隨機(jī)化集區(qū)拉丁方陣與相關(guān)設(shè)計(jì)

PAGE隨機(jī)化集區(qū)，拉丁方陣，與相關(guān)設(shè)計(jì)隨機(jī)化集區(qū)，拉丁方陣，與相關(guān)設(shè)計(jì)Chap4.RandomizedBlocks,LatinSquares,andRelatedDesign4-1隨機(jī)化完全集區(qū)設(shè)計(jì)(TheRandomizedCompleteBlockDesign)在任何實(shí)驗(yàn)中，擾動因子(NuisanceFactor)引起的變異對其結(jié)果會有影響。擾動因子之定義：一設(shè)計(jì)因子，其對反應(yīng)有效果而實(shí)驗(yàn)者卻對此效果無興趣。未知且無法控制(UnknownandUncontrolled)的擾動因子：不知其存在及實(shí)驗(yàn)進(jìn)行時可能改變水準(zhǔn)。隨機(jī)化是一種設(shè)計(jì)技巧用來防范此『潛伏』的擾動因子。然而，已知但不可控制(KnownbutUncontrollable)的擾動因子，倘于每次實(shí)驗(yàn)時會觀測到此的擾動因子之值，則于ANOVA時其會被補(bǔ)償。如擾動變異來源是已知且可控制(KnownandControllable)時，集區(qū)劃分(Blocking)之設(shè)計(jì)將可系統(tǒng)化地消除其對處理間統(tǒng)計(jì)比較的影響。茲欲研究硬度機(jī)性能測試實(shí)驗(yàn)，共有4種尖銳物和4塊可供測試的金屬物品。每1種尖銳物在每塊金屬物品上測試一次，另期望實(shí)驗(yàn)誤差是愈小愈好，因此從實(shí)驗(yàn)誤差中將金屬物品間的變異給隔離開來，成為一隨機(jī)化完全集區(qū)設(shè)計(jì)(RandomizedCompleteBlockDesign(RCBD))?！蓖耆奔词敲總€集區(qū)(金屬物品)包含了所有的處理(尖銳物種類)。經(jīng)由此設(shè)計(jì)，集區(qū)(金屬物品)形成一同構(gòu)型更高的實(shí)驗(yàn)單位來比較尖銳物，同時在任一集區(qū)內(nèi)，4種尖銳物測試的順序是隨機(jī)，則此策略亦很有效地改善尖銳物間比較之準(zhǔn)確性。尖銳物種類金屬物品(集區(qū))123419.39.49.610.029.49.39.89.939.29.49.59.749.79.610.010.2(RockwellC尺度之硬度值)-40隨機(jī)化完全集區(qū)設(shè)計(jì)使用非常廣泛，如測試儀器、機(jī)器設(shè)備、原料的批次、人、與時間，這些經(jīng)常是實(shí)驗(yàn)中擾動變異的來源(KnownandControllable)，可用集區(qū)劃分的方式加以系統(tǒng)化地控制。4-1.1隨機(jī)化完全集區(qū)設(shè)計(jì)之統(tǒng)計(jì)分析(StatisticalAnalysisoftheRCBD)假設(shè)有a種處理要比較及b個集區(qū)，在每個集區(qū)里每種處理各有一觀測值，同時每個集區(qū)中各處理進(jìn)行的順序是隨機(jī)決定的，因?yàn)閱我坏奶幚淼碾S機(jī)化是在集區(qū)里，故通稱集區(qū)是一受限制之隨機(jī)化(RestrictedRandomization)。Block1Block2….Blockby11y12…y1by21y22…y2by31y23….y3b..….ya1ya2…yab此設(shè)計(jì)之統(tǒng)計(jì)模式是yij=+i+j+ij,i=1,2,…,a；j=1,2,…,b (4-1)式中，是總平均、是i第i種處理的效果、是j第j個集區(qū)的效果、與隨機(jī)誤差項(xiàng)ij~NID(0,2)。處理與集區(qū)暫時考慮為固定效果因子，另處理與集區(qū)效果均定義為從總平均的離差(Deviation)，所以， i=1ai =0 and j=1bj=0 另亦可用”均值模式”表示，yij=ij+ij,i=1,2,…,a；j=1,2,…,b式中，ij=+i+j，欲研究處理平均是否相等，檢定假設(shè)為H0：1=2=…=a H1：至少一個ij因?yàn)榈趇種處理平均值i=(1/b)j=1b(+i+j)=+i，如此檢定假設(shè)另一種表示為H0：1=2=…=a H1：至少一個i0 若yi為第i種處理下之所有觀測值總和、yj為第j個集區(qū)下之所有觀測值的總和、y為所有觀測值總和、及N=ab為所有觀測值的數(shù)目，則 yi=j=1b(yij) i=1,2,…,a (4-2)yj=i=1a(yij) j=1,2,…,b (4-3)y=i=1aj=1b(yij)=i=1a(yi)=j=1b(yj) (4-4)同理，為第i種處理下之所有觀測值的平均值、為第j個集區(qū)下之所有觀測值的平均值、為所有觀測值的平均值，則 =yi/b；=yj/a； =y/N (4-5)總(校正)平方和(TotalCorrectedSumofSquares) (4-6) =(4-7)此表示對總平方和的一種分割，故(4-7)式可表示成，SST=SSTreatments+SSBlocks+SSE (4-8)變異來源平方和SS自由度df處理(組間)SSTreatmentsa-1集區(qū)SSBlocksb-1誤差(組內(nèi))SSE (a-1)(b-1)總和SSTN-1(4-8)式左右兩邊之自由度相等，因此，如假設(shè)誤差項(xiàng)為常態(tài)，則可引用Cochran定理證明SSTreatments/2，SSBlocks/2，與SSE/2均為獨(dú)立分配的卡方隨機(jī)變量。另每個平方和除以本身之自由度即為個別的均方，這些均方的期望值，當(dāng)處理和集區(qū)為固定時，則 E[MSTreatments]=2+bi=1a(i2)/(a-1)E[MSBlocks]=2+aj=1b(j2)/(b-1)E[MSE]=2所以，若欲檢定處理平均值相等與否，其檢定統(tǒng)計(jì)式為， F0=MSTreatments/MSE ，當(dāng)F0＞F,(a-1),(a-1)(b-1)，拒絕H0。 另亦可對集區(qū)平均值做比較，倘這些平均值無太大差異，則未來實(shí)驗(yàn)時可無須集區(qū)劃分。變異來源平方和SS自由度df均方MSF0處理(組間)SSTreatmentsa-1SSTreatments/a-1SSTreatments/MSE集區(qū)SSBlocksb-1SSBlocks/b-1誤差(組內(nèi))SSE (a-1)(b-1)SSE/(a-1)(b-1)總和SSTN-1(4-6)~(4-8)式亦可修改以利用手算，如SST=i=1aj=1byij2-y2/N (4-9)SSTreatments=(i=1ayi2)/b-y2/N (4-10)SSBlocks=(i=1byj2)/a-y2/N (4-11) SSE=SST-SSTreatments-SSBlocks (4-12)************例題4-1欲研究硬度實(shí)驗(yàn)。共有4種尖銳物和4塊可供測試的金屬物品。每1種尖銳物在每塊金屬物品上測試一次，成為一個集區(qū)隨機(jī)設(shè)計(jì)。尖銳物種類金屬物品(集區(qū))123419.39.49.610.029.49.39.89.939.29.49.59.749.79.610.010.2SOL:變異來源平方和自由度均方FP-Value處理(尖銳物種類)38.50312.8314.440.0009集區(qū)(金屬物品)82.50327.50誤差8.0090.89總和129.0015F(=14.44)值大于臨界值(=3.86)，且P-值為0.0009小于顯著水準(zhǔn)0.05RejectH0尖銳物種類的確會影響平均硬度讀值。(倘無考慮集區(qū))變異來源平方和SS自由度df均方MSF處理(尖銳物種類)38.50312.831.70誤差90.50127.54總和129.0015F(=1.70)值小于臨界值(=3.49)。AcceptH0尖銳物種類的平均硬度讀值相等。*************另殘差之計(jì)算， eij=yij-,其中配適值為， 所以 eij=yij-=yij (4-13)下節(jié)再將用殘差進(jìn)行”模式適當(dāng)性檢驗(yàn)”。多重比較(MultipleComparisons) 倘隨機(jī)化集區(qū)設(shè)計(jì)中之處理是固定的，且分析出處理平均值間有顯著差異，則用多重比較檢視何者平均值不同，上一章(第3-5.1節(jié))多重比較的方法均可使用。4-1.2模式適當(dāng)性檢本(ModelAdequacyChecking) 前一章已述，檢查假設(shè)的模式之適當(dāng)性是非常重要，一般而言，檢查項(xiàng)目包括常態(tài)假設(shè)、處理或集區(qū)的不相等誤差變異、與集區(qū)-處理的交互作用等潛在問題。如完全隨機(jī)設(shè)計(jì)一樣，殘差分析是此種診斷檢查的主要工具。圖4-4例題4-1殘差之常態(tài)機(jī)率圖 由圖4-4殘差之常態(tài)機(jī)率圖視出，未有嚴(yán)重的”非常態(tài)”跡象，與無任何可能的離群值。 倘某尖銳物的殘差相當(dāng)離散，即表示此種尖銳物所產(chǎn)生的硬度讀值相當(dāng)不穩(wěn)定。又如某金屬樣本的殘差相當(dāng)離散，即表示此種金屬樣本本身硬度的均勻性不佳。(a)殘差與處理圖(b)殘差與集區(qū)圖圖4-5例題4-1殘差與處理、集區(qū)圖由圖4-5示，例題4-1看不出以處理或以集區(qū)有任何變異不相等的跡象。圖4-6例題4-1殘差與配適值圖 檢視圖4-6，殘差大小與配適值無任何關(guān)系，沒有不尋常的訊息。有時殘差與配適值呈曲線的形狀，此意味著處理與集區(qū)的交互作用(Interaction)，如確有此形態(tài)發(fā)生，則利用轉(zhuǎn)換以盡可能消除或極小化該交互作用，有關(guān)這部分問題將于第5章詳述。4-1.3隨機(jī)化完全集區(qū)設(shè)計(jì)之其它方面(SomeOtherAspectsoftheRandomizedCompleteBlockDesign)隨機(jī)化集區(qū)模式之可加性(AdditivityoftheRandomizedBlockModel)隨機(jī)化集區(qū)設(shè)計(jì)的線性模式，yij=+i+j+ij,是具有完全地可加性，此表示 E[1]=5， E[1]=2， 則 E[y11]=+1+1=+5+2=+7 此簡單的加法模式是很有用的，但亦有不適用的情況，如處理與集區(qū)發(fā)生交互作用。同理，用不當(dāng)?shù)某叨攘繙y反應(yīng)時會造成處理與集區(qū)發(fā)生交互作用，假設(shè)原尺度是乘法關(guān)系，E[yij]=ij在對數(shù)尺度將是一線性或可加性的關(guān)系，如lnE[yij]=ln+lni+lnj殘差分析及一些診斷手法有助于檢視非可加性。一但出現(xiàn)交互作用，其嚴(yán)重甚至可能造成ANOVA無效，其會膨脹誤差均方及可能影響處理間的比較，如有此況，則用”因子設(shè)計(jì)(FactorialDesign)”，此部份5-9章詳述。隨機(jī)處理與集區(qū)(RandomTreatmentsandBlock) 上述已說明處理與集區(qū)為固定因子時之檢定程序，同樣步驟可以用在當(dāng)處理或集區(qū)(或兩者)是隨機(jī)時，然所對應(yīng)結(jié)果的解釋上須有所改變，如希望處理間的比較對于實(shí)驗(yàn)隨機(jī)選出的集區(qū)來自整個集區(qū)母體(PopulationofBlocks)是一樣的。對于均方期望值亦有對應(yīng)改變，如集區(qū)具有相同變異數(shù)的獨(dú)立隨機(jī)變量，則 E[MSBlocks]=2+2其中2為集區(qū)效果的變異數(shù)，無論如何，E[MSTreatments]永遠(yuǎn)不包含任何集區(qū)效果，而處理間比較的檢定統(tǒng)計(jì)量永遠(yuǎn)是 F0=MSTreatments/MSE當(dāng)集區(qū)是隨機(jī)時，倘處理與集區(qū)有交互作用，則處理平均值間之比較不受交互作用的影響，理由是處理及誤差的均方期望值均包含交互作用之效應(yīng)，所以，處理平均值間差異之檢定同前，亦即比較處理均方與誤差均方，但不提供任何交互作用的訊息。樣本大小之選擇(ChoiceofSampleSize) 選擇樣本大小、或集區(qū)數(shù)目，是隨機(jī)化集區(qū)設(shè)計(jì)中的一重要決策，樣本大小之選擇(ChoiceofSampleSize)選擇樣本大小、或集區(qū)數(shù)目，是隨機(jī)化集區(qū)設(shè)計(jì)中的一重要決策4-1.4估計(jì)模式參數(shù)與一般性回歸顯著檢定(EstimatingModelParametersandtheGeneralRegressionSignificanceTest)如處理與集區(qū)是固定的，用最小平方法來估計(jì)隨機(jī)化完全集區(qū)模式中的參數(shù)，此線性統(tǒng)計(jì)模式是yij=+i+j+ij,i=1,2,…,a；j=1,2,…,b (4-17) 常態(tài)方程式(NormalEq.)，則… (4-18) …. 第2到第(a+1)個方程式加總即為第1個常態(tài)方程式，而最后b個方程式加總亦為第1個常態(tài)方程式，因此，2個線性相依在(4-18)式中，意味著需要有2個限制式來解，其限制式為 (4-19)利用限制式，常態(tài)方程式簡化為 (4-20)而其解則為 (4-21)利用(4-21)式中常態(tài)方程式的解，則yij的估計(jì)值或配適值， 一般性回歸顯著檢定可用來發(fā)展隨機(jī)化集區(qū)設(shè)計(jì)的ANOVA，利用(4-21)式的常態(tài)方程式的解，為配適完整模式，其簡化(Reduction)平方和為且有(a+b-1)個自由度，與誤差平方和為，且有(a-1)(b-1)個自由度，此式與(4-7)式的SSE比較。 為檢定H0:i=0之假設(shè)，則”簡化的模式” yij=+i+ij,而此正是1因子ANOVA，依照類似(3-5)式的做法，則配適這”簡化的模式”之簡化(Reduction)平方和為， 而有a個自由度。所以，在配適和{i}之后的{i}的平方和為，R(|,)=R(,,)-R(,)=R(FullModel)-R(ReducedModel)而正是處理平方和及有a-1個自由度，如(4-10)式。 透過配適”簡化的模式”可得到集區(qū)平方和 yij=+i+ij,而此亦是1因子ANOVA，則配適這”簡化的模式”之簡化(Reduction)平方和為， 而有a個自由度。所以，在配適和{i}之后的{i}的平方和為，R(|,)=R(,,)-R(,) 有b-1個自由度，如(4-11)式。 上述利用一般性回歸顯著檢定來發(fā)展完全集區(qū)設(shè)計(jì)的處理、集區(qū)及誤差的平方和，此程序?qū)Ω话愕碾S機(jī)化集區(qū)設(shè)計(jì)，很有用處。遺漏值問題的精確分析(ExactAnalysisoftheMissingValueProblem) 在4-1.3節(jié)中呈現(xiàn)一個近似方法來處理隨機(jī)化集區(qū)設(shè)計(jì)的遺漏值問題，此近似分析是估計(jì)遺漏值使誤差平方極小，4-2拉丁方陣設(shè)計(jì)(TheLatinSquareDesign)隨機(jī)化完全集區(qū)設(shè)計(jì)經(jīng)由除去已知及可控的擾動變數(shù)的變異來降低實(shí)驗(yàn)中殘留誤差，另尚有數(shù)種設(shè)計(jì)亦用到集區(qū)劃分原理。如，實(shí)驗(yàn)者正研究機(jī)員逃生系統(tǒng)之火箭推進(jìn)劑的5種配方對燃燒速率的效果，每種配方是由原料混合而成，原料批正足5次配方，再者，由不同技術(shù)員進(jìn)行配方的準(zhǔn)備工作，這些技術(shù)員之間的技術(shù)與經(jīng)驗(yàn)可能有很大的差異，因此，似乎有兩個擾動因子須被”平均掉(AveragedOut)”原料批與技術(shù)員。此問題的適當(dāng)設(shè)計(jì)是『對每一批原料、每種配方恰好作一次測試；且每種配方由每一位技術(shù)員恰好進(jìn)行一次混合』，此設(shè)計(jì)如下表所示，稱之為拉丁方陣設(shè)計(jì)。原料批技術(shù)員123451A=24B=20C=19D=24E=242B=17C=24D=30E=27A=363C=18D=38E=26A=27B=214D=26E=31A=26B=23C=225E=22A=30B=20C=29D=31此設(shè)計(jì)是一個方陣安排，配方(或處理)是以拉丁字母A,B,C,D,E表示，亦因此稱之拉丁方陣。原料批(列)與技術(shù)員(行)兩者均與處理直交。拉丁方陣設(shè)計(jì)是用來除去兩個變異的擾動源，即其允許系統(tǒng)地進(jìn)行兩個方向的集區(qū)劃分，因此，”列”與”行”即表示隨機(jī)化的兩限制。一般而言，p因子的拉丁方陣，或pp拉丁方陣，是p列與p行的方陣，結(jié)果之p2格中每一格均有一個代表處理之p個字母中的一個，并且每個字母在每列與每一行僅出現(xiàn)一次。555ADBECDACBECBEDABEACDECDAB44ABCDBCADCDBADACB666ADCEBFBAECFDCEDFABDCFBEAFBADCEEFBADC拉丁方陣之統(tǒng)計(jì)模式是yijk=+i+j+k+ijk,i,j,k=1,2,…,p (4-22)式中，yijk是第i列第k行的第j種處理的觀測值、是總平均，i是第i列效果、j是第j種處理效果、k第k行效果、與隨機(jī)誤差。『此模式是完全地可加性，即列、行與處理無交互作用』。因?yàn)槊糠N處理在每一行與每一列中恰僅出現(xiàn)一次，故三個下標(biāo)i,j,k中只須知兩個就可標(biāo)示一特定的觀測值，如，i=2、k=3，則j=4(配方D)；i=1、j=3，則k=3(配方C)。 ANOVA是將N=p2個觀測值的總平方和分割成列、行、處理與誤差等部份，如SST=SSRows+SSColumns+SSTreatments+SSE (4-23)及個別自由度p2-1=(p–1)+(p-1)+(p-1)+(p-2)(p-1)在ij~NID(0,2)的假定下，(4-23)式等號右邊各平方和除以2以后，均為獨(dú)立分配的卡方隨機(jī)變量。檢定處理平均間無差異的適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量為，F(xiàn)0=MSTreatments/MSE而其事先假設(shè)下的分配是Fp-1,(p-2)(p-1)。變異來源平方和SS自由度均方F0處理SSTreatmentsp-1SSTreatments/(p-1)MSTreatments/MSE列SSRowsp-1SSRows/(p-1)行SSColumnsp-1SSColumns/(p-1)誤差SSE (BySubtraction)(p-2)(p-1)SSE/(p-2)(p-1)總和SSTp2-1*************例題4-3 考慮上述之火箭推進(jìn)劑問題，其中原料批和技術(shù)員代表隨機(jī)化限制。先將每個觀測值減25成為編碼數(shù)據(jù)。原料批技術(shù)員12345yi1A=-1B=-5C=-6D=-1E=-1-142B=-8C=-1D=5E=2A=1193C=-7D=13E=1A=2B=-454D=1E=6A=1B=-2C=-335E=-3A=5B=-5C=4D=67yk-1818-45910=ySST=680-(10)2/25=676SSBatches=[(-14)2+92+52+32+72]/5-(10)2/25=68SSOperators=[(-18)2+182+(-4)2+52+92]/5-(10)2/25=150拉丁字母處理總和Ay1=18By2=-24Cy3=-13Dy4=24Ey5=5SSFormulations=[182+(-24)2+(-13)2+242+52]/5-(10)2/25=330SSE=SST-SSFormulations–SSOperators–SSBatches=128變異來源平方和自由度均方F0P-Value配方(處理)330482.57.730.0025原料批(列)68417技術(shù)員(行)150437.5誤差1281210.67總和67624結(jié)論：◎不同火箭推進(jìn)劑所產(chǎn)生的平均燃燒速率有顯著差異。技術(shù)員間有差異，此因子的集區(qū)劃分是不錯的預(yù)防措施。原料批間無強(qiáng)烈證據(jù)有差異，對此例這變異源的關(guān)心非必要也，然對原料批作集區(qū)劃分是好的概念。********同理，應(yīng)經(jīng)由對殘差的檢查與繪圖來驗(yàn)證模式的適當(dāng)性，拉丁方陣之殘差為，eijk=yijk-=yijk- 拉丁方陣的第一行與第一列的字母排列如是依照字母順序者稱之為『標(biāo)準(zhǔn)拉丁方陣』。不同大小的標(biāo)準(zhǔn)拉丁方陣及拉丁方陣總數(shù)大小3344556677pp標(biāo)準(zhǔn)方陣ABCABCDABCDEABCDEFABCDEFGABC…P范例BCABCDABCDEABCDEFABCDEFGABCD…ACABCDABCDEABCDEFABCDEFGABCDE…BDABCDEABCDEFABCDEFGABC…EABCDEFABCDEFGABCD…FABCDEFGABCDEGABCDEFPAB….(P-1)標(biāo)準(zhǔn)方陣數(shù)1456940816942080拉丁方陣數(shù)1257616128081885120061479419904000P!(p-1)!標(biāo)準(zhǔn)方陣數(shù) 與任何實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)同，拉丁方陣中的觀測值應(yīng)隨機(jī)順序進(jìn)行，正當(dāng)?shù)碾S機(jī)化過程是隨機(jī)選擇一個所需之方陣，如上表。 有時在拉丁方陣中會有一個遺漏值，對于一個pp拉丁方陣，其遺漏值之估計(jì)為 yijk=[p(y’i+y’j+y’k)-2y’]/(p-2)(p-1) (4-24)其中撇號代表是對應(yīng)遺漏值的列、行、與處理總和及所有觀測值的總和。拉丁方陣之反復(fù)(ReplicationofLatinSquares) 一個小拉丁方陣的缺點(diǎn)是誤差自由度相對地小，如一個33拉丁方陣只有2個自由度、一個44拉丁方陣有6個自由度，以此類推。(N=33=9,=N-1=8,A=B=C=2,Error=2)(N=44=16,=N-1=15,A=B=C=3,Error=6)當(dāng)使用小拉丁方陣時，常傾向于反復(fù)它們來增加誤差自由度。而其ANOVA與反復(fù)的方式有關(guān)： 狀況1、在每次反復(fù)中，列與行集區(qū)劃分因子所使用的水準(zhǔn)都一樣。令yijkl為列i、處理j、行為k、和反復(fù)l的觀測值，共有N=np2個觀測值。其ANOVA表如下，變異來源平方和SS自由度均方F0處理p-1SSTreatments/(p-1)MSTreatments/MSE列p-1SSRows/(p-1)行p-1SSColumns/(p-1)反復(fù)n-1SSReplicates/(n-1)誤差由減法得之(p-1)[n(p+1)-3]SSE/(p-1)[n(p+1)-3]總和np2-1狀況2、在每次反復(fù)中，使用新的原料批但相同的技術(shù)員，因此，在每次反復(fù)中有5個新的列。ANOVA表如下，變異來源平方和SS自由度均方F0處理p-1SSTreatments/(p-1)MSTreatments/MSE列n(p-1)SSRows/n(p-1)行p-1SSColumns/(p-1)反復(fù)n-1SSReplicates/(n-1)誤差由減法得之(p-1)(np-1)SSE/(p-1)(np-1)總和np2-1狀況3、在每次反復(fù)中，使用新的原料批和技術(shù)員，其ANOVA表如下，變異來源平方和SS自由度均方F0處理p-1SSTreatments/(p-1)MSTreatments/MSE列n(p-1)SSRows/n(p-1)行n(p-1)SSColumns/n(p-1)反復(fù)n-1SSReplicates/(n-1)誤差由減法得之(p-1)[n(p-1)-1]SSE/(p-1)[n(p-1)-1]總和np2-1交叉設(shè)計(jì)與殘差效果均衡之設(shè)計(jì)(CrossoverDesignsandDesignsBalancedforResidualEffects) 有時『時間』是一個因子，亦即，p種處理在p個時段進(jìn)行np個實(shí)驗(yàn)單位。4-3希臘-拉丁方陣設(shè)計(jì)(TheGraeco-LatinSquareDesign) 考慮一個pp拉丁方陣在其上重迭另一個希臘字母表示處理之pp拉丁方陣，當(dāng)重迭的兩個方陣有以下的性質(zhì)，每個希臘字母對每個拉丁字母都僅出現(xiàn)乙次，則稱此兩個拉丁方陣直交且所得之設(shè)計(jì)為希臘-拉丁方陣(44)。(列)RowColumn(行)12341ABCD2BADC3CDAB4DCBA希臘-拉丁方陣設(shè)計(jì)可有系統(tǒng)地控制3個額外的變異源，即從3個方向來集區(qū)劃分。此設(shè)計(jì)允許以p2次實(shí)驗(yàn)來研究4個p水準(zhǔn)的因子(列、行、拉丁字母、與希臘字母)希臘-拉丁方陣對所有的p3均存在，除p=6以外。希臘-拉丁方陣之統(tǒng)計(jì)模式是yijkl=+i+j+k+l+ijkl,i,j,k,l=1,2,..,p (4-25)式中，yijkl是列i、行l(wèi)、拉丁字母j、與希臘字母k的觀測值、是總平均，i是列i的效果、j是拉丁字母處理j的效果、k是希臘字母k的效果、l是行l(wèi)的效果、與ij~NID(0,2)的隨機(jī)誤差。4個下標(biāo)中只需知2個即可辨識出一觀測值。 希臘-拉丁方陣的ANOVA與拉丁方陣的類似，因希臘字母在每列、行及對每個拉丁字母均恰好出現(xiàn)乙次，即希臘字母所代表的因子是直交于列、行及拉丁字母處理。所以，希臘字母因子的平方和可由希臘字母總和計(jì)算之。變異來源平方和SS自由度拉丁字母處理SSLp-1希臘字母處理SSGp-1行SSRowsp-1列SSColumnsp-1誤差SSE (BySubtraction)(p-3)(p-1)總和SSTp2-1**********例題4-4 假定例題4-3火箭推進(jìn)劑實(shí)驗(yàn)中有另一因子，測試組裝，可能很重要，令有5種測試組裝且以希臘字母,,,,與表示。原料批技術(shù)員12345yi1A=-1B=-5C=-6D=-1E=-1-142B=-8C=-1D=5E=2A=1193C=-7D=13E=1A=2B=-454D=1E=6A=1B=-2C=-335E=-3A=5B=-5C=4D=67yk-1818-45910=ySSBatches=68、SSOperators=150、SSFormulations=330拉丁字母處理總和y1=10y2=-6y3=-3y4=-4y5=13SSFormulations=[102+(-6)2+(-3)2+(-4)2+132]/5-(10)2/25=62變異來源平方和自由度均方F0P-Value配方330482.510.000.0033原料批68417技術(shù)員150437.5測試組裝62415.5誤差6688.25總和67624結(jié)論：因測試組裝的變異而降低了實(shí)驗(yàn)誤差，然同時亦降低了誤差自由度，此將造成檢定的較不敏感。************* 兩個拉丁方陣重迭以形成一個希臘-拉丁方陣的概念可以再延伸，一個pp的超級方陣(Hyper-square)就是一個包含3個或更多的直交pp拉丁方陣重迭在一起的設(shè)計(jì)。一般而言，一組p-1個直交拉丁方陣至多可研究p+1個因子，其自由度為(p-1)(p+1)=p2-1，且須有一獨(dú)立的誤差變異數(shù)估計(jì)量，當(dāng)然，因子間必須無交互作用。4-4均衡的不完全集區(qū)設(shè)計(jì)(BalancedIncompleteBlockDesign) 某些實(shí)驗(yàn)因設(shè)備的短缺或集區(qū)實(shí)體大小(如每種尖銳物無法在每個金屬物品上都測試到)的關(guān)系，無法在每個集區(qū)里進(jìn)行所有的處理組合，對這問題仍可使用隨機(jī)化集區(qū)設(shè)計(jì)，只是每種處理不是出現(xiàn)在每個集區(qū)里，此稱之為『隨機(jī)化不完全集區(qū)設(shè)計(jì)』(RandomizedIncompleteBlockDesigns)。 當(dāng)所有處理相較均重要時，每個集區(qū)里所用到的組合應(yīng)以均衡的方式來選定，即使每對處理出現(xiàn)次數(shù)均等，此稱之為『均衡的不完全集區(qū)設(shè)計(jì)(BIBD)』。倘有a種處理而每個集區(qū)恰可容納k種處理(k＜a)，則一均衡的不完全集區(qū)設(shè)計(jì)可由取C(a,k)個集區(qū)而得到均衡。 如某一化學(xué)過程實(shí)驗(yàn)，反應(yīng)時間是所使用的觸媒種類的函數(shù)，茲有4種觸媒須進(jìn)行個別實(shí)驗(yàn)，且原料批的變異會影響反應(yīng)時間，因此實(shí)驗(yàn)者決定用原料為集區(qū)，但每批原料只能進(jìn)行3種觸媒的實(shí)驗(yàn)，所以，必須考慮隨機(jī)化不完全集區(qū)設(shè)計(jì)，其均衡的不完全集區(qū)設(shè)計(jì)與觀測值如下表，(每個集區(qū)里的觸媒實(shí)驗(yàn)順序是隨機(jī)決定的)處理(觸媒)集區(qū)(原料批)1234yi17374-712182-7567722143737568-216475-7275222yj221224207218870=y4-4.1均衡的不完全集區(qū)設(shè)計(jì)之統(tǒng)計(jì)分析(StatisticalAnalysisoftheBIBD) 假定有a種處理與b個集區(qū)，且每個集區(qū)里有k種處理，每種處理在設(shè)計(jì)中共出現(xiàn)r次，則總觀測數(shù)為N=ar=bk，另每對處理出現(xiàn)同一個集區(qū)的次數(shù)為， =r(k-1)/(a-1)如a=b，則稱此設(shè)計(jì)為對稱的(Symmetric)。BIBD之統(tǒng)計(jì)模式是yij=+i+j+ij,i,j,k=1,2,…,p (4-26)式中，yij是第j個集區(qū)中第i個觀測值、是總平均、i是第i種處理的效果、j是第j個集區(qū)的效果