廣東省潮州市饒平縣饒平二中2023-2024學年高考數(shù)學押題試卷含解析

廣東省潮州市饒平縣饒平二中2023-2024學年高考數(shù)學押題試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．我國古代數(shù)學巨著《九章算術(shù)》中，有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何？”這個問題用今天的白話敘述為：有一位善于織布的女子，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這位女子每天分別織布多少？根據(jù)上述問題的已知條件，若該女子共織布尺，則這位女子織布的天數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．12．如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個動點E、F且EF=，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A．AC⊥BE B．EF平面ABCDC．三棱錐A-BEF的體積為定值 D．異面直線AE,BF所成的角為定值3．當時，函數(shù)的圖象大致是（）A． B．C． D．4．若復數(shù)（）是純虛數(shù)，則復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有4個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．6．設正項等比數(shù)列的前n項和為，若，，則公比（）A． B．4 C． D．27．已知數(shù)列的首項，且，其中，，，下列敘述正確的是（）A．若是等差數(shù)列，則一定有 B．若是等比數(shù)列，則一定有C．若不是等差數(shù)列，則一定有 D．若不是等比數(shù)列，則一定有8．已知函數(shù)，若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．9．已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．10．下列與的終邊相同的角的表達式中正確的是()A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)11．命題：存在實數(shù)，對任意實數(shù)，使得恒成立；：，為奇函數(shù)，則下列命題是真命題的是（）A． B． C． D．12．“一帶一路”是“絲綢之路經(jīng)濟帶”和“21世紀海上絲綢之路”的簡稱，旨在積極發(fā)展我國與沿線國家經(jīng)濟合作關(guān)系，共同打造政治互信、經(jīng)濟融合、文化包容的命運共同體.自2015年以來，“一帶一路”建設成果顯著.如圖是2015—2019年，我國對“一帶一路”沿線國家進出口情況統(tǒng)計圖，下列描述錯誤的是()A．這五年，出口總額之和比進口總額之和大B．這五年，2015年出口額最少C．這五年，2019年進口增速最快D．這五年，出口增速前四年逐年下降二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若雙曲線C：（，）的頂點到漸近線的距離為，則的最小值________.14．函數(shù)的值域為_____.15．已知兩動點在橢圓上，動點在直線上，若恒為銳角，則橢圓的離心率的取值范圍為__________．16．已知橢圓的下頂點為，若直線與橢圓交于不同的兩點、，則當_____時，外心的橫坐標最大．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知在平面四邊形中，的面積為.（1）求的長；（2）已知，為銳角，求.18．（12分）下表是某公司2018年5~12月份研發(fā)費用（百萬元）和產(chǎn)品銷量（萬臺）的具體數(shù)據(jù)：月份56789101112研發(fā)費用（百萬元）2361021131518產(chǎn)品銷量（萬臺）1122.563.53.54.5（Ⅰ）根據(jù)數(shù)據(jù)可知與之間存在線性相關(guān)關(guān)系，求出與的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；（Ⅱ）該公司制定了如下獎勵制度：以（單位：萬臺）表示日銷售，當時，不設獎；當時，每位員工每日獎勵200元；當時，每位員工每日獎勵300元；當時，每位員工每日獎勵400元.現(xiàn)已知該公司某月份日銷售（萬臺）服從正態(tài)分布（其中是2018年5-12月產(chǎn)品銷售平均數(shù)的二十分之一），請你估計每位員工該月（按30天計算）獲得獎勵金額總數(shù)大約多少元.參考數(shù)據(jù)：，，，，參考公式：相關(guān)系數(shù)，其回歸直線中的，若隨機變量服從正態(tài)分布，則，.19．（12分）已知函數(shù)是減函數(shù).（1）試確定a的值；（2）已知數(shù)列，求證：.20．（12分）已知矩陣的一個特征值為4，求矩陣A的逆矩陣.21．（12分）已知函數(shù)，．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在上的最小值和最大值．22．（10分）在平面直角坐標系中，已知點，曲線：（為參數(shù)）以原點為極點，軸正半軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.（Ⅰ）判斷點與直線的位置關(guān)系并說明理由；（Ⅱ）設直線與曲線的兩個交點分別為，，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

將問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題，最終變?yōu)榍蠼獾缺葦?shù)列基本量的問題.【詳解】根據(jù)實際問題可以轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題，在等比數(shù)列中，公比，前項和為，，，求的值．因為，解得，，解得．故選B．【點睛】本題考查等比數(shù)列的實際應用，難度較易.熟悉等比數(shù)列中基本量的計算，對于解決實際問題很有幫助.2、D【解析】

A．通過線面的垂直關(guān)系可證真假；B．根據(jù)線面平行可證真假；C．根據(jù)三棱錐的體積計算的公式可證真假；D．根據(jù)列舉特殊情況可證真假.【詳解】A．因為，所以平面，又因為平面，所以，故正確；B．因為，所以，且平面，平面，所以平面，故正確；C．因為為定值，到平面的距離為，所以為定值，故正確；D．當，，取為，如下圖所示：因為，所以異面直線所成角為，且，當，，取為，如下圖所示：因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以異面直線所成角為，且，由此可知：異面直線所成角不是定值，故錯誤.故選：D.【點睛】本題考查立體幾何中的綜合應用，涉及到線面垂直與線面平行的證明、異面直線所成角以及三棱錐體積的計算，難度較難.注意求解異面直線所成角時，將直線平移至同一平面內(nèi).3、B【解析】由，解得，即或，函數(shù)有兩個零點，，不正確，設，則，由，解得或，由，解得：，即是函數(shù)的一個極大值點，不成立，排除，故選B.【方法點晴】本題通過對多個圖象的選擇考察函數(shù)的解析式、定義域、值域、單調(diào)性，導數(shù)的應用以及數(shù)學化歸思想，屬于難題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點是綜合性較強較強、考查知識點較多，但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點以及時函數(shù)圖象的變化趨勢，利用排除法，將不合題意選項一一排除.4、B【解析】

化簡復數(shù)，由它是純虛數(shù)，求得，從而確定對應的點的坐標．【詳解】是純虛數(shù)，則，，，對應點為，在第二象限．故選：B．【點睛】本題考查復數(shù)的除法運算，考查復數(shù)的概念與幾何意義．本題屬于基礎題．5、C【解析】

求導，先求出在單增，在單減，且知設，則方程有4個不同的實數(shù)根等價于方程在上有兩個不同的實數(shù)根，再利用一元二次方程根的分布條件列不等式組求解可得.【詳解】依題意，，令，解得，，故當時，，當，，且，故方程在上有兩個不同的實數(shù)根，故，解得.故選：C.【點睛】本題考查確定函數(shù)零點或方程根個數(shù).其方法：(1)構(gòu)造法：構(gòu)造函數(shù)(易求，可解)，轉(zhuǎn)化為確定的零點個數(shù)問題求解，利用導數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性、極值，并確定定義區(qū)間端點值的符號(或變化趨勢)等，畫出的圖象草圖，數(shù)形結(jié)合求解；(2)定理法：先用零點存在性定理判斷函數(shù)在某區(qū)間上有零點，然后利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)及區(qū)間端點值符號，進而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點的個數(shù).6、D【解析】

由得，又，兩式相除即可解出．【詳解】解：由得，又，∴，∴，或，又正項等比數(shù)列得，∴，故選：D．【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)的應用，屬于基礎題．7、C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義進行判斷即可.【詳解】A：當時，，顯然符合是等差數(shù)列，但是此時不成立，故本說法不正確；B：當時，，顯然符合是等比數(shù)列，但是此時不成立，故本說法不正確；C：當時，因此有常數(shù)，因此是等差數(shù)列，因此當不是等差數(shù)列時，一定有，故本說法正確；D：當時，若時，顯然數(shù)列是等比數(shù)列，故本說法不正確.故選：C【點睛】本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，考查了推理論證能力，屬于基礎題.8、B【解析】

根據(jù)所給函數(shù)解析式，畫出函數(shù)圖像.結(jié)合圖像，分段討論函數(shù)的零點情況：易知為的一個零點；對于當時，由代入解析式解方程可求得零點，結(jié)合即可求得的范圍；對于當時，結(jié)合導函數(shù)，結(jié)合導數(shù)的幾何意義即可判斷的范圍.綜合后可得的范圍.【詳解】根據(jù)題意，畫出函數(shù)圖像如下圖所示：函數(shù)的零點，即.由圖像可知，，所以是的一個零點，當時，，若，則，即，所以，解得；當時，，則，且若在時有一個零點，則，綜上可得，故選：B.【點睛】本題考查了函數(shù)圖像的畫法，函數(shù)零點定義及應用，根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，導數(shù)的幾何意義應用，屬于中檔題.9、D【解析】

與中間值1比較，可用換底公式化為同底數(shù)對數(shù)，再比較大?。驹斀狻?，，又，∴，即，∴．故選：D.【點睛】本題考查冪和對數(shù)的大小比較，解題時能化為同底的化為同底數(shù)冪比較，或化為同底數(shù)對數(shù)比較，若是不同類型的數(shù)，可借助中間值如0，1等比較．10、C【解析】

利用終邊相同的角的公式判斷即得正確答案.【詳解】與的終邊相同的角可以寫成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制與弧度制不能混用，所以只有答案C正確.故答案為C【點睛】（1）本題主要考查終邊相同的角的公式，意在考查學生對該知識的掌握水平和分析推理能力.(2)與終邊相同的角=+其中.11、A【解析】

分別判斷命題和的真假性，然后根據(jù)含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假性判斷出正確選項.【詳解】對于命題，由于，所以命題為真命題.對于命題，由于，由解得，且，所以是奇函數(shù)，故為真命題.所以為真命題.、、都是假命題.故選：A【點睛】本小題主要考查誘導公式，考查函數(shù)的奇偶性，考查含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假性的判斷，屬于基礎題.12、D【解析】

根據(jù)統(tǒng)計圖中數(shù)據(jù)的含義進行判斷即可.【詳解】對A項，由統(tǒng)計圖可得，2015年出口額和進口額基本相等，而2016年到2019年出口額都大于進口額，則A正確；對B項，由統(tǒng)計圖可得，2015年出口額最少，則B正確；對C項，由統(tǒng)計圖可得，2019年進口增速都超過其余年份，則C正確；對D項，由統(tǒng)計圖可得，2015年到2016年出口增速是上升的，則D錯誤；故選：D【點睛】本題主要考查了根據(jù)條形統(tǒng)計圖和折線統(tǒng)計圖解決實際問題，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)雙曲線的方程求出其中一條漸近線，頂點，再利用點到直線的距離公式可得，由，利用基本不等式即可求解.【詳解】由雙曲線C：（，，可得一條漸近線，一個頂點，所以，解得，則，當且僅當時，取等號，所以的最小值為.故答案為：【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)、點到直線的距離公式、基本不等式求最值，注意驗證等號成立的條件，屬于基礎題.14、【解析】

利用配方法化簡式子，可得，然后根據(jù)觀察法，可得結(jié)果.【詳解】函數(shù)的定義域為所以函數(shù)的值域為故答案為：【點睛】本題考查的是用配方法求函數(shù)的值域問題，屬基礎題。15、【解析】

根據(jù)題意可知圓上任意一點向橢圓所引的兩條切線互相垂直，恒為銳角，只需直線與圓相離，從而可得，解不等式，再利用離心率即可求解.【詳解】根據(jù)題意可得，圓上任意一點向橢圓所引的兩條切線互相垂直，因此當直線與圓相離時，恒為銳角，故，解得從而離心率.故答案為：【點睛】本題主要考查了橢圓的幾何性質(zhì)，考查了邏輯分析能力，屬于中檔題.16、【解析】

由已知可得、的坐標，求得的垂直平分線方程，聯(lián)立已知直線方程與橢圓方程，求得的垂直平分線方程，兩垂直平分線方程聯(lián)立求得外心的橫坐標，再由導數(shù)求最值．【詳解】如圖，由已知條件可知，不妨設，則外心在的垂直平分線上，即在直線，也就是在直線上，聯(lián)立，得或，的中點坐標為，則的垂直平分線方程為，把代入上式，得，令，則，由，得（舍）或．當時，，當時，.當時，函數(shù)取極大值，亦為最大值．故答案為：.【點睛】本題考查直線與橢圓位置關(guān)系的應用，訓練了利用導數(shù)求最值，是中等題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）4.【解析】

（1）利用三角形的面積公式求得，利用余弦定理求得.（2）利用余弦定理求得，由此求得，進而求得，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得.【詳解】（1）在中，由面積公式：在中，由余弦定理可得：（2）在中，由余弦定理可得：在中，由正弦定理可得:，為銳角.【點睛】本小題主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形面積公式，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，屬于中檔題.18、（Ⅰ）（Ⅱ）7839.3元【解析】

（Ⅰ）由題意計算x、y的平均值,進而由公式求出回歸系數(shù)b和a,即可寫出回歸直線方程;（Ⅱ）由題意計算平均數(shù)μ，得出z~N(μ,)，求出日銷量z∈[0.13,0.15)、[0.15,0.16)和[0.16,+∞)的概率，計算獎金總數(shù)是多少.【詳解】（Ⅰ）因為，，因為，所以，所以；（Ⅱ）因為，所以，故即，日銷量的概率為，日銷量的概率為，日銷量的概率為，所以獎金總數(shù)大約為：（元）.【點睛】本題考查利用最小二乘法求回歸直線方程，還考查了利用正態(tài)分布計算概率，進而估計總體情況，屬于中檔題.19、（Ⅰ）（Ⅱ）見證明【解析】

（Ⅰ）求導得，由是減函數(shù)得，對任意的，都有恒成立，構(gòu)造函數(shù)，通過求導判斷它的單調(diào)性，令其最大值小于等于0，即可求出；（Ⅱ）由是減函數(shù)，且可得，當時，，則，即，兩邊同除以得，，即，從而，兩邊取對數(shù)，然后再證明恒成立即可，構(gòu)造函數(shù)，，通過求導證明即可．【詳解】解：（Ⅰ）的定義域為，.由是減函數(shù)得，對任意的，都有恒成立.設.∵，由知，∴當時，；當時，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴在時取得最大值.又∵，∴對任意的，恒成立，即的最大值為.∴，解得.（Ⅱ）由是減函數(shù)，且可得，當時，，∴，即.兩邊同除以得，，即.從而，所以①.下面證；記，.∴，∵在上單調(diào)遞增，∴在上單調(diào)遞減，而，∴當時，恒成立，∴在上單調(diào)遞減，即時，，∴當時，.∵，∴當時，，即②.綜上①②可得，.【點睛】本題考查了導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)