2023北師大版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)同步練習(xí)-2　離散型隨機(jī)變量及其分布列

2023北師大版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)

§2離散型隨機(jī)變量及其分布列

2.1隨機(jī)變量2.2離散型隨機(jī)變量的分布列

基礎(chǔ)過關(guān)練

題組一隨機(jī)變量

1.10件產(chǎn)品中有3件次品，從中任取2件,可作為隨機(jī)變量的是（）

A.取到產(chǎn)品的件數(shù)B.取到正品的概率

C.取到次品的件數(shù)D,取到次品的概率

2.某人進(jìn)行射擊,共有5發(fā)子彈,擊中目標(biāo)或子彈打完就停止射擊,射擊次數(shù)為W,

則｛1=5｝表示的試驗(yàn)結(jié)果是（）

A.第5次擊中目標(biāo)

B.第5次未擊中目標(biāo)

C.前4次均未擊中目標(biāo)

D.第4次擊中目標(biāo)

3.寫出下列隨機(jī)變量的可能取值,并說明隨機(jī)變量所取的值和所表示的隨機(jī)試驗(yàn)

的結(jié)果.

⑴袋中有大小相同的紅球10個(gè)，白球5個(gè),從袋中每次任取1個(gè)球,不放回,直

到取出的球是白球?yàn)橹?所需要的取球次數(shù)；

（2）從標(biāo)有1,2,3,4,5,6的6張卡片中任取2張,所取卡片上的數(shù)字之和.

題組二離散型隨機(jī)變量及其分布列

4.下列隨機(jī)變量X不是離散型隨機(jī)變量的是()

A.某超市一天中的顧客量為X

B.某塔臺(tái)一天內(nèi)收到的呼叫次數(shù)為X

C.某水文站觀察到一天中長(zhǎng)江的水位為X

D.某立交橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)為X

5.一盒中有12個(gè)乒乓球,其中9個(gè)新球,3個(gè)舊球,從盒中任取3個(gè)球來用，用完

后放回盒中，此時(shí)盒中舊球個(gè)數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量,則P(X=4)的值為()

A.—B.—C.—D.—

2205525220

6.口袋中有6個(gè)同樣大小的黑球,編號(hào)為1,2,3,4,5,6,現(xiàn)從中隨機(jī)取出3個(gè)球,

用X表示取出的最大號(hào)碼,求X的分布列.

7.一個(gè)袋中裝有5個(gè)白球和5個(gè)黑球,從中任取3個(gè),其中所含白球的個(gè)數(shù)為昌.

(1)列表說明可能出現(xiàn)的結(jié)果與對(duì)應(yīng)的己的值；

⑵若規(guī)定抽取的3個(gè)球中，每抽到一個(gè)白球加5分,抽到黑球不加分,且最后結(jié)

果都加上6分，求最終得分n的可能取值,并判斷n是不是離散型隨機(jī)變量.

題組三離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)

8.（2020河北阜平一中高二月考）離散型隨機(jī)變量X的分布列如表所示,則c等于

（）

x1234

P0.20.30.4|c

A.0.1B.0.24C.0.01D.0.76

9.設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量,其分布列如下表,則q等于.

X-101

132

P0.51-”q

10.（2020河北張家口第一中學(xué)月考）設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P（X=

|）=ak（k=l,2,3,4,5）.

⑴求常數(shù)a的值；

⑵求

⑶求P信<x<￡）.

11.已知隨機(jī)變量X的分布列如表所示.

X-2-10123

p111111

124312612

(1)求隨機(jī)變量Y=X2的分布列；

⑵若P(Y<x)=!|,求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

題組四兩點(diǎn)分布

12.(2020安徽亳州第二中學(xué)期末)已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如表所示,則

常數(shù)。為(

X01

P9c2-c3-8c

13.某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率是失敗率的2倍,用隨機(jī)變量X描述1次試驗(yàn)的成功次數(shù),

則P(X=1)=()

A.0B.-11C.-2D.-

233

14.已知袋內(nèi)有5個(gè)白球和6個(gè)紅球,從中摸出2個(gè)球,記X=fO'兩J球全紅'則X

11,兩球非全紅，

的分布列為.能力提升練

題組一離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)及應(yīng)用

1.(2020北京豐臺(tái)十二中月考)離散型隨機(jī)變量X的概率分布規(guī)律為

P(X=k)=a(ll-2k)(k=l,2,3,4,5),其中a是常數(shù),則P(j<X<的值為()

2.(2020陜西西安慶安高級(jí)中學(xué)月考)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列如表所示,則

下列各式成立的是()

-10123

P0.10a0.100.200.40

A.P(X<1.5)=0.40B,P(X>-1)=1

C.P(X<3)=1D.P(X<0)=0

3.(2020浙江新高考名校聯(lián)考)已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如表所示，當(dāng)工+

X

3取最小值時(shí),x=

y

X123

1

PXy

2

題組二離散型隨機(jī)變量的分布列的綜合

應(yīng)用

4.(2020河南信陽二模)如圖所示,A,B兩點(diǎn)由5條線并聯(lián),它們?cè)趩挝粫r(shí)間內(nèi)能

通過的最大信息量依次為2,3,4,3,2.現(xiàn)記從中任取三條線且在單位時(shí)間內(nèi)都通

過最大信息量的總量為□則P(W28)=.

5.(2020北京順義牛欄山一中模擬)由于研究性學(xué)習(xí)的需要，中學(xué)生李華持續(xù)收集

了手機(jī)“微信運(yùn)動(dòng)”團(tuán)隊(duì)中特定20名成員每天行走的步數(shù)，其中某一天的數(shù)據(jù)

記錄如下：

586065207326679873258430

821574537446675476386834

646068309860875394509860

72907850

對(duì)這20個(gè)數(shù)據(jù)按組距為1000進(jìn)行分組,并統(tǒng)計(jì)整理,繪制了如下尚不完整的統(tǒng)

計(jì)表(設(shè)步數(shù)為X).

組別步數(shù)分組頻數(shù)

A5500<x<65002

B6500<x<750010

C7500<x<8500m

D8500<x<95002

E9500WxW10500n

⑴寫出m,n的值；

⑵從A,E兩個(gè)組別的數(shù)據(jù)中任取2個(gè)數(shù)據(jù),記這2個(gè)數(shù)據(jù)步數(shù)差的絕對(duì)值為X,

求X的分布列.

§

答案與分層梯度式解析

基礎(chǔ)過關(guān)練

1.C2.C

3.解析(1)設(shè)所需的取球次數(shù)為％則^=1,2,3,4,-,10,11,

{W=i}表示前(i-1)次均取到紅球,第i次取到白球,其中i=l,2,-,11.

(2)設(shè)所取卡片上的數(shù)字之和為X,則X=3,4,5,11.

{X=3}表示“取出標(biāo)有1,2的兩張卡片”；

｛X=4｝表示“取出標(biāo)有1,3的兩張卡片”；

｛X=5｝表示“取出標(biāo)有1,4或2,3的兩張卡片”；

｛X=6｝表示“取出標(biāo)有1,5或2,4的兩張卡片”；

｛X=7｝表示“取出標(biāo)有1,6或2,5或3,4的兩張卡片”；

｛X=8｝表示“取出標(biāo)有2,6或3,5的兩張卡片”；

｛X=9｝表示“取出標(biāo)有3,6或4,5的兩張卡片”；

｛X=10｝表示“取出標(biāo)有4,6的兩張卡片”；

｛X=ll｝表示“取出標(biāo)有5,6的兩張卡片”.

4.C選項(xiàng)A、B、D中的隨機(jī)變量X可能取的值都可以一一列此因此它們都是

離散型隨機(jī)變量;選項(xiàng)C中的X可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值,無法一一列出，故其

不是離散型隨機(jī)變量.故選C.

5.D因?yàn)閺暮兄腥稳?個(gè)球來用，用完后放回盒中，此時(shí)盒中舊球個(gè)數(shù)X=4,即舊

球增加一個(gè),所以取出的3個(gè)球?yàn)?個(gè)新球,2個(gè)舊球,所以P(x=4)=萼=三,故

L12NNU

選D.

6.解析隨機(jī)變量X的可能取值為3,4,5,6.

從袋中隨機(jī)取3個(gè)球,包含的基本事件總數(shù)為髭，｛X=3｝包含的基本事件總數(shù)為

禺，｛X=4｝包含的基本事件總數(shù)為加髭，｛X=5｝包含的基本事件總數(shù)為儲(chǔ)量，｛X=6｝

包含的基本事件總數(shù)為加量.

從而P(X=3)=等P(X=4)=萼

NUZ：NU

的番—

P(X=5)=■3,P(X=6)=管費(fèi)

所以隨機(jī)變量X的分布列為

3456

1331

P

2020To2

7.解析⑴列表如下:

取得3取得1個(gè)白取得2個(gè)白取得3

結(jié)果

個(gè)黑球球,2個(gè)黑球球,1個(gè)黑球個(gè)

0123

(2)由題意可得n=51+6,由(1)知之可能的取值為0,1,2,3,所以n對(duì)應(yīng)的值

是5X0+6,5X1+6,5X2+6,5X3+6,故n的可能取值為6,11,16,2L顯然n是

離散型隨機(jī)變量.

8.A由離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)知，0.2+0.3+0.4+c=l,解得c=0.1.故選A.

gJ?套口室2-

0.5+1—-q+Q=1,

解析由題意得｛0<l-|q<|,解得q=|.

10.解析隨機(jī)變量X的分布列為

1234

X1

5555

Pa2a3a4a5a

⑴由a+2a+3a+4a+5a-1,得a=表.

⑵解法一:P(X之I)",=§+P(X=3+P(X=l)=+2+W

解法二:P(X之|>"(x])+七十()號(hào)

(3)因?yàn)橹浮碭〈行,所以X=-,

1010555

所以P島VXv-=P(x=3+P(x=|)+P(x=|)W+m三

11.解析(1)由隨機(jī)變量X的分布列知,Y的可能取值為0,1,4,9,

則P(Y=0)=|,P(Y=D=^=|,P(丫=4)*+片P(Y=9)*

可得隨機(jī)變量Y的分布列如表所示.

Y0149

1111

P

33412

(2)，.，(丫々)甘,.”(丫6)=1-P(Y=9)=P(Y=0)+P(Y=l)+P(Y=4),.?.實(shí)數(shù)x的取值

范圍是(4,9].

12.A由離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)知，

(0<9C2-C<1,

]0<3-8c<1,解得c=|,故選A.

(9c2-c+3—8c=1,

13.D設(shè)試驗(yàn)的失敗率為p,則試驗(yàn)的成功率為2p,

AX的分布列如表所示.

X01

Pp2p

.,-p+2p=l,解得p=|,.,.P(X=1)=|,故選D.

14.答案

X01

38

P

五11

解析由題意得,X的可能取值為0,1,

P（X=0）=學(xué)=3,P（X=1）S1±S1S1A

c￡ii=c弘=ii.

所以X的分布列如表所示.

X01

38

p

五TT

能力提升練

1.D由題意得a(9+7+5+3+l)=1,解得a二城,

Z.pf-<X<U)=P(X=3)+P(X=4)=A+2.=A

\237252525

故選D.

2.A根據(jù)分布列的性質(zhì)可得,0.10+a+0.10+0.20+0.40=1,解得a=0.20,所以

P(X<1.5)=P(X=-l)+P(X=0)+P(X=l)=0.10+0.20+0.10=0.40,故A成立;

P(X>-1)=1-P(X=-1)=1-O.10=0.90,故B不成立;

P(X<3)=l-P(X=3)=l-0.40=0.60,故C不成立;

P(X<0)=P(X=T)=0.10,故D不成立.

故選A.

3套室-

O

解析由題意得,x+y(x>0,y>0),所以工+±=2(x+y)?(-+斗2(5+l

2xy\xy)\x

y)^2X(5+4)=18,當(dāng)且僅當(dāng)y=2x,即x),y1時(shí)取等號(hào).

4.答案|

解析解法一（直接法）：由已知得，W的可能取值為7,8,9,10,則

cccc+cc

P（&=7）=^^=~p（a=8）=2i22=_g_p（&=9）P（&=10）

'q‘慎5,i