核反應(yīng)堆物理分析課后習(xí)題參考答案

核反應(yīng)堆物理分析課后習(xí)題參考答案

核反應(yīng)堆物理分析答案

第一章

1T.某壓水堆采用U02作燃料，其富集度為2.43%(質(zhì)量)，密度為10000kg/m3。試計(jì)

算：當(dāng)中子能量為0.0253eV時(shí)，U02的宏觀吸收截面和宏觀裂變截面。

解：由18頁(yè)表1-3查得,0.0253eV時(shí):

a(U5)680.9b,f(U5)583.5b,a(U8)2.7b由289頁(yè)附錄3查得，0.0253eV時(shí)：

a(0)0.00027b

以c5表示富集鈾內(nèi)U-235與U的核子數(shù)之比，表示富集度，則有:

235c5235c5238(1c5)

lc5(10.9874(1))10.0246

M(UO2)235c5238(1c5)162269.9

1000(U02)NAN(U02)2.231028M(U02)

所以，N(U5)c5N(U02)5.491026(m)3(m3)

(m3)N(U8)(1c5)N(UO2)2.181028

N(0)2N(U02)4.461028(m3)

a(U02)N(U5)a(U5)N(U8)a(U8)N(0)a(0)

0.0549680.92.182.74.460.0002743.2(m1)

f(U02)N(U5)f(U5)0.0549583.532.0(m1)

1-2.某反應(yīng)堆堆芯由U-235,H2O和Al組成，各元素所占體積比分別為0.002,0.6和

0.398,計(jì)算堆芯的總吸收截面(E=0.0253eV)。

解：由18頁(yè)表1-3查得，0.0253eV時(shí)：a(U5)680.9b

由289頁(yè)附錄3查得，0.0253eV時(shí)：

a(Al)1.5m1,a(1120)2.2m1,M(U)238.03,(U)19.05103kg/m3

可得天然U核子數(shù)密度N(U)1000(U)NA/M(U)4.821028(m3)

(m1)則純U-235的宏觀吸收截面：

a(U5)N(U5)a(U5)4.82680.93279.2

總的宏觀吸收截面：a0.002a(U5)0.6a(H20)0.398a(Al)8.4(m1)

『3、求熱中子(0.025電子伏)在輕水、重水、和鎘中運(yùn)動(dòng)時(shí)，被吸收前平均遭受的散

射碰撞次數(shù)。-解：設(shè)碰撞次數(shù)為t

10313.67nsstH2O156tD2O13600tCd2.86103tas

sanaa0.660.24500011-4、試比較：將2.OMeV的中子束強(qiáng)度減弱到

1/10分別需要的Al,Na,和Pb的厚度。

解：查表得到E=0.0253eV中子截面數(shù)據(jù)：

2aXs

Al：0.0150.084

Na：0.0130.102

Pb：0.0060.363

Al和Na的宏觀吸收截面滿足1/v律。

Q：鉛對(duì)2MeV中子的吸收截面在屏蔽中是否可以忽略？(在跨越了可分辨共振區(qū)后截面

變得非常小)

Sa=Sa(0.0253)(0.0253/2X106)*1/2

Sa

Al0.0169X10-4

Na0.0146X10-4

窄束中子衰減規(guī)律：

I=I0e-Ex

1=(1/10)10

二x=(lnlO)/￡

因此若只考慮吸收衰減:

xAl=136.25X104m

xNa=157.71X104m

對(duì)于輕核和中等質(zhì)量核，彈性散射截面在eV?幾MeV范圍內(nèi)基本不變。所以只考慮彈性

散射截面時(shí)，結(jié)果如下：（相比較之下能量為2MeV時(shí)、彈性散射截面要比吸收界面大很多）

但是不清楚對(duì)于重核鉛彈性截面基本不變的假設(shè)是否成立？

xAl=27.41m

xNa=22.57m

xPb=6.34m

1-6PVV3.21011

P2107

1721.2510m11113.21053.210

1-7.有一座小型核電站，電功率為15萬(wàn)千瓦，設(shè)電站的效率為27%,試估算該電站反

應(yīng)堆額定功率運(yùn)行一小時(shí)所消耗的鈾-235數(shù)量。EPtEthee解：熱能：裂變

U235核數(shù)：Ethn5f2001061.61019

Petn5f2001061.61019

1510410336000.272001061.61019

6.251022

680.9n5n5fa6.251022俘獲加裂變U235核數(shù)：f583.5

7.301022

消耗U235總質(zhì)量量：22n7.30105m5M523523NA6.021028.5g

8、某反應(yīng)堆在額定功率500兆瓦下運(yùn)行了31天后停堆，設(shè)每次裂變產(chǎn)生的裂變產(chǎn)物的

放射性活度為L(zhǎng)08X10T6t-L2居里。此處t為裂變后的時(shí)間，單位為天，試估算停堆

24小時(shí)堆內(nèi)裂變產(chǎn)物的居里數(shù)

解：day500106243600JEEdaynday2001061.61019

5001062436002001061.61019

1.351024

3124161.2A1.35101.08lOtdt13.62108Ci

1-9.設(shè)核燃料中鈾-235的濃縮度為3.2%(重量)，試求鈾-235與鈾-238的核子數(shù)之

比。

lc5[10.9874(1)]1

n5c50.032410.11)10335n81c510.032

ITO.為使鈾的H=1.7,試求鈾中U-235富集度應(yīng)為多少(E=0.0253eV)。0.0324

解：由18頁(yè)表1-3查得，0.0253eV時(shí)：

a(U5)680.9b,f(U5)583.5b,a(U8)2.7b

,v(U5)2.416由定義易得：v(U5)f

av(U5)N(U5)f(U5)N(U5)a(U5)N(U8)a(U8)

N(U8)N(U5)v(U5)f(U5)(a(U5))a(U8)

N(U5)2.416583.5(680.9)54.9N(U5)2.71.7為使鈾的n=1.7,N(U8)

富集

11.＞為了得到1千瓦時(shí)的能量，需要使多少鈾-235裂變

解：設(shè)單次裂變產(chǎn)生能量200MeV

E100036003.6106J

EU235裂變數(shù)：n52001061.61019

3.6106

2001061.61019

U235質(zhì)量：1.1251017

n53.6106

m5M5235NA2001061.610196.021023

0.43104g

1-12.反應(yīng)堆的電功率為1000兆瓦，設(shè)電站的效率為32%。問(wèn)每秒有多少個(gè)鈾-235發(fā)

生裂變？問(wèn)運(yùn)行一年共需消耗多少公斤易裂變物質(zhì)？一座相同功率煤電廠在同樣時(shí)間需要

多少燃料？12知標(biāo)準(zhǔn)煤的燃燒熱為Q=29兆焦/公斤。

1000106

每秒鐘發(fā)出的熱量：E3.125109J0.32PT

每秒鐘裂變的U235：N3.12510103.1251099.76561019(個(gè))

運(yùn)行一年的裂變的U235：N'NT9.765610193652436003.07971027(個(gè))

消耗的u235質(zhì)量：(1)N)(10.18)3.07971027235

mA1.4228106g1422.8kg23NA6.02210

E1110936524360096需消耗的煤：m3.3983lOKg3.398310噸

7Q0.322.910

.一核電站以富集度20%的U-235為燃料，熱功率900MW,年負(fù)荷因子(實(shí)際年發(fā)電量/額

定年發(fā)電量)為0.85,U-235的俘獲一裂變比取0.169,試計(jì)算其一年消耗的核燃料質(zhì)量。

解：該電站一年釋放出的總能量=900100.85360060243652.412510J

616

2.41251016

7.541026對(duì)應(yīng)總的裂變反應(yīng)數(shù)=619200101.610

因?yàn)閷?duì)核燃料而言：tf

核燃料總的核反應(yīng)次數(shù)=7.541026(10.169)8.811026

8.811026235344(kg)消耗的U-235質(zhì)量=6.0210231000

消耗的核燃料質(zhì)量=344/20%1720

(kg)第二章

.某裂變堆，快中子增殖因數(shù)L05,逃脫共振俘獲概率0.9,慢化不泄漏概率0.952,擴(kuò)

散不泄漏概率0.94,有效裂變中子數(shù)1.335,熱中子利用系數(shù)0.882,試計(jì)算其有效增殖

因數(shù)和無(wú)限介質(zhì)增殖因數(shù)。

解：無(wú)限介質(zhì)增殖因數(shù)：kpf1.1127不泄漏概率：

sd0.9520.940.89488有效增殖因數(shù)：keffk0.9957

2-1.H和0在1000eV到leV能量范圍內(nèi)的散射截面近似為常數(shù),分別為20b和38b?計(jì)

算H20的€以及在H20中中子從lOOOcV慢化到leV所需的平均碰撞次數(shù)。

解：不難得出，H20的散射截面與平均對(duì)數(shù)能降應(yīng)有下述關(guān)系：

oH20-gH20=2。出；H+o0-0

即：

(2oH+o0)?，H20=2oHCH+。0y0

€H20=(2oII-UI+o0-^0)/(2oH+o0)

查附錄3,可知平均對(duì)數(shù)能降：€H=l.000,,0=0.120,代入計(jì)算得：

&H20=(2X20X1.000+38X0.120)/(2X20+38)=0.571

可得平均碰撞次數(shù)：

Nc=ln(E2/El)/&H20=ln(1000/l)/0.571=12.09*12.12-6.在討論中子熱化

時(shí)，認(rèn)為熱中子源項(xiàng)Q(E)是從某給定分界能Ec以上能區(qū)的中子，經(jīng)過(guò)彈性散射慢化而來(lái)

的。設(shè)慢化能譜服從①(E)=e/E分布，試求在氫介質(zhì)內(nèi)每秒每單位體積內(nèi)由Ec以上能

區(qū)，(1)散射到能量E(E<Ec)的單位能量間隔內(nèi)之中子數(shù)Q(E)；(2)散射到能量區(qū)間

AEg=Eg-l-Eg內(nèi)的中子數(shù)Qg。

解：(1)由題意可知：

Q(E)s(E')(E')f(E'E)dE'Ec

對(duì)于氫介質(zhì)而言，一次碰撞就足以使中子越過(guò)中能區(qū)，可以認(rèn)為宏觀截面為常數(shù)：

Q(E)Ec

E/as(E')f(E'E)dE'在質(zhì)心系下，利用各向同性散射函數(shù)：

f(E'E)dE'dE'。已知(E'),有：E'(1)E'

Ecs1(EEc)sdE'dE'1

Q(E)ss()E/aE/a(l)E'2E'(1)E'(1)EcE/(1)EEc

Ec

(這里隱含一個(gè)前提：E/a>E')

(2)利用上一問(wèn)的結(jié)論:

QgEg1

EgEQ(E)dEs(l)EcEg1EgEg11EsEEgdEs(g1Ing

1)(1)EgE(l)EcEg

2-8.計(jì)算溫度為535.5K,密度為0.802X103kg/m3的H20的熱中子平均宏觀吸收截

解：已知H20的相關(guān)參數(shù)，M=18.015g/mol,P=0.802X103kg/m3,可得：

103NAO.8021066.0231023

N2.681028m-3M18.015

已知玻爾茲曼常數(shù)k=1.38X10-23J?K-1,則:

kTM=1.38X10-23X535.5=739.0(J)=0.4619(eV)

查附錄3,得熱中子對(duì)應(yīng)能量下，oa=0.664b,&=0.948,。s=103b,oa=

0.664b,由“1/v

*0.02網(wǎng),

”律：a(kTM)a0.4914(b)

由56頁(yè)(2-81)式，中子溫度：

TnTM[10.462Aa(kTM)218N0.4914]535.5[10.46]577.8(K)

sN103

對(duì)于這種“1/v”介質(zhì)，有：

%(0.0253)1293

L128V亍

0.664HoT

1.128V577.8

na0.4192(b)所以：aNa2.680.41081.123(m-1)

三章

3.1有兩束方向相反的平行熱中子束射到235U薄片上，設(shè)其上某點(diǎn)自左面入射的中子

束強(qiáng)度為1012cm-2?s-1,自右面入射的中子束強(qiáng)度2X1012cm-2?sT。計(jì)算：

(1)該點(diǎn)的中子通量密度；

(2)該點(diǎn)的中子流密度；

(3)設(shè)￡a=19.2X102m-1,求該點(diǎn)的吸收率。

解：(1)由定義可知：II3X1012(cm-2?s-1)(2)若以向右

為正方向：JII-1X1012(cm-2?s-1)

可見其方向垂直于薄片表面向左。

(3)Raa19.2?3X1012=5.76X1013(cm-3?s-1)

3.2設(shè)在x處中子密度的分布函數(shù)是

nn(x,E,)0ex/eaE(lcos)2

其中：入，a為常數(shù)，l*是與x軸的夾角。求：

(1)中子總密度n(x)；

(2)與能量相關(guān)的中子通量密度6(x,E)；

(3)中子流密度J(x,E)。

解：由于此處中子密度只與與x軸的夾角有關(guān)，不妨視U為極角，定義

在Y-Z平面的投影上與Z軸的夾角＜1＞

為方向角，則有：

(1)根據(jù)定義：

n0x/aEn(x)dEee(1cos)d042

2ndEdOex/eaE(1cos)sind0002

nOex/OedE(1cos)sindOaE

可見，上式可積的前提應(yīng)保證。＜0,則有:

aEx/en(x)nOe()(sindcossind)0a00

nOe

ax/(cos00)2n0eax/

(2)令mn

為中子質(zhì)量，則Emnv2/2v(E)

X/2￡7^[

(X,E)n(x,E)v(E)

cossincos4n(x,E,)d2n0ex/e(等價(jià)性證明：如果不作

坐標(biāo)變換，則依據(jù)投影關(guān)系可得：

則涉及角通量的、關(guān)于空間角的積分：

dsindcosdsind

2(cos)(sinsind)404400222000022

0002(1cos)dd(1sincos)sind對(duì)比：

dsinddsincosd

2(cos)(sincosd)404

4

2

(1cos)dd(1cos)sind

可知兩種方法的等價(jià)性。）（3）根據(jù)定義式:

J2E/〃小

J(x,E)

(x,E,)dn(x,E,)v(E)d

4

2

dcos(1cos)sind

nOex/eaEcossincos2sind

利用不定積分:

cosnlx

cosxsinxdxC（其中n為正整數(shù)），則:

J2七

久命產(chǎn)師

n1

n

J(x,E)nOex/ecos3

)

30

3.7設(shè)一立方體反應(yīng)堆，邊長(zhǎng)Q=9m。中子通量密度分布為

x,y,z31013cos(

已知D=0.84X10-2m,L=0.175mo試求：

x

a

)cos(

y

a

)cos(

z

a

)

(cm2s1)

(1)J(r)表達(dá)式；

(2)從兩端及側(cè)面每秒泄漏的中子數(shù);

(3)每秒被吸收的中子數(shù)(設(shè)外推距離很小可略去)。解：有必要將坐標(biāo)原點(diǎn)取在

立方體的幾何中心，以保證中子通量始終為正。為簡(jiǎn)化表達(dá)式起見，不妨設(shè)4>0=

3X1013cm-2*s-lo

(1)利用Fick'sLaw：

J(r)J(x,y,z)Dgrad(x,y,z)D(ijk)

xy

xyzyxz

nI.工、，，//rx、TTTZ.，/一

—Jsin"(——)cos~(—^-)cos~(——)+sin'(-^-)cos"(——)cos"(——)+sin-(—

aVaaaaaaa

zxyD0[sin()cos()cos()isin()cos()cos()jsin()cos0cosOk]

aaaaaaaaaa

J(r)J(r)

D0

2)先

計(jì)算上端面的泄漏率：

Lza/2

a/2a/2xy

J(r)kdSD0dxsin()cos()cos()dyS(za/2)a/2aa/22aa

a/2

a/2

axayaD0[sin()][sin()]4D0

aaa/2aa/2

同理可得，六個(gè)面上總的泄漏率為：

L=64D0a240.841023101310491.7X1017(s-l)3.14

其中,兩端面的泄漏率為L(zhǎng)/3=5.8X1016(s-1)；側(cè)面的泄漏率為L(zhǎng)-L/3=

1.2X1017(s-1)

(如果有同學(xué)把問(wèn)題理解成‘六個(gè)面'上總的泄漏，也不算錯(cuò))

(3)由L2D/a可得aD/L2

由于外推距離可忽略，只考慮堆體積內(nèi)的吸收反應(yīng)率：

a/2a/2a/2DxyzD2a3dxdycos0cos()cos()dz()20a/220a/2a/

2LaaaLVRadVadVV

20.841021381720-1310)1.24X10(s)20.1753.14

3.8圓柱體裸堆內(nèi)中子通量密度分布為

(r,z)1012cos(z

H)JO(2.405r)R(cm2s1)

其中，II,R為反應(yīng)堆的高度和半徑(假定外推距離可略去不計(jì))。試求：

(1)徑向和軸向的平均中子通量密度與最大中子通量密度之比；

(2)每秒從堆側(cè)表面和兩個(gè)端面泄漏的中子數(shù)；

(3)設(shè)H=7m,R=3m,反應(yīng)堆功率為10MW,。f,5=410b,求反應(yīng)堆內(nèi)235U

的裝載量。

解：有必要將坐標(biāo)原點(diǎn)取在圓柱體的幾何中心，以保證中子通量始終為正。為簡(jiǎn)化表達(dá)

式起見，不妨設(shè)60=1012cm-2-s-lo且借用上一題的D值。

(1)先考慮軸向：

z

且

H/2H/2dz/H/2H/2dzH/2H/20cos(H/2zH)J0(2.405r)dr/HR0HJ0(2.40

5rHz22.405r)[sin()]OJO()RHH/2Rz2.405r0sin()J0()在整

個(gè)堆內(nèi)只在z=0時(shí)為0,故有：zIIIIR

2.405rz,max(r,0)OJO()R

z/z,max

徑向:

R20J0(R2.405r2.405r2)/OJO()RRR2.405r)dr/R00011R

z2.405r2.405z2.405rOcos0JO)Ocos()JI()在整個(gè)堆內(nèi)只在r=

0時(shí)為0,故有：且rHRRHR

zr,max(0,z)OcosOH

RzR2.405rz2.405rr/r,maxOcos()JO()dr/ROcos()JOOdr/R

OHORHRrdr/drOcos(z)JO(

已知2.405

0J0(x)dx1.47,所以：

1.47R/R0.6112.405r/r,max

(2)先計(jì)算上端面的泄漏率:

LzH/2S(zH/2)

2J(r)ezdSR

0S(zH/2)Dgrad(r,z)ezdSDd02Rz2.405rrdr

Ddsin()rJ0()dr00zIIIIRzH/2zH/2

R2D0R2R2.405rD02JI⑵405)112.405R2.405110

2D0R2

JI(2.405)2.93X1014(s-1)易知，兩端面總泄漏率為22.405H

側(cè)面泄漏率:

LrRS(rR)J(r)erdS

H/2S(rR)Dgrad(r,z)erdSD2

0dRdzH/2rrR

JI,且已知JI(2.405)=0.5191,可得：利用Bessel函數(shù)微分關(guān)系式：JO

JO⑵405r/R)2.4052.405rJ1()rRR

所以：

LrR22.405IID02.40511zD02RJ1(2.405)[sin()JJI(2.405)4.68X

1014(s-1)R11H/2

619H/2(3)已知每次裂變釋能Ef200MeV200101.6103.21011(J)

PEffdVEfN5f,5dVVV

所以：N5

其中：PEff,5dVV

H/22RdVVH/2dzd0cos(00zH

R

0)J0(2.405r)rdrR20[H

sin(z

HH/2)]

H/2[rJ0(2.405r)dr]R

利用Bessel函數(shù)的積分關(guān)系式：xnjn1(x)dxxnjn,可得

rJO(2.405rR2.405r)drrjl()R2.405R

已知：Jl(0)=0,JI(2.405)=0.5191,所以：dV20

V2HR4RJK2.405)0HR2J1(2.405)=5.44X1017(m^-1)2.4052.405

所以：

N5P

Eff,5dV

V106/(3.2X10-11X410X10-28X5.44X1017)=1.40X1024(m-3)所需235U裝載

里：

m5103N5VM5/NA10-3X1.40X1024X3.14X32X7X235/(6.02X1023)=108

(kg)

3.9試計(jì)算E=0.025eV時(shí)的被和石墨的擴(kuò)散系數(shù)。

解：查附錄3可得，對(duì)于E=0.025eV的中子：

Be

C

對(duì)于Be：s/m-18.653.85100.92590.9444Dtr

3s

3(10)10.0416(m)3s(l0)

同理可得，對(duì)于C：D=0.0917(m)

3-12試計(jì)算T=535K,P=802kg/m3時(shí)水的熱中子擴(kuò)散系數(shù)和擴(kuò)散長(zhǎng)度。

解：查79頁(yè)表3-2可得，294K時(shí)：D0.0016m,由定義可知：

tr(T)/31/s(T)N(293K)s(293K)(293K)D(T)

D(293K)tr(293K)/31/s(293K)N(T)s(T)(T)

所以：

D(293K)D(293K)/0.00195(m)

(另一種方法：如果近似認(rèn)為水的微觀散射截面在熱能區(qū)為常數(shù)，且不受溫度影響，查

附表3可得：s1031028m2,100.676,a0.6641028m2

在T=535K,P=802kg/m3時(shí)，水的分子數(shù)密度：

103NAN103X802X6.02X1023/18=2.68X1028(m-3)M

所以：sNs276(m-1)

Dtr

3s

3(10)11/(3X2.68X103X0.676)=0.00179(m)3s(l0)

這一結(jié)果只能作為近似值)

中子溫度利用56頁(yè)(2-81)式計(jì)算:

TnTM[10.462Aa(kTM)2Aa(kTM)]TM[10.46]ss

其中，介質(zhì)吸收截面在中子能量等于kTM=7.28X1021J=0.0461eV

再利用“1/v”律:

VO.O253/O.(M61

a(kTM)a(0.0253eV0.4920(b)

Tn=535X(1+0.46X36X0.4920/103)=577(K)

(若認(rèn)為其值與在0.0253eV時(shí)的值相差不大，直接用0.0253eV熱中子數(shù)據(jù)計(jì)算:

Tn=535X(1+0.46X36X0.664/103)=592(K)

這是一種近似結(jié)果)

(另一種方法：查79頁(yè)表3-2,利用293K時(shí)的平均宏觀吸收截面與平均散射截面：

a(293K)1.97(m-l)s(293K)11/(3X0.0016X0.676)=308(m-1)

3D(293K)(10)

進(jìn)而可得到Tn=592K)

利用57頁(yè)(2-88)式

q(O.O253)[293

-M28V592

a0.414X10-28(m2)

aNa1.11(m-1)

sNsNs(293K)N(293K)s(293K)N(293K)(293K)

ss(293K)802/(3X1000X0.0016X0.676)=247(m-1

Ii

3、國(guó)（1一從）

3xl.llx247xO.676

)(293K)3(293K)D(293K)(10)

L0.0424(m)

(此題如果利用79頁(yè)(3-77)式來(lái)計(jì)算：

由于水是“1/v”介質(zhì)，非1/v修正因子為1：

L2L

代入中子溫度可得：

7/17592/293

V592/293

L0.02850.0340(m)

這是錯(cuò)誤的！因?yàn)?3-74)式是在(3-76)式基礎(chǔ)上導(dǎo)出的，而(3-76)式是柵格的計(jì)

算公式，其前提是核子數(shù)密度不隨溫度變化)

3.13如圖3-15所示，在無(wú)限介質(zhì)內(nèi)有兩個(gè)源強(qiáng)為Ss-1的點(diǎn)源，試求P1和P2點(diǎn)的中

子通量密度和中子流密度。解：按圖示定義平面坐標(biāo)。

0

假設(shè)該介質(zhì)無(wú)吸收、無(wú)散射，則在P2點(diǎn)，來(lái)自左右兩個(gè)點(diǎn)源的中子束流強(qiáng)度均為1+=

I-=S/4“a2,可知：X(P2)1(P2)I(P2)S/2a2

J(P)I(P)I(P222)0

在Pl

點(diǎn)，來(lái)自左右兩個(gè)點(diǎn)源的中子束流強(qiáng)度均為S/4)2,且其水平方向的投影分量恰好大

小相等、方向相

+

r(p2)I(P2)

反，可得：

2(Pl)I(P1)I(P1)

V2

y/2

S/4a

J(P)I(P)I(P)11128a其方向沿Y軸正向。

若考慮介質(zhì)對(duì)中子的吸收及散射，設(shè)總反應(yīng)截面為t,則上述結(jié)果變?yōu)椋?/p>

(P2)Sea/2a2J(P2)0(P)

S

Itta/42a

ta

J(Pl)8a2

(注意：如果有同學(xué)用解擴(kuò)散方程的方法，在有限遠(yuǎn)處的通量密度同時(shí)與x、y、z有

關(guān)。)

3-16設(shè)有一強(qiáng)度為I(m-2?sT)的平行中子束入射到厚度為a的無(wú)限平板層上。試

求：

(1)中子不遭受碰撞而穿過(guò)平板的概率；

(2)平板內(nèi)中子通量密度的分布；

(3)中子最終擴(kuò)散穿過(guò)平板的概率。

解：(1)I(a)/IOexp(ta)

(2)此情況相當(dāng)于一側(cè)有強(qiáng)度為I的源，建立以該側(cè)所在橫坐標(biāo)為x原點(diǎn)的一維坐標(biāo)

系，則擴(kuò)散方程為：d2(x)(x)20,dx2L

xOx0邊界條件：i.limj(x)I

ii.limjx(a)Oxa

方程普遍解為：(x)Ae

由邊界條件i可得：x/LCex/L

limj(x)lim(DxOxOd1ID)lim{D[Aex/LCex/L]}(AC)lxOdx

LLL

ILACD

由邊界條件ii可得：

Id(x)Aea/LCea/LAea/LCea/L

limj(a)Oxa46trdxxa46Ltrx(a)

A

所以：

23Ltr2a/LL2D2a/LCeCe23LtrL2DL2D2a/LILILlCeCCL2DDDe

2a/L12DL

2DL2a/LelLULA(1)2DLDD2DLe2a/LIe2a/L12DL2DL

2DL2a/LeILl(x)(ex/Lex/L)2DL2a/LD2DLe2a/Lle12DL2DL

IL(L2D)e(ax)/L(2DL)e(ax)/L

[]a/La/LD(L2D)e(2DL)e

(也可使用雙曲函數(shù)形式：

方程普遍解為：(x)Acosh(x/L)Csinh(x/L)由邊界條件i可得：

limj(x)lim(DxOxOdAxCxD)lim{D[sinh()cosh()]}ClxOdxLLL

LL

ILCD

由邊界條件ii可得：

Jx(a)(a)

4Id(x)

6trdxxaaaaaAcosh()Csinh()Asinh()CcoshO046Ltr

aaaacosh0/6Ltrsinh()/42Dcosh()Lsinh()ILACaaaacosh()/4sinh()

/6LtrDLcosh()2Dsinh()LLLL

所以：

aa2Dcosh()Lsinh()IL)cosh(x)sinh(x)](x)[(DLcosh(a)2Dsinh(a)LL

LL

可以證明這兩種解的形式是等價(jià)的)

(3)此問(wèn)相當(dāng)于求x=a處單位面積的泄漏率與源強(qiáng)之比：J

xxa

I

J(a)J(a)J(a)Dd(x)Illdxxxall(L2D)La/La/L(L2D)e

(L2D)e(L2D)4D

(L2D)ea/L(L2D)ea/L

(或用雙曲函數(shù)形式：

Jxxa

I2D)Lcosh(a/L)2Dsinh(a/L)

3-17設(shè)有如圖3-16所示的單位平板狀“燃料柵元”，燃料厚度為2a,柵元厚度為

2b,假定熱中子在慢化劑內(nèi)以均勻分布源(源強(qiáng)為S)出現(xiàn)。在柵元邊界上的中子流為零

(即假定柵元之間沒(méi)有中子的凈轉(zhuǎn)移)。試求：

(1)屏蔽因子Q,其定義為燃料表面上的中子通量密度與燃料內(nèi)平均中子通量密度之

比；

(2)中子被燃料吸收的份額。

解：(1)以柵元幾何中線對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)點(diǎn)為原點(diǎn)，建立一維橫坐標(biāo)系。在這樣對(duì)稱的

幾何條件下，對(duì)于所要解決的問(wèn)題，我們只需對(duì)x>0的區(qū)域進(jìn)行討論。

d2(x)(x)20,燃料內(nèi)的單能中子擴(kuò)散方程：dx2L

x00xa邊界條件：i.limj(x)0ii.lim(x)Sxa

通解形式為：(x)Acosh(x/L)Csinh(x/L)

利用Fick'sLaw：J(x)D

代入邊界條件i：D[d(x)AxCxD[sinh()cosh()]

dxLLLLAxCxDCsinh()cosh()]0C0LLLLx0L

a

LaLaLScosh(a/L)代入邊界條件ii：Acosh()CsinhOAcosh()SA

所以FdVdxlSacosh(a/L)dVdxFOa

FOaxlSLsinh(a/L)SLacosh()dxtanh()OLacosh(a/L)aLa

Scosh(a/L)

(a)aacosh(a/L)Qcoth()LFtanh(a/L)L

a

(2)把該問(wèn)題理解為“燃料內(nèi)中子吸收率/燃料和慢化劑內(nèi)總的中子吸收率”，設(shè)燃

料和慢化劑的宏觀吸收截面分

MF別為a和a,則有：

a

FFFadVFadVMFFaaFaLtanh(a/L)a回顧擴(kuò)散

bFMFMMFMadVadxadxaaFa(ba)SaLtanh(a/L)a(ba)

0

OaFadx

FF長(zhǎng)度的定義，可知：L2D/aaLD/L,所以上式化為：

FaLtanh(a/L)Dtanh(a/L)FMMaLtanh(a/L)a(ba)Dtanh(a/L)La(ba)

(這里是招慢化劑中的通量視為處處相同，大小為S,其在b處的流密度自然為0,但

在a處情況特殊：如果認(rèn)為其流密度也為0,就會(huì)導(dǎo)致沒(méi)有向燃料內(nèi)的凈流動(dòng)、進(jìn)而燃料

內(nèi)通量為。這一結(jié)論！所以對(duì)于這一極度簡(jiǎn)化的模型，應(yīng)理解其求解的目的，不要嚴(yán)格追

究每個(gè)細(xì)節(jié)。)

3-21

解：(1)建立以無(wú)限介質(zhì)內(nèi)任一點(diǎn)為原點(diǎn)的球坐標(biāo)系(對(duì)此問(wèn)題表達(dá)式較簡(jiǎn)單)，建

立擴(kuò)散方程：

Da2SBP：2aSDD

邊界條件：i.0,ii.J(r)0,0r設(shè)存在連續(xù)函數(shù)(r)滿足:

22aSl2DDL(l)(2)

2可見，函數(shù)(r)滿足方程由條件i可知：C=0,

lexp(r/L)exp(r/L)(r)AC,其通解形式：2Lrr

由方程(2)可得：(r)(r)S/aAexp(r/L)/rS/a

再由條件ii可知：A=0,所以:

S/a

(實(shí)際上，可直接由物理模型的特點(diǎn)看出通量處處相等這一結(jié)論，進(jìn)而其梯度為0)

(2)此時(shí)須以吸收片中線上任一點(diǎn)為原點(diǎn)建立一維直角坐標(biāo)系，先考慮正半軸，建立

擴(kuò)散方程：D2aS即：2aS,x>0DD

x0邊界條件：i.0||,ii.limj(x)at(0)/2,iii.

limj(x)0x

對(duì)于此“薄”吸收片，可以忽略其厚度內(nèi)通量的畸變。

參考上一問(wèn)中間過(guò)程，可得通解形式：(x)Aexp(x/L)Cexp(x/L)S/a

J(x)DdADx/LCDx/LeedxLL

由條件ii可得：

limj(x)xOADCDtStLS(AC)CA(AC)aaLL2a2Da

由條件iii可得：C=0所以：AatLSS(A)A2Da(1)atLa

x/LSSSx/Late(x)e[1]

2Dt(2D/L)aaa(1)atLa

對(duì)于整個(gè)坐標(biāo)軸，只須將式中坐標(biāo)加上絕對(duì)值號(hào)，證畢。

3-22

解：以源平面任一點(diǎn)為原點(diǎn)建立一維直角坐標(biāo)系，建立擴(kuò)散方程：

1(x),x021L122(x)22(x),x0L21(x)邊界條件：i.

lim1(x)lim2(x);xOxOii.lim[J(x)|x0J(x)|x0]S;0

iii.1(a)0;iv.2(b)0;

通解形式：1Alsinh(x/L)Clcosh(x/L),2A2sinh(x/L)C2cosh(x/L)由條

件i：ClC2

由條件ii：(1)

dIdDxxxxD2)lim[AlcoshOClsinhOA2cosh()C2sinh()]S

xOxOLdxdxLLLL

SLSLA2AlAlA2(2)DDlim(D

由條件iii、iv：

Alsinh(a/L)Clcosh(a/L)0Clcosh(a/L)Alsinh(a/L)(3)

(4)A2sinh(b/L)C2cosh(b/L)0C2cosh(b/L)A2sinh(b/L)

聯(lián)系(1)可得：AlA2tanh(b/L)/tanh(a/L)

結(jié)合(2)可得：A2SLtanh(b/L)SL/DA2A2

Dtanh(a/L)1tanh(b/L)/tanh(a/L)AlSL/D1tanh(a/L)/tanh(b/L)

SLtanh(a/L)tanh(b/L)/Dtanh(a/L)tanh(b/L)ClC2Altanh(a/L)

所以：

SLtanh(b/L)sinh(x/L)tanh(a/L)tanh(b/L)cosh(x/L)],x0D[tanh(b/L)ta

nh(a/L)

(x)SL[tanh(a/L)sinh(x/L)tanh(a/L)tanh(b/L)cosh(x/L)],x0tanh(b/L)

tanh(a/L)D

3-23

證明：以平板中線上任一點(diǎn)為原點(diǎn)建立一維直角坐標(biāo)系，先考慮正半軸，建立擴(kuò)散方

程：D2aSBR：2aS,x>0DD

x0邊界條件：i.0||,ii.limj(x)0,iii.(ad)0

參考21題，可得通解形式：(x)Asinh(x/L)Ccosh(x/L)S/a

J(x)DdADxCDxcosh()sinh()dxLLLL

AD0A0L由條件ii可得：

limj(x)x0adSS)0CadLaacosh()L

SxSScosh(x/L)所以：(x)cosh()[1]Laaacosh()cosh()LL再由條件

iii可得：(ad)Ccosh(

由于反曲余弦為偶函數(shù)，該解的形式對(duì)于整個(gè)坐標(biāo)軸都是適用的。證畢。

3-24設(shè)半徑為R的均勻球體內(nèi)，每秒每單位體積均勻產(chǎn)生S個(gè)中子，試求球體內(nèi)的中

子通量密度分布。解：以球心為原點(diǎn)建立球坐標(biāo)系，建立擴(kuò)散方程：

D2aS即：2aSDD

iii.Iim4rj(r)0r02邊界條件：i.0,ii..(Rd)0,

通解：(r)Aexp(r/L)exp(r/L)SCrra

2

r0由條件iii：

1im4rj(r)lim4D[A(rOrr1)er/LC(1)er/L]0ACLL

再由條件ii：

(Rd)ARdCRdSexp()exp(R)ORdLRdLa

(Rd)SARdRda[exp()exp()]LL

所以：(r)(Rd)S[exp(r/L)exp(r/L)]1SS(Rd)cosh(r/L)[1]

RdRdRdraaa[exp()expOJrcosh()LLL

(此時(shí)，limj(r)0)r0

第四章

4-1試求邊長(zhǎng)為a,b,c(包括外推距離)的長(zhǎng)方體裸堆的幾何曲率和中子通量密度分

布。設(shè)有一邊長(zhǎng)a=b=c=0.5m,c=0.6m(包括外推距離)的長(zhǎng)方體裸堆，L=0.0434m,

T=6cm2。(1)求達(dá)到臨界時(shí)所必須的k8；(2)如果功率為5000kW,Sf=4.01m-

1,求中子通量密度分布。

解：長(zhǎng)方體的幾何中心為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，則單群穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散方程為：

222D(222)aka0xyz

邊界條件：(a/2,y,z)(x,b/2,z)(x,y,c/2)0

(以下解題過(guò)程中不再?gòu)?qiáng)調(diào)外推距離，可以認(rèn)為所有外邊界尺寸已包含了外推距離)

因?yàn)槿齻€(gè)方向的通量變化是相互獨(dú)立的，利用分離變量法：(x,y,z)X(x)Y(y)Z(z)

k12X2Y2Z

2將方程化為：XYZL222X2Y2ZBx,By,Bz2設(shè)：XYZ

先考慮x方向，利用通解：X(x)AcosBxxCsinBxx代入邊界條件：

Acos(Bxan)0Bnx,n1,3,5,...Blx2aa同理可得：(x,y,z)Ocos(

其中60是待定常數(shù)。a

2x)cos(ay)cos(az)其幾何曲率：Bg()()()106.4(m-2)222

abc

(1)應(yīng)用修正單群理論，臨界條件變?yōu)?

其中：ML0.00248(m2)22k12Bg2M

k1.264

(2)只須求出通量表達(dá)式中的常系數(shù)<1>0

a

2a02b2b2c2c2PEffdVEffVcos(x)dxcos(y)dyabP(/2

)3cos(z)dzEffOabc()0cEffabc23

1.007X1018(m-2?s-l)

4-2設(shè)一重水-鈾反應(yīng)堆堆芯的k8=i.28,L2=l.8X10-2m2,T=1.20X10-2m2。試按

單群理論，修正單群理論的臨界方程分別求出該芯部材料曲率和達(dá)到臨界時(shí)總的中子不泄

漏概率。解：對(duì)于單群理論：Bm

在臨界條件下：2k115.56(m-2)2L110.781322221BgLlBmL

(或用1/k)

對(duì)于單群修正理論：ML0.03(m2)

2Bm22k19.33(m-2)2M

在臨界條件下：110.68\0.7813?22221BgMlBmM

(注意：這時(shí)仍能用1/k,實(shí)際上在維持臨界的前提條件下修正理論不會(huì)對(duì)不泄

漏概率產(chǎn)生影響，但此時(shí)的幾何曲率、幾何尺寸已發(fā)生了變化，不再是之前的系統(tǒng)了)

4-4

解：N510005NAN510005NAN5=4.79X1024(m-3),M5NCN5M5NC

NCN5NC4.79X1028(m-3)N5CT堆總吸收截面：aN5(55

f)NCa=0.344(m)

C5T總裂變截面：fN55fNCfN5f=0.280(m)

L2DD=2.61X10-2(m2)55CaN5(f)NCa

kvf

avN55fN5()NC

2

m55fCa=1.97555CklvN5fN5(f)NCa-2則材料曲率：B=37.3

(m)2LD

在臨界條件下：Bg()

d卬5"一M(a；+b；)+Neb;

Bm222

R

R考慮到外推距離：d2tr2D=0.018(m)3

(如有同學(xué)用d=0.7104tr也是正確的，但表達(dá)式相對(duì)復(fù)雜)再考慮到堆的平均密

度：5N5CNC

N5NC5512NC/235N51NC/N5=957(kg/m3)(或者由N1000NANM)實(shí)

際的臨界質(zhì)量：M1000NA

12NC/235N544(Rd)3552D]3=156(kg)m

n2D

X-)+NC

1NC/N533

4-5

證明：以球心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立球坐標(biāo)系，單群穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散方程：222