2018-2019學(xué)年山東省濱州市高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）

2018-2019學(xué)年山東省濱州市高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.（5分）己知集合4={0,1,2,3,4,5},-2<x<4）,則AP8=（）

A.{5}B.{3,4}C.{1,2,3}D.{0,1,2,3）

2.（5分）若復(fù)數(shù)（1-ai）2-2i是純虛數(shù)，則實數(shù)a=（）

A.0B.±1C.1D.-1

3.（5分）實數(shù)“使函數(shù)/1（x）=（x-a）2在（0,1）上是增函數(shù)”是“實數(shù)”對Vxe（0,

斗

+8）,a4x2+1恒成立，，的（）

x

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

分)已知

4.(5sinG+cosa]aGfO?K],則tana=(）

A.B.&c.3D.A

3443

x-2y+2)0

5.（5分）若x,y滿足約束條件，x+3y-3>0，則z=x+2y的最大值為（

x-340

A.2B.3c.1AD.8

3

6.（5分）已知雙曲線C：>=1（°>0,b>0）的離心率為3,則雙曲線C的漸近線

2,2

ab

方程為（）

A.y=±xB.y=±C.y=±2xD.y=±2^2^

7.（5分）已知函數(shù)/（x）=sin（3x+<p）（3>0,|<p|<---）的圖象如圖所示，為了得到函

2

數(shù)g（x）=sin2x的圖象，只需把/（x）上所有的點（）

B.向右平行移動工個單位長度

12

C.向左平行移動二個單位長度

6

D.向左平行移動二個單位長度

12

8.（5分）設(shè)。為△ABC所在平面內(nèi)一點，若屈=2而,CD=XCA+混，則與=（）

A.-2B.」C.AD.2

22

9.（5分）如圖，圓柱。|。2的底面直徑與高都等于球。的直徑，記圓柱。1。2的表面積為

S.

Si，球。的表面積為S2，則」-=（）

S2

D-3

10.（5分）已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，滿足/（1+x）=于（1-X）.若/（1）=

1,貝(1)+f(2)+f(3)+-+f(2019)=()

A.-1B.0C.1D.2019

11.（5分）已知拋物線C：,=4x的焦點為凡準線為/,P是/上一點，Q是直線P尸與拋

物線C的一個交點，若而=3而，則|Q尸

尸（）

A.3B.&C.4或2D.3或4

33

12.（5分）已知函數(shù)/（x）=,x2+3x，x<0,且（X）可⑺-H+l.若gG）恰有4

lnx,x>0

個零點，則實數(shù)k的取值范圍是（）

A.(0,1)B.(0.-1)C.(.11)D.(1,2)

222

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(5分)(x-6的展開式中的常數(shù)項是（用數(shù)字作答）

14.（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為

5=0,4=2,7=1

結(jié)束

15.（5分）在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若（a-b）（siM+sinB）=c

（J^sinB+sinC）,貝?。軦=.

16.（5分）已知正方體ABCO-AiB|C|￡>i的棱長為2,點尸是棱的中點，則過點尸且

與直線BCi垂直的平面截正方體所得的截面的面積為.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題，

每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：60

分.

17.（12分）已知數(shù)列｛斯｝滿足“1=2,斯?斯+1=2".

（1）證明：:空當為常數(shù)；

an

（2）設(shè)數(shù)列｛斯｝的前〃項和為求

18.（12分）如圖1,在梯形A8CQ中，AD//BC,ZBAD=—,AB=BC=\,AD=2,E

2

是A。的中點，。是AC與BE的交點，以8E為折痕把AASE折起使點A到達點兒的位

置，且AC=1,如圖2.

圖1圖2

（1）證明：平面AiBE_L平面BCOE；

（2）求二面角C-AiB-E的余弦值.

19.（12分）已知橢圓C：/（a>b>0）的左右焦點分別為Q,&,點P（加,

1）在橢圓C上，且滿足PF『PF；=L

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)傾斜角為45°的直線/與C交于A,B兩點,記△OAB的面積為S,求S取最大

值時直線/的方程.

20.（12分）某單位為促進職工業(yè)務(wù)技能提升，對該單位120名職工進行了一次業(yè)務(wù)技能測

試，測試項目共5項.現(xiàn)從中隨機抽取了10名職工的測試結(jié)果，將它們編號后得到它們

的統(tǒng)計結(jié)果如下表（表1）所示（“J”表示測試合格，“X”表示測試不合格）：

10JX

規(guī)定：每項測試合格得5分，不合格得0分.

(1)以抽取的這10名職工合格項的項數(shù)的頻率代替每名職工合格項的項數(shù)的概率.

①設(shè)抽取的這10名職工中，每名職工測試合格項的項數(shù)為X,根據(jù)上面的測試結(jié)果統(tǒng)計

表，列出X的分布列，并估計這120名職工的平均得分；

②假設(shè)各名職工的各項測試結(jié)果相互獨立.某科室有5名職工，求這5名職工中至少有

4人得分不小于20分的概率；

(2)已知在測試中，測試難度的計算公式為M=殳，其中N為第i項測試的難度，

Z

為第，?項合格的人數(shù)，Z為參加測試的總?cè)藬?shù)，已知抽取的這10名職工每項測試合格人

數(shù)及相應(yīng)的實測難度如下表(表2)

表2

測試項目12345

實測合格人數(shù)88772

實測難度0.80.80.70.70.2

定義統(tǒng)計量S=L［(Ni-N')2+(M-N')2+-+(N,「N'其中凹為第，項的

n12n

實測難度，N'為第i項的預(yù)估難度(/=1,2,…規(guī)定：若SW0.05,則稱該次測

i

試的難度預(yù)估合理，否則為不合理測試前，預(yù)估了每個測試項目的難度，如下表(表3)

所示

21.(12分)已知函數(shù)/(x)-2/+2上.

(1)討論/(x)在R上的單調(diào)性；

2

(2)V/GR,Vx6R,總有/(x)>-f+2六+旦-成立，求實數(shù)，"的取值范圍.

2

(二)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第

一題計分.［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］(10分)

22.(10分)在直角坐標系x。)，中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標

系，曲線C的極坐標方程為p=2sin&

(1)求曲線C的直角坐標方程；

(2)已知過點-1,0)且傾斜角為生的直線/與曲線C交于兩點，求丁\乃_\

4|MA||1B|

的值.

［選修45不等式選講］(10分)

23.已知函數(shù)/(x)=\mx-i\+\2x-1|.

(1)當加=1時，求不等式/'(X)W2的解集；

(2)若/(x)W2x+1在入［1,2］上恒成立，求機的取值范圍.

2018-2019學(xué)年山東省濱州市高三(上)期末數(shù)學(xué)試卷(理科)

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.(5分)已知集合人={0,1,2,3,4,5},?={x|-2<x<4},則ACIB=()

A.{5}B.{3,4}C.{1,2,3}D.{0,1,2,3}

【分析】直接利用交集運算得答案.

【解答】解：4r>8={0,1,2,3,4,5}n{x|-2Vx<4}={0,1,2.3}.

故選：D.

【點評】此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵.

2.(5分)若復(fù)數(shù)(1-出)2-2/是純虛數(shù)，則實數(shù)()

A.0B.±1C.ID.-1

【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由實部為0且虛部不為0求解.

【解答】解：由(1-ai)2-2=(1-?)-(2a+2)i是純虛數(shù)，

得|1-a2=0,即“=1.

.2a+2卉0

故選：C.

【點評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.

3.(5分)實數(shù)“使函數(shù)f(x)=(%-?)2在(0,1)上是增函數(shù)”是“實數(shù)〃對Vxe(0,

+8),a4x+1恒成立”的()

x

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【分析】實數(shù)a使函數(shù)/(x)=(x-a)2在(0,1)上是增函數(shù)，利用二次函數(shù)的單調(diào)

2T

性即可得出a的取值范圍.由實數(shù)a對VxC(0,+8),?！垂ず愠闪ⅰ保瑒t運

X

22

(七LL)..由xe(0,+8),利用基本不等式的性質(zhì)可得立工的最小值.

1

Xnx

【解答】解：實數(shù)a使函數(shù)/(x)=(x-a)2在(0,1)上是增函數(shù)，則aWO.

2]

VxG(0,+8),x+1=科工22_L=2,當且僅當x=l時取等號.

XXVxX

2口

?.?實數(shù)a對Vxw(0,+8),+乙恒成立，，,.-,^1.

x

實數(shù)a使函數(shù)/(%)=(x-a)2在(0,1)上是增函數(shù)”是“實數(shù)。對(0,+8),

■恒成立”的充分不必要條件.

X

故選：A.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式的性質(zhì)、簡易邏輯的判定方法，考

查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.(5分)已知sinCL+cosdJ，a￡[0,n],則tana=()

5

A.三B.3C.3D.A

3443

【分析】將已知等式記作①，左右兩邊平方，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡求出

2sinacosa的值，并根據(jù)2sinacosa的值為負數(shù)及a的范圍得到sina大于0,cosa小于0,

進而得到sina-cosa大于0,然后利用完全平方公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡

(sina-cosa)2,將2sinacosa的值代入求出(sina-cosa)2的值，開方求出sina-cosa

的值，記作②，聯(lián)立①②求出sina與cosa的值，然后將所求的式子利用同角三角函數(shù)

間的基本關(guān)系弦化切，即可求出tana的值.

【解答】解：將sina+cosa=i(T),左右兩邊平方得：(sina+cosal'siJa+cos'+Zsinacosa

-_--1--

25

221

又sin-a+cosa=1,l+2sinacosa=-^_,即2sinacosa=-

2525

XaG[0,TC],Asina>0,cosa<0,BPsina-cosa>0,

(sina-cosa)2=sin2a+cos2a-2sinacosa=1-2sinacosa=-^-,

25

sina-cosa=-^@,或sina-cosa=-—(舍去),

55

聯(lián)立①②解得：sin(x=5,cosa=3

5

則tana=sin0=_生

cosCL3

另解：將sina+cosa=上，左右兩邊平方得:

5

（/si?na+cosax）2—si.n2a+cos2a+2cs?inacosa-1,

25

即為sin2a+2sinacosa+cos2a=1

sin'a+cos2a25

即有12tan2a+25tana+12=0,

解得tana=-助2-

43

由sina+cosa>0.且cosa<0,

易得tana<-1,則tana=-

3

故選：A.

【點評】此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及完全平方公式的運用，熟練掌握

基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵.

'x-2y+2）0

5.（5分）若X,y滿足約束條件，x+3y-3>0,則z=x+2y的最大值為（）

x-340

A.2B.3C.JAD.8

3

【分析】先根據(jù)約束條件畫出可行域，由z=x+2y,再利用z的幾何意義求最值，只需求

出直線z=2x+y過可行域內(nèi)的點B時，從而得到z=x+2y的最大值即可.

'x-2y+2>0

【解答】解：x,y滿足約束條件，x+3y-3>0畫出可行域，

lx-3<0

設(shè)z=x+2y,由,解得2（3,$）.

1x-2y+2=02

將z的值轉(zhuǎn)化為直線z=x+2y在y軸上的截距的一半，

當直線z=x+2y經(jīng)過點8（3,$）時，z最大，

2

最大值為：8.

故選：D.

【點評】本題主要考查了用平面區(qū)域二元一次不等式組，以及簡單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)

合的思想，屬中檔題.目標函數(shù)有唯一最優(yōu)解是我們最常見的問題，這類問題一般要分

三步：畫出可行域、求出關(guān)鍵點、定出最優(yōu)解.

22

6.(5分)已知雙曲線C：E一二一=1(a>0,b>0)的離心率為3,則雙曲線C的漸近線

2.2

ab

方程為()

A.y=±xB.y=±C.y=±2xD.y=±2^2^

【分析】利用雙曲線的離心率，而漸近線中小b關(guān)系,結(jié)合c2=J+/找關(guān)系即可.

【解答】解：6=3,又因為在雙曲線中，/=/+小，

c2,2

所以/=￡_=]+小_=9,

22

aa

故旦=2加，

a

22,

所以雙曲線C：二上二1的漸近線方程為產(chǎn)土旦『±2心，

a2b2a

故選：D.

【點評】本題考查雙曲線的性質(zhì)：離心率和漸近線，屬基礎(chǔ)知識的考查.在雙曲線中，

要注意條件=的應(yīng)用.

7.(5分)已知函數(shù)f(x)=sin(3x+(p)(3>0,|<p|<.2L)的圖象如圖所示，為了得到函

2

數(shù)g(x)=sin2x的圖象，只需把『GO上所有的點()

A.向右平行移動工個單位長度

6

B.向右平行移動二個單位長度

12

C.向左平行移動工個單位長度

6

D.向左平行移動工個單位長度

12

【分析】由周期求出3,由五點法作圖求出中的值，可得/(X)得解析式，再利用函數(shù)

>'=Asin(3x+<p)的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論.

【解答】解：根據(jù)函數(shù)。(x)=sin(3x+(p)(3>0,|<p|<21,)的圖象，可得工_?三H_=

243

兀

7K_3=2,

~Y2~3

再根據(jù)五點法作圖可得2?？L+(p=n,???(p=工，f(x)=sin⑵+?L).

333

故把/(X)上所有的點向右平行移動二個單位長度，可得函數(shù)g(x)=sin2x的圖象,

6

故選：A.

【點評】本題主要考查由函數(shù)y=Asin(3x+(p)的部分圖象求解析式，由周期求出3,

由五點法作圖求出⑴的值，函數(shù)y=Asin(3x+<p)的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題.

8.(5分)設(shè)。為△ABC所在平面內(nèi)一點，若麗=2而,CD=XCA+|1CB，則上=()

A

A.-2B.」C.AD.2

22

【分析】由向量共線的充要條件有：點2為AZ)的中點，由平面向量的線性運算得：CD=

CA+AD=C&^2AB=CA+2（CE-CA）=-CA+2CB，即入=-l,-2,得解

解：由屈=2而，得：點B為4。的中點,

KOCD=CA+AD=CB+2AB=CA+2（CE-CA）--CA+2CB，

即入=-1,|i=2,

即與“2，

故選：A.

【點評】本題考查了向量共線及平面向量的線性運算，屬簡單題

9.(5分)如圖，圓柱彷。2的底面直徑與高都等于球。的直徑，記圓柱01。2的表面積為

S,

Si，球。的表面積為S2，則一5-=()

S2

A.1B.2c.3D.A

323

222

【分析】設(shè)球。的直徑為2R,IJIIJSi=2xTTX/?+2TT/?X2/?=6TT/?,S2=4ir/?,由此能求

出三L的值.

s2

【解答】解：設(shè)球0的直徑為2R,

:圓柱。1。2的底面直徑與高都等于球0的直徑，

記圓柱01。2的表面積為S1,球。的表面積為S2,

51=2XTTX7?2+2n/?X2R=61T/?2,

S2=4TTR\

.SI=6兀R2=3

s

24冗R22

故選：c.

75J

【點評】本題考查圓柱的表面積和球的表面積的求法，考查空間中線線、線面、面面間

的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查推理論論能力、空

間想象能力，是中檔題.

10.(5分)已知/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，滿足/(1+x)=于(1-》).若/(1)=

1,則/(1)+f(2)+f(3)+-+f(2019)=()

A.-1B.0C.1D.2019

【分析】推導(dǎo)出函數(shù)f(x)為周期為4的周期函數(shù)，/(1)=1,/(2)=/(0+2)=-

f(0)=0,f(3)=/(1+2)=-/(1)--1,/(4)=/(0)=0,由此能求出/(1)

+f(2)+f(3)+-+f(2019)的值.

【解答】解：???/(X)是定義在R上的奇函數(shù)，滿足/(l+x)=f(1-X).

函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱，則有/(-x)=/(x+2),

又由函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，則/(-X)=-f(x),則有/(x)—f(x+4),

則函數(shù)/(x)為周期為4的周期函數(shù)，

,:f(1)=1,：.f(2)=f(0+2)=-f(0)=0,

f(3)=/(1+2)=-/<1>=-h/(4)=f(0)=0,

：.f(1)+f(2)+f(3)+-+f(2019)

=504X|/⑴+f(2)+f(3)+f(4)]+/<!)+f(2)+f(3)

=504X0+1+0-1

=0.

故選：B.

【點評】本題考查函數(shù)值的求法，考查函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查

函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題.

11.(5分)已知拋物線C：，=4x的焦點為凡準線為/,P是/上一點，Q是直線P尸與拋

物線C的一個交點，若屈=3而，則|QF

1=()

A.3B.C.4或2D.3或4

33

【分析】過。向準線/作垂線，垂足為Q',根據(jù)已知條件，結(jié)合拋物線的定義得得

空二旦=3,即可得出結(jié)論.

QQ’PQ4

【解答】解：過。向準線/作垂線，垂足為。'，根據(jù)已知條件，結(jié)合拋物線的定義得

y

FF=PF_3

QQ，=PQN

':FF'=p=2,；.|QQ，尸星，

3

3

故選：B.

>'，

【點評】本題考查了拋物線的定義標準方程及其性質(zhì)、向量的共線，考查了推理能力與

計算能力，屬于中檔題.

x2+3x,

.(5分)已知函數(shù)/(x)=,'40,g(x)=/(x)-H+l.若g(x)恰有4

lnx,x＞0

個零點，則實數(shù)攵的取值范圍是()

A.(0,I)B.(0,-1)C.(/，1)

2

【分析】由題意可得f(x)=后-1有四個不等實根，作出y=/(x)的圖象和直線

-1,將直線繞著(0,-1)旋轉(zhuǎn)，考慮直線與)，=/〃x相切時&的值，即可得到所求范圍.

【解答】解：函數(shù)/(x)=[X2+3X，X40.

lnx,x>0

g(x)—f(x)-Ax+1.

若g(x)恰有4個零點，

則/(x)=fcv-1有四個不等實根，

作出y=/(x)的圖象和直線y=fcv-l,

當A:W0時，x2+(3-k)x+l=0,

由4=(3-k)2-4=$-6/+5＞0,

y=f(x)的圖象與直線y=fcc-1有三個交點；

當上＞0時，當直線1與y=/〃x相切時，

設(shè)切點為(/n.Inm),即有人=_L,km-1=lnm,

解得m=1,k=1,

由圖象可得0＜無＜1時，y=f(x)和直線)=區(qū)-1有四個交點.

故選：A.

【點評】本題考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想方法，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以

及運算能力，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）（x-左）6的展開式中的常數(shù)項是,15（用數(shù)字作答）

【分析】先求出二項式展開式的通項公式，再令x的事指數(shù)等于0,求得r的值，即可求

得展開式中的常數(shù)項.

【解答】解：???（x-工1）6的展開式的通項公式為Tf=cr（-1）r.60—2—,

44x

令6-2二=0,求得r=4,故（x-3）6的展開式中的常數(shù)項是C4=15,

24%

故答案為：15.

【點評】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項式系數(shù)的性質(zhì)，二項式展開式的通項公

式，求展開式中某項的系數(shù)，屬于中檔題.

14.（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為42.

5=0：4=2,7=1

結(jié)束

【分析】由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量S的

值，模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案.

【解答】解：模擬程序的運行，可得

.s=0,a=2,i=\

執(zhí)行循環(huán)體，s=2,〃=4,i=2

不滿足條件i>6,執(zhí)行循環(huán)體，s=6,a=6,z—3

不滿足條件i>6,執(zhí)行循環(huán)體，s=12,a=8,i—4

不滿足條件i>6,執(zhí)行循環(huán)體，s=20,a=10,i=5

不滿足條件i>6,執(zhí)行循環(huán)體，s=30,a=\2,i=6

不滿足條件i>6,執(zhí)行循環(huán)體，s=42,a=14,z—7

滿足條件i>6,退出循環(huán)，輸出s的值為42.

故答案為：42.

【點評】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)模擬程序框圖的運行過程，以便得

出正確的結(jié)論，是基礎(chǔ)題.

15.(5分)在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若(a-b)(sinA+sinB)=c

(心inB+sinC),則A

【分析】由已知利用正弦定理可得必+。2-/=兒.再利用余弦定理可得cosA,進而可求

A的值.

【解答】解:V(a-/>)(sinA+sinB)=c(J^inB+sinC),

，由正弦定理可得：(a-b)(a+b)=c(化為U+J-J=-

222r~

由余弦定理可得：cosA=b+c-a=-工2,

2bc2

/.AG(0,TI),

可得A="，

4

故答案為：12L.

4

【點評】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

16.(5分)已知正方體ABCQ-A|81C|Z)1的棱長為2,點P是棱/L4i的中點，則過點尸且

與直線BG垂直的平面截正方體所得的截面的面積為，返

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形找出過點P與直線BQ垂直的截面圖形是矩形，

求出它的面積值.

【解答】解：如圖所示，取4。的中點。，BC的中點M,的中點N,

連接P。、。例、MN和NP,

則平面PQMN〃平面AiBiCD,

又BC1J_平面AIiCD,

.?.BCJ平面PQMN,

且尸Q=LI￡)=&；

2

PN=2,

.?.矩形PQMN的面積為2X&=2近,

過點P與直線BC\垂直的截面面積為2&.

故答案為：2A/^.

【點評】本題考查了正方體的截面面積計算問題，解題的關(guān)鍵是找出滿足條件的面積,

是基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題，

每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：60

分.

17.（12分）已知數(shù)列｛斯｝滿足可=2,斯?斯+1=2".

（1）證明：另空之為常數(shù)；

an

（2）設(shè)數(shù)列｛“”｝的前n項和為Tn,求T2n.

【分析】（1）將斯?詼+1=2"中的〃換為〃+1,兩式相除,即可得證;

（2）由（1）可得｛42wi｝以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，｛"2"｝以1為首項，2為公

比的等比數(shù)列，再由數(shù)列的分組求和和等比數(shù)列的求和公式，即可得到所求和.

【解答】解：⑴證明：數(shù)列｛斯｝滿足6=2,斯?斯+|=2",

可得。"+1*斯+2=2"1>

兩式相除可得:更玄=絲上=2,

an2n

即三絲為常數(shù)；

an

（2）.=2,。1?。2=2,

可得〃2=1，

即有｛“2〃-]｝以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，

｛〃2〃｝以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，

為〃=（〃]+。3+…+。2〃-1）+（。2+〃4+…+。2〃）

=2-2k，1-2n

1-2

=3,2"-3.

【點評】本題考查數(shù)列的求和方法：分組求和，考查等比數(shù)列的求和公式的運用，以及

運算能力，屬于中檔題.

18.（12分）如圖1,在梯形A8CD中，ADHBC,ZBAD^—,AB=8C=1,AD=2,E

2

是AO的中點，。是4c與BE的交點，以BE為折痕把aABE折起使點A到達點A1的位

置，且AC=1,如圖2.

D&

,D

圖1圖2

(1)證明：平面AiBE_L平面BC￡?E；

(2)求二面角C-AiB-E的余弦值.

【分析】(1)推導(dǎo)出8E_L4C,AO=OC,A1OI.OC,從而A|O_L平面BCDE,由此能證

明平面平面BCDE.

(2)分別以O(shè)B,OC,OAi所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法

能求出二面角C-A|B-E的余弦值.

【解答】證明：(1)在圖(1)中，：AQ〃BC,AB=BC=\,AD=2,

E是AO的中點，ZBAD^—,

2

四邊形ABCE為正方形，：.BELAC,AO=OC,

即在圖2中，A101BE,BEVOC,AO=OC=返,

2

2

：AC=1,.?.在△AiOC中，^IQ^-OC=^IQ2,

：.A\01.0C,

，40_L平面BCDE,

：40u平面A\BE,平面A|BE_L平面BCDE.

解：(2)由(1)知OAi，OB,0c互相垂直，分別以O(shè)B,0C,所在直線為x,y,

z軸，建立空間直角坐標系,

"：A\B=A\E=BC=ED=1,

：.O（0,0,0）,B（返，0,0）,Al（0,0,返），C（0,

__224-

??辰=（-返,返，0）,h]C=(。，返,-返）,0C=（0,返，0）,

22222

設(shè)平面ABC的法向量rr=(x,y,z),

7?詼=*x乎y=0_

則《l，取x=l,得ir=（1,1,1）,

--y[2V2_n

m*AjC^-y^-z-0

由(1)得平面ABE_L平面BCDE,S.OCA.BE,

：.OC_L平面ABE,...林=(0,返，0)是平面4BE的法向量,

2

設(shè)二面角C-AiB-E的平面角為3

一返

則COS0-lm-0￡j=_匕L=1.

ImHIOCl炳吟3

二面角C-A\B-E的余弦值為返.

3

【點評】本題考查面面垂直的證明，考查二面角的求法，考查空間中線線、線面、面面

間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題.

19.(12分)已知橢圓C：(a>b>0)的左右焦點分別為尸1，巳，點「(加，

2,2

ab

1)在橢圓C上，且滿足畫?畫=1.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)傾斜角為45°的直線/與C交于A,8兩點，記△OAB的面積為S,求S取最大

值時直線/的方程.

【分析】(1)設(shè)Fi(-c,0),&(C，0),由可,畫=1，可得c?=2,由PF1+PF2

=4=2“，可得”=2,即可得橢圓C的方程；

(2)設(shè)傾斜角為45°的直線I方程為y=x+〃?，A8={]+k2xJ(x1+x2)2-4x1x?=

W6-m2,。到直線/的距離d=3.

3V2

5=能應(yīng)英白，2(6-2)唔?唇單工企-即可求解.

OoJV/

【解答】解：(1)設(shè)尸1(-c,0),尸21、0),PF*=(-c->/2,-1)，-1)-

*.*pppFj=1?,2-/+1=1,C2=2,

：PFi=V（V2+V2）2+1=3,PF2=7（V2-V2）2+l=1，

；.PQ+PF2=4=2a,；.a=2,可得郎=/-2=2.

22

橢圓C的方程：—上

42

（2）設(shè)傾斜角為45°的直線/方程為〉=萬+山

,'y=x+m

由J可得y3/+94/噂+2m92-4=0.△=48-8m29>0,=>^29<8.

22

lx+2y=4

9

?-4m_2m-4

**xl+x2=~xlx2=-§-

AB=V1+k2XJ（X1+X2）2-4X1X2=^^^

O到直線l的距離4=堀_.

V2

s=/.d.與菩?V7瓦忑唔?后尹入.

乙QjJVN

當且僅當,J=6-m2,即m—±V3.

：./\OAB的面積的最大值為加.此時直線/的方程為y=x±V3.

【點評】本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積的最值的求法，是中檔題，解題時

要認真審題，注意橢圓性質(zhì)、韋達定理、弦長公式的合理運用.

20.（12分）某單位為促進職工業(yè)務(wù)技能提升，對該單位120名職工進行了一次業(yè)務(wù)技能測

試，測試項目共5項.現(xiàn)從中隨機抽取了10名職工的測試結(jié)果，將它們編號后得到它們

的統(tǒng)計結(jié)果如下表（表1）所示（“J”表示測試合格，“X”表示測試不合格）：

表1

測試項目

編號

1

2

3

4VXX

5

6JXXJX

7XVVVX

8JXXXX

9VVXXX

10VVVVX

規(guī)定：每項測試合格得5分，不合格得0分.

（1）以抽取的這10名職工合格項的項數(shù)的頻率代替每名職工合格項的項數(shù)的概率.

①設(shè)抽取的這10名職工中，每名職工測試合格項的項數(shù)為X,根據(jù)上面的測試結(jié)果統(tǒng)計

表，列出X的分布列，并估計這120名職工的平均得分；

②假設(shè)各名職工的各項測試結(jié)果相互獨立.某科室有5名職工，求這5名職工中至少有

4人得分不小于20分的概率；

R.

（2）已知在測試中，測試難度的計算公式為乂=二，其中N為第，?項測試的難度，Ri

Z

為第，?項合格的人數(shù)，Z為參加測試的總?cè)藬?shù)，已知抽取的這10名職工每項測試合格人

數(shù)及相應(yīng)的實測難度如下表（表2）

表2

定義統(tǒng)計量S=&(Ni-N')2+(M-N')2+…+(Nn-N')2],其中M為第i項的

n12n

實測難度，N'為第，項的預(yù)估難度（i=l,2,”）.規(guī)定：若SW0.05,則稱該次測

i

試的難度預(yù)估合理，否則為不合理測試前，預(yù)估了每個測試項目的難度，如下表（表3）

所示

表3：

測試項目12345

測試前預(yù)估難度0.90.80.70.60.4

判斷本次測試的難度預(yù)估是否合理.

【分析】(1)①根據(jù)測試結(jié)果統(tǒng)計表，得X的分布列，從而求出X的數(shù)學(xué)期望E(X)

=3.2.估計這120名職工的平均得分為5E(X),由此能求出結(jié)果.

②“得分不小于20分”，即P(X24)=P(X=4)+P(X=5)=0.4+01=0.5.設(shè)

該科室5名職工中得分不小于20分的人數(shù)為七貝ijf?B(5,0.5),由此能求出這5名職

工中至少有4人得分不小于20分的概率.

(2)由題意知(0.8-0.9)2+(0.8-0.8)2+(0.7-0.7)2+(0.7-0.6)2+(0.2

5

-0.4)2]=0.012<0.05,從而本次測試的難度預(yù)估是合理的.

【解答】解：(1)①根據(jù)上面的測試結(jié)果統(tǒng)計表，得X的分布列為：

X012345

P00.10.20.20.40.1

.?.X的數(shù)學(xué)期望E(X)=1X0.1+2X0.2+3X0.2+4X0.4+5X0.1=3.2.

?.?每項測試合格得5分，不合格得0分，

，估計這120名職工的平均得分為5E(X)=3.2X5=16.

②“得分不小于20分”，即“XN4”，

由①知P(XZ4)=P