2024屆廣東廣州市增城區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷含解析

2024屆廣東廣州市增城區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果，哥德巴赫猜想的內(nèi)容是：每個大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個素數(shù)的和，例如：，，，那么在不超過18的素數(shù)中隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，其和等于16的概率為（）A． B． C． D．2．已知雙曲線：（，）的焦距為.點(diǎn)為雙曲線的右頂點(diǎn)，若點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為，則雙曲線的離心率是（）A． B． C．2 D．33．已知直四棱柱的所有棱長相等，，則直線與平面所成角的正切值等于（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)為奇函數(shù)，則（）A． B．1 C．2 D．35．《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》提出了數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng).為了比較甲、乙兩名高二學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平，現(xiàn)以六大素養(yǎng)為指標(biāo)對二人進(jìn)行了測驗，根據(jù)測驗結(jié)果繪制了雷達(dá)圖（如圖，每項指標(biāo)值滿分為5分，分值高者為優(yōu)），則下面敘述正確的是（）A．甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)高于乙B．甲的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)C．乙的六大素養(yǎng)中邏輯推理最差D．乙的六大素養(yǎng)整體平均水平優(yōu)于甲6．一個封閉的棱長為2的正方體容器，當(dāng)水平放置時，如圖，水面的高度正好為棱長的一半．若將該正方體繞下底面（底面與水平面平行）的某條棱任意旋轉(zhuǎn)，則容器里水面的最大高度為（）A． B． C． D．7．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的，則輸出的()A．9 B．31 C．15 D．638．已知分別為圓與的直徑，則的取值范圍為（）A． B． C． D．9．已知，，為圓上的動點(diǎn)，，過點(diǎn)作與垂直的直線交直線于點(diǎn)，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則的取值范圍是（）A． B． C． D．10．已知集合，集合，則A． B．或C． D．11．已知，則p是q的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件12．已知函數(shù)的一條切線為，則的最小值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過且斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，為的焦點(diǎn)若的面積等于的面積的2倍，則的值為___________.14．的展開式中的系數(shù)為__________（用具體數(shù)據(jù)作答）.15．設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列的前n項和，且，則______.16．平面向量與的夾角為，，，則__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)的最小正周期是，且當(dāng)時，取得最大值．（1）求的解析式；（2）作出在上的圖象（要列表）．18．（12分）某健身館為響應(yīng)十九屆四中全會提出的“聚焦增強(qiáng)人民體質(zhì)，健全促進(jìn)全民健身制度性舉措”，提高廣大市民對全民健身運(yùn)動的參與程度，推出了健身促銷活動，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：健身時間不超過1小時免費(fèi)，超過1小時的部分每小時收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為20元（不足l小時的部分按1小時計算）.現(xiàn)有甲、乙兩人各自獨(dú)立地來該健身館健身，設(shè)甲、乙健身時間不超過1小時的概率分別為，，健身時間1小時以上且不超過2小時的概率分別為，，且兩人健身時間都不會超過3小時.（1）設(shè)甲、乙兩人所付的健身費(fèi)用之和為隨機(jī)變量（單位：元），求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）此促銷活動推出后，健身館預(yù)計每天約有300人來參與健身活動，以這兩人健身費(fèi)用之和的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)，預(yù)測此次促銷活動后健身館每天的營業(yè)額.19．（12分）在考察疫情防控工作中，某區(qū)衛(wèi)生防控中心提出了“要堅持開展愛國衛(wèi)生運(yùn)動，從人居環(huán)境改善、飲食習(xí)慣、社會心理健康、公共衛(wèi)生設(shè)施等多個方面開展，特別是要堅決杜絕食用野生動物的陋習(xí)，提倡文明健康、綠色環(huán)保的生活方式”的要求.某小組通過問卷調(diào)查，隨機(jī)收集了該區(qū)居民六類日常生活習(xí)慣的有關(guān)數(shù)據(jù).六類習(xí)慣是：（1）衛(wèi)生習(xí)慣狀況類；（2）垃圾處理狀況類；（3）體育鍛煉狀況類；（4）心理健康狀況類；（5）膳食合理狀況類；（6）作息規(guī)律狀況類.經(jīng)過數(shù)據(jù)整理，得到下表：衛(wèi)生習(xí)慣狀況類垃圾處理狀況類體育鍛煉狀況類心理健康狀況類膳食合理狀況類作息規(guī)律狀況類有效答卷份數(shù)380550330410400430習(xí)慣良好頻率0.60.90.80.70.650.6假設(shè)每份調(diào)查問卷只調(diào)查上述六類狀況之一，各類調(diào)查是否達(dá)到良好標(biāo)準(zhǔn)相互獨(dú)立.（1）從小組收集的有效答卷中隨機(jī)選取1份，求這份試卷的調(diào)查結(jié)果是膳食合理狀況類中習(xí)慣良好者的概率；（2）從該區(qū)任選一位居民，試估計他在“衛(wèi)生習(xí)慣狀況類、體育鍛煉狀況類、膳食合理狀況類”三類習(xí)慣方面，至少具備兩類良好習(xí)慣的概率；（3）利用上述六類習(xí)慣調(diào)查的排序，用“”表示任選一位第k類受訪者是習(xí)慣良好者，“”表示任選一位第k類受訪者不是習(xí)慣良好者（）.寫出方差，，，，，的大小關(guān)系.20．（12分）2019年12月以來，湖北省武漢市持續(xù)開展流感及相關(guān)疾病監(jiān)測，發(fā)現(xiàn)多起病毒性肺炎病例，均診斷為病毒性肺炎/肺部感染，后被命名為新型冠狀病毒肺炎（CoronaVirusDisease2019，COVID—19），簡稱“新冠肺炎”.下圖是2020年1月15日至1月24日累計確診人數(shù)隨時間變化的散點(diǎn)圖.為了預(yù)測在未釆取強(qiáng)力措施下，后期的累計確診人數(shù)，建立了累計確診人數(shù)y與時間變量t的兩個回歸模型，根據(jù)1月15日至1月24日的數(shù)據(jù)（時間變量t的值依次1，2，…，10）建立模型和.（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個適宜作為累計確診人數(shù)y與時間變量t的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（2根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及附表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；（3）以下是1月25日至1月29日累計確診人數(shù)的真實數(shù)據(jù)，根據(jù)（2）的結(jié)果回答下列問題：時間1月25日1月26日1月27日1月28日1月29日累計確診人數(shù)的真實數(shù)據(jù)19752744451559747111（?。┊?dāng)1月25日至1月27日這3天的誤差（模型預(yù)測數(shù)據(jù)與真實數(shù)據(jù)差值的絕對值與真實數(shù)據(jù)的比值）都小于0.1則認(rèn)為模型可靠，請判斷（2）的回歸方程是否可靠？（ⅱ）2020年1月24日在人民政府的強(qiáng)力領(lǐng)導(dǎo)下，全國人民共同采取了強(qiáng)力的預(yù)防“新冠肺炎”的措施，若采取措施5天后，真實數(shù)據(jù)明顯低于預(yù)測數(shù)據(jù)，則認(rèn)為防護(hù)措施有效，請判斷預(yù)防措施是否有效？附：對于一組數(shù)據(jù)（，，……，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.參考數(shù)據(jù)：其中，.5.53901938576403152515470010015022533850721．（12分）已知函數(shù)，（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，判斷函數(shù)，（）有幾個零點(diǎn)，并證明你的結(jié)論；（3）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．22．（10分）如圖，三棱柱的所有棱長均相等，在底面上的投影在棱上，且∥平面（Ⅰ）證明：平面平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

先求出從不超過18的素數(shù)中隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)的所有可能結(jié)果，然后再求出其和等于16的結(jié)果，根據(jù)等可能事件的概率公式可求.【詳解】解：不超過18的素數(shù)有2，3，5，7，11，13，17共7個，從中隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)共有，其和等于16的結(jié)果，共2種等可能的結(jié)果，故概率.故選：B.【點(diǎn)睛】古典概型要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個數(shù)，本題不可以列舉出所有事件但可以用分步計數(shù)得到，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】

由點(diǎn)到直線距離公式建立的等式，變形后可求得離心率．【詳解】由題意，一條漸近線方程為，即，∴，，即，，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率，掌握漸近線方程與點(diǎn)到直線距離公式是解題基礎(chǔ)．3、D【解析】

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系．求解平面的法向量，利用線面角的向量公式即得解.【詳解】如圖所示的直四棱柱，，取中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，．設(shè)平面的法向量為，則取，得．設(shè)直線與平面所成角為，則，，∴直線與平面所成角的正切值等于故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了向量法求解線面角，考查了學(xué)生空間想象，邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.4、B【解析】

根據(jù)整體的奇偶性和部分的奇偶性，判斷出的值.【詳解】依題意是奇函數(shù).而為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，所以為偶函數(shù)，故，也即，化簡得，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

根據(jù)雷達(dá)圖對選項逐一分析，由此確定敘述正確的選項.【詳解】對于A選項，甲的數(shù)據(jù)分析分，乙的數(shù)據(jù)分析分，甲低于乙，故A選項錯誤.對于B選項，甲的建模素養(yǎng)分，乙的建模素養(yǎng)分，甲低于乙，故B選項錯誤.對于C選項，乙的六大素養(yǎng)中，邏輯推理分，不是最差，故C選項錯誤.對于D選項，甲的總得分分，乙的總得分分，所以乙的六大素養(yǎng)整體平均水平優(yōu)于甲，故D選項正確.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查圖表分析和數(shù)據(jù)處理，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

根據(jù)已知可知水面的最大高度為正方體面對角線長的一半，由此得到結(jié)論．【詳解】正方體的面對角線長為，又水的體積是正方體體積的一半，且正方體繞下底面（底面與水平面平行）的某條棱任意旋轉(zhuǎn)，所以容器里水面的最大高度為面對角線長的一半，即最大水面高度為，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了正方體的幾何特征，考查了空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題．7、B【解析】

根據(jù)程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)的運(yùn)算，直至滿足條件退出循環(huán)體，即可得出結(jié)果.【詳解】執(zhí)行程序框；；；；；，滿足，退出循環(huán)，因此輸出，故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)輸出結(jié)果，模擬程序運(yùn)行是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

由題先畫出基本圖形，結(jié)合向量加法和點(diǎn)乘運(yùn)算化簡可得，結(jié)合的范圍即可求解【詳解】如圖，其中，所以.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算在幾何中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題9、A【解析】

由題意得，即可得點(diǎn)M的軌跡為以A，B為左、右焦點(diǎn)，的雙曲線，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)即可得解.【詳解】如圖，連接OP，AM，由題意得，點(diǎn)M的軌跡為以A，B為左、右焦點(diǎn)，的雙曲線，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線定義的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于中檔題.10、C【解析】

由可得，解得或，所以或，又，所以，故選C．11、B【解析】

根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡再分析即可.【詳解】因為,所以q成立可以推出p成立,但p成立得不到q成立,例如,而,所以p是q的必要而不充分條件.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查充分與必要條件的判定以及誘導(dǎo)公式的運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】

求導(dǎo)得到，根據(jù)切線方程得到，故，設(shè)，求導(dǎo)得到函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，計算得到答案.【詳解】，則，取，，故，.故，故，.設(shè)，，取，解得.故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的切線問題，利用導(dǎo)數(shù)求最值，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】

聯(lián)立直線與拋物線的方程，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系以及面積關(guān)系求解即可.【詳解】如圖，設(shè)，由，則，由可得，由，則，所以，得.故答案為：2【點(diǎn)睛】此題考查了拋物線的性質(zhì)，屬于中檔題.14、【解析】

利用二項展開式的通項公式可求的系數(shù).【詳解】的展開式的通項公式為，令，故，故的系數(shù)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查二項展開式中指定項的系數(shù)，注意利用通項公式來計算，本題屬于容易題.15、18【解析】

將已知已知轉(zhuǎn)化為的形式，化簡后求得，利用等差數(shù)列前公式化簡，由此求得表達(dá)式的值.【詳解】因為，所以.故填：.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列基本量的計算，考查等差數(shù)列的性質(zhì)以及求和，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

由平面向量模的計算公式，直接計算即可.【詳解】因為平面向量與的夾角為，所以，所以;故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量模的計算，只需先求出向量的數(shù)量積，進(jìn)而即可求出結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題型.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析.【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)的最小正周期可求出的值，由該函數(shù)的最大值可得出的值，再由，結(jié)合的取值范圍可求得的值，由此可得出函數(shù)的解析式；（2）由計算出的取值范圍，據(jù)此列表、描點(diǎn)、連線可得出函數(shù)在區(qū)間上的圖象.【詳解】（1）因為函數(shù)的最小正周期是，所以．又因為當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，所以，同時，得，因為，所以，所以；（2）因為，所以，列表如下：描點(diǎn)、連線得圖象：【點(diǎn)睛】本題考查正弦函數(shù)解析式的求解，同時也考查了利用五點(diǎn)作圖法作圖，考查分析問題與解決問題的能力，屬于中等題.18、（1）見解析，40元（2）6000元【解析】

（1）甲、乙兩人所付的健身費(fèi)用都是0元、20元、40元三種情況，因此甲、乙兩人所付的健身費(fèi)用之和共有9種情況，分情況計算即可（2）根據(jù)（1）結(jié)果求均值.【詳解】解：（1）由題設(shè)知可能取值為0，20，40，60，80，則；；；；.故的分布列為：020406080所以數(shù)學(xué)期望（元）（2）此次促銷活動后健身館每天的營業(yè)額預(yù)計為：（元）【點(diǎn)睛】考查離散型隨機(jī)變量的分布列及其期望的求法，中檔題.19、（1）（2）（3）【解析】

（1）設(shè)“選取的試卷的調(diào)查結(jié)果是膳食合理狀況類中習(xí)慣良好者“的事件為，根據(jù)古典概型求出即可；（2）設(shè)該區(qū)“衛(wèi)生習(xí)慣狀況良好者“，“體育鍛煉狀況良好者“、“膳食合理狀況良好者”事件分別為，，，設(shè)事件為“該居民在“衛(wèi)生習(xí)慣狀況類、體育鍛煉狀況類、膳食合理狀況類”三類習(xí)慣方面，至少具備兩類良好習(xí)慣“，則（E），求出即可；（3）根據(jù)題意，寫出即可．【詳解】（1）設(shè)“選取的試卷的調(diào)查結(jié)果是膳食合理狀況類中習(xí)慣良好者“的事件為，有效問卷共有（份，其中受訪者中膳食合理習(xí)慣良好的人數(shù)是人，故（A）；（2）設(shè)該區(qū)“衛(wèi)生習(xí)慣狀況良好者“，“體育鍛煉狀況良好者“、“膳食合理狀況良好者”事件分別為，，，根據(jù)題意，可知（A），（B），（C），設(shè)事件為“該居民在“衛(wèi)生習(xí)慣狀況類、體育鍛煉狀況類、膳食合理狀況類”三類習(xí)慣方面，至少具備兩類良好習(xí)慣“則.所以該居民在“衛(wèi)生習(xí)慣狀況類、體育鍛煉狀況類、膳食合理狀況類”三類習(xí)慣至少具備2個良好習(xí)慣的概率為0.766.（3）．【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型求概率，獨(dú)立性事件，互斥性事件求概率等，考查運(yùn)算能力和事件應(yīng)用能力，中檔題．20、（1）適宜（2）（3）（ⅰ）回歸方程可靠（ⅱ）防護(hù)措施有效【解析】

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖即可判斷出結(jié)果.（2）設(shè)，則，求出，再由回歸方程過樣本中心點(diǎn)求出，即可求出回歸方程.（3）（?。├帽碇袛?shù)據(jù)，計算出誤差即可判斷回歸方程可靠；（ⅱ）當(dāng)時，，與真實值作比較即可判斷有效.【詳解】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖可知：適宜作為累計確診人數(shù)與時間變量的回歸方程類型；（2）設(shè)，則，，，；（3）（?。r，，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，所以（2）的回歸方程可靠：（ⅱ）當(dāng)時，，10150遠(yuǎn)大于7111，所以防護(hù)措施有效.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)模型的應(yīng)用，在求非線性回歸方程時，現(xiàn)將非線性的化為線性的，考查了誤差的計算以及用函數(shù)模型分析數(shù)據(jù)，屬于基礎(chǔ)題.21、（1）單調(diào)增區(qū)間,單調(diào)減區(qū)間為,;（2）有2個零點(diǎn)，證明見解析;（3）【解析】

對函數(shù)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;函數(shù)有2個零點(diǎn).根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理即可證明;記函數(shù),求導(dǎo)后利用單調(diào)性求得,由零點(diǎn)存在性定理及單調(diào)性知存在唯一的,使，求得為分段函數(shù),求導(dǎo)后分情況討論：①當(dāng)時，利用函數(shù)的單調(diào)性將問題轉(zhuǎn)化為的問題;②當(dāng)時，當(dāng)時,在上恒成立，從而求得的取值范圍.【詳解】（1）由題意知,，列表如下：020極小值極大值所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為,.（2）函數(shù)有2個零點(diǎn).證明如下：因為時，所以，因為,所以在恒成立,在上單調(diào)遞增，由，，且在上單調(diào)遞增且連續(xù)知,函數(shù)在上僅有一個零點(diǎn)