中考數(shù)學(xué)二次根式知識點-+典型題附解析

一、選擇題1．下列各式中，無意義的是（）A． B． C． D．2．已知，則的值為（）A． B． C． D．03．已知：x＝+1，y＝﹣1，求x2﹣y2的值（）A．1 B．2 C． D．44．下列算式：（1）；（2）；（3）=；（4），其中正確的是（）A．（1）和（3） B．（2）和（4） C．（3）和（4） D．（1）和（4）5．下列說法錯誤的個數(shù)是（）①所有無限小數(shù)都是無理數(shù)；②的平方根是；③；④數(shù)軸上的點都表示有理數(shù)A．個 B．個 C．個 D．個6．設(shè)為正整數(shù)，，，，，…，….，已知，則().A．1806 B．2005 C．3612 D．40117．關(guān)于的下列說法中錯誤的是（）A．是的算術(shù)平方根 B．C．不能化簡 D．是無理數(shù)8．化簡（﹣）2的結(jié)果是（）A．±3 B．﹣3 C．3 D．99．如果實數(shù)，滿足，那么點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第一象限或坐標(biāo)軸上 D．第二象限或坐標(biāo)軸上10．下列計算正確的是（）A． B． C． D．二、填空題11．設(shè)a﹣b=2+，b﹣c=2﹣，則a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc=_____．12．已知，則2x﹣18y2＝_____．13．如果表示a、b的實數(shù)的點在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么化簡|a﹣b|+的結(jié)果是_____．14．為了簡潔、明確的表示一個正數(shù)的算術(shù)平方根，許多數(shù)學(xué)家進(jìn)行了探索，期間經(jīng)歷了400余年，直至1637年法國數(shù)學(xué)家笛卡兒在他的《幾何學(xué)》中開始使用“”表示算數(shù)平方根．我國使用根號是由李善蘭（1811-1882年）譯西方數(shù)學(xué)書時引用的，她在《代數(shù)備旨》中把圖1所示題目翻譯為：則圖2所示題目（字母代表正數(shù)）翻譯為_____________，計算結(jié)果為_______________.15．已知實數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡﹣|a﹣c|+﹣|﹣b|＝_______．16．已知可寫成的形式(為正整數(shù))，則______.17．已知實數(shù)、、滿足等式，則__________．18．計算：=_____________．19．若a、b都是有理數(shù)，且，則=__________．20．函數(shù)y＝中，自變量x的取值范圍是____________．三、解答題21．在學(xué)習(xí)了二次根式后，小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)有的二次根式可以寫成另一個二次根式的平方的形式.比如：.善于動腦的小明繼續(xù)探究：當(dāng)為正整數(shù)時，若，則有，所以，.請模仿小明的方法探索并解決下列問題：（1）當(dāng)為正整數(shù)時，若，請用含有的式子分別表示，得：，；（2）填空：=-；（3）若，且為正整數(shù)，求的值.【答案】（1），；（2）；（3）或46.【解析】試題分析：（1）把等式右邊展開，參考范例中的方法即可求得本題答案；（2）由（1）中結(jié)論可得：，結(jié)合都為正整數(shù)可得：m=2，n=1，這樣就可得到：；（3）將右邊展開，整理可得：，結(jié)合為正整數(shù)，即可先求得的值，再求的值即可.試題解析：（1）∵，∴，∴；（2）由（1）中結(jié)論可得：，∵都為正整數(shù)，∴或，∵當(dāng)m=1，n=2時，，而當(dāng)m=2，n=1時，，∴m=2，n=1，∴；（3）∵，∴，，又∵為正整數(shù)，∴，或者，∴當(dāng)時，；當(dāng)，，即的值為：46或14.22．先化簡，再求值：a+，其中a＝1007．如圖是小亮和小芳的解答過程．（1）的解法是錯誤的；（2）錯誤的原因在于未能正確地運(yùn)用二次根式的性質(zhì)：；（3）先化簡，再求值：a+2，其中a＝﹣2018．【答案】（1）小亮（2）=-a（a＜0）（3）2013.【解析】試題分析：（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)=|a|，判斷出小亮的計算是錯誤的；（2）錯誤原因是：二次根式的性質(zhì)=|a|的應(yīng)用錯誤；（3）先根據(jù)配方法把被開方數(shù)配成完全平方，然后根據(jù)正確的性質(zhì)化簡，再代入計算即可.試題解析：（1）小亮（2）=-a（a＜0）（3）原式＝a+2＝a+2（3-a）＝6-a=6-（-2007）＝2013.23．計算：（1）；（2）【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：根據(jù)二次根式的性質(zhì)及分母有理化，化簡二次根式，然后合并同類二次根式即可解答.試題解析：（1）=2-=；（2）===24．計算：【答案】【分析】先將括號內(nèi)的二次根式進(jìn)行化簡并合并，再進(jìn)行二次根式的乘法運(yùn)算即可．【詳解】解：===．【點睛】此題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答此題的關(guān)鍵．25．計算（1）；（2）【答案】（1）；（2）8.【解析】分析：先將二次根式化為最簡，然后再進(jìn)行二次根式的乘法運(yùn)算.詳解：（1）；＝＝；（2）原式＝,＝＝＝＝.點睛：此題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練化簡二次根式后，在加減的過程中，有同類二次根式的要合并；相乘的時候，被開方數(shù)簡單的直接讓被開方數(shù)相乘，再化簡；較大的也可先化簡，再相乘，靈活對待．26．已知a＝+，b＝﹣．（1）求a2﹣b2的值；（2）求+的值．【答案】（1）4；（2）10【分析】(1)先計算出a+b、a-b的值，然后將所求的式子因式分解后利用整體代入思想代入數(shù)值進(jìn)行計算即可；(2)先計算ab的值，然后將所求的式子通分，分子進(jìn)行變形后利用整體代入思想代入相關(guān)數(shù)值進(jìn)行計算即可.【詳解】(1)∵a＝+，b＝-，∴a+b＝++﹣＝2，a﹣b＝+﹣+＝2，∴a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b)＝2×2＝4；(2)∵a＝+，b＝﹣，∴ab＝(+)×(﹣)＝3﹣2＝1，則原式＝＝＝＝10．【點睛】本題考查了二次根式的化簡求值，熟練掌握整體代入思想是解題的關(guān)鍵.27．計算：（1）（－）×．（2）化簡＋|a﹣1|，其中1＜a＜．【答案】（1）1；（2）1【分析】（1）根據(jù)二次根式的乘法法則計算；（2）由二次根式的非負(fù)性，a的取值范圍進(jìn)行化簡．【詳解】解：（1）（－）×＝－1＝2－1＝1（2）∵1＜a＜，∴原式＝＋a﹣1＝2﹣a＋a﹣1＝1．【點睛】本題考查二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法法則，主要檢驗學(xué)生的計算能力．28．計算下列各題：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)二次根式的運(yùn)算順序和運(yùn)算法則計算即可；（2）利用平方差、完全平方公式進(jìn)行計算．【詳解】解：（1）原式；（2）原式．【點睛】本題考查二次根式的加減乘除混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則和乘法公式是關(guān)鍵．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請不要刪除一、選擇題1．A解析：A【分析】直接利用二次根式有意義的條件、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)分析得出答案．【詳解】A、，無意義，符合題意；B、，有意義，不合題意；C、，有意義，不合題意；D、，有意義，不合題意；故選A.【點睛】此題主要考查了二次根式有意義的條件、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)，正確把握二次根式的定義是解題關(guān)鍵．2．D解析：D【分析】把x的值代入原式計算即可求出值．【詳解】解：當(dāng)x=5-2時，原式=（5-2）2-10×（5-2）+1=25-20+24-50+20+1=0．故選：D．【點睛】本題考查了二次根式的化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．3．D解析：D【分析】先根據(jù)x、y的值計算、的值，再將所求式子利用平方差公式進(jìn)行化簡，然后代入求值即可．【詳解】∵，∴，則，故選：D．【點睛】本題考查了代數(shù)式的化簡求值、二次根式的加減法與乘法，利用平方差公式對代數(shù)式進(jìn)行化簡是解題關(guān)鍵．4．B解析：B【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和二次根式的加法運(yùn)算，分別進(jìn)行判斷，即可得到答案．【詳解】（1）和不是同類項，不能合并，錯誤；（2），正確；（3）＝，錯誤；（4），正確；故選：B．【點睛】本題考查了二次根式的加法運(yùn)算，二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則進(jìn)行解題．5．C解析：C【分析】根據(jù)無理數(shù)定義判斷①；根據(jù)平方根的算法判斷②；利用二次根式的性質(zhì)化簡判斷③；根據(jù)數(shù)軸的特點，判斷④．【詳解】無限不循環(huán)小數(shù)才是無理數(shù)，①錯誤；，3的平方根是，②正確；，③錯誤；數(shù)軸上的點可以表示所有有理數(shù)和無理數(shù)，④錯誤故選：C．【點睛】本題考查無理數(shù)的定義、平方根的計算、二次根式的性質(zhì)以及數(shù)軸表示數(shù)，緊抓相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．6．A解析：A【解析】【分析】利用多項式的乘法把各數(shù)開方進(jìn)行計算，然后求出A1，A2，A3的值，從而找出規(guī)律并寫出規(guī)律表達(dá)式，再把k=100代入進(jìn)行計算即可求解.【詳解】∵(n+3)(n-1)+4=n2+2n-3+4=n2+2n+1=(n+1)2，∴A1=∵(n+5)A1+4=(n+5)(n+1)+4=n2+6n+5+4=n2+6n+9=(n+3)2，∴A2=∵(n+7)A2+4=(n+7)(n+3)+4=n2+10n+21+4=n2+10n+25=(n+5)2，∴A3=??依此類推，Ak=n+(2k-1)∴A100=n+(2×100-1)=2005解得，n=1806.故選A.【點睛】本題是對數(shù)字變化規(guī)律的考查，對被開方數(shù)整理，求出A1，A2，A3，從而找出規(guī)律寫出規(guī)律的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵.7．C解析：C【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義，無理數(shù)的定義及估值，二次根式的化簡依次判斷.【詳解】A、是的算術(shù)平方根，故該項正確；B、，故該項正確；C、，故該項不正確；D、∵，∴是無理數(shù)，故該項正確；故選：C.【點睛】此題考查算術(shù)平方根的定義，無理數(shù)的定義及估值，二次根式的化簡，熟練掌握各知識點并運(yùn)用解題是關(guān)鍵.8．C解析：C【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可求出答案．【詳解】原式＝3，故選C．【點睛】本題考查二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．9．D解析：D【分析】先判斷出點的橫縱坐標(biāo)的符號，進(jìn)而判斷點所在的象限或坐標(biāo)軸．【詳解】解：∵，∴x、y異號，且y>0，∴x<0，或者x、y中有一個為0或均為0．∴那么點在第二象限或坐標(biāo)軸上．故選：D．【點睛】根據(jù)二次根式的意義，確定被開方數(shù)的取值范圍，進(jìn)而確定a、b的取值范圍，從而確定點的坐標(biāo)位置．10．C解析：C【分析】根據(jù)合并二次根式的法則、二次根式的性質(zhì)、二次根式的除法法則即可判定．【詳解】A、不能合并，故選項A錯誤；B、，故選項B錯誤；C、，故選項C正確；D、，故選項D錯誤；故選：C．【點睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．15【解析】根據(jù)題意，由a﹣b=2+，b﹣c=2﹣，兩式相加得，得到a﹣c=4，然后根據(jù)配方法，把式子各項變?yōu)椋篴2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=====15.故答案為：15.解析：15【解析】根據(jù)題意，由a﹣b=2+，b﹣c=2﹣，兩式相加得，得到a﹣c=4，然后根據(jù)配方法，把式子各項變?yōu)椋篴2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=====15.故答案為：15.12．【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)將已知化簡，再將原式變形求出答案．【詳解】解：∵一定有意義，∴x≥11，∴﹣|7﹣x|+＝3y﹣2，﹣x+7+x﹣9＝3y﹣2，整理得：＝3y，∴x﹣解析：【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)將已知化簡，再將原式變形求出答案．【詳解】解：∵一定有意義，∴x≥11，∴﹣|7﹣x|+＝3y﹣2，﹣x+7+x﹣9＝3y﹣2，整理得：＝3y，∴x﹣11＝9y2，則2x﹣18y2＝2x﹣2（x﹣11）＝22．故答案為：22．【點睛】本題考查二次根式有意義的應(yīng)用，以及二次根式的性質(zhì)應(yīng)用，屬于提高題．13．﹣2b【解析】由題意得：b＜a＜0，然后可知a-b＞0，a+b＜0，因此可得|a﹣b|+=a﹣b+[﹣（a+b）]=a﹣b﹣a﹣b=﹣2b．故答案為﹣2b．點睛：本題主要考查了二次根式和絕對解析：﹣2b【解析】由題意得：b＜a＜0，然后可知a-b＞0，a+b＜0，因此可得|a﹣b|+=a﹣b+[﹣（a+b）]=a﹣b﹣a﹣b=﹣2b．故答案為﹣2b．點睛：本題主要考查了二次根式和絕對值的性質(zhì)與化簡．特別因為a．b都是數(shù)軸上的實數(shù)，注意符號的變換．14．a(chǎn)+3【分析】根據(jù)題意可知圖中的甲代表a,據(jù)此可寫出圖2中表示的式子.再根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡.【詳解】解：根據(jù)題意可知圖中的甲代表a,∴圖2所示題目（字母代表正數(shù)）翻解析：a+3【分析】根據(jù)題意可知圖中的甲代表a,據(jù)此可寫出圖2中表示的式子.再根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡.【詳解】解：根據(jù)題意可知圖中的甲代表a,∴圖2所示題目（字母代表正數(shù)）翻譯為.∵a＞0，∴故答案為：；a+3.【點睛】本題考查閱讀理解的能力，正確理解題意是關(guān)鍵.15．-2a【分析】根據(jù)數(shù)軸判斷出a、b、c的正負(fù)情況以及大小情況，然后根據(jù)絕對值和二次根式的性質(zhì)去掉根號和絕對值號，再進(jìn)行計算即可得解．【詳解】由圖可知，∴∴﹣|a﹣c|+﹣|﹣b|＝解析：-2a【分析】根據(jù)數(shù)軸判斷出a、b、c的正負(fù)情況以及大小情況，然后根據(jù)絕對值和二次根式的性質(zhì)去掉根號和絕對值號，再進(jìn)行計算即可得解．【詳解】由圖可知，∴∴﹣|a﹣c|+﹣|﹣b|＝===-2a.【點睛】本題考查二次根式的性質(zhì)與化簡和化簡絕對值.在解決本題時需注意①對于任意實數(shù)a,都有；②在化簡絕對值時，絕對值內(nèi)如果是一個多項式,要給化簡后的結(jié)果帶上括號.16．【解析】【分析】根據(jù)題意，可得到=，利用平方關(guān)系把根號去掉，根據(jù)、、的系數(shù)相等的關(guān)系得到關(guān)于a，b，c的三元方程組，解方程組即可.【詳解】∵=∴，即．解得．【點睛】本題考查了解析：【解析】【分析】根據(jù)題意，可得到=，利用平方關(guān)系把根號去掉，根據(jù)、、的系數(shù)相等的關(guān)系得到關(guān)于a，b，c的三元方程組，解方程組即可.【詳解】∵=∴，即．解得．【點睛】本題考查了二次根式的加減，解本題的關(guān)鍵是將等式平方去根號，利用等量關(guān)系中等式左右兩邊中、、的系數(shù)相等，即可解題.17．5【解析】試題解析：由題可知，∴，∴，∴，①②得，，解方程組得，∴．故答案為：5.解析：5【解析】試題解析：由題可知，∴，∴，∴，①②得，，解方程組得，∴．故答案為：5.18．【解析】【詳解】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和二次根