2024年中考數學二輪題型突破練習題型9 二次函數綜合題 類型10 二次函數與矩形有關的問題（專題訓練）（教師版）

PAGE類型十二次函數與矩形有關的問題（專題訓練）1．（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線過點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，矩形SKIPIF1<0的邊SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上（點B在點A的左側），點C，D在拋物線上，設SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．

(1)求拋物線的函數表達式；(2)當t為何值時，矩形SKIPIF1<0的周長有最大值？最大值是多少？(3)保持SKIPIF1<0時的矩形SKIPIF1<0不動，向右平移拋物線，當平移后的拋物線與矩形的邊有兩個交點G，H，且直線SKIPIF1<0平分矩形SKIPIF1<0的面積時，求拋物線平移的距離．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)當SKIPIF1<0時，矩形SKIPIF1<0的周長有最大值，最大值為SKIPIF1<0；(3)4【分析】（1）設拋物線的函數表達式為SKIPIF1<0，求出點C的坐標，將點C的坐標代入即可求出該拋物線的函數表達式；（2）由拋物線的對稱性得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，再得出SKIPIF1<0，根據矩形的周長公式，列出矩形周長的表達式，并將其化為頂點式，即可求解；（3）連接ASKIPIF1<0，SKIPIF1<0相交于點P，連接SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中點Q，連接SKIPIF1<0，根據矩形的性質和平移的性質推出四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求出SKIPIF1<0時，點A的坐標為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即可得出結論．【詳解】（1）解：設拋物線的函數表達式為SKIPIF1<0．∵當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，∴點C的坐標為SKIPIF1<0．將點C坐標代入表達式，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．∴拋物線的函數表達式為SKIPIF1<0．（2）解：由拋物線的對稱性得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．∴矩形SKIPIF1<0的周長為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴當SKIPIF1<0時，矩形SKIPIF1<0的周長有最大值，最大值為SKIPIF1<0．（3）解：連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相交于點P，連接SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中點Q，連接SKIPIF1<0．

∵直線SKIPIF1<0平分矩形SKIPIF1<0的面積，∴直線SKIPIF1<0過點P．．由平移的性質可知，四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，∴SKIPIF1<0．∵四邊形SKIPIF1<0是矩形，∴P是SKIPIF1<0的中點．∴SKIPIF1<0．當SKIPIF1<0時，點A的坐標為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴拋物線平移的距離是4．【點睛】本題主要考查了求二次函數的解析式，二次函數的圖象和性質，矩形的性質，平移的性質，解題的關鍵是掌握用待定系數法求解二次函數表達式的方法和步驟，二次函數圖象上點的坐標特征，矩形的性質，以及平移的性質．2．（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數SKIPIF1<0的圖象與SKIPIF1<0軸的正半軸交于點A，經過點A的直線與該函數圖象交于點SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0軸交于點C．

(1)求直線SKIPIF1<0的函數表達式及點C的坐標；(2)點SKIPIF1<0是第一象限內二次函數圖象上的一個動點，過點SKIPIF1<0作直線SKIPIF1<0軸于點SKIPIF1<0，與直線SKIPIF1<0交于點D，設點SKIPIF1<0的橫坐標為SKIPIF1<0．①當SKIPIF1<0時，求SKIPIF1<0的值；②當點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上方時，連接SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0．設四邊形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0的函數表達式，并求出S的最大值．【答案】(1)SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0；(2)①2或3或SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0，S的最大值為SKIPIF1<0【分析】（1）利用待定系數法可求得直線SKIPIF1<0的函數表達式，再求得點C的坐標即可；（2）①分當點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上方和點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0下方時，兩種情況討論，根據SKIPIF1<0列一元二次方程求解即可；②證明SKIPIF1<0，推出SKIPIF1<0，再證明四邊形SKIPIF1<0為矩形，利用矩形面積公式得到二次函數的表達式，再利用二次函數的性質即可求解．【詳解】（1）解：由SKIPIF1<0得，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0．∵點A在SKIPIF1<0軸正半軸上．∴點A的坐標為SKIPIF1<0．設直線SKIPIF1<0的函數表達式為SKIPIF1<0．將SKIPIF1<0兩點的坐標SKIPIF1<0分別代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴直線SKIPIF1<0的函數表達式為SKIPIF1<0．將SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．∴點C的坐標為SKIPIF1<0；（2）①解：SKIPIF1<0點SKIPIF1<0在第一象限內二次函數SKIPIF1<0的圖象上，且SKIPIF1<0軸于點SKIPIF1<0，與直線SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，其橫坐標為SKIPIF1<0．∴點SKIPIF1<0的坐標分別為SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∵點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．如圖，當點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上方時，SKIPIF1<0．

∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0．如圖2，當點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0下方時，SKIPIF1<0．

∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．綜上所述，SKIPIF1<0的值為2或3或SKIPIF1<0；②解：如圖3，由（1）得，SKIPIF1<0．

∵SKIPIF1<0軸于點SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，點B的坐標為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上方，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0軸于點SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∴四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形．∵SKIPIF1<0軸，∴四邊形SKIPIF1<0為矩形．∴SKIPIF1<0．即SKIPIF1<0．SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴當SKIPIF1<0時，S的最大值為SKIPIF1<0．【點睛】本題屬于二次函數綜合題，考查了二次函數、一次函數、等腰三角形、矩形、勾股定理、相似三角形等知識點，第二問難度較大，需要分情況討論，畫出大致圖形，用含m的代數式表示出SKIPIF1<0是解題的關鍵．3．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線SKIPIF1<0上有兩點SKIPIF1<0，其中點SKIPIF1<0的橫坐標為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0的橫坐標為SKIPIF1<0，拋物線SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0．過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸交拋物線SKIPIF1<0另一點為點SKIPIF1<0．以SKIPIF1<0長為邊向上構造矩形SKIPIF1<0．

(1)求拋物線SKIPIF1<0的解析式；(2)將矩形SKIPIF1<0向左平移SKIPIF1<0個單位，向下平移SKIPIF1<0個單位得到矩形SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0的對應點SKIPIF1<0落在拋物線SKIPIF1<0上．①求SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0的函數關系式，并直接寫出自變量SKIPIF1<0的取值范圍；②直線SKIPIF1<0交拋物線SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，交拋物線SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0．當點SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點時，求SKIPIF1<0的值；③拋物線SKIPIF1<0與邊SKIPIF1<0分別相交于點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在拋物線SKIPIF1<0的對稱軸同側，當SKIPIF1<0時，求點SKIPIF1<0的坐標．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】（1）根據題意得出點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,待定系數法求解析式即可求解；（2）①根據平移的性質得出SKIPIF1<0，根據點SKIPIF1<0的對應點SKIPIF1<0落在拋物線SKIPIF1<0上，可得SKIPIF1<0，進而即可求解；②根據題意得出SKIPIF1<0，求得中點坐標，根據題意即可求解；③連接SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，勾股定理求得SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0點的坐標為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，進而根據SKIPIF1<0落在拋物線SKIPIF1<0上，將SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，即可求解．【詳解】（1）解：依題意，點SKIPIF1<0的橫坐標為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0的橫坐標為SKIPIF1<0，代入拋物線SKIPIF1<0∴當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0,將點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,代入拋物線SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0∴拋物線SKIPIF1<0的解析式為SKIPIF1<0；（2）①解：∵SKIPIF1<0軸交拋物線SKIPIF1<0另一點為點SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵矩形SKIPIF1<0向左平移SKIPIF1<0個單位，向下平移SKIPIF1<0個單位得到矩形SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0的對應點SKIPIF1<0落在拋物線SKIPIF1<0上∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0；②如圖所示，

∵SKIPIF1<0,SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0,∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，由①可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的橫坐標為SKIPIF1<0，分別代入SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0的中點坐標為SKIPIF1<0∵點SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點，∴SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（大于4，舍去）③如圖所示，連接SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，

則SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0點的坐標為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了二次函數綜合運用，矩形的性質，平移的性質，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．4.（2022·安徽）如圖1，隧道截面由拋物線的一部分AED和矩形ABCD構成，矩形的一邊BC為12米，另一邊AB為2米．以BC所在的直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系xOy，規(guī)定一個單位長度代表1米．E（0，8）是拋物線的頂點．(1)求此拋物線對應的函數表達式；(2)在隧道截面內（含邊界）修建“”型或“”型柵欄，如圖2、圖3中粗線段所示，點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在x軸上，MN與矩形SKIPIF1<0的一邊平行且相等．柵欄總長l為圖中粗線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，MN長度之和．請解決以下問題：（?。┬藿ㄒ粋€“”型柵欄，如圖2，點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在拋物線AED上．設點SKIPIF1<0的橫坐標為SKIPIF1<0，求柵欄總長l與m之間的函數表達式和l的最大值；（ⅱ）現修建一個總長為18的柵欄，有如圖3所示的修建“”型或“”型柵型兩種設計方案，請你從中選擇一種，求出該方案下矩形SKIPIF1<0面積的最大值，及取最大值時點SKIPIF1<0的橫坐標的取值范圍（SKIPIF1<0在SKIPIF1<0右側）．【答案】(1)y＝SKIPIF1<0x2＋8(2)（?。﹍＝SKIPIF1<0m2＋2m＋24，l的最大值為26；（ⅱ）方案一：SKIPIF1<0＋9≤P1橫坐標≤SKIPIF1<0；方案二：SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0≤P1橫坐標≤SKIPIF1<0【分析】（1）通過分析A點坐標，利用待定系數法求函數解析式；（2）（?。┙Y合矩形性質分析得出P2的坐標為（m，－SKIPIF1<0m2＋8），然后列出函數關系式，利用二次函數的性質分析最值；（ⅱ）設P2P1＝n，分別表示出方案一和方案二的矩形面積，利用二次函數的性質分析最值，從而利用數形結合思想確定取值范圍．(1)由題意可得：A（－6，2），D（6，2），又∵E（0，8）是拋物線的頂點，設拋物線對應的函數表達式為y＝ax2＋8，將A（－6，2）代入，（－6）2a＋8＝2，解得：a＝SKIPIF1<0，∴拋物線對應的函數表達式為y＝SKIPIF1<0x2＋8；(2)（?。唿cP1的橫坐標為m（0＜m≤6），且四邊形P1P2P3P4為矩形，點P2，P3在拋物線AED上，∴P2的坐標為（m，SKIPIF1<0m2＋8），∴P1P2＝P3P4＝MN＝SKIPIF1<0m2＋8，P2P3＝2m，∴l(xiāng)＝3（SKIPIF1<0m2＋8）＋2m＝SKIPIF1<0m2＋2m＋24＝SKIPIF1<0（m－2）2＋26，∵SKIPIF1<0＜0，∴當m＝2時，l有最大值為26，即柵欄總長l與m之間的函數表達式為l＝SKIPIF1<0m2＋2m＋24，l的最大值為26；（ⅱ）方案一：設P2P1＝n，則P2P3＝18－3n，∴矩形P1P2P3P4面積為（18－3n）n＝－3n2＋18n＝－3（n－3）2＋27，∵－3＜0，∴當n＝3時，矩形面積有最大值為27，此時P2P1＝3，P2P3＝9，令SKIPIF1<0x2＋8＝3，解得：x＝SKIPIF1<0，∴此時P1的橫坐標的取值范圍為SKIPIF1<0＋9≤P1橫坐標≤SKIPIF1<0，方案二：設P2P1＝n，則P2P3＝9－n，∴矩形P1P2P3P4面積為（9－n）n＝－n2＋9n＝－（n－SKIPIF1<0）2＋SKIPIF1<0，∵－1＜0，∴當n＝SKIPIF1<0時，矩形面積有最大值為SKIPIF1<0，此時P2P1＝SKIPIF1<0，P2P3＝SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0x2＋8＝SKIPIF1<0，解得：x＝SKIPIF1<0，∴此時P1的橫坐標的取值范圍為SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0≤P1橫坐標≤SKIPIF1<0．【點睛】本題考查二次函數的應用，掌握待定系數法求函數解析式，準確識圖，確定關鍵點的坐標，利用數形結合思想解題是關鍵．5.（2021·四川中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0軸于點SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0軸于點SKIPIF1<0，拋物線的對稱軸交SKIPIF1<0軸于點SKIPIF1<0，交拋物線于點SKIPIF1<0．

（1）求拋物線的解析式；（2）將線段SKIPIF1<0繞著點SKIPIF1<0沿順時針方向旋轉得到線段SKIPIF1<0，旋轉角為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值．（3）SKIPIF1<0為平面直角坐標系中一點，在拋物線上是否存在一點SKIPIF1<0，使得以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為頂點的四邊形為矩形？若存在，請直接寫出點SKIPIF1<0的橫坐標；若不存在，請說明理由；【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）存在，SKIPIF1<0點的橫坐標分別為：2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【分析】（1）待定系數法求二次函數解析式，設解析式為SKIPIF1<0將SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點代入求得SKIPIF1<0，c的值即可；（2）胡不歸問題，要求SKIPIF1<0的值，將折線化為直線，構造相似三角形將SKIPIF1<0轉化為SKIPIF1<0，再利用三角形兩邊之和大于第三邊求得SKIPIF1<0最值；（3）分2種情形討論：①AB為矩形的一條邊，利用等腰直角三角形三角形的性質可以求得N點的坐標;②AB為矩形的對角線，設R為AB的中點,RN=SKIPIF1<0AB,利用兩點距離公式求解方程可得N點的坐標．【詳解】解：（1）∵SKIPIF1<0過SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴拋物線的解析式為：SKIPIF1<0（2）在SKIPIF1<0上取一點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0對稱軸SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點在同一點直線上時，SKIPIF1<0最小為SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0即SKIPIF1<0最小值為SKIPIF1<0．（3）情形①如圖，AB為矩形的一條邊時，聯立SKIPIF1<0得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0是等腰SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別過SKIPIF1<0兩點作SKIPIF1<0的垂線，交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0SKIPIF1<0軸,SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0也是等腰直角三角形設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0（不符題意，舍）SKIPIF1<0SKIPIF1<0同理，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0（不符題意，舍）SKIPIF1<0②AB為矩形的對角線，設R為AB的中點,則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0整理得：SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0（不符題意，舍），SKIPIF1<0（不符題意，舍），SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0綜上所述：SKIPIF1<0點的橫坐標分別為：2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了二次函數的性質，待定系數法求解析式，三角形相似，勾股定理，二次函數與一次函數交點，矩形的性質，等腰直角三角形性質，平面直角坐標系中兩點距離計算等知識，能正確做出輔助線，找到相似三角形是解題的關鍵．6.（2021·甘肅中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線SKIPIF1<0與坐標軸交于SKIPIF1<0兩點，直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0軸于點SKIPIF1<0．點SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0下方拋物線上一動點，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸的垂線，垂足為SKIPIF1<0分別交直線SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0．

（1）求拋物線SKIPIF1<0的表達式；（2）當SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積；（3）①SKIPIF1<0是SKIPIF1<0軸上一點，當四邊形SKIPIF1<0是矩形時，求點SKIPIF1<0的坐標；②在①的條件下，第一象限有一動點SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0周長的最小值．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0【分析】（1）直接利用待定系數法即可求出答案．（2）由題意可求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．利用三角函數可知在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由此即可求出SKIPIF1<0，從而可求出SKIPIF1<0．即可求出D點坐標，繼而求出SKIPIF1<0．再根據SKIPIF1<0，即可求出FD的長，最后利用三角形面積公式即可求出最后答案．（3）①連接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0．根據矩形的性質可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0可推出SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，可推出SKIPIF1<0．再根據直線BC的解析式可求出C點坐標，即可得出OC的長，由此可求出AC的長，即可求出CH的長，最后即得出OH的長，即可得出H點坐標．②在SKIPIF1<0中，利用勾股定理可求出SKIPIF1<0的長，再根據SKIPIF1<0結合SKIPIF1<0可推出SKIPIF1<0，即要使SKIPIF1<0最小，就要SKIPIF1<0最小，由題意可知當點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上時，SKIPIF1<0為最?。辞蟪鯞C長即可．在SKIPIF1<0中，利用勾股定理求出SKIPIF1<0的長，即得出SKIPIF1<0周長的最小值為SKIPIF1<0．【詳解】解：（1）∵拋物線SKIPIF1<0過SKIPIF1<0兩點，SKIPIF1<0，解得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0．同理，SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸，∴在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（3）①如圖，連接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0．∵四邊形SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∵四邊形SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，∵當x=0時，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．②在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0∴要使SKIPIF1<0最小，就要SKIPIF1<0最?。甋KIPIF1<0，∴當點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上時，SKIPIF1<0為最?。赟KIPIF1<0中，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0周長的最小值是SKIPIF1<0．

【點睛】本題為二次函數綜合題．考查二次函數的圖象和性質，解直角三角形，一次函數的圖象和性質，矩形的性質，平行線分線段成比例，三角形三邊關系以及勾股定理等知識，綜合性強，較難．利用數形結合的思想是解答本題的關鍵．7.（2021·山東中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0軸于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，交SKIPIF1<0軸于點SKIPIF1<0．（1）求該拋物線的表達式；（2）點SKIPIF1<0為第四象限內拋物線上一點，連接SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0軸于點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面積的最大值及此時點SKIPIF1<0的坐標；（3）在（2）的條件下，將拋物線SKIPIF1<0向右平移經過點SKIPIF1<0時，得到新拋物線SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在新拋物線的對稱軸上，在坐標平面內是否存在一點SKIPIF1<0，使得以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為頂點的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出點SKIPIF1<0的坐標；若不存在，請說明理由．參考：若點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則線段SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0．【答案】（1）該拋物線的表達式為：SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0面積最大值為8，此時P點的坐標為：P（2，-6）；（3）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】（1）將兩個點分別代入拋物線可得關于a，b的二元一次方程組，可解得a，b；（2）設出P、Q兩點坐標，應用三角形相似，及三角形面積公式，代入化簡可得一個二次函數，求其最大值即可；（3）拋物線的平移可確定拋物線解析式及對稱軸，設出點E、F，應用中點坐標公式及矩形特點分成的三角形為直角三角形，可得出答案．【詳解】解：（1）將A（-1,0），B（4,0）代入拋物線SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴該拋物線的表達式為：SKIPIF1<0；（2）過點P作PN⊥x軸于點N，如圖所示：設SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵點SKIPIF1<0在拋物線上，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據拋物線的基本性質：對稱軸為SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0取得最大值，代入得：SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0面積的最大值為8，此時點P的坐標為：SKIPIF1<0．（3）在（2）的條件下，原拋物線解析式為SKIPIF1<0，將拋物線向右平移經過點SKIPIF1<0，可知拋物線向右平移了SKIPIF1<0個單位長度，∴可得：SKIPIF1<0，化簡得平移后的拋物線：SKIPIF1<0，對稱軸為：SKIPIF1<0，由（2）得：A（-1，0），SKIPIF1<0，點E在對稱軸上，∴設E（3，e），點F（m，n），矩形AEPF，當以AP為矩形的對角線時，則AP的中點坐標為：SKIPIF1<0，EF的中點坐標為：SKIPIF1<0，根據矩形的性質可得，兩個中點坐標相同，可得：SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0∵矩形AEPF，∴SKIPIF1<0為直角三角形，∴SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入③化簡可得：SKIPIF1<0，④∴將②代入④可得：SKIPIF1<0，化簡得：SKIPIF1<0，根據判別式得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；當以AP為矩形的邊時，如圖所示：過點P分別作PG⊥x軸于點G，PH∥x軸，過點F作PH的垂線，垂足為H，設拋物線的對稱軸與x軸的交點為M，如圖，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，AM=4，∴SKIPIF1<0，∵四邊形SKIPIF1<0是矩形，∴SKIPIF1<0，AE=PF，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴FH=2，∵點SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，當以AP為矩形的邊時，如圖所示：同理可得SKIPIF1<0；綜上所述：以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為頂點的四邊形為矩形，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【點睛】題目考查確定二次函數解析式及其基本性質、矩形的性質、勾股定理等，難點主要是依據圖像確定各點、線段間的關系，得出答案．8.（2021·黑龍江中考真題）綜合與探究如圖，在平面直角坐標系中，拋物線SKIPIF1<0與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，連接BC，SKIPIF1<0，對稱軸為SKIPIF1<0，點D為此拋物線的頂點．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線上C，D兩點之間的距離是__________；（3）點E是第一象限內拋物線上的動點，連接BE和CE．求SKIPIF1<0面積的最大值；（4）點P在拋物線對稱軸上，平面內存在點Q，使以點B、C、P、Q為頂點的四邊形為矩形，請直接寫出點Q的坐標．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【分析】（1）先根據對稱軸可得SKIPIF1<0的值，再根據SKIPIF1<0可得點SKIPIF1<0的坐標，代入拋物線的解析式即可得；（2）利用拋物線的解析式分別求出點SKIPIF1<0的坐標，再利用兩點之間的距離公式即可得；（3）過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸的垂線，交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，先利用待定系數法求出直線SKIPIF1<0的解析式，再設點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，從而可得SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的坐標，然后根據SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0的函數關系式，利用二次函數的性質求解即可得；（4）設點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，分①當SKIPIF1<0為矩形SKIPIF1<0的邊時，②當SKIPIF1<0為矩形SKIPIF1<0的邊時，③當SKIPIF1<0為矩形SKIPIF1<0的對角線時三種情況，再分別利用待定系數法求直線的解析式、矩形的性質、點坐標的平移變換規(guī)律求解即可得．【詳解】解：（1）SKIPIF1<0拋物線SKIPIF1<0的對稱軸為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸負半軸上，SKIPIF1<0，將點SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則拋物線的解析式為SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0化成頂點式為SKIPIF1<0，則頂點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則拋物線上SKIPIF1<0兩點之間的距離是SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0；（3）如圖，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸的垂線，交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，拋物線的對稱軸為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設直線SKIPIF1<0的解析式為SKIPIF1<0，將點SKIPIF1<0代入得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的解析式為SKIPIF1<0，設點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由二次函數的性質得：在SKIPIF1<0內，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取最大值，最大值為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0面積的最大值為SKIPIF1<0；（4）設點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，由題意，分以下三種情況：①當SKIPIF1<0為矩形SKIPIF1<0的邊時，則SKIPIF1<0，設直線SKIPIF1<0的解析式為SKIPIF1<0，將點SKIPIF1<0代入得：SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的解析式為SKIPIF1<0，將點SKIPIF1<0代入得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0將點SKIPIF1<0先向右平移2個單位長度，再向上平移4個單位長度可得到點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0點SKIPIF1<0平移至點SKIPIF1<0的方式與點SKIPIF1<0平移至點SKIPIF1<0的方式相同，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；②當SKIPIF1<0為矩形SKIPIF1<0的邊時，則SKIPIF1<0，同（4）①的方法可得：點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0；③當SKIPIF1<0為矩形SKIPIF1<0的對角線時，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，當點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0時，則將點SKIPIF1<0先向左平移2個單位長度，再向下平移SKIPIF1<0個單位長度可得到點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0點SKIPIF1<0