安徽省合肥市示范中學(xué)2024年高三適應(yīng)性調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題含解析

安徽省合肥市示范中學(xué)2024年高三適應(yīng)性調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若P是的充分不必要條件，則p是q的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件2．集合，，則（）A． B． C． D．3．一個由兩個圓柱組合而成的密閉容器內(nèi)裝有部分液體，小圓柱底面半徑為，大圓柱底面半徑為，如圖1放置容器時，液面以上空余部分的高為，如圖2放置容器時，液面以上空余部分的高為，則（）A． B． C． D．4．函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個公差為的等差數(shù)列，要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象（）A．向左平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位5．在直角中，，，，若，則（）A． B． C． D．6．已知橢圓：的左，右焦點分別為，，過的直線交橢圓于，兩點，若，且的三邊長，，成等差數(shù)列，則的離心率為（）A． B． C． D．7．在三棱錐中，，，P在底面ABC內(nèi)的射影D位于直線AC上，且，.設(shè)三棱錐的每個頂點都在球Q的球面上，則球Q的半徑為（）A． B． C． D．8．“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件9．設(shè)集合，，則集合A． B． C． D．10．設(shè)函數(shù)恰有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．11．對于任意，函數(shù)滿足，且當(dāng)時，函數(shù).若，則大小關(guān)系是（）A． B． C． D．12．，則與位置關(guān)系是()A．平行 B．異面C．相交 D．平行或異面或相交二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線在點處的切線方程為________.14．若，則______.15．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則的值為__________．16．?dāng)?shù)列的前項和為，則數(shù)列的前項和_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，滿足，，，，恰為等比數(shù)列的前3項．（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和為；若對均滿足，求整數(shù)的最大值；（3）是否存在數(shù)列滿足等式成立，若存在，求出數(shù)列的通項公式；若不存在，請說明理由．18．（12分）已知首項為2的數(shù)列滿足.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列．（2）令，求數(shù)列的前項和.19．（12分）已知函數(shù)，記不等式的解集為.（1）求；（2）設(shè)，證明：.20．（12分）如圖，在三棱柱中，已知四邊形為矩形，，，，的角平分線交于.（1）求證:平面平面；（2）求二面角的余弦值.21．（12分）隨著時代的發(fā)展，A城市的競爭力、影響力日益卓著，這座創(chuàng)新引領(lǐng)型城市有望踏上向“全球城市”發(fā)起“沖擊”的新征程.A城市的活力與包容無不吸引著無數(shù)懷揣夢想的年輕人前來發(fā)展，目前A城市的常住人口大約為1300萬.近日，某報社記者作了有關(guān)“你來A城市發(fā)展的理由”的調(diào)查問卷，參與調(diào)查的對象年齡層次在25~44歲之間.收集到的相關(guān)數(shù)據(jù)如下：來A城市發(fā)展的理由人數(shù)合計自然環(huán)境1.森林城市，空氣清新2003002.降水充足，氣候怡人100人文環(huán)境3.城市服務(wù)到位1507004.創(chuàng)業(yè)氛圍好3005.開放且包容250合計10001000（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，預(yù)測400萬25~44歲年齡的人中，選擇“創(chuàng)業(yè)氛圍好”來A城市發(fā)展的有多少人；（2）從所抽取選擇“自然環(huán)境”作為來A城市發(fā)展的理由的300人中，利用分層抽樣的方法抽取6人，從這6人中再選取3人發(fā)放紀(jì)念品.求選出的3人中至少有2人選擇“森林城市，空氣清新”的概率；（3）在選擇“自然環(huán)境”作為來A城市發(fā)展的理由的300人中有100名男性；在選擇“人文環(huán)境”作為來A城市發(fā)展的理由的700人中有400名男性；請?zhí)顚懴旅媪新?lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為性別與“自然環(huán)境”或“人文環(huán)境”的選擇有關(guān)？自然環(huán)境人文環(huán)境合計男女合計附：，.P（）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82822．（10分）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別是，，，，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

試題分析：通過逆否命題的同真同假，結(jié)合充要條件的判斷方法判定即可．由p是的充分不必要條件知“若p則”為真，“若則p”為假，根據(jù)互為逆否命題的等價性知，“若q則”為真，“若則q”為假，故選B．考點：邏輯命題2、A【解析】

計算，再計算交集得到答案.【詳解】，，故.故選：.【點睛】本題考查了交集運算，屬于簡單題.3、B【解析】

根據(jù)空余部分體積相等列出等式即可求解.【詳解】在圖1中，液面以上空余部分的體積為；在圖2中，液面以上空余部分的體積為.因為，所以.故選：B【點睛】本題考查圓柱的體積，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】依題意有的周期為.而，故應(yīng)左移.5、C【解析】

在直角三角形ABC中，求得，再由向量的加減運算，運用平面向量基本定理，結(jié)合向量數(shù)量積的定義和性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，化簡計算即可得到所求值．【詳解】在直角中，，，，，

，

若，則故選C.【點睛】本題考查向量的加減運算和數(shù)量積的定義和性質(zhì)，主要是向量的平方即為模的平方，考查運算能力，屬于中檔題．6、C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)設(shè)出，，，利用勾股定理列方程，結(jié)合橢圓的定義，求得.再利用勾股定理建立的關(guān)系式，化簡后求得離心率.【詳解】由已知，，成等差數(shù)列，設(shè)，，.由于，據(jù)勾股定理有，即，化簡得；由橢圓定義知的周長為，有，所以，所以；在直角中，由勾股定理，，∴離心率.故選：C【點睛】本小題主要考查橢圓離心率的求法，考查橢圓的定義，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題.7、A【解析】

設(shè)的中點為O先求出外接圓的半徑，設(shè)，利用平面ABC，得，在及中利用勾股定理構(gòu)造方程求得球的半徑即可【詳解】設(shè)的中點為O,因為，所以外接圓的圓心M在BO上.設(shè)此圓的半徑為r.因為，所以，解得.因為，所以.設(shè)，易知平面ABC，則.因為，所以，即，解得.所以球Q的半徑.故選：A【點睛】本題考查球的組合體，考查空間想象能力，考查計算求解能力，是中檔題8、A【解析】

首先利用二倍角正切公式由，求出，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可；【詳解】解：∵，∴可解得或，∴“”是“”的充分不必要條件.故選：A【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，二倍角正切公式的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．9、B【解析】

先求出集合和它的補集，然后求得集合的解集，最后取它們的交集得出結(jié)果.【詳解】對于集合A，，解得或，故.對于集合B，，解得.故.故選B.【點睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查對數(shù)不等式的解法，考查集合的補集和交集的運算.對于有兩個根的一元二次不等式的解法是：先將二次項系數(shù)化為正數(shù)，且不等號的另一邊化為，然后通過因式分解，求得對應(yīng)的一元二次方程的兩個根，再利用“大于在兩邊，小于在中間”來求得一元二次不等式的解集.10、C【解析】

恰有兩個極值點，則恰有兩個不同的解，求出可確定是它的一個解，另一個解由方程確定，令通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)值域求出方程有一個不是1的解時t應(yīng)滿足的條件.【詳解】由題意知函數(shù)的定義域為，.因為恰有兩個極值點，所以恰有兩個不同的解，顯然是它的一個解，另一個解由方程確定，且這個解不等于1.令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而，且.所以，當(dāng)且時，恰有兩個極值點，即實數(shù)的取值范圍是.故選：C【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，函數(shù)與方程的應(yīng)用，屬于中檔題.11、A【解析】

由已知可得的單調(diào)性，再由可得對稱性，可求出在單調(diào)性，即可求出結(jié)論.【詳解】對于任意，函數(shù)滿足，因為函數(shù)關(guān)于點對稱，當(dāng)時，是單調(diào)增函數(shù)，所以在定義域上是單調(diào)增函數(shù).因為，所以，.故選:A.【點睛】本題考查利用函數(shù)性質(zhì)比較函數(shù)值的大小，解題的關(guān)鍵要掌握函數(shù)對稱性的代數(shù)形式，屬于中檔題..12、D【解析】結(jié)合圖(1)，(2)，(3)所示的情況，可得a與b的關(guān)系分別是平行、異面或相交．選D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

求導(dǎo)，得到和，利用點斜式即可求得結(jié)果.【詳解】由于，，所以，由點斜式可得切線方程為.故答案為：.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，屬基礎(chǔ)題.14、【解析】

直接利用關(guān)系式求出函數(shù)的被積函數(shù)的原函數(shù)，進(jìn)一步求出的值．【詳解】解：若，則，即，所以．故答案為：．【點睛】本題考查的知識要點：定積分的應(yīng)用，被積函數(shù)的原函數(shù)的求法，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題．15、【解析】

先利用輔助角公式將轉(zhuǎn)化成,根據(jù)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)得出,從而得出函數(shù)解析式,最后求出即可.【詳解】解:,又因為定義在上的奇函數(shù),則,則,又因為,所以,,所以.故答案為:【點睛】本題考查三角函數(shù)的化簡,三角函數(shù)的奇偶性和三角函數(shù)求值,考查了基本知識的應(yīng)用能力和計算能力,是基礎(chǔ)題.16、【解析】

解：兩式作差，得，經(jīng)過檢驗得出數(shù)列的通項公式，進(jìn)而求得的通項公式，裂項相消求和即可．【詳解】解：兩式作差，得化簡得，檢驗：當(dāng)n=1時，，所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列；，，令故填：．【點睛】本題考查求數(shù)列的通項公式，裂項相消求數(shù)列的前n項和，解題過程中需要注意n的范圍以及對特殊項的討論，側(cè)重考查運算能力．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（2），（2），的最大整數(shù)是2．（3）存在，【解析】

（2）由可得（），然后把這兩個等式相減，化簡得，公差為2，因為，，為等比數(shù)列，所以，化簡計算得，，從而得到數(shù)列的通項公式，再計算出，，，從而可求出數(shù)列的通項公式；（2）令，化簡計算得，從而可得數(shù)列是遞增的，所以只要的最小值大于即可，而的最小值為，所以可得答案；（3）由題意可知，，即，這個可看成一個數(shù)列的前項和，再寫出其前（）項和，兩式相減得，，利用同樣的方法可得.【詳解】解：（2）由題，當(dāng)時，，即當(dāng)時，①②①-②得，整理得，又因為各項均為正數(shù)的數(shù)列．故是從第二項的等差數(shù)列，公差為2．又恰為等比數(shù)列的前3項，故，解得．又，故，因為也成立．故是以為首項，2為公差的等差數(shù)列．故．即2，4，8恰為等比數(shù)列的前3項，故是以為首項，公比為的等比數(shù)列，故．綜上，（2）令，則所以數(shù)列是遞增的，若對均滿足，只要的最小值大于即可因為的最小值為，所以，所以的最大整數(shù)是2．（3）由，得，③④③-④得，⑤，⑥⑤-⑥得，，所以存在這樣的數(shù)列，【點睛】此題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式，最值，恒成立問題，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.18、（1）見解析；（2）【解析】

（1）由原式可得,等式兩端同時除以,可得到,即可證明結(jié)論;（2）由（1）可求得的表達(dá)式,進(jìn)而可求得的表達(dá)式,然后求出的前項和即可.【詳解】（1）證明:因為,所以,所以,從而,因為,所以,故數(shù)列是首項為1,公差為1的等差數(shù)列.（2）由（1）可知,則,因為,所以,則.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的證明,考查了等差數(shù)列及等比數(shù)列的前項和公式的應(yīng)用,考查了學(xué)生的計算求解能力,屬于中檔題.19、（1）；（2）證明見解析【解析】

（1）利用零點分段法將表示為分段函數(shù)的形式，由此解不等式求得不等式的解集.（2）將不等式坐標(biāo)因式分解，結(jié)合（1）的結(jié)論證得不等式成立.【詳解】（1）解：，由，解得，故.（2）證明：因為，所以，，所以，所以.【點睛】本小題主要考查絕對值不等式的解法，考查不等式的證明，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）見解析；（2）【解析】

（1）過點作交于，連接，設(shè)，連接，由角平分線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形的全等，證得，，由線面垂直的判斷定理證得平面，再由面面垂直的判斷得證.（2）平面幾何知識和線面的關(guān)系可證得平面，建立空間直角坐標(biāo)系，求得兩個平面的法向量，根據(jù)二面角的向量計算公式可求得其值.【詳解】（1）如圖，過點作交于，連接，設(shè)，連接，，，又為的角平分線，四邊形為正方形，，又，，，，，又為的中點，又平面，，平面，又平面，平面平面，（2）在中，，，，在中，，，又，，，，又，，平面，平面，故建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，，令，得,設(shè)平面的一個法向量為，則，，令，得，由圖示可知二面角是銳角，故二面角的余弦值為.【點睛】本題考查空間的面面垂直關(guān)系的證明，二面角的計算，在證明垂直關(guān)系時，注意運用平面幾何中的等腰三角形的“三線合一”，勾股定理、菱形的對角線互相垂直，屬于基礎(chǔ)題.21、（1）（