江西省南昌十中2024屆高三下學(xué)期一模考試數(shù)學(xué)試題含解析

江西省南昌十中2024屆高三下學(xué)期一?？荚嚁?shù)學(xué)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)滿足=1，則等于（）A．- B． C．- D．2．已知是雙曲線的左、右焦點，是的左、右頂點，點在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的漸近線方程為（）A． B． C． D．3．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的（）A．2 B．3 C． D．4．已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，且，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．45．如圖，正方體中，，，，分別為棱、、、的中點，則下列各直線中，不與平面平行的是（）A．直線 B．直線 C．直線 D．直線6．函數(shù)（或）的圖象大致是（）A． B． C． D．7．甲、乙、丙三人相約晚上在某地會面，已知這三人都不會違約且無兩人同時到達(dá)，則甲第一個到、丙第三個到的概率是（）A． B． C． D．8．若實數(shù)滿足不等式組則的最小值等于（）A． B． C． D．9．在區(qū)間上隨機取一個數(shù)，使得成立的概率為等差數(shù)列的公差，且，若，則的最小值為（）A．8 B．9 C．10 D．1110．已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是①函數(shù)的最小正周期為；②函數(shù)的圖象是軸對稱圖形；③函數(shù)的極大值為；④函數(shù)的最小值為．A．①③ B．②④C．②③ D．②③④11．設(shè)集合，，若，則（）A． B． C． D．12．已知三棱柱的所有棱長均相等，側(cè)棱平面，過作平面與平行，設(shè)平面與平面的交線為，記直線與直線所成銳角分別為，則這三個角的大小關(guān)系為()A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．一個四面體的頂點在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別是，，，，則該四面體的外接球的體積為__________．14．已知等比數(shù)列滿足公比，為其前項和，，，構(gòu)成等差數(shù)列，則_______．15．設(shè)、、、、是表面積為的球的球面上五點，四邊形為正方形，則四棱錐體積的最大值為__________.16．二項式的展開式的各項系數(shù)之和為_____，含項的系數(shù)為_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，∠，是邊長為2的正三角形，，為線段的中點．（1）求證：平面平面；（2）若為線段上一點，當(dāng)二面角的余弦值為時，求三棱錐的體積．18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求曲線、的極坐標(biāo)方程；（2）在極坐標(biāo)系中，射線與曲線，分別交于、兩點（異于極點），定點，求的面積19．（12分）若關(guān)于的方程的兩根都大于2，求實數(shù)的取值范圍．20．（12分）在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系；曲線C1的普通方程為(x-1)2+y2=1，曲線C2的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)）.（Ⅰ）求曲線C1和C2的極坐標(biāo)方程：（Ⅱ）設(shè)射線θ=(ρ>0)分別與曲線C1和C2相交于A，B兩點，求|AB|的值．21．（12分）已知數(shù)列滿足：，，且對任意的都有,（Ⅰ）證明：對任意，都有；（Ⅱ）證明：對任意，都有；（Ⅲ）證明：.22．（10分）如圖，正方形所在平面外一點滿足，其中分別是與的中點.（1）求證：；（2）若，且二面角的平面角的余弦值為，求與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

設(shè)的最小正周期為，可得，則，再根據(jù)得，又，則可求出，進(jìn)而可得.【詳解】解：設(shè)的最小正周期為，因為，所以，所以，所以，又，所以當(dāng)時，，，因為，整理得，因為，，，則所以.故選：C.【點睛】本題考查三角形函數(shù)的周期性和對稱性，考查學(xué)生分析能力和計算能力，是一道難度較大的題目.2、D【解析】

根據(jù)為等腰三角形，可求出點P的坐標(biāo)，又由的斜率為可得出關(guān)系，即可求出漸近線斜率得解.【詳解】如圖，因為為等腰三角形，，所以，,，又，，解得，所以雙曲線的漸近線方程為，故選：D【點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于中檔題.3、B【解析】

運行程序，依次進(jìn)行循環(huán),結(jié)合判斷框，可得輸出值.【詳解】起始階段有，，第一次循環(huán)后，，第二次循環(huán)后，，第三次循環(huán)后，，第四次循環(huán)后，，所有后面的循環(huán)具有周期性，周期為3，當(dāng)時，再次循環(huán)輸出的,，此時，循環(huán)結(jié)束，輸出，故選：B【點睛】本題主要考查程序框圖的相關(guān)知識，經(jīng)過幾次循環(huán)找出規(guī)律是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題型.4、A【解析】

由傾斜角的余弦值，求出正切值，即的關(guān)系，求出雙曲線的離心率.【詳解】解：設(shè)雙曲線的半個焦距為，由題意又，則，，，所以離心率，故選：A.【點睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題5、C【解析】

充分利用正方體的幾何特征，利用線面平行的判定定理，根據(jù)判斷A的正誤.根據(jù)，判斷B的正誤.根據(jù)與相交，判斷C的正誤.根據(jù)，判斷D的正誤.【詳解】在正方體中，因為，所以平面，故A正確.因為，所以，所以平面故B正確.因為，所以平面，故D正確.因為與相交，所以與平面相交，故C錯誤.故選：C【點睛】本題主要考查正方體的幾何特征，線面平行的判定定理，還考查了推理論證的能力，屬中檔題.6、A【解析】

確定函數(shù)的奇偶性，排除兩個選項，再求時的函數(shù)值，再排除一個，得正確選項．【詳解】分析知，函數(shù)（或）為偶函數(shù)，所以圖象關(guān)于軸對稱，排除B，C，當(dāng)時，，排除D，故選：A．【點睛】本題考查由函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，解題時可通過研究函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性、對稱性等，研究特殊的函數(shù)的值、函數(shù)值的正負(fù)，以及函數(shù)值的變化趨勢，排除錯誤選項，得正確結(jié)論．7、D【解析】

先判斷是一個古典概型，列舉出甲、乙、丙三人相約到達(dá)的基本事件種數(shù)，再得到甲第一個到、丙第三個到的基本事件的種數(shù)，利用古典概型的概率公式求解.【詳解】甲、乙、丙三人相約到達(dá)的基本事件有甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6種，其中甲第一個到、丙第三個到有甲乙丙，共1種，所以甲第一個到、丙第三個到的概率是.故選：D【點睛】本題主要考查古典概型的概率求法，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

首先畫出可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求的最小值．【詳解】解：作出實數(shù)，滿足不等式組表示的平面區(qū)域（如圖示：陰影部分）由得，由得，平移，易知過點時直線在上截距最小，所以．故選：A．【點睛】本題考查了簡單線性規(guī)劃問題，求目標(biāo)函數(shù)的最值先畫出可行域，利用幾何意義求值，屬于中檔題．9、D【解析】

由題意，本題符合幾何概型，只要求出區(qū)間的長度以及使不等式成立的的范圍區(qū)間長度，利用幾何概型公式可得概率，即等差數(shù)列的公差，利用條件，求得，從而求得，解不等式求得結(jié)果.【詳解】由題意，本題符合幾何概型，區(qū)間長度為6，使得成立的的范圍為，區(qū)間長度為2，故使得成立的概率為，又，，，令，則有，故的最小值為11，故選：D.【點睛】該題考查的是有關(guān)幾何概型與等差數(shù)列的綜合題，涉及到的知識點有長度型幾何概型概率公式，等差數(shù)列的通項公式，屬于基礎(chǔ)題目.10、D【解析】

因為，所以①不正確；因為，所以，，所以，所以函數(shù)的圖象是軸對稱圖形，②正確；易知函數(shù)的最小正周期為，因為函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以只需研究函數(shù)在上的極大值與最小值即可．當(dāng)時，，且，令，得，可知函數(shù)在處取得極大值為，③正確；因為，所以，所以函數(shù)的最小值為，④正確．故選D．11、A【解析】

根據(jù)交集的結(jié)果可得是集合的元素，代入方程后可求的值，從而可求.【詳解】依題意可知是集合的元素，即，解得，由，解得.【點睛】本題考查集合的交，注意根據(jù)交集的結(jié)果確定集合中含有的元素，本題屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

利用圖形作出空間中兩直線所成的角，然后利用余弦定理求解即可.【詳解】如圖，，設(shè)為的中點，為的中點，由圖可知過且與平行的平面為平面，所以直線即為直線，由題易知，的補角，分別為，設(shè)三棱柱的棱長為2，在中，，；在中，，；在中，，，.故選：B【點睛】本題主要考查了空間中兩直線所成角的計算，考查了學(xué)生的作圖，用圖能力，體現(xiàn)了學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

將四面體補充為長寬高分別為的長方體，體對角線即為外接球的直徑，從而得解.【詳解】采用補體法，由空間點坐標(biāo)可知，該四面體的四個頂點在一個長方體上，該長方體的長寬高分別為，長方體的外接球即為該四面體的外接球，外接球的直徑即為長方體的體對角線，所以球半徑為，體積為.【點睛】本題主要考查了四面體外接球的常用求法：補體法，通過補體得到長方體的外接球從而得解，屬于基礎(chǔ)題.14、0【解析】

利用等差中項以及等比數(shù)列的前項和公式即可求解.【詳解】由，，是等差數(shù)列可知因為，所以，故答案為：0【點睛】本題考查了等差中項的應(yīng)用、等比數(shù)列的前項和公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

根據(jù)球的表面積求得球的半徑，設(shè)球心到四棱錐底面的距離為，求得四棱錐的表達(dá)式，利用基本不等式求得體積的最大值.【詳解】由已知可得球的半徑，設(shè)球心到四棱錐底面的距離為，棱錐的高為，底面邊長為，的體積，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故答案為：【點睛】本小題主要考查球的表面積有關(guān)計算，考查球的內(nèi)接四棱錐體積的最值的求法，屬于中檔題.16、【解析】

將代入二項式可得展開式各項系數(shù)之和，寫出二項展開式通項，令的指數(shù)為，求出參數(shù)的值，代入通項即可得出項的系數(shù).【詳解】將代入二項式可得展開式各項系數(shù)和為.二項式的展開式通項為，令，解得，因此，展開式中含項的系數(shù)為.故答案為：；.【點睛】本題考查了二項式定理及二項式展開式通項公式，屬基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）.【解析】

（1）先證明，可證平面，再由可證平面，即得證；（2）以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求解面的法向量，面的法向量，利用二面角的余弦值為，可求解，轉(zhuǎn)化即得解.【詳解】（1）證明：因為是正三角形，為線段的中點，所以．因為是菱形，所以．因為，所以是正三角形，所以，所以平面．又，所以平面．因為平面，所以平面平面．（2）由（1）知平面，所以，．而，所以，．又，所以平面．以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．則．于是，，．設(shè)面的一個法向量，由得令，則，即．設(shè)，易得，．設(shè)面的一個法向量，由得令，則，，即．依題意，即，令，則，即，即．所以．【點睛】本題考查了空間向量和立體幾何綜合，考查了面面垂直的判斷，二面角的向量求解，三棱錐的體積等知識點，考查了學(xué)生空間想象，邏輯推理，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.18、（1），；（2）.【解析】

（1）先把參數(shù)方程化成普通方程，再利用極坐標(biāo)的公式把普通方程化成極坐標(biāo)方程；（2）先利用極坐標(biāo)求出弦長，再求高，最后求的面積．【詳解】（1）曲線的極坐標(biāo)方程為：，因為曲線的普通方程為：，曲線的極坐標(biāo)方程為；（2）由（1）得：點的極坐標(biāo)為，點的極坐標(biāo)為，，點到射線的距離為的面積為.【點睛】本題考查普通方程、參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程之間的互化，同時也考查了利用極坐標(biāo)方程求解面積問題，考查計算能力，屬于中等題.19、【解析】

先令，根據(jù)題中條件得到，求解，即可得出結(jié)果.【詳解】因為關(guān)于的方程的兩根都大于2，令所以有，解得，所以.【點睛】本題主要考查一元二次方程根的分布問題，熟記二次函數(shù)的特征即可，屬于?？碱}型.20、（Ⅰ），;（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）根據(jù)，可得曲線C1的極坐標(biāo)方程，然后先計算曲線C2的普通方程，最后根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式，可得結(jié)果.（Ⅱ）將射線θ=分別與曲線C1和C2極坐標(biāo)方程聯(lián)立，可得A，B的極坐標(biāo)，然后簡單計算，可得結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）由所以曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的普通方程為則曲線的極坐標(biāo)方程為（Ⅱ）令，則，，則，即，所以，，故．【點睛】本題考查極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，以及極坐標(biāo)方程中的幾何意義，屬基礎(chǔ)題.21、（1）見解析（2）見解析（3）見解析【解析】分析：(1)用反證法證明