解密03 導數(shù)及其應用（講義）-【高頻考點解密】2022年高考數(shù)學二輪復習講義+分層訓練（新高考專用）

解密05導數(shù)及其應用高考考點命題分析三年高考探源考查頻率導數(shù)的概念、幾何意義及計算從近三年高考情況來看，導數(shù)的概念及計算一直是高考中的熱點，對本知識的考查主要是導數(shù)的概念及其運算法則、導數(shù)的幾何意義等內(nèi)容，常以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，有時也會作為解答題中的一問．解題時要掌握函數(shù)在某一點處的導數(shù)定義、幾何意義以及基本初等函數(shù)的求導法則，會求簡單的復合函數(shù)的導數(shù)．導數(shù)的應用也一直是高考的熱點，尤其是導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題是高考考查的重點內(nèi)容，一般以基本初等函數(shù)為載體，考查導數(shù)的相關知識及應用，題型有選擇題、填空題，也有解答題中的一問，難度一般較大，常以把關題的位置出現(xiàn)．解題時要熟練運用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值與最值之間的關系，理解導數(shù)工具性的作用，注重數(shù)學思想和方法的應用．2021年全國新課標乙112021年全國新課標甲132021課標全國Ⅰ72020課標全國Ⅰ62020課標全國Ⅲ102019課標全國Ⅰ132019課標全國Ⅱ202019課標全國Ⅲ62018課標全國Ⅰ52018課標全國Ⅱ132018課標全國Ⅲ14★★★★★導數(shù)的應用2021課標全國Ⅰ212021課標全國Ⅱ222021年全國新課標乙212021年全國新課標甲222020課標全國Ⅰ212020課標全國Ⅱ212020課標全國Ⅲ212019課標全國Ⅰ202019課標全國Ⅱ202019課標全國Ⅲ202018課標全國Ⅰ212018課標全國Ⅱ212018課標全國Ⅲ21★★★★★核心考點一導數(shù)概念及幾何意義☆技巧點撥☆導數(shù)的幾何意義是每年高考的重點內(nèi)容，考查題型多為選擇題或填空題，有時也會作為解答題中的第一問，難度一般不大，屬中低檔題型，求解時應把握導數(shù)的幾何意義是切點處切線的斜率，常見的類型及解法如下：（1）已知切點P(x0，y0)，求y=f(x)過點P的切線方程：求出切線的斜率f′(x0)，由點斜式寫出方程；（2）已知切線的斜率為k，求y=f(x)的切線方程：設切點P(x0，y0)，通過方程k=f′(x0)解得x0，再由點斜式寫出方程；（3）已知切線上一點(非切點)，求y=f(x)的切線方程：設切點P(x0，y0)，利用導數(shù)求得切線斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切線斜率，列方程(組)解得x0，最后由點斜式或兩點式寫出方程．（4）若曲線的切線與已知直線平行或垂直，求曲線的切線方程時，先由平行或垂直關系確定切線的斜率，再由k=f′(x0)求出切點坐標(x0，y0)，最后寫出切線方程．（5）①在點P處的切線即是以P為切點的切線，P一定在曲線上．②過點P的切線即切線過點P，P不一定是切點．因此在求過點P的切線方程時，應首先檢驗點P是否在已知曲線上．例題1．若直線與曲線相切，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】：設直線與曲線相切于點，，，可得切線的斜率為，則，所以，又切點也在直線上，則，，，設，，，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，可得的最大值為，即的最大值為.故選：D.例題2．若曲線在點處的切線方程為，則（）A．3 B． C．2 D．【答案】D【分析】，依題意可得，即，因為，所以.故選：D例題3．若，則的切線的傾斜角滿足（）A．一定為銳角 B．一定為鈍角C．可能為直角 D．可能為0°【答案】A【分析】，設，則，時，，遞減，時，，遞增，而，所以時，，所以，切線斜率均為正數(shù)，傾斜角為銳角．故選：A．例題4．已知，若過一點可以作出該函數(shù)的兩條切線，則下列選項一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設切點為，對函數(shù)求導得，則切線斜率為，所以，切線方程為，即，所以，，可得，令，其中，由題意可知，方程有兩個不等的實根..①當時，對任意的，，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增，則方程至多只有一個根，不合乎題意；②當時，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增.由題意可得，可得.故選：A.例題5．已知函數(shù)的導數(shù)為，且，則（）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】由得，當時，，解得，所以，.故選：B例題6．設函數(shù)在上的導函數(shù)為，在上的導函數(shù)為，若在上恒成立，則稱函數(shù)在上為“嚴格凸函數(shù)”．在下列函數(shù)中，在上為“嚴格凸函數(shù)”的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】：對于A：，則，恒成立，故A錯誤；對于B：，則，，所以當時恒成立，故B錯誤；對于C：，則，則，所以當時，當時，故C錯誤；對于D：則，，所以當時恒成立，故D正確；故選：D例題7．設函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，為的導函數(shù)，當時，，則使得成立的的取值范圍（）A． B．C． D．【答案】A【分析】令，，當時，，，原函數(shù)單調(diào)遞增，又因為，所以當時，，此時，，所以，當時，，此時，，所以，所以當時，，又因為是奇函數(shù)，當時，，求，分兩種情況求解，當時，，只需，解得，當時，，只需，解得所以的范圍是故選：A考點二導數(shù)的在研究函數(shù)中應用☆技巧點撥☆函數(shù)的單調(diào)性及應用是高考中的一個重點內(nèi)容，題型多以解答題的形式呈現(xiàn)．常見的題型及其解法如．由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法（1）可導函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)，實際上就是在該區(qū)間上(或)(在該區(qū)間的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0)恒成立，然后分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，從而獲得參數(shù)的取值范圍；（2）可導函數(shù)在某一區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間，實際上就是(或)在該區(qū)間上存在解集，這樣就把函數(shù)的單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化成了不等式問題；（3）若已知在區(qū)間I上的單調(diào)性，區(qū)間I中含有參數(shù)時，可先求出的單調(diào)區(qū)間，令I是其單調(diào)區(qū)間的子集，從而可求出參數(shù)的取值范圍．4．利用導數(shù)解決函數(shù)的零點問題時，一般先由零點的存在性定理說明在所求區(qū)間內(nèi)至少有一個零點，再利用導數(shù)判斷在所給區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，由此求解．例題1．函數(shù)，若滿足恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】∵，且，∴函數(shù)為單調(diào)遞增的奇函數(shù)．于是，可以變?yōu)?，即，∴，而，可知實?shù)，故實數(shù)的取值范圍為．故選：C.例題2．已知可導函數(shù)的導函數(shù)為，若對任意的，都有．且為奇函數(shù)，則不等式的解集為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，構造，則，且，故在上單調(diào)遞減；又為上的奇函數(shù)，故可得，即，則.則不等式等價于，又因為是上的單調(diào)減函數(shù)，故解得.選：A.例題3．已知函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】解：由題意有兩個不等實根，即有兩個不等實根，設，則，當時，，遞增，當時，，遞減，時，為極大值也是最大值，時，，且，當時，，所以當，即時，直線與的圖象有兩個交點，即有兩個不等實根．故選：B例題4．設，，，則，，的大小關系為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設，則，當，，單調(diào)遞增，當，，單調(diào)遞減，因為，，，所以最大，又因為，，所以，所以，故選：B.例題5．若直線與曲線相切，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】：設直線與曲線相切于點，，，可得切線的斜率為，則，所以，又切點也在直線上，則，，，設，，，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，可得的最大值為，即的最大值為.故選：D.例題6．已知函數(shù)恒有零點，則實數(shù)k的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】令得：，令，則，，即，，令，則，由恒成立知，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，時，，時方程恒有根，即，故選：D考點三導數(shù)的綜合應用二熱點題型歸納【題型一】利用導數(shù)研究函數(shù)的零點【題型二】利用導數(shù)證明不等式【題型三】利用導數(shù)解決不等式恒成立、存在性問題例題1已知函數(shù)的定義域為．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）討論函數(shù)在上的零點個數(shù)【解析】（1），因為，所以的零點為0和1.令，得；令，得或.所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）由（1）知，在上的極大值為，極小值為，因為，，所以.，由，得.當或時，的零點個數(shù)為0；當或時，的零點個數(shù)為1；當或時，的零點個數(shù)為2；當時，的零點個數(shù)為3.例題2已知函數(shù).（1）若，討論的單調(diào)性；（2）已知，若方程在有且只有兩個解，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）依題可得，函數(shù)的定義域為，所以.當時，由，得，則的減區(qū)間為；由，得，則的增區(qū)間為.當時，由，得，則的減區(qū)間為；由，得或，則的增區(qū)間為和.當時，，則的增區(qū)間為.當時，由，得，則的減區(qū)間為；由，得或，則的增區(qū)間為和.（2）.在上有兩個零點，即關于方程在上有兩個不相等的實數(shù)根.令，，則.令，，則，顯然在上恒成立，故在上單調(diào)遞增.因為，所以當時，有，即，所以單調(diào)遞減；當時，有，即，所以單調(diào)遞增.因為，，，所以的取值范圍是.☆技巧點撥☆1.判斷函數(shù)零點個數(shù)的思路判斷函數(shù)在某區(qū)間[a,b]((a,b))內(nèi)的零點的個數(shù)時,主要思路為:一是由f(a)·f(b)<0及零點存在性定理,說明在此區(qū)間上至少有一個零點;二是求導,判斷函數(shù)在區(qū)間(a,b)上的單調(diào)性,若函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增或遞減,則說明至多只有一個零點;若函數(shù)在區(qū)間[a,b]((a,b))上不單調(diào),則要求其最大值或最小值,借用圖象法等判斷零點個數(shù).2.利用函數(shù)零點情況求參數(shù)范圍的方法(1)分離參數(shù)(a=g(x))后,將問題轉(zhuǎn)化為y=g(x)的值域(最值)問題或轉(zhuǎn)化為直線y=a與y=g(x)的圖象的交點個數(shù)問題(優(yōu)選分離,次選分類)求解.(2)利用零點存在性定理構建不等式求解.(3)轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)圖象的位置關系問題,從而構建不等式求解.【題型二】利用導數(shù)證明不等式例題3已知函數(shù)且.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：.【解析】（1），，即,解得或.，解得，∴,∴，令，得.當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）要證成立，只需證成立.令，則，令，則，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又由（1）可得在上，所以，所以，所以原不等式成立.例題4已知函數(shù)有兩個零點，.（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）證明：.【解析】（1）解：的定義域為，.①當時，，所以在上單調(diào)遞增，故至多有一個零點，不符合題意；②當時，令，得；令，得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以（i）若，則，故至多有一個零點，不符合題意；（ii）若，則，，由（i）知，∴，∴，.又∵，，故存在兩個零點，分別在，內(nèi).綜上，實數(shù)的取值范圍為.（2）證明：方法1：由題意得，令，兩式相除得，變形得.欲證，即證，即證.記，，故在上單調(diào)遞減，從而，即，所以得證.方法2：由題意得：由（1）可知，，令，則，則，兩式相除得，，，欲證，即證，即證.記，，令，，故在上單調(diào)遞減，則，即，∴在上單調(diào)遞減，從面，∴得證，即得證.☆技巧點撥☆1.證明不等式的基本方法(1)利用單調(diào)性:若f(x)在[a,b]上是增函數(shù),則①?x∈[a,b],有f(a)≤f(x)≤f(b),②?x1,x2∈[a,b],且x1<x2,有f(x1)<f(x2).對于減函數(shù)有類似結論.(2)利用最值:若f(x)在某個范圍D內(nèi)有最大值M(或最小值m),則?x∈D,有f(x)≤M(或f(x)≥m).(3)構造法:如若證明f(x)<g(x),可構造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x),證明F(x)<0.2.證明含雙變量不等式的常見思路(1)將雙變量中的一個看作變量,另一個看作常數(shù),構造一個含參數(shù)的輔助函數(shù)證明不等式.(2)整體換元.對于齊次式往往可將雙變量整體換元,化為一元不等式.(3)若雙變量的函數(shù)不等式具有對稱性,并且可以將兩個變量分離開,分離之后的函數(shù)結構具有相似性,從而構造函數(shù)利用單調(diào)性證明.【題型三】利用導數(shù)解決不等式恒成立、存在性問題例題5已知函數(shù)f(x)＝eq\f(sinx,x)(x≠0).(1)判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間上的單調(diào)性；(2)若f(x)<a在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)a的最小值.【解析】(1)f′(x)＝eq\f(xcosx－sinx,x2)，令g(x)＝xcosx－sinx，x∈，則g′(x)＝－xsinx，顯然，當x∈時，g′(x)＝－xsinx<0，即函數(shù)g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且g(0)＝0.從而g(x)在區(qū)間上恒小于零，所以f′(x)在區(qū)間上恒小于零，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減.(2)不等式f(x)<a，x∈恒成立，即sinx－ax<0恒成立.令φ(x)＝sinx－ax，x∈，則φ′(x)＝cosx－a，且φ(0)＝0.當a≥1時，在區(qū)間上φ′(x)<0，即函數(shù)φ(x)單調(diào)遞減，所以φ(x)<φ(0)＝0，故sinx－ax<0恒成立.當0<a<1時，φ′(x)＝cosx－a＝0在區(qū)間上存在唯一解x0，當x∈(0，x0)時，φ′(x)>0，故φ(x)在區(qū)間(0，x0)上單調(diào)遞增，且φ(0)＝0，從而φ(x)在區(qū)間(0，x0)上大于零，這與sinx－ax<0恒成立相矛盾.當a≤0時，在區(qū)間上φ′(x)>0，即函數(shù)φ(x)單調(diào)遞增，且φ(0)＝0，得sinx－ax>0恒成立，這與sinx－ax<0恒成立相矛盾.故實數(shù)a的最小值為1.例題6已知函數(shù)，.（1）當時，求函數(shù)的極值；（2）當時，若在上存在一點，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）函數(shù)，定義域為，，當時，令，解得：或，當時，；當時，；在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；函數(shù)的極小值為，函數(shù)的極大值為.（2）令，在上存在一點，使得成立，即在上存在一點，使得，即函數(shù)在上的最小值小于零.由得：，，，又，，當時，；當時，，①當，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，，此時不成立，②當，即時，在上單調(diào)遞減，；由可得：，，；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.【提分秘籍】1.分離參數(shù)法解含參不等式