吉林省通榆一中2023-2024學(xué)年高三考前熱身數(shù)學(xué)試卷含解析

吉林省通榆一中2023-2024學(xué)年高三考前熱身數(shù)學(xué)試卷考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線(xiàn)內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體的體積為（）A． B． C． D．2．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為，已知，則為()A． B． C．或 D．或3．定義在R上的函數(shù)y=fx滿(mǎn)足fx≤2x-1A． B． C． D．4．函數(shù)，，則“的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)”是“是奇函數(shù)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為8，則實(shí)數(shù)（）A．2 B．-2 C．-3 D．36．的展開(kāi)式中的系數(shù)為（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，，且在上是單調(diào)函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A． B．C．函數(shù)在上單調(diào)遞減 D．函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)8．2019年某校迎國(guó)慶70周年歌詠比賽中，甲乙兩個(gè)合唱隊(duì)每場(chǎng)比賽得分的莖葉圖如圖所示（以十位數(shù)字為莖，個(gè)位數(shù)字為葉）.若甲隊(duì)得分的中位數(shù)是86，乙隊(duì)得分的平均數(shù)是88，則（）A．170 B．10 C．172 D．129．某設(shè)備使用年限x（年）與所支出的維修費(fèi)用y（萬(wàn)元）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分別為，，，，由最小二乘法得到回歸直線(xiàn)方程為，若計(jì)劃維修費(fèi)用超過(guò)15萬(wàn)元將該設(shè)備報(bào)廢，則該設(shè)備的使用年限為（）A．8年 B．9年 C．10年 D．11年10．若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．11．在三棱錐中，，，則三棱錐外接球的表面積是（）A． B． C． D．12．將3個(gè)黑球3個(gè)白球和1個(gè)紅球排成一排，各小球除了顏色以外其他屬性均相同，則相同顏色的小球不相鄰的排法共有（）A．14種 B．15種 C．16種 D．18種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知集合U＝{1,3,5,9}，A＝{1,3,9}，B＝{1,9}，則?U(A∪B)＝________.14．定義，已知，，若恰好有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.15．函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____.16．設(shè)復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，其中是虛數(shù)單位，若是的共軛復(fù)數(shù)，則____________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，如果方程有兩個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)t的取值范圍，并證明.18．（12分）如圖，空間幾何體中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，，，平面平面，且平面平面，為中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求二面角平面角的余弦值.19．（12分）已知，函數(shù)有最小值7.（1）求的值；（2）設(shè)，，求證：.20．（12分）在中，角的對(duì)邊分別為，且．（1）求角的大??；（2）若函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸方程為且，求的值．21．（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為.（1）求的直角坐標(biāo)方程和的直角坐標(biāo)；（2）設(shè)與交于，兩點(diǎn)，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，求.22．（10分）唐詩(shī)是中國(guó)文學(xué)的瑰寶.為了研究計(jì)算機(jī)上唐詩(shī)分類(lèi)工作中檢索關(guān)鍵字的選取，某研究人員將唐詩(shī)分成7大類(lèi)別，并從《全唐詩(shī)》48900多篇唐詩(shī)中隨機(jī)抽取了500篇，統(tǒng)計(jì)了每個(gè)類(lèi)別及各類(lèi)別包含“花”、“山”、“簾”字的篇數(shù)，得到下表：愛(ài)情婚姻詠史懷古邊塞戰(zhàn)爭(zhēng)山水田園交游送別羈旅思鄉(xiāng)其他總計(jì)篇數(shù)100645599917318500含“山”字的篇數(shù)5148216948304271含“簾”字的篇數(shù)2120073538含“花”字的篇數(shù)606141732283160（1）根據(jù)上表判斷，若從《全唐詩(shī)》含“山”字的唐詩(shī)中隨機(jī)抽取一篇，則它屬于哪個(gè)類(lèi)別的可能性最大，屬于哪個(gè)類(lèi)別的可能性最小，并分別估計(jì)該唐詩(shī)屬于這兩個(gè)類(lèi)別的概率；（2）已知檢索關(guān)鍵字的選取規(guī)則為：①若有超過(guò)95%的把握判斷“某字”與“某類(lèi)別”有關(guān)系，則“某字”為“某類(lèi)別”的關(guān)鍵字；②若“某字”被選為“某類(lèi)別”關(guān)鍵字，則由其對(duì)應(yīng)列聯(lián)表得到的的觀(guān)測(cè)值越大，排名就越靠前；設(shè)“山”“簾”“花”和“愛(ài)情婚姻”對(duì)應(yīng)的觀(guān)測(cè)值分別為，，.已知，，請(qǐng)完成下面列聯(lián)表，并從上述三個(gè)字中選出“愛(ài)情婚姻”類(lèi)別的關(guān)鍵字并排名.屬于“愛(ài)情婚姻”類(lèi)不屬于“愛(ài)情婚姻”類(lèi)總計(jì)含“花”字的篇數(shù)不含“花”的篇數(shù)總計(jì)附：，其中.0.050.0250.0103.8415.0246.635

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

由三視圖還原原幾何體如圖，該幾何體為組合體，上半部分為半球，下半部分為圓柱，半球的半徑為1，圓柱的底面半徑為1，高為1．再由球與圓柱體積公式求解．【詳解】由三視圖還原原幾何體如圖，該幾何體為組合體，上半部分為半球，下半部分為圓柱，半球的半徑為1，圓柱的底面半徑為1，高為1．則幾何體的體積為．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查由三視圖求面積、體積，關(guān)鍵是由三視圖還原原幾何體，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平．2、D【解析】

由正弦定理可求得，再由角A的范圍可求得角A.【詳解】由正弦定理可知，所以，解得，又，且，所以或。故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理,注意角的范圍，是否有兩解的情況，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

根據(jù)y=fx+1為奇函數(shù)，得到函數(shù)關(guān)于1,0中心對(duì)稱(chēng)，排除AB，計(jì)算f1.5≤【詳解】y=fx+1為奇函數(shù)，即fx+1=-f-x+1，函數(shù)關(guān)于f1.5≤2故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的識(shí)別，確定函數(shù)關(guān)于1,0中心對(duì)稱(chēng)是解題的關(guān)鍵.4、B【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】設(shè)，若函數(shù)是上的奇函數(shù)，則，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng).所以，“是奇函數(shù)”“的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)”；若函數(shù)是上的偶函數(shù)，則，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng).所以，“的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)”“是奇函數(shù)”.因此，“的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)”是“是奇函數(shù)”的必要不充分條件.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合函數(shù)奇偶性的性質(zhì)判斷是解決本題的關(guān)鍵，考查推理能力，屬于中等題.5、A【解析】

先求的展開(kāi)式，再分類(lèi)分析中用哪一項(xiàng)與相乘，將所有結(jié)果為常數(shù)的相加，即為展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)，從而求出的值.【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)為，當(dāng)取2時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為，當(dāng)取時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為由題知，則.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了兩個(gè)二項(xiàng)式乘積的展開(kāi)式中的系數(shù)問(wèn)題，其中對(duì)所取的項(xiàng)要進(jìn)行分類(lèi)討論，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】由題意，根據(jù)二項(xiàng)式定理展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，得展開(kāi)式的通項(xiàng)為，則展開(kāi)式的通項(xiàng)為，由，得，所以所求的系數(shù)為.故選C.點(diǎn)睛：此題主要考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，以及組合數(shù)、整數(shù)冪的運(yùn)算等有關(guān)方面的知識(shí)與技能，屬于中低檔題，也是?？贾R(shí)點(diǎn).在二項(xiàng)式定理的應(yīng)用中，注意區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)，先求出通項(xiàng)公式，再根據(jù)所求問(wèn)題，通過(guò)確定未知的次數(shù)，求出，將的值代入通項(xiàng)公式進(jìn)行計(jì)算，從而問(wèn)題可得解.7、B【解析】

根據(jù)函數(shù)，在上是單調(diào)函數(shù)，確定，然后一一驗(yàn)證，A.若，則，由，得，但.B.由，，確定，再求解驗(yàn)證.C.利用整體法根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷.D.計(jì)算是否為0.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，在上是單調(diào)函數(shù)，所以，即，所以，若，則，又因?yàn)?，即，解得，而，故A錯(cuò)誤.由，不妨令，得由，得或當(dāng)時(shí)，，不合題意.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)所以，故B正確.因?yàn)?，函?shù)，在上是單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤.，故D錯(cuò)誤.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于較難的題.8、D【解析】

中位數(shù)指一串?dāng)?shù)據(jù)按從?。ù螅┑酱螅ㄐ。┡帕泻?，處在最中間的那個(gè)數(shù)，平均數(shù)指一串?dāng)?shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù).【詳解】由莖葉圖知，甲的中位數(shù)為，故；乙的平均數(shù)為，解得，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖的應(yīng)用，涉及到中位數(shù)、平均數(shù)的知識(shí)，是一道容易題.9、D【解析】

根據(jù)樣本中心點(diǎn)在回歸直線(xiàn)上，求出，求解，即可求出答案.【詳解】依題意在回歸直線(xiàn)上，，由，估計(jì)第年維修費(fèi)用超過(guò)15萬(wàn)元.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查回歸直線(xiàn)過(guò)樣本中心點(diǎn)、以及回歸方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則計(jì)算，由共軛復(fù)數(shù)的概念寫(xiě)出.【詳解】,,故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法計(jì)算，共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于容易題.11、B【解析】

取的中點(diǎn)，連接、，推導(dǎo)出，設(shè)設(shè)球心為，和的中心分別為、，可得出平面，平面，利用勾股定理計(jì)算出球的半徑，再利用球體的表面積公式可得出結(jié)果.【詳解】取的中點(diǎn)，連接、，由和都是正三角形，得，，則，則，由勾股定理的逆定理，得.設(shè)球心為，和的中心分別為、.由球的性質(zhì)可知：平面，平面，又，由勾股定理得.所以外接球半徑為.所以外接球的表面積為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球表面積的計(jì)算，解題時(shí)要分析幾何體的結(jié)構(gòu)，找出球心的位置，并以此計(jì)算出球的半徑長(zhǎng)，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.12、D【解析】

采取分類(lèi)計(jì)數(shù)和分步計(jì)數(shù)相結(jié)合的方法，分兩種情況具體討論，一種是黑白依次相間，一種是開(kāi)始僅有兩個(gè)相同顏色的排在一起【詳解】首先將黑球和白球排列好，再插入紅球.情況1：黑球和白球按照黑白相間排列（“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”），此時(shí)將紅球插入6個(gè)球組成的7個(gè)空中即可，因此共有2×7=14種；情況2：黑球或白球中僅有兩個(gè)相同顏色的排在一起（“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑白”“白黑白黑黑白”），此時(shí)紅球只能插入兩個(gè)相同顏色的球之中，共4種.綜上所述，共有14+4=18種.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查排列組合公式的具體應(yīng)用，插空法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、{5}【解析】易得A∪B＝A＝{1,3,9}，則?U(A∪B)＝{5}．14、【解析】

根據(jù)題意，分類(lèi)討論求解，當(dāng)時(shí)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)無(wú)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，令，得，令，得或，再分當(dāng)，兩種情況討論求解.【詳解】由題意得：當(dāng)時(shí)，在軸上方，且為增函數(shù)，無(wú)零點(diǎn)，至多有兩個(gè)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，令，得，令，得或，如圖所示：當(dāng)時(shí)，即時(shí)，要有3個(gè)零點(diǎn)，則，解得；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，要有3個(gè)零點(diǎn)，則，令，，所以在是減函數(shù)，又，要使，則須，所以.綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的圖象和分段函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，還考查了分類(lèi)討論的思想和運(yùn)算求解的能力，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，屬于中檔題.15、【解析】

先求得與關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與的圖象有交點(diǎn)，即方程有解.對(duì)分成三種情況進(jìn)行分類(lèi)討論，由此求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的函數(shù)為，因?yàn)楹瘮?shù)與的圖象上存在關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，所以與的圖象有交點(diǎn)，方程有解.時(shí)符合題意.時(shí)轉(zhuǎn)化為有解，即，的圖象有交點(diǎn)，是過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)，其斜率為，若，則函數(shù)與的圖象必有交點(diǎn)，滿(mǎn)足題意；若，設(shè)，相切時(shí)，切點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得，切線(xiàn)斜率為，由圖可知，當(dāng)，即時(shí)，，的圖象有交點(diǎn)，此時(shí)，與的圖象有交點(diǎn)，函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的零點(diǎn)以及對(duì)稱(chēng)性，函數(shù)與方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力，推理與運(yùn)算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸思想和應(yīng)用意識(shí).16、【解析】

由于，則．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2），證明見(jiàn)解析.【解析】

（1）求出，對(duì)分類(lèi)討論，分別求出的解，即可得出結(jié)論；（2）由（1）得出有兩解時(shí)的范圍，以及關(guān)系，將，等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明，不妨設(shè)，令，則，即證，構(gòu)造函數(shù)，只要證明對(duì)于任意恒成立即可.【詳解】（1）的定義域?yàn)镽，且.由，得；由，得.故當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，，且.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，實(shí)數(shù)t的取值范圍是.方程有兩個(gè)不等實(shí)根，，，，，，即.要證，只需證，即證，不妨設(shè).令，則，則要證，即證.令，則.令，則，在上單調(diào)遞增，.，在上單調(diào)遞增，，即成立，即成立..【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到函數(shù)單調(diào)性、極值、零點(diǎn)、不等式證明，構(gòu)造函數(shù)函數(shù)是解題的關(guān)鍵，意在考查直觀(guān)想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于較難題.18、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】

（1）分別取，的中點(diǎn)，，連接，，，，，要證明平面，只需證明面∥面即可.（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，以為軸，以為軸，以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別計(jì)算面的法向量，面的法向量可取，并判斷二面角為銳角，再利用計(jì)算即可.【詳解】（1）證明：分別取，的中點(diǎn)，，連接，，，，.由平面平面，且交于，平面，有平面，由平面平面，且交于，平面，有平面，所以∥，又平面，平面，所以∥平面，由，有，∥，又平面，平面，所以∥平面，由∥平面，∥平面，，所以平面∥平面，所以∥平面（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，以為軸，以為軸，以為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系由面，所以面的法向量可取，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，，，設(shè)面的法向量，所以，取，二面角的平面角為，則為銳角.所以【點(diǎn)睛】本題考查由面面平行證明線(xiàn)面平行以及向量法求二面角的余弦值，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，在做此類(lèi)題時(shí)，一定要準(zhǔn)確寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo).19、（1）.（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）由絕對(duì)值三解不等式可得，所以當(dāng)時(shí)，，即可求出參數(shù)的值；（2）由，可得，再利用基本不等式求出的最小值，即可得證；【詳解】解：（1）∵，∴當(dāng)時(shí)，，解得.（2）∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立.∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對(duì)值三角不等式及基本不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于中檔題．20、（1）（2）【解析】

（1）由已知利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理可求，即可求的值．（2）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，可得，根據(jù)題意，得到，解得，得到函數(shù)的解析式，進(jìn)而求得的值，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求的值．【詳解】（1）由題意，根據(jù)正弦定理，可得，又由，所以，可得，即，又因?yàn)椋瑒t，可得，∵，∴．（2）由（1）可得，所以函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸方程為，∴，得，即，∴，又，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．21、（1），（2）【解析】

（1）利用互化公式把曲線(xiàn)C化成直角坐標(biāo)方程，把點(diǎn)P的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)；（2）把直線(xiàn)l的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式代入曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)韋達(dá)定理以及參數(shù)t的幾何意義可得．【詳解】（1）由ρ2得ρ2+ρ2sin2θ＝2，將ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ代入上式并整理得曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為y2＝1，設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（x，y），因?yàn)镻