湖北省荊、荊、襄、宜四地七校考試聯(lián)盟2022-2023學年高一下學期期中聯(lián)考數(shù)學試題（含解析）

2023年春“荊、荊、襄、宜四地七?？荚嚶?lián)盟”高一期中聯(lián)考數(shù)學試題考試時間：2023年4月18日考試用時：120分鐘試卷滿分：150分★?？荚図樌镆弧雾椷x擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.一條弦的長等于半徑，則這條弦所對的圓心角為()A.1 B.2 C. D.2.已知在復平面內(nèi)，是原點，向量，對應的復數(shù)分別為，，那么向量對應的復數(shù)的虛部是()A. B. C. D.3.已知，則()A. B. C. D.4.已知，為單位向量，當向量的夾角為，則向量在向量上的投影向量為()A. B. C. D.5.設是定義在上的奇函數(shù)，對任意的滿足且，則不等式的解集為()A. B.C. D.6.宜昌奧林匹克體育中心了迎接4月12日湖北省第十六屆運動會開幕式，將中心內(nèi)一塊平面四邊形區(qū)域設計燈帶．已知燈帶米，米，米，且，則()A. B.C. D.7.在中，已知，，外接圓半徑為，點分別是的三等分點()，與相交于點，則的余弦值為()A. B. C. D.8.已知在上的最小值為，則的解有()個A.1 B.2 C.3 D.4二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知平面內(nèi)四點可構成平行四邊形，其中，則點的坐標可能為()A. B. C. D.10.下列函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間上單調(diào)遞增的是()A B. C. D.11.在所在的平面上存在一點，，則下列說法錯誤的是()A.若，則點的軌跡不可能經(jīng)過的外心B.若，則點軌跡不可能經(jīng)過的垂心C.若，則點的軌跡可能經(jīng)過的重心D.若，則點的軌跡可能經(jīng)過的內(nèi)心12.已知是邊長為的等邊三角形，平面內(nèi)有兩動點滿足．若，則的值可能為()A. B. C. D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知，，則______．14.若平面內(nèi)不共線的三個向量兩兩的夾角相等，且，則______．15.在中，已知是的一元二次方程的兩個實根，則______．16.已知函數(shù)，若函數(shù)有5個零點，則實數(shù)的取值范圍是______．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知，．(1)若，，且三點共線，求的值．(2)當實數(shù)為何值時，與垂直？18.要得到函數(shù)的圖象，可以從正弦函數(shù)或余弦函數(shù)圖象出發(fā)，通過圖象變換得到，也可以用“五點法”列表、描點、連線得到．(1)由圖象變換得到函數(shù)圖象，寫出變換的步驟和函數(shù)；(2)用“五點法”畫出函數(shù)在區(qū)間上的簡圖．19.已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為5(1)求常數(shù)的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．20.已知函數(shù)為奇函數(shù)，．(1)求實數(shù)；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；21.宜昌卷橋河濕地公園是一幅美麗的田園濕地畫卷，它將自然山體、陽光草坪、親水草灘、芒草濕地、溪谷密林等有機融合，設計的十分精致優(yōu)美．為了迎接2023年的春天，公園里開辟了一塊等腰直角三角形農(nóng)田種植七彩油菜，其斜邊米．為了方便游客觀光，欲在上選擇一點，修建兩條觀賞小徑，點分別在邊上，且小徑與邊的夾角都是．區(qū)域和區(qū)域種植粉色油菜，區(qū)域種植黃色油菜．(1)隨著春天到來，油菜均已開花，為了游客深度體驗觀賞，準備在種植黃色油菜區(qū)域內(nèi)修建小徑，當點在何處時，三條小徑()的長度之和最??？(2)種植粉色油菜的成本是100元/平方米，求種植粉色油菜的最少費用．22.定義非零向量的“伴隨函數(shù)”為，非零向量為函數(shù)的“伴隨向量”(其中為坐標原點)．(1)設，求出與的“伴隨向量”共線的單位向量；(2)已知點滿足，向量“伴隨函數(shù)”在處取得最小值，求的取值范圍；(3)向量，其“伴隨函數(shù)”為，已知，求的取值范圍．2023年春“荊、荊、襄、宜四地七校考試聯(lián)盟”高一期中聯(lián)考數(shù)學試題考試時間：2023年4月18日考試用時：120分鐘試卷滿分：150分★祝考試順利★一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.一條弦的長等于半徑，則這條弦所對的圓心角為()A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】如圖所示，根據(jù)弦長得到為等邊三角形，得到答案.【詳解】根據(jù)題意：作出如下圖形，，則為等邊三角形，故.故選：C2.已知在復平面內(nèi)，是原點，向量，對應的復數(shù)分別為，，那么向量對應的復數(shù)的虛部是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先由向量的減法運算及復數(shù)的運算得出，根據(jù)虛部的定義即可得出答案．【詳解】對應復數(shù)，所以向量對應的復數(shù)的虛部是9，故選：D．3.已知，則()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用誘導公式可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】因為,所以，所以.故選：B.4.已知，為單位向量，當向量的夾角為，則向量在向量上的投影向量為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由投影向量的公式，代入計算即可．【詳解】向量在向量上的投影向量為：，故選：C．5.設是定義在上的奇函數(shù)，對任意的滿足且，則不等式的解集為()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】判斷出，構造，根據(jù)的奇偶性得到的奇偶性和單調(diào)性，從而對變形，得到不等式，根據(jù)單調(diào)性求出解集.【詳解】不妨設，且，因為，所以，不等式兩邊同除以得，，即，令，則，所以在上單調(diào)遞減，定義域為，又是定義在上的奇函數(shù)，故，所以為偶函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，因為，所以，當時，變形得到，即，解得，所以解集為，當時，變形得到，即，解得，所以解集為，所以不等式的解集為.故選：D6.宜昌奧林匹克體育中心為了迎接4月12日湖北省第十六屆運動會開幕式，將中心內(nèi)一塊平面四邊形區(qū)域設計燈帶．已知燈帶米，米，米，且，則()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】在和分別用余弦定理得到的等量關系，再由和平方關系將等量關系轉化為關于C的三角方程，求出C的三角函數(shù)值即可．【詳解】如圖，連接BD.在中，由余弦定理有：,①在中，由余弦定理有：,②由①②得：,又,又.或,若,則(舍)故選：A.7.在中，已知，，外接圓半徑為，點分別是的三等分點()，與相交于點，則的余弦值為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由正弦定理可得，由余弦定理可得，以為原點，所在的直線為軸，過做的垂線，為軸，建立平面直角坐標系利用向量法可得.【詳解】由正弦定理可得，所以，由余弦定理可得，，解得，以為原點，所在的直線為軸，過做的垂線為軸，建立平面直角坐標系，如下圖，則，，，，所以，所以，，，所以.故選：C.8.已知在上的最小值為，則的解有()個A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】分類討論，和三種情況，結合余弦函數(shù)的圖像和性質，進一步縮小的范圍，再利用復合函數(shù)的單調(diào)性與零點存在定理，以及數(shù)形結合即可得解.【詳解】當時，，而，顯然不滿足題意；當時，因為，所以，要使在上的最小值為，則有，所以，此時在處取得最小值，即，令，因為，所以在上單調(diào)遞減，又在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又因為，由函數(shù)零點存在性定理可知，此時函數(shù)有唯一的零點，也即當，函數(shù)在上的最小值為時，則的解只有一個；當時，因為，所以，要使在上的最小值為，則有，解得，當時，則，結合余弦函數(shù)的圖象可知，函數(shù)在上的最小值為，解得，滿足題意；當時，則，此時在處取得最小值，即，從而將問題轉化為與的圖像有多少個交點，因為，所以在上單調(diào)遞增，又，，則與的大致圖像如下，所以與的圖像有唯一交點，即當，函數(shù)在上的最小值為時，則的解只有一個；綜上可知，的解有3個，故選：C.【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是分類討論和時，要結合余弦函數(shù)的性質進一步縮小的范圍，同時將問題轉化為的零點個數(shù)問題，由此得解.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知平面內(nèi)四點可構成平行四邊形，其中，則點的坐標可能為()A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質，設點分情況討論可分別根據(jù)，，，由此求得答案即可；【詳解】因為四點可構成平行四邊形，平行四邊形有三種可能當四邊形是平行四邊形，所以，設點D的坐標為，所以,所以,即點D的坐標,A選項正確．當四邊形是平行四邊形，所以，設點D的坐標為，所以,所以,即點D的坐標,D選項正確．當四邊形是平行四邊形，所以，設點D的坐標為，所以,所以,即點D的坐標，C選項正確．故選：ACD.10.下列函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間上單調(diào)遞增的是()A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】依次判斷選項的周期和單調(diào)性即可得到答案.【詳解】對于A：的最小正周期，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，故A符合題意；對于B：，將在x軸下方的圖象翻折到上方，可知最小正周期，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故B不符合題意；對于C，的最小正周期，，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C正確；對于D，，的最小正周期，，則在區(qū)間上有增有減，故D不正確.故選：AC.11.在所在的平面上存在一點，，則下列說法錯誤的是()A.若，則點的軌跡不可能經(jīng)過的外心B.若，則點的軌跡不可能經(jīng)過的垂心C.若，則點的軌跡可能經(jīng)過的重心D.若，則點的軌跡可能經(jīng)過的內(nèi)心【答案】ABC【解析】【分析】由，結合向量共線的推論判斷的軌跡，討論形狀判斷A、B正誤；根據(jù)重心的性質得判斷C；根據(jù)題設設等邊三角形，確定，點的軌跡可能經(jīng)過的內(nèi)心判斷D.【詳解】若，根據(jù)向量共線的推論知：共線，即在直線上，中，當時，則的中點為三角形外心，故有可能為外心，A錯；若，不妨取當時,此時的軌跡經(jīng)過的垂心，B錯；若為的重心，必有，此時，C錯；若，設為等邊三角形，結合，則點在的中線上，也在的平分線上，的軌跡可能經(jīng)過的內(nèi)心，D正確.故選：ABC12.已知是邊長為的等邊三角形，平面內(nèi)有兩動點滿足．若，則的值可能為()A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】由條件化簡變形可得，根據(jù)的取值范圍確定點的位置，再由轉化思想得，求出的取值范圍，即可得出答案.【詳解】因為，所以所以，即，因為，所以，所以點在的內(nèi)部或邊上取的中點，則，，因為，所以，即，所以，所以，即，所以，.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13已知，，則______．【答案】【解析】【分析】由平方關系以及商數(shù)關系得出，即可得出.【詳解】由,以及得出故答案為：14.若平面內(nèi)不共線的三個向量兩兩的夾角相等，且，則______．【答案】【解析】【分析】利用向量數(shù)量積的運算律，結合向量數(shù)量積的定義求解作答.【詳解】因為平面向量兩兩的夾角相等，則，而，，所以.故答案為：.15.在中，已知是的一元二次方程的兩個實根，則______．【答案】##【解析】【分析】利用韋達定理，兩角和的正切公式，求得的值，可得的值，從而求得的值．【詳解】因為是的一元二次方程的兩個實根，由題有，而，∴，又，∴.故答案為：.16.已知函數(shù)，若函數(shù)有5個零點，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】利用換元法，根據(jù)函數(shù)與方程的關系，轉化為函數(shù)交點的問題，利用數(shù)形結合進行求解即可.【詳解】設，則由得，若，作出函數(shù)的圖象如圖，當或時，，此時，無解；當時，由，得只有一個解且，此時，最多有3個零點，不滿足條件，故，不成立；當時，作出函數(shù)的圖象如圖，，則，由，得方程有3個不同的根，其中，其中，當時，，只有一個根，當時，，只有一個根，要使函數(shù)有5個零點，則必有，有3個零點，由，得，即，此時只要即可，得，即，得，則實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知，．(1)若，，且三點共線，求的值．(2)當實數(shù)為何值時，與垂直？【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由A，B，C三點共線，則存在實數(shù)，使得，列出方程求解即可；(2)由平面向量垂直的坐標表示，列出方程求解即可．【小問1詳解】因為，，，，所以，，因為A，B，C三點共線，所以存在實數(shù)，使得，整理得，所以，解得，故的值為．【小問2詳解】由，，得，，因為與垂直，所以，即，解得．18.要得到函數(shù)的圖象，可以從正弦函數(shù)或余弦函數(shù)圖象出發(fā)，通過圖象變換得到，也可以用“五點法”列表、描點、連線得到．(1)由圖象變換得到函數(shù)的圖象，寫出變換的步驟和函數(shù)；(2)用“五點法”畫出函數(shù)在區(qū)間上的簡圖．【答案】(1)答案見解析(2)作圖見解析【解析】【分析】(1)根據(jù)三角函數(shù)圖象變換求解即可；(2)利用“五點法”畫出圖象.【小問1詳解】步驟1：把圖象上所有點向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象；步驟2：把圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?縱坐標不變)，得到函數(shù)的圖象；步驟3：最后把函數(shù)的圖象的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍(橫坐標不變)，得到函數(shù)的圖象．或者步驟1：步驟1：把圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?縱坐標不變)，得到函數(shù)的圖象；步驟2：把圖象上所有點向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象；步驟3：最后把函數(shù)的圖象的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍(橫坐標不變)，得到函數(shù)的圖象．小問2詳解】因為列表：19.已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為5(1)求常數(shù)的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)先應用二倍角公式及輔助角公式化簡函數(shù)，再根據(jù)最值求出常數(shù)即可；(2)根據(jù)正弦函數(shù)的遞減區(qū)間計算求解即得.【小問1詳解】，因為，所以，則當時，取得最大值，故，即．【小問2詳解】的單調(diào)遞減區(qū)間需要滿足：，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為：．20.已知函數(shù)為奇函數(shù)，．(1)求實數(shù)；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；【答案】(1)(2)答案見解析【解析】【分析】(1)根據(jù)奇函數(shù)的定義，可判斷，求；(2)通過換元法，轉化為二次函數(shù)求最小值問題，要注意分類討論.【小問1詳解】解：因為奇函數(shù)，所以，所以在定義域內(nèi)恒成立，整理，得在定義域內(nèi)恒成立，所以，解得，當時，的定義域為，定義域不關于原點對稱，此時沒有奇偶性，當時，的定義域為，關于原點對稱，且，符合題意，綜上可得：；【小問2詳解】，，令，則上述函數(shù)化為，．因為，則對稱軸①當，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故；②當，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故；③當，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故．綜上所述：①當時，的最小值為；②當時，的最小值為；③當時，的最小值為．21.宜昌卷橋河濕地公園是一幅美麗的田園濕地畫卷，它將自然山體、陽光草坪、親水草灘、芒草濕地、溪谷密林等有機融合，設計的十分精致優(yōu)美．為了迎接2023年的春天，公園里開辟了一塊等腰直角三角形農(nóng)田種植七彩油菜，其斜邊米．為了方便游客觀光，欲在上選擇一點，修建兩條觀賞小徑，點分別在邊上，且小徑與邊的夾角都是．區(qū)域和區(qū)域種植粉色油菜，區(qū)域種植黃色油菜．(1)隨著春天到來，油菜均已開花，為了游客深度體驗觀賞，準備在種植黃色油菜區(qū)域內(nèi)修建小徑，當點在何處時，三條小徑()的長度之和最??？(2)種植粉色油菜的成本是100元/平方米，求種植粉色油菜的最少費用．【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)在中由正弦定理求得，同理可得，在中，由余弦定理結合基本不等式求出的最小值，即可得出當點是的中點時，三條小徑(QM，QN，MN)的長度之和最小；(2)求出的面積和，利用基本不等式求最小值，即可得出的結論.【小問1詳解】在中，，由正弦定理可得：，因為，即＝＝，同理可得，所以＝；在中，由余弦定理可得：，即，所以，，又因為＝，故，當且僅當時等號成立．故當點是的中點時，三條小徑(QM，QN，MN)的