高中數(shù)學(xué)常用公式及結(jié)論4

N<f(x)<M=

高中數(shù)學(xué)常用公式及結(jié)論"(x)—M"(x)—N]<o=

1.元素與集合的關(guān)

/㈤一N〉0o/(X)>N

系：x￡4=x仁CA,xC,A=xe4.

UGbM-f(x)tJM<M

00%04。0

8.方程ax2+bx+c=0(a0)在

2.德摩根公

式(勺,左2)內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)根，等價(jià)于

b

Cu(AHB)=CuAUQB;Q.(力U3)=CVAACVB

A1<--<k2

./(%)/的)<0或<2a

3.包含關(guān)系：A=A2-4ac=0

AqBoAr\B=A<=>A\JB=B9.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值

2

<=>CvB^Cb,A。，區(qū)上①二次函數(shù)/(x)=ax+bx+c{aw0)在閉

區(qū)間[p,可上的最值只能在x=-2處及區(qū)

4.元素個(gè)數(shù)關(guān)系:2a

card(AU8)=cardA+cardB-card(AA8間的兩端點(diǎn)處取得，具體如下：

card{AUSUC)=cardA+cardB+cardC⑴1時(shí)，者—-五'e[p,q],則

b

-c“〃(/nB)-card(BnC)-ca，力(C升為“小晶⑶皿=儂*{/(P)，■/⑷}

5.集合…M,J的子集個(gè)數(shù)共有%=一二任[P，3,

2"個(gè)；真子集有2"-1個(gè)；非空子集有2"-12a

個(gè)；非空的真子集有2"-2個(gè)./(X)max=max{/(P)，/(q)},

6.二次函數(shù)的解析式的三種形式/(X)min=min{/(。}/⑷}?

(1)」?般式/(x)=ax'+bx+c(aW0);

(2)頂點(diǎn)式f(x)=a(x-h)2+k(a0);(2)當(dāng)a<0時(shí)，若x=—^—￡[P應(yīng)]，則

2a

(當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)(九左)時(shí),設(shè)為此/(x)min=min"(p)J(g)},

式)

(3)零點(diǎn)式若x=---i[p,q]，則

/(x)=a(x-X])(x-X2)(a*0)；(當(dāng)已知拋2a

/(x)max=max{/(p)J⑷},

物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(M,0),(9,0)時(shí)，設(shè)

為此式)/(x)min=min"(p)J⑷}.

(4)切線式：10.一元二次方程f(x)=x1+px+q=0

/(X)=<7(%一%)2+(Ax+d),(a*0)。(當(dāng)已

的實(shí)根分布

知拋物線與直線丁="+”相切且切點(diǎn)的橫(1)方程/(x)=0在區(qū)間0,+oo)內(nèi)有

坐標(biāo)為不時(shí)，設(shè)為此式)p2-4q>0

7.解連不等式N</(X)<M常有以下轉(zhuǎn)根的充要條件為/(機(jī))<0或，n；

化形式-->tn

2

(2)方程/(x)=0在區(qū)間(磨,〃)內(nèi)有根

恒成立，則(x)；若

的充要條件為1ax

八⑼/(〃)<0或

a?/(x)恒成立，則“</^(幻；若

。2/(x)有解,則a27mhi(x)；若a?/(x)

Pq非PP或qp且q

真真假真真有解，則。4九,(x)；若a=f(x)有解，則

真假假真假

假真真真假

fm,n(x)<a<f^M?(若函數(shù)

假假真假假

P陽(yáng)+〃,Py=/(x),xeA無(wú)最大值或最小值的情況，可

m<-—<---------<--<n

2222

以仿此推出相應(yīng)結(jié)論).

<p~-4q>0或，p?_4q20；

12.真值表

./'(?)>0/(⑼>0

13.常見(jiàn)結(jié)論的否定形式

(3)方程/(%)=0在區(qū)間(一00,加)內(nèi)有原結(jié)論反設(shè)詞反設(shè)詞

/72-4<y>0R

是不是?個(gè)也沒(méi)有

根的充要條件為f(m)<0或<

~—<m

2

至多

11.定區(qū)間上含參數(shù)的不等式恒成立(或都是不都是至少有兩個(gè)

有

有解)的條件依據(jù)一

個(gè)

(1)在給定區(qū)間(—8,+8)的子區(qū)間L(形

如(-8,￡],卜,+8)不同)上含參數(shù)大于不大于至多有

的不等式/(x)2,(/為參數(shù))恒成立的充要條(W-1)個(gè)

件是/(x)min"(xwL)。至多

小于不小于至少有

1有!

(2)在給定區(qū)間(-8,+8)的子區(qū)間￡上〃(〃+1)個(gè)

個(gè)

含參數(shù)的不等式(/為參數(shù))恒成立的

充要條件是/(X)maxW/，(Xel)。對(duì)所有存在某P或—ip且一

(3)在給定區(qū)間(-00,+00)的子區(qū)間￡上X,成立X,不成q

含參數(shù)的不等式/(X)2/C為參數(shù))的有解充

對(duì)任何存在某P且-1P或-iq

要條件是/(X)maxZ/,(XeL)。

X，不成X,成立q

(4)在給定區(qū)間(-00,+00)的子區(qū)間L

上含參數(shù)的不等式/(%)<?(/為參數(shù))有解的14.四

種命題的互逆

充要條件是/(X)min"(XeL)。原命題逆命題

若則若則

相互關(guān)系pq互qp

(右圖)：為、法否

對(duì)■于參數(shù)a及函數(shù)y=/(x),xeN.若逆互

15.充互

否/逆否

互為否

否命題逆否命題

若1p則-1q互逆若1q則~|P

要條件(記P表示條件，4表示結(jié)論)果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，那么這個(gè)函

(1)充分條件：若p=>q,則夕是q充數(shù)是偶函數(shù).

分條件.19.常見(jiàn)函數(shù)的圖像：

(2)必要條件：若q=>p,則p是夕必

要條件.

(3)充要條件：若png,且qnp,

則夕是,充要條件.

注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的

必要條件；反之亦然.

16.函數(shù)的單調(diào)性的等價(jià)關(guān)系

⑴設(shè)?[名句,』Hx2那么

(X]-%2)[./■(%))-/(x2)]>oo

./(…)-,(々)>oof(x)在卜㈤上是增函

X]-x2

數(shù)；

(王一X2)[,/'U,)-/(X2)]<0?

/&)-/5)<0=/*)在以力]上是減函

X]-x2

數(shù).

(2)設(shè)函數(shù)y=/(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，

y=f(x)(xe7?),f(x+a)=f(b-x)恒

如果/'(X)〉0,則/(%)為增函數(shù);如果

成立，則函數(shù)/(x)的對(duì)稱軸是x=手；兩

/'(x)<0,則/(x)為減函數(shù).

17.如果函數(shù)/(%)和g(x)都是減函數(shù),個(gè)函數(shù)y=/(x+a)與y=/(6-X)的圖象

則在公共定義域內(nèi)，和函數(shù)/(x)+g(x)也是

關(guān)于直線x=一對(duì)稱.

減函數(shù);如果函數(shù)/(X)和g(x)都是增函數(shù)，

2

則在公共定義域內(nèi)，和函數(shù)/(x)+g(x)也是21.若/(x)=—/(—x+a)，則函數(shù)

增函數(shù)；如果函數(shù)y=/(〃)和〃=g(x)在其

y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(￡,0)對(duì)稱；

對(duì)應(yīng)的定義域上都是減函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)

y=/Ig(x)]是增函數(shù)；如果函數(shù)歹=/(?)若/(x)=_/(x+0,則函數(shù)

和“=g(x)在其對(duì)應(yīng)的定義域上都是增函數(shù),夕=/(x)為周期為2。的周期函數(shù).

則復(fù)合函數(shù)y=/[g(x)]是增函數(shù)；如果函數(shù)22.多項(xiàng)式函數(shù)

y=/(“)和"=g(x)在其對(duì)應(yīng)的定義域上一

P(x)=a?x"+q1Tx―+???+’的奇偶性

個(gè)是減函數(shù)而另一個(gè)是增函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)

多項(xiàng)式函數(shù)P(x)是奇函數(shù)=P(x)的偶

y=/[g(x)]是減函數(shù).

次項(xiàng)(即奇數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.

18.奇偶函數(shù)的圖象特征

多項(xiàng)式函數(shù)P(x)是偶函數(shù)=P(x)的奇

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖

次項(xiàng)(即偶數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.

象關(guān)于y軸對(duì)稱;反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)函數(shù)的圖

23.函數(shù)y=/(x)的圖象的對(duì)稱性

象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；如

(1)函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=a(5)余弦函數(shù)f(x)=cosx,正弦函數(shù)

對(duì)稱g(x)=sinx,

=/(a+x)=/(a-x)=/(2a-X)=/(x).f(x-y)=f(.x)f(y)+g(x)g(y),

(2)函數(shù)歹=/(x)的圖象關(guān)于直線

/(0)=l,lim—=1.

x="；卜對(duì)稱=/(q+加x)=/(/>-mx)10X

29.兒個(gè)函數(shù)方程的周期(約定a>0)

=f(a+b-mx)=f(mx).(1)/(x)=/(x+a),則/(x)的周期

24.兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱性T=a；

⑴函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=/(-x)的1

(2)/(x+a)=(/(x)#0),或

圖象關(guān)于直線x=0(即y軸)對(duì)稱./(x)

(2)函數(shù)y=f(mx-d)與函數(shù)1

f(x+a)^~(/(x)*0),則/(x)的周期

y=—mx)的圖象關(guān)于直線x=*對(duì)/W

2加T=2a；

稱.1

⑶/(x)=l-(/(x)w0),貝ij

(3)函數(shù)y=/(x)和y=/t(x)的圖象f(x+a)

關(guān)于直線y=x對(duì)稱../'(%)的周期T=3a；

25.若將函數(shù)y=/(x)的圖象右移a、上

(4)f(x,+x2)=/(xJ+〃x?)且

移個(gè)單位，得到函數(shù)歹=/?！?6的圖

l-/(X,)f(X2)

象；若將曲線/(x,y)=O的圖象右移。、上

f(a)=l(f(x)-f(x)^l,0<|x,-x1<2d)

移6個(gè)單位，得到曲線/(x—a,y—6)=0的t22

,則/(x)的周期T=4a；

圖象.

30.分?jǐn)?shù)指數(shù)基

26.互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系：

")=6=廣3)=。.(1)a"=(a>0,m,neN',且

27.函數(shù)y=/(x)與其反函數(shù)y=f~\x)〃>1).

的圖像的交點(diǎn)不一定全在直線y=x上。*11

(2)a"=—=—7=(a>0,m,nwN*,

28.幾個(gè)常見(jiàn)的函數(shù)方程

(1)正比例函數(shù)an

/(X)=cxO且〃>1).

31.根式的性質(zhì)

/(x+y)=/(x)+/(歹),/⑴=c.

(1)即)"=a.

(2)指數(shù)函數(shù)

f(x)=axO(2)當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，療=a；

f(x+y)==a*0.當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，"=|a1=/.

⑶對(duì)數(shù)函數(shù)-a,a<0

/(x)=logXo

a32.有理指數(shù)基的運(yùn)算性質(zhì)

/(孫)=/(x)+/U),仆)=1(。>0,aH1)(1)a'-a=d+s(a>0,r,sGQ).

⑷黑函數(shù)

(2)(ar)s=a,s{a>0,js￡0).

/(x)=x"o/(盯)=/(x)/(y),/,(l)=a

rrr

(3)(ab)=ab(a>09b>0,rGQ).

注：若a>0,p是一個(gè)無(wú)理數(shù)，則十表

示一個(gè)確定的實(shí)數(shù).上述有理指數(shù)早的運(yùn)算性和為s”=q+%+…+?！?.

質(zhì)，對(duì)于無(wú)理數(shù)指數(shù)累都適用.

33.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化式：40.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：

log°N=Z>。/=N(a>0,awl,N>0)

an=q+(〃-l)d=dn+at-d(neN*)；

logN

34.對(duì)數(shù)的換底公式

log,”a其前n項(xiàng)和公式為：

(。>0,且owl,加>0,且〃zwl,N>0)."(%+4)?(?-1),

=na-x------——d

對(duì)數(shù)恒等式：/叫N=N(4>0,且2x

“Hl,TV>0).dz,1

n

推論log,""=—log“6(a〉0,且

“m41.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：

”1,N>0).

an=".(?"(〃eN*)；

35.對(duì)數(shù)的四則運(yùn)算法則:若a>0,a#l,

q

M>0,N>0,則其前n項(xiàng)的和公式為

(1)logAMN)=loguM+logaN;(2)

.M5=<\-q或

log?—=log?A/-log()^;H

叫,q=1

(3)log"M"=nlogaM(neR);(4)

n冬”q^l

logN=—logN(n,meR).，,=彳1-4

mfl

36.設(shè)函數(shù)na},q-\

/(x)=log,”(ax2+bx+c)(a=0),記42.等比差數(shù)列

{a}:a-qa“+d,a=b(qR0)的通項(xiàng)公

\=b2-^ac.若f(x)的定義域?yàn)镽,貝ijnn+ii

a>0且△<();若/(x)的值域?yàn)镽，則式為

Q>0,且△N0。b+(n—l)d,q-1

nn

37.對(duì)數(shù)換底不等式及其推廣：設(shè)a?=\bq+(d-h)q-'-d

〃>加>，，。>，且則、q豐

1p>00Iq-i

⑴log“”(〃+P)<log/?(2)其前n項(xiàng)和公式為

nh+〃(a一l)d,(q=1)

log?mlog(,n<loga.

s”=Jd\-qnd-

38.平均增長(zhǎng)率的問(wèn)題(負(fù)增長(zhǎng)時(shí)p<0)(b~--)——-+--n,(q豐1)

Ii-qq-ii-q

如果原來(lái)產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N,平均增長(zhǎng)率

為p，則對(duì)于時(shí)間x的總產(chǎn)值y，有43.分期付款(按揭貸款)：每次還款

y=N(l+”.%=元(貸款a元,〃次還清，每期利

39.數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和的關(guān)系：

率為6).

51.,H=1

an=\(數(shù)列｛凡｝的前n項(xiàng)的44.常見(jiàn)三角不等式

1-tan2a

(1)若x￡(0,萬(wàn))，則sinxvx<tanx.

1+tan2a

TT2tana

(2)若xG(0,—)>則tan2a=

1-tan-a

1<sinx+cosx<V2.1-cos2a1+cos2a

sin2a-2

(3)|sinx|+1cosx|>1.22

45.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：

.?zi2clsin0sin2a1-cos2a

sm-6+cos0-\,tan。=-----，tana--------------=-------------

COS01+cos2asin2a

tan0-cotO=1.49.三倍角公式

46.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式（奇變偶不變，

符號(hào)看象限）sin3夕=3sin夕-4sin，夕=4sin。sin(y-0)sin(-

./K71、（一1尸sina,（〃為偶數(shù)）

sin(—+a)=<兀

〃一1cos36=4cos3。-3cos0=4cos6cos(§-0)co

（-1）2cosa,（〃為奇數(shù)）

n

,Yl兀、(-1)2cosa,(〃為偶數(shù))

,cos(—+a)-<)八3tan-tan30八/萬(wàn)小/乃

"+ltan3。=--------------=tan0tan(-----0)tan(—

(-1)2sina,(〃為奇數(shù))1-3tan233

47.和角與差角公式

50.三角函數(shù)的周期公式

sin(a±/?)=sinacos/土cosasmp;

函數(shù)y=sin(69x+9),x￡R及函數(shù)

cos(a土尸)=cosacos尸干sinasin(3;

y=cos(6>x+(p),x￡R(A,3,夕為常數(shù),且

,,小tana±tan0

tan(a±￡)二-----------—?2萬(wàn)

1￥tanatan0AW0)的周期T=——；函數(shù)

sin(a+0)sin(6z-7?)=sin2a-sin2(3

71

(平方正弦公式)；y-tan(67x+(p),xkji+—.keZ(A,

cos(a+4)cos(a-J3)=cos2a-sin2(3

3,0為常數(shù)，且AW0）的周期7=—.

asina+bcosa=a2+h2sin(a+0)(三角函數(shù)的圖像：

輔助角°所在象限由點(diǎn)(a,b)的象限決

.b、

定，tan°=—).

a

48.二倍角公式及降暴公式

.c.2tana

sin2a=sinacosa=------------.y=cosx

1+tarra

cos2a=cos2a—sin2a=2cos2a-11-2

五點(diǎn)法作圖列表:

3ncosx=a<=>x=Ikn±arccosa(kGZ,|a|<1)

GTX+00n/2n2n

/2

Xtanx=a=x=k兀+arctana(ksZ,asR)

y

特別地，有

.正弦定理：

51sina=sin〃=a=后；r+(—1)""(%GZ)

-^—=-^—=-^—=2R(R為A4BC外

sinAsinBsinCcosa=cos[5=a=2k?！?(keZ).

接圓的半徑).

tana=tan/na=左;r+0(kGZ).

a=27?sinA.b=27?sinB,c=27?sinC

56.最簡(jiǎn)單的三角不等式及其解集

<=><7:Z):c=sinJ:sinB:sinC

52.余弦定理

sinx>a(|tz|<1)<=>xGQk?i+arcsina,2%乃+乃一ar(

a2=〃+/-26ccosZ;

222

b=c+a-2cacosB;sinx<a(\a\<1)<^>x(2左萬(wàn)一冗一arcsina.2k兀

c2=a2+b2-labcosC.

53.面積定理

區(qū)冗上乃+

(1)S=—ah=—hh.=—ch,cosc>a(|a1)u>x￡Qk-arccosa.2arccoj

2n22

(ha>%、4分別表示a、b、c邊上的高)?

(2)cosx<t7(|tv|<1)<=>xG(2%乃+arccosa.2k冗+24一z

S=-absinC=-6csinA=-easinB.

222

JI

⑶tanx>a{aGR)(k/r+arctana.kn+keZ

SbOAB=\—礪1)2-(口?礪)2.

JI

.2sAa+b—c斜邊tanx<a(asR)=(kn--,k7r+arctanQ),k

9內(nèi)切圓—q+6+c''直角A內(nèi)切圓2

57.實(shí)數(shù)與向量解的運(yùn)算律:設(shè)入、口為

實(shí)數(shù)，那么/

54.三角形內(nèi)角和定理

在△ABC中有(1)結(jié)合律：入(u三)=(入u)5;

4+B+C=/ru>。=萬(wàn)一(4+3)(2)第一分配律：(入+u)5=X5+u5;

(3)第二分配律：入(5+石)二人五+入幾

C7iA+B

—=---------58.向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：

222

<=>2C—2乃—2(A+B).(1)a*b=b*a(交換律)；

9

55.簡(jiǎn)單的三角方程的通解(2)(Aa)?b=丸(ah)

sinx=a=x=左乃+(—1，arcsina(kGZ,|a|<1)(3)(3+6)?c=a?c+S?c.

59.平面向量基本定理

如果不、&是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向

量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只64.平面兩點(diǎn)間的距離公式

有一對(duì)實(shí)數(shù)入1、入2,使得值=人|4+入2a.

不共線的向量自、當(dāng)叫做表示這?平面內(nèi)所如=|A5|=yjAB-AB

有向量的一組基底.=92-%）2+（>2-乂A（A（%,凹）,

三點(diǎn)A、B、C共線的充要條件：

荻=4礪+（1—㈤施（M為任意點(diǎn)）8（馬，必））?

65.向量的平行與垂直：設(shè)

60.向量平行的坐標(biāo)表示”(項(xiàng),必)，B=(乙,8)，且貝1J

設(shè)=（芭,凹），（）且，

5B=x?J2,BwGa||b<^>h=\5

則）b（BH6）=X|乃一=0.<0/以一工2%=0?

53.）與很的數(shù)量積（或內(nèi)積）：a-Lb{a0)<=>

a?b=\abcos0。i?b=0=x1x2+y[y2=0.

61.a?3的幾何意義：66.線段的定比分公式：設(shè)K(M，y),

數(shù)量積5?5等于5的長(zhǎng)度|5|與B在52（乙,％），P（XJ）是線段6鳥(niǎo)的分點(diǎn)，丸是

的方向上的投影|B|cos。的乘積.占總數(shù)，且肝=4國(guó)，則

向量B在向量值上的投影：|5|COS6=

再+也

X------二-------

a-b1+2oOP=OP'+AO^O

W,

X+儀]+丸

,1+4

62.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

——?—.1

(1)設(shè)3=(芯,乂)，b=(x,y),則(9P=tOPl+（l-t）OP2（t=——）.

221+4

a+b=(x^+x2,yi+%).67.三角形的重心坐標(biāo)公式

△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（X1,%）、

(2)設(shè)方=(XQ1),b=(x2,y2),貝ij

362,y2）>C（X3,y3）,則Z^ABC的重心的坐標(biāo)

a-b=(x}-x2,y}-y2).

x,+x,+xy+y+y

(3)設(shè)A(XQJ,B(x,y),貝ij3{2}

22"l3'3入

AB=OB-OA-{x2-xvy2-yy).68?點(diǎn)的平移公式

設(shè))=貝

(4)(x,y),AeR,Ux=x+h\x=x-h

2a=(/lx,Ay).<0<,

y^y+k[y^y-k

⑸設(shè)a=(x”M),b=(x2,y2),貝U

一A5?=赤+港.

a?b=(xx+yy).

]2l2注：圖形F上的任意一點(diǎn)P（x,y）在平移后

63.兩向量的夾角公式p疑形尸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P'（x',，），且麗的坐

-rt

d_a-b_否1+必必i

示為（〃㈤.

回?向

69.“按向量平移”的幾個(gè)結(jié)論

（1）點(diǎn)>（x,y）按向量G=（〃,旬平移后得

(5=(%)，^),b=(x2,y2)).

到點(diǎn)P'(x+%,》+%).(6)

(2)函數(shù)y=f(x)的圖象C按向量皿《而〈生也運(yùn)(當(dāng)且僅當(dāng)

方=(九無(wú))平移后得到圖象C',則C的函數(shù)解a+b2V2

析式為y=f(x-h)+k.a=b時(shí)取"=”號(hào))。

72.極值定理：已知都是正數(shù)，則有

(3)圖象C'按向量。=(〃,左)平移后得到

(1)若積9是定值p,則當(dāng)x=y時(shí)和

圖象C,若C的解析式y(tǒng)=/(x),則C'的函

x+y有最小值2d；

數(shù)解析式為歹=/(x+〃)—h

(2)若和x+y是定值s,則當(dāng)％=>時(shí)

(4)曲線C：/(蒼歷=0按向量石=(〃,女)

平移后得到圖象C’,則。’的方程為積肛有最大值了1.

f(x-h,y-k)^O.

(3)已知a,6,x,ye7?+,若ax+勿=1

(5)向量比=(x,y)按向量為=(〃,左)平移

則有

后得到的向量仍然為歷=(》)).