件下任意選擇。關(guān)鍵變換矩陣的構(gòu)造求法如下：1在能控性矩陣中選擇n1個線性無關(guān)的列向量；4.5線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解4.5線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解例2

系統(tǒng)空間狀態(tài)表達式如下：進行能觀性分解。解：能觀性矩陣的秩：

系統(tǒng)不完全能觀，構(gòu)造變化矩陣：4.5線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解狀態(tài)變換后的系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式

二維能觀子系統(tǒng)4.5線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解4.5.3按能控性能觀性進行結(jié)構(gòu)分解設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式為

如果系統(tǒng)不完全能控能觀，經(jīng)過線性狀態(tài)變換,可以化為

注：

并非所有的系統(tǒng)都能分解為這四部分4.5線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解在輸入和輸出間只存在著一條通道，因此傳遞函數(shù)只能反應(yīng)系統(tǒng)中能控能觀子系統(tǒng)的動力學(xué)行為，傳函是對系統(tǒng)的一種不完全描述。當傳函一定時，在系統(tǒng)中增加或減少不能觀(控)子系統(tǒng)，不影響系統(tǒng)的傳函。根據(jù)傳函求取對應(yīng)的狀態(tài)空間表達式，其解有無窮個，維數(shù)最小的稱為最小實現(xiàn)。4.5線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解非奇異變換陣的構(gòu)造逐步分解法：能控：不能控：132原系統(tǒng)能控性分解不能控能觀不能控不能觀能控能觀能控不能觀4.5線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解例3

系統(tǒng)空間狀態(tài)方程如下：進行能控性和能觀性分解。

解：能控性矩陣和能觀性矩陣：

4.5線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解首先按能控性進行結(jié)構(gòu)分解，選取變換矩陣

變換后：

4.5線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解將能控子系統(tǒng)按能觀性進行分解選取變換矩陣變換后：

綜合兩次變換后，系統(tǒng)按照能控能觀分解為：

4.5線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解把待分解的系統(tǒng)化為約旦標準型，然后按照判斷能控和能觀的方法

分別判斷各個狀態(tài)變量的能控能觀性。4.5線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解4.6系統(tǒng)的實現(xiàn)問題反映系統(tǒng)輸入輸出信息傳遞函數(shù)關(guān)系的傳遞函數(shù)矩陣只能反映系統(tǒng)中能控且能觀子系統(tǒng)的動力學(xué)行為。對于某一個給定的傳遞函數(shù)將有無窮多的狀態(tài)空間表達式與之對應(yīng)，也就是一個傳函陣描述無窮多個內(nèi)部結(jié)構(gòu)不同的系統(tǒng)。在所有不同結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)中，維數(shù)最小的系統(tǒng)稱為最小實現(xiàn)。4.6系統(tǒng)的實現(xiàn)問題4.6.1實現(xiàn)問題的基本概念

對于給定的傳遞函數(shù)矩W(s)，如有狀態(tài)空間表達式：

使得成立則狀態(tài)空間表達式是傳遞函數(shù)陣W(s)的一個實現(xiàn)。注：并不是所有傳遞函數(shù)陣都可以找到實現(xiàn)，需要滿足物理可實現(xiàn)性條件。4.6系統(tǒng)的實現(xiàn)問題

1

在傳遞函數(shù)陣中的每一個元素Wij的分子分母多項式的系數(shù)均為實常數(shù)；

當分子多項式的系數(shù)小于分母系數(shù)時，Wij是嚴格真有理分式，實現(xiàn)形式

為（A,B,C）；只要有一個元素的分子多項式的系數(shù)等于分母多項式系數(shù)時，實現(xiàn)形式為

（A,B,C,D），且：

2

傳遞函數(shù)Wij是s的真有理分式函數(shù)，即分子多項式的系數(shù)小于或等于

分母多項式的系數(shù)；4.6系統(tǒng)的實現(xiàn)問題單輸入系統(tǒng)的能控標準I型：傳遞函數(shù)：4.6.2能控標準型和能觀標準型的實現(xiàn)4.6系統(tǒng)的實現(xiàn)問題單輸出系統(tǒng)的能觀標準II型：傳遞函數(shù)：4.6系統(tǒng)的實現(xiàn)問題能控標準型(I)：r維輸入m維輸出的SISO系統(tǒng)傳遞函數(shù)：4.6系統(tǒng)的實現(xiàn)問題能觀標準型(II)：r維輸入m維輸出的SISO系統(tǒng)傳遞函數(shù)：4.6系統(tǒng)的實現(xiàn)問題例1求傳函陣

的能控和能觀標準型實現(xiàn)。解：首先將W(s)寫成按照s降冪排列的：可得到系數(shù)4.6系統(tǒng)的實現(xiàn)問題能控標準型各個矩陣系數(shù)：類似的，能觀標準型各個矩陣系數(shù)：4.6系統(tǒng)的實現(xiàn)問題例2分別求如下傳函陣的能控和能觀標準型實現(xiàn)：解：首先將W(s)化為嚴格的有理分式：4.6系統(tǒng)的實現(xiàn)問題將

寫成按照s降冪排列的可得到系數(shù)4.6系統(tǒng)的實現(xiàn)問題能控標準型各個矩陣系數(shù)：4.6系統(tǒng)的實現(xiàn)問題類似的，能觀標準型各個矩陣系數(shù)：4.6系統(tǒng)的實現(xiàn)問題4.6.3最小實現(xiàn)最小實現(xiàn)的定義：傳遞函數(shù)W(s)的一個實現(xiàn)：定理傳遞函數(shù)矩陣的存在最小實現(xiàn)

的充要條件是系統(tǒng)狀態(tài)

完全能控且完全能觀。

不存在其他實現(xiàn)