2022年遼寧省大連市博思中學(xué)高一數(shù)學(xué)文期末試題含解析

2022年遼寧省大連市博思中學(xué)高一數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)O在△ABC的內(nèi)部，且，則△ABC的面積與的面積之比為（）A.3 B.4 C.5 D.6參考答案：B【分析】根據(jù)平面向量的幾何運(yùn)算可知O為線段CD的中點(diǎn)，從而得到答案.【詳解】∵D為AB的中點(diǎn)，則，又，，為CD的中點(diǎn)．又為AB的中點(diǎn)，，則【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)向量在幾何中的應(yīng)用問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有中線向量的特征，再者就是三角形的面積之間的關(guān)系，屬于簡(jiǎn)單題目.2.已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．若λ為實(shí)數(shù)，（+λ）∥，則λ=（）A． B． C．1 D．2參考答案：B【考點(diǎn)】9K：平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示．【分析】根據(jù)所給的兩個(gè)向量的坐標(biāo)，寫(xiě)出要用的+λ向量的坐標(biāo)，根據(jù)兩個(gè)向量平行，寫(xiě)出兩個(gè)向量平行的坐標(biāo)表示形式，得到關(guān)于λ的方程，解方程即可．【解答】解：∵向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．∴=（1+λ，2）∵（+λ）∥，∴4（1+λ）﹣6=0，∴故選B．3.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且BC邊上的高為，則的最大值是（

）A.8 B.6 C. D.4參考答案：D，這個(gè)形式很容易聯(lián)想到余弦定理：cosA，①而條件中的“高”容易聯(lián)想到面積，bcsinA，即a2＝2bcsinA，②將②代入①得：b2＋c2＝2bc(cosA＋sinA)，∴＝2(cosA＋sinA)＝4sin(A＋)，當(dāng)A＝時(shí)取得最大值4，故選D．點(diǎn)睛：三角形中最值問(wèn)題，一般轉(zhuǎn)化為條件最值問(wèn)題:先根據(jù)正、余弦定理及三角形面積公式結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，利用基本不等式或函數(shù)方法求最值.在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.4.（5分）函數(shù)y=lnx﹣6+2x的零點(diǎn)為x0，則x0∈（） A． （1，2） B． （2，3） C． （3，4） D． （5，6）參考答案：B考點(diǎn)： 二分法求方程的近似解．專(zhuān)題： 計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 可判斷函數(shù)y=lnx﹣6+2x連續(xù)，從而由零點(diǎn)的判定定理求解．解答： 函數(shù)y=lnx﹣6+2x連續(xù)，且y|x=2=ln2﹣6+4=ln2﹣2＜0，y|x=3=ln3﹣6+6=ln3＞0；故函數(shù)y=lnx﹣6+2x的零點(diǎn)在（2，3）之間，故x0∈（2，3）；故選B．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)的判定定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5.若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A、m＜

B、m＜0

C、m＞

D、m≤參考答案：A6.三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系為（

）A.

B.C．

D.參考答案：D

解析：當(dāng)范圍一致時(shí)，；當(dāng)范圍不一致時(shí)，注意比較的方法，先和比較，再和比較7.已知，則的值等于(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：A8.

函數(shù)的部分圖象如右圖所示，則A．

B．C．

D．參考答案：D略9.（5分）函數(shù)y=的定義域是（） A． （，+∞） B． [，+∞） C． （﹣∞，） D． （﹣∞，]參考答案：B考點(diǎn)： 函數(shù)的定義域及其求法．專(zhuān)題： 計(jì)算題．分析： 原函數(shù)只含一個(gè)根式，只需根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0即可．解答： 要使函數(shù)有意義，則需2x﹣1≥0，即x≥，所以原函數(shù)的定義域?yàn)閇，+∞）．故選：B．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了函數(shù)定義域的求法，求解函數(shù)定義域，就是求使構(gòu)成函數(shù)解析式各部分有意義的自變量的取值范圍．10.正數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的圖象必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)___________參考答案：略12.方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為

.參考答案：213.用數(shù)學(xué)歸納法證明：時(shí)，從“k到k+1”左邊需增加的代數(shù)式是________________．參考答案：【分析】寫(xiě)出時(shí)的表達(dá)式，然后寫(xiě)出時(shí)的表達(dá)式，由此判斷出增加的代數(shù)式.【詳解】當(dāng)時(shí)，左邊為，左邊的固定，當(dāng)時(shí)，左邊為，化簡(jiǎn)得，故增加的項(xiàng)為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的概念以及運(yùn)用，考查觀察與思考的能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.14.某種病毒每經(jīng)30分鐘由1個(gè)病毒可分裂成2個(gè)病毒，經(jīng)過(guò)x小時(shí)后，病毒個(gè)數(shù)y與時(shí)間x（小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系式為，經(jīng)過(guò)5小時(shí)，1個(gè)病毒能分裂成個(gè)．參考答案：y=4x，1024．【考點(diǎn)】函數(shù)解析式的求解及常用方法；函數(shù)的值．【專(zhuān)題】計(jì)算題；應(yīng)用題；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】可以通過(guò)歸納的方法得出病毒個(gè)數(shù)y與x（小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系式：分別求經(jīng)過(guò)1個(gè)30分鐘，2個(gè)30分鐘，3個(gè)30分鐘病毒所分裂成的個(gè)數(shù)，從而得出x小時(shí)后所分裂的個(gè)數(shù)y，即得出y，x的函數(shù)關(guān)系式，而令關(guān)系式中的x=5便可得出經(jīng)過(guò)5小時(shí)，一個(gè)病毒所分裂成的個(gè)數(shù)．【解答】解：設(shè)原有1個(gè)病毒；經(jīng)過(guò)1個(gè)30分鐘變成2=21個(gè)；經(jīng)過(guò)2個(gè)30分鐘變成2×2=4=22個(gè)；經(jīng)過(guò)3個(gè)30分鐘變成4×2=8=23個(gè)；…經(jīng)過(guò)個(gè)30分鐘變成22x=4x個(gè)；∴病毒個(gè)數(shù)y與時(shí)間x（小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系式為y=4x；∴經(jīng)過(guò)5小時(shí)，1個(gè)病毒能分裂成45=1024個(gè)．故答案為：y=4x，1024．【點(diǎn)評(píng)】考查根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立函數(shù)關(guān)系式的方法，以及歸納的方法得出函數(shù)關(guān)系式，已知函數(shù)求值的方法．15.設(shè)則。參考答案：16.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是

▲

.參考答案：略17.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知y=f（x）的定義域?yàn)閇1，4]，f（1）=2，f（2）=3，當(dāng)x∈[1，2]時(shí)f（x）的圖象為線段，當(dāng)x∈[2，4]時(shí)f（x）的圖象為二次函數(shù)圖象的一部分，且頂點(diǎn)為（3，1）（1）求f（x）的解析式；（2）畫(huà)出f（x）的圖象并求f（x）的值域．參考答案：【考點(diǎn)】3W：二次函數(shù)的性質(zhì)；36：函數(shù)解析式的求解及常用方法．【分析】（1）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)f（x）的圖象為線段，由此能求出x∈[2，4]時(shí)，f（x）的圖象為二次函數(shù)的一部分，且頂點(diǎn)為（3，1），由此能求出f（x）=2（x﹣3）2+1．（2）當(dāng)x∈[1，2]，2≤f（x）≤3，當(dāng)x∈[2，4]，1≤f（x）≤3，由此能求出f（x）的值域．【解答】解：（1）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)f（x）的圖象為線段，設(shè)f（x）=ax+b，又有f（1）=2，f（2）=3∵a+b=2，2a+b=3，解得a=1，b=1，f（x）=x+1，當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，f（x）的圖象為二次函數(shù)的一部分，且頂點(diǎn)為（3，1），設(shè)f（x）=a（x﹣3）2+1，又f（2）=3，所以代入得a+1=3，a=2，f（x）=2（x﹣3）2+1．（2）由（1），f（x）的圖象如圖所示：當(dāng)x∈[1，2]，2≤f（x）≤3，當(dāng)x∈[2，4]，1≤f（x）≤3，所以1≤f（x）≤3．故f（x）的值域?yàn)閇1，3]．19.已知關(guān)于x的方程4x2－2(m+1)x+m=0的兩個(gè)根恰好是一個(gè)直角三角形的兩個(gè)銳角的余弦，求實(shí)數(shù)m的值．

參考答案：解：設(shè)直角三角形的兩個(gè)銳角分別為α、β，則可得α+β=，∴cosα=sinβ∵方程4x2－2(m+1)x+m=0中，Δ=4（m+1)2－4·4m=4(m－1)2≥0∴當(dāng)m∈R，方程恒有兩實(shí)根.又∵cosα+cosβ=sinβ+cosβ=，cosα·cosβ=sinβcosβ=∴由以上兩式及sin2β+cos2β=1，得1+2·=()2解得m=±----6分當(dāng)m=時(shí)，cosα+cosβ=＞0，cosα·cosβ=＞0，滿足題意，--8分當(dāng)m=－時(shí)，cosα+cosβ=＜0，這與α、β是銳角矛盾，應(yīng)舍去.綜上，m=----------10分

略20.定義滿足“如果a∈A，b∈A，那么a±b∈A，且ab∈A，且∈A(b≠0)”的集合A為“閉集”．試問(wèn)數(shù)集N，Z，Q，R是否分別為“閉集”？若是，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不是，請(qǐng)舉反例說(shuō)明．參考答案：解：①數(shù)集N，Z不是“閉集”，例如，3∈N，2∈N，而＝1.5?N；3∈Z，－2∈Z，而＝－1.5?Z，故N，Z不是閉集．②數(shù)集Q，R是“閉集”．由于兩個(gè)有理數(shù)a與b的和，差，積，商，即a±b，ab，(b≠0)仍是有理數(shù)，所以Q是閉集，同理R也是閉集．

21.（本小題滿分13分）

已知函數(shù)..

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

（Ⅱ）將的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，然后縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，可得到函數(shù)的圖像，求的對(duì)稱軸；（Ⅲ）若，，求的值．參考答案：(Ⅰ)∵.

即

……………2分

由得

∴的遞減區(qū)間為.

……………4分

(Ⅱ)

……………6分

由

的對(duì)稱軸方程為

……………8分

(Ⅲ)∵,

∴

……………10分

∴．