第三屆華杯賽決賽一試試題答案

第三屆華杯賽決賽一試試題答案第三屆華杯賽決賽一試試題答案參照答案第三屆華杯賽決賽一試試題答案：1.原式等于2.360的約數(shù)有24個，這些約數(shù)的和是11703.在第3939行中，自左至右第1949個1.【解】原式===2.【解】360=2×2×2×3×3×5=23×32×5所以360有(3+1)×(2+1)×(1+1)=24個約數(shù)約數(shù)的和是(1+2+22+23)×(1十3+32)×(1十5)=11703.【解】我們先注意，第一行的每個數(shù)的分子、分母之和等于2，第二行的每個數(shù)的分子、分母之和等于3，…，第五行的每個數(shù)的分子、分母之和等于6。由此可看到一個規(guī)律，就是每行各數(shù)的分子、分母之和等于行數(shù)加1.其次，很顯然可以看出，每行第一個數(shù)的分母是1，第二個數(shù)的分母是2.…，即自左起第幾個數(shù)的分母就是幾.因此，所在的行數(shù)等于1991+1949-1=3939。而在第3939行中，位于自左至右第1949個.4.【解】我們來一條一條地畫直線.畫第一條直線將圓形紙片劃分成2塊。畫第二條直線，如果與第一條直線在圓內(nèi)相交，則將圓形紙片劃分成4塊(增加了2塊)，否則只能劃分成3塊。類似地，畫第三條直線，如果與前兩條直線都在圓內(nèi)相交，且交點互不相同(即沒有3條直線交于一點)，則將圓形紙片劃分成7塊(增加了3塊)，否則劃分的塊數(shù)少于7塊。以下圖是畫3條直線的各種情形由此可見，假設(shè)希望將紙片劃分成盡可能多的'塊教，應該使新畫出的直線與原有的直線都在圓內(nèi)相交，且交點互不相同。這時增加的塊數(shù)等于直線的條數(shù)。這樣劃分出的塊數(shù),列表如下：直線條數(shù)紙片最多劃分成的塊數(shù)11+121+1+231+1+2+351+1+2+3+451+1+2+3+4+5不難看出，表中每行右邊的數(shù)等于1加上從1到行數(shù)的所有整數(shù)的和。因為1+1+2+3+…+10=56，1+1+2+3+…+9=46，可見第9行右邊還不到50，而第10行右邊已經(jīng)超過50了.答：至少要畫10條直線.5.【解】我們先畫一個圖如下，其中A是學校，B是工廠，C是汽車和勞模相遇的地點。汽車從A到B往返必需1小時，即從A到B必需30分鐘，汽車從A到C往返用了40分鐘，即從A到C必需20分鐘，從而從C到B必需30-20=10(分鐘)。因為汽車到達C點是2點20分，所以勞模從B到C共用60+20=80(分鐘)，從而汽車速度是勞模步行速度的8(=80÷10)倍。6.【解】由于1990是偶數(shù)，在第一圈操作中，一共取走=995枚白子，其中最后取的是黑子前面的一個子(即反時針方向第一個子)。這時還剩下995枚白子.下一次取走黑子后面一個子(即順時針方向第一個)。由于995是奇數(shù)，第二圈操作最后取的仍是黑子前面的一個子，共取走=498枚白子，還剩下497枚白子。類似地，第三圈操作取走=249枚白子，還剩下248枚白子。由于248是偶數(shù)，第四圈操作最后取走黑子，這時圓周上還剩下=124枚白子關(guān)于第二屆華杯賽決賽第一試的試題答案關(guān)于第二屆華杯賽決賽第一試的試題答案決賽第一試試題與解答圖55的30個格子中各有一個數(shù)字，最上面一橫行和最左面一豎列的數(shù)字已經(jīng)填好，其余每個格子中的數(shù)字等于同一橫行最左面數(shù)字與同一豎到最上面數(shù)字之和(例如a=14+17=31)。問這30個數(shù)字的總和等于多少?×(12+14+16+18)再從列看，與11同一列的五個格子中都有11這個數(shù)。所以在總和數(shù)中有五個11這個救。同樣分析，總和數(shù)中有五個13，五個15，五個17，五個19，它們之和是：5×(11+13+15+17+19)方格子中還有一個數(shù)10，此外，沒有別的數(shù)了。所以總和數(shù)=6×(12+14+16+18)+5×(11+13+17+19)+10=745第二屆華杯賽決賽第一試試題答案：[分析與討論]這道題，有的同學按填數(shù)規(guī)則把每個格于上的數(shù)都填出來，然后用硬加的辦法求出總和數(shù)。這樣做法個可取，因為如果行數(shù)列數(shù)很大時，這樣做的計算最大，硬加就很困難。因此應該采納巧算法。本題還有其它的巧算法，這里就不再表達了。另外必需要提醒的是，不少問學思路是正確的，但忘了加10這個數(shù)。同學們不要輕視這種疏忽。本題求一些數(shù)的和，在表現(xiàn)形式上是有新意的，平常同學們常做的求和問題，多數(shù)是求一串數(shù)的和，而本題是求一個表上所有數(shù)字之和。這種填著數(shù)的表格在工農(nóng)業(yè)和科學試驗上是常用的。平行四邊形ABCD周長為75厘米，以BC為底時高是14厘米(圖57);以CD為底時高是16厘米。求：平行四邊形ABCD的面積。[解法]平行四邊形的面積=底×高所以，平行四邊形ABCD的面積S=BC×14，同樣S=CD×16，也就是CD=S。所以BC+CD=S+S=(+)×S這就是×75=(+)×SS=280(平方厘米)答：平行四邊形ABCD的面積是280平方厘米。[分析與討論]本題是求面積問題，解法很多。問學們可以試試其它解法再和上面的解法比較一下，看看哪種方法最簡便?同一個問題，可以從不同角把它看成不同的數(shù)學問題，比如本題可以看成求面積問題，也可以看成“工程問題。這種能力的培養(yǎng)也是非常重要的。一段路程分成上坡、平路、下坡三段。各段路程長之比依次是1∶2∶3三人走各段路所用時間之比次依是4∶5∶6。已知他上坡時速度為每小時3公里.路程全長50公里。問此人走完全程用了多少時間?[解法]上坡時間是(上坡路程)÷(上坡的速度)=50×÷3=(小時)上坡時間占全程時間的所以，全程時間=(小時)==(小時)答：此人走完全程共用了小時。[分析與討論]這是一道比例題。比例問題在代數(shù)和幾何中都很重要。在小學算術(shù)課本中也有不少比例問題，主要是搞清楚部分與整體的關(guān)系。在進一步學習過程中，同學們會不斷得到有關(guān)知識與技能。小玲有兩種不同形狀的紙板。一種是正方形的，一種是長方形的(圖58)。正方形紙板的總數(shù)與長方形紙板的總數(shù)之比是1∶2。她用這些紙板做成一些豎式和橫式的無蓋紙盒(圖59)。正好將紙板用完，在小玲所做的'紙盒中、豎式紙盒的總數(shù)與橫式紙盒的總數(shù)之比是多少?[解法1]設(shè)豎式盒總數(shù)：橫式盒總數(shù)=X∶1長方形紙板數(shù)量=(4X+3)×(橫式盒的總數(shù));正方形紙板數(shù)量=(X+2)×(橫式盒的總數(shù))。所以4X+3=2×(X+2)X=答：豎式紙盒的總數(shù)與橫式紙盒的總數(shù)之比是1∶2。[解法2]如果把無蓋紙盒都加上了蓋子。那么，無論盒是豎式的還是橫式的，在加蓋以后都用了兩塊正方形紙板四塊長方形紙板。因此，加蓋以后所用的正方形紙板總數(shù)長方形紙板總數(shù)之比是2∶4=1∶2。而在加蓋以前所用正方形紙板總數(shù)與長方形紙板總數(shù)之比恰好也是1∶2。由此可見，所加的蓋子中正方形的比是1∶2，因為豎式的蓋子是正方形的，而橫式盒的蓋子是長方形的。所以在小玲所做的紙盒中，豎式紙盒的總數(shù)與橫式紙盒的總數(shù)之比是1∶2。[分析與討論]注意，“解法2〞是關(guān)于比數(shù)是1∶2這個特定條件下的一種特別解法，它不具普遍性。比如，如果正方形紙板的總數(shù)與長方形紙板的總數(shù)之比是1∶3，那么答案就是3∶1。請同學們算一算，如果正方形紙板的總數(shù)與長方形紙板的總數(shù)之比是N∶M，那么答案是什么?請自己分析討論一下。在工業(yè)生產(chǎn)中，常常碰到這樣一類問題，原材料的來源是按一定的配比給定了，要用這些材料生產(chǎn)各種類型的產(chǎn)品。這時有最正確安排問題。安排不好就會造成材料的浪費。學了小學的數(shù)學知識就可以解決一些這類問題中最簡單的問題。在一根長木棍上，有三種刻度線、第一種刻度線將木棍分成十等份;第二種將木棍分成十二等份;第三仲將木棍分成十五等份。如果沿每條刻度先將木棍鋸斷，木棍總共被鋸成多少段?[解法]求出(10，12，15)的最小公倍數(shù)，它是60。把這根木棍的10等分的每等分長6個單位。12等分的每等分長5單位;15等分的每等分長4單位。不計木的兩個端點，木棍的內(nèi)部等分點數(shù)分別是9，11，14(相應于10，12，15等分)，共計34個。由于5，6的最小公倍數(shù)為30，所以10與12等分的內(nèi)分點在30單位到處相重，必必需從34中減。又由于4，5的最小公倍數(shù)為20，所以12與15等分的內(nèi)分點在20童位和40童位兩個相重，必必需再減去2。同樣，6，4的最小公倍數(shù)為12，所以15與10等分的內(nèi)分點在12，24，26;48童位處相重，必必需再減去4。由于這些相重點，各不相同，所以從34個內(nèi)分點中減去1，再減去2，再減去4，得27小刻度點，沿這些刻度點把木棍鋸成28段。答：木棍總共被鋸成28段。[分析與討論]本題還有許多解法。不少同學把木棍長看成1個單位，那么等分點將是一批分數(shù)，分析起來不如這里父段。[分析與討論]本題還有許多解法。不少同學把木棍長看成1個單位，那么等分點將是一批分數(shù)，分析起來不如這里給出的解法清楚，因此計數(shù)多有錯。也有一些同學列出全部等分點，計算繁瑣，也未必能做對，所以巧算是很重要的。已知：a=問：a的整數(shù)部分是多少?[解法]a=====現(xiàn)在我們來看a的第二項的分母，一方面11×65+12×66+13×67+14×68+15×6911×69+12×69+13×69+14×69+15×69另一方面11×65+12×66+13×67+14×68+15×6911×65+12×65+13×65+14×65+15×65由于一個正的分數(shù)，分母變小分數(shù)變大，分母變大分數(shù)變小。所以即同樣分析可得，也就是100+100+×100100+100+答：a的整數(shù)部分是101。[分析與討論]這是一道估值問題。估值問題不管在純數(shù)學上還是在應用數(shù)學上都很重要。估值問題在小同學中很少受到訓練。但同學們在日常生活中，常常會碰到一些這類問題，他們也有一些解決的辦法。當然直接計算的方法是不可取的。在小同學中，適當增加一點這方面的訓練，是有好處的。圖60算式中，所有分母都是四位數(shù)。請在每個方格中各填入一個數(shù)字，使等式成立。圖60[解法]本題中，三個分數(shù)的分母都是四位數(shù)、不能馬上看出結(jié)果，因此有必要將問題先簡化一下。我們知道，如果將三個分數(shù)的分母同時擴大或縮小相同的倍數(shù)，等式照樣成立。這就啟發(fā)我們一種化簡的方法，使分母盡量變得簡單。自然的想法是將1988這個數(shù)做質(zhì)因數(shù)分解。通過試除知道1988的質(zhì)因數(shù)分解為：1988=2×2×7×71。這樣，依據(jù)上面的分析，可以先用1988的約數(shù)來代替1998，試著找一組解，然后再將分母都乘以適當?shù)谋稊?shù)，檢查一個是否都是四位數(shù)就行了例如：1988的質(zhì)因數(shù)分解中有的數(shù)4，很容易看出：由于1988=2×2×7×71=4×497，所以，將上面等式的兩邊均乘上，就得，即這樣就給出了一組合適條件的解。再如，1988=2×2×7×71=(2×7)×(2×71)=14×142而且有，兩邊同乘以，就得即這就給出了另一組解。[分析和討論]我們在解題中只給出了二組不同的解，而且在找解時多少帶有一點試探的意味。這是因為要限于小學教村的內(nèi)容，而且也為了使同學們對如何簡化問題的技巧有一點體會。這道題有多少組不同的解呢?是不是還有更一般的方法?下面就來討論。因為，要涉及到較深一點的知識，同學們?nèi)绻F(xiàn)在看不懂，可以留到以后再看。為表達方便，個妨將問題重寫出來設(shè)X，Y為兩個四位數(shù)，并合適(1)問：X，Y各為多少?解：從(1)式可以看出，，也就是說Y1988。令u=1988-y依據(jù)題意，y是四位數(shù)，即y1000，由此可知：和U代換(1)式中的Y，我們有(3)因此(4)亦即XU=(1988-U)1988=19882-988U(5)從(5)式可以得到19882=XU+1988U=(X+1988)U(6)也就是說，(7)其中，S為4位數(shù)，U是合適條件(2)的整數(shù)。由于(7)式左方是整數(shù)，因此U必必需是19882的因子。更進一步，按題設(shè)X是四位數(shù)，亦即X≤9999。所以從(7)式可知=X+1988≤11987(8)即U≥329.5(9)再結(jié)合(2)式，我們有330這樣，整個問題就化為求19882中合適條件(10)的因數(shù)有多少個?容易看出：1988有質(zhì)因素分解1988=22×7×71(11)因此，19882=24×72×712。其中有哪些因數(shù)合適條件(10)呢?經(jīng)過檢查可知有如下4個因素：71×7，71×23，72×23，72×24用這4個數(shù)分別代入(7)式和Y=1988-U，就可以得到四組解如下：(1)X=5964，Y=1491;(Ⅱ)X=4970，Y=1420;(Ⅲ)X=8094，Y=1596;(Ⅳ)X=3053，Y=1204。最后，我們要給出解的一般公式，以供參照。設(shè)X，Y，Z為三個自然數(shù)，合適(12)求X，Y，Z的一般形式[解]由(12)式可知：，(13)因此，XZ，YZ，由此無妨設(shè)X=Z+U，Y=Z+V(14)其中U0，V0.將(14)式代入到(12)式中，我們有=(15)即(2Z+U+V)Z=(Z+U)(Z+V)=Z2+