2020-2021學(xué)年西安市未央?yún)^(qū)高一年級上冊期末數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2020-2021學(xué)年西安市未央?yún)^(qū)高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共10小題，共40.0分）

1.己知向量方=（-1,2）,石=（2,-4）.若方與石（）

A.垂直B.不垂直也不平行

C.平行且同向D.平行且反向

2.切割是焊接生產(chǎn)備料工序的重要加工方法，各種金屬和非金屬切割已經(jīng)成為‘一'、

現(xiàn)代工業(yè)生產(chǎn)中的一道重要工序.被焊工件所需要的幾何形狀和尺寸，絕大多卜...

數(shù)是通過切割來實現(xiàn)的.原材料利用率是衡量切割水平的一個重要指標(biāo).現(xiàn)需弋'y

把一個表面積為28兀的球形鐵質(zhì)原材料切割成為一個底面邊長和側(cè)棱長都相

等的正三棱柱工業(yè)用零配件，則該零配件最大體積為（）

A.6B.V3C.18D.當(dāng)

3.已知a,b,c是三角形的三邊，且直線ax+by+c=0與圓/+y2=1相離，則此三角形（）

A.是銳角三角形B.是直角三角形C.是鈍角三角形D.不確定

4.已知圓的方程為（x+1）2+（y-2）2=2,過直線3x-4y-4=0上一點P做圓的切線，切點為M.

則|PM|的最小值為（）

A.V3B.V5C.V7D.V10

5.點4（a+b,ab）在第一象限內(nèi)，則直線bx+ay-ab=0不經(jīng)過的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

6.己知三棱錐P-ABC中，PA,PB,PC兩兩垂直，且長度相等.若點P,A,B,。都在半徑為1的

球面上，則球心到平面4BC的距離為（）

A.立B.\C.；D.在

6232

D.3

8.圓G：久2+y2=i與圓C2：（x-2）2+y2=1的位置關(guān)系是（）

A.相離B.相交C.內(nèi)切D.外切

9.《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一

卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐，如圖所示，在

直角圓錐P-ABC中，AB為底面圓的直徑，C在底面圓周上且為弧愈

的中點，則異面直線P4與BC所成角的大小為（）

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

10.由華裔建筑師貝聿銘設(shè)計的巴黎盧浮宮金字塔的形狀可視為一個正四棱錐（底面是正方形，側(cè)棱

長都相等的四棱錐），四個側(cè)面由673塊玻璃拼組而成，塔高21米，底寬34米，則該金字塔的體

積為（）

A.8092m3B.4046m3C.24276m3D.12138m3

二、單空題（本大題共5小題，共20.0分）

11.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點P（X,y）定義［OP］=因+|y|,其中。為坐標(biāo)原點，對于以下結(jié)論:

①符合［OP］=1的點P的軌跡圍成的圖形的面積為2；

②設(shè)P為直線+2y-2=0上任意一點，則［OP］的最小值為1；

③設(shè)P為直線丫=卜％+僅4/6/?）上的任意一點，則“使［OP］最小的點P有無數(shù)個”的必要不充分條

件是"k=±1"；其中正確的結(jié)論有（填上你認(rèn)為正確的所有結(jié)論的序號）

12.若直三棱柱ABC-4/16每一條棱長都為4,則三棱錐&-ABC與三棱錐4-4B1Q公共部分

的體積是.

13.13.若P（%y）在圓（x-2）：上運(yùn)動，則;的最大值為.

14.當(dāng)實數(shù)x,y滿足不等式組卜之0時，ax+y+a+lNO恒成立，則實數(shù)Q的取值范圍是

（2x+y<2

15.一個半徑為2的球體經(jīng)過切割后，剩余部分幾何體的三視圖如圖所示，則

該幾何體的表面積為.

側(cè)視圖

三、解答題(本大題共4小題，共40.0分)

16.平行四邊形的兩鄰邊所在直線的方程為x+y+1=0及3x-y+4=0,其對角線的交點是

0(3,3),求另兩邊所在的直線的方程.

17.三棱柱ABC-4B1G的底面力BC是等邊三角形，BC的中點為0,4。_L底面力BC,與底面ABC

所成的角為多點。在棱44i上，且AB=2.

(1)求證：OD1平面BBiGC；

(2)求二面角B-BiC-&的平面角的余弦值.

18.如圖，四棱錐P-4BC。的底面是正方形，l^ABCD,BD

交AC于點E,F是PC中點，G為AC上一動點.

(1)求證：BD1FG；

(2)在線段4c上是否存在一點G使FG〃平面PBO,并說明理由.

19.已知圓C的圓心在x軸上，且經(jīng)過點4(一3,0),5(-1,2).

(I)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(n)過點P(0,2)斜率為:的直線，與圓C相交于M,N兩點，求弦MN的長.

參考答案及解析

1.答案：D

解析：解：向量3=(—1,2),b=(2,-4).b=-2a，所以兩個向量共線，反向.

故選：D.

直接利用向量關(guān)系，判斷即可.

本題考查向量共線的判斷與應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

2.答案：C

解析：

本題考查球內(nèi)接多面體體積的求法，考查空間想象能力與運(yùn)算求解能力，是較難題.

由題意畫出圖形，求出球的半徑，再求出球內(nèi)接正三棱柱的底面邊長與高，代入棱柱體積公式求解.

解：用一個表面積為28兀的球形鐵質(zhì)原材料切割成為正三棱柱的工業(yè)用零配件，

如圖所示，

球形鐵質(zhì)原材料的半徑R=V7,

設(shè)正三棱柱的高與底面的邊長為X,

則底面外接圓半徑r=|?卜_(|)2=簧=4G,

則R2=AG2+0G2,即7=[7+；%2,即久=2百，

.,.該零配件的最大體積為V=1x2V3x2聒Xyx2V3=18.

故選：C.

3.答案:C

解析：解：由已知得，圓心到直線的距離d=7a>l,

Va2+/72

2、2,心2萬a2+b2-c2一八

???>晨+/，???cosC=---2a-b--<0，

故△ABC是鈍角三角形.

故選c.

先根據(jù)ax+by+c=。與圓/+y2=i相離，可得到圓心到直線QX+匕y+c=。的距離大于半徑1,

進(jìn)而可得到。2>。2+爐，可得到cosC=QiF<0,從而可判斷角C為鈍角，故三角形的形狀可

2ab

判定.

本題主要考查三角形形狀的判定、點到直線的距離公式、直線與圓的位置關(guān)系.考查基礎(chǔ)知識的綜

合運(yùn)用.

4.答案：C

解析：解：如圖，

圓心(一1,2)到直線3x-4y-4=0的距離d='㈠)產(chǎn)甸=3

圓的半徑為定值近，

???|PM|的最小值為Js2-(V2)2=V7.

故選：C.

求出圓心到直線的距離的最小值，再由勾股定理求解.

本題考查直線和圓相切的性質(zhì)，點到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，是中檔題.

5.答案：C

解析：試題分析：根據(jù)第一象限點的橫坐標(biāo)大于0,縱坐標(biāo)小于0,得到時大于。且a+b大于0,即a與

b都大于0,然后把直線的方程化為點斜式方程y=kx+b,判斷k和b的正負(fù)即可得到直線不經(jīng)過的

象限解：由點4(a+4ab)在第一象限內(nèi)，得到ab>0且a+b>0,即a>0且b>0,而直線bx+ay-

ab=0可化為：y=--x+b,由一更<0,b>0,得到直線不經(jīng)過第三象限.故選C.

瀛瀛

考點：一次函數(shù)的圖象

點評：此題考查學(xué)生掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握象限角的特點，是一道基礎(chǔ)題.

6.答案：C

解析：

本題主要考球的內(nèi)接三棱錐和內(nèi)接正方體間的關(guān)系及其相互轉(zhuǎn)化，棱柱的幾何特征，球的幾何特征，

點到面的距離問題的解決技巧，為拔高題.

先利用正三棱錐的特點，將球的內(nèi)接三棱錐問題轉(zhuǎn)化為球的內(nèi)接正方體問題，從而將所求距離轉(zhuǎn)化

為正方體中心到截面的距離問題，利用等體積法可實現(xiàn)此計算.

解：?.?三棱錐P-4BC中，PA,PB,PC兩兩垂直，且長度相等，

,此三棱錐的外接球即以P4PB,PC為三邊的正方體的外接球。，且體對角線為球。的直徑，

???球。的半徑為1,設(shè)正方體的邊長為a,則有）a2+a2+a2=2,解得a=等，

???正方體的邊長為也，即PA=PB=PC=—，

33

球心到截面ABC的距離即正方體中心到截面ABC的距離，

設(shè)P到截面48c的距離為九，則正三棱錐P-ABC的體積

1

，=§S—BCxh

=g^^PABXPC

112V3O

=-X-XZ（——X尸，

32k37

由勾股定理易知44BC為邊長為辿的正三角形，

3

SA48C=?X（￥）2=§

、

貝millx—273xh,=-1x-1x（,2—6尸q，

3332k37

???/l=I，

3

由正方體的幾何形狀可知，直線P。經(jīng)過三菱錐P-力BC以P為頂點的高線，

所以球心到平面4BC的距離為1一九=:

???球心（即正方體中心）0到截面ABC的距離為!.

故選：C.

7.答案：C

解析：解：???圓。是△4BC的外接圓，AB=BC,0C是圓。的切線，AD=4,

CD=6,

B

???/.ACD=/.ABC,CD2=AD-BD,即36=4(4+AB),

解得AB=5,BC=5

vZ-ACD=Z.ABC,Z-D=乙D,

BCDsACAD,

.AC_DC_AD

??BC~BD~DC9

.*=/解得4c=?

故選：C.

由切割線定理求出4B=BC=5,由弦切角定理得到△BCOs^CAD,由此能求出ZC.

本題考查與圓有關(guān)的線段長的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意切割線定理和弦切角定理

的合理運(yùn)用.

8.答案：。

解析：解：兩圓的圓心和半徑分別為Ci：(0,0),半徑r=l,圓C2：(2,0)，半徑R=l,

則IGC2I=2=R+r,

???兩個圓相外切，

故選：D.

根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系的條件進(jìn)行判斷即可得到結(jié)論.

本題主要考查圓與圓的位置關(guān)系的判斷，比較基礎(chǔ).

9.答案：C

解析：解：如圖，

取AB中點0,連接P0,再分別取AC、PC的中點E、F,

連接OE、EF、OF,

則EF〃P4OE//BC,NFE。即為異面直線PA與BC所成角，

設(shè)P4=PB=2,則EF=1,AB=2兩,求得4c=BC=2,0E=1,

OF==^PA=1,可得△OEF為等邊三角形，即/FE。=60。.

故選：c.

取4B中點。，連接P。，再分別取4C、PC的中點E、F,連接。E、EF、OF,則NFE。即為異面直線P4與

BC所成角，設(shè)PA=2,然后求解三角形得答案.

本題考查異面直線所成角的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

10.答案:A

解析：解：如圖,

PO=21m,AB=34m,

則4-48C。=￡x34x34x21=8092m3,

故選：A.

由題意可得正四棱錐的底面邊長與高，代入棱錐體積公式求解.

本題考查棱錐體積的求法，是基礎(chǔ)的計算題.

11.答案：①

解析：解：①由[OP]=1,根據(jù)新定義得：|x|+|y|=l,

y=—%+1(1>%>0)

y=-x—1(-1<%<0)

可化為:

y=%+1(—1<%<0)'

y—x-1(1>x>0)

根據(jù)圖形得到：四邊形4BCD為邊長是式的正方形，所以面積等于2,本選項正確；

②當(dāng)P(￥，0)時，［OP］=|x|+|y|=W<l，所以［OP］的最小值不為1,本選項錯誤；

③因為|x|+|y|2|x+y|=|(k+l)x+b|,當(dāng)k=-1時，|x|+|y|2網(wǎng)，滿足題意；

rfff|x|+|y|>|^-y|=|(fc-l)x-b\,當(dāng)k=1時，|x|+|y|N|b|,滿足題意,

所以“使［OP］最小的點P有無數(shù)個”的充要條件是"k=±l"，本選項錯誤.

則正確的結(jié)論有：①.

故答案為：①

①根據(jù)新定義由［OP］=|x|+|y|=1,討論X的取值，得到y(tǒng)與X的分段函數(shù)關(guān)系式，畫出分段函數(shù)的

圖象，由圖象可知點P的軌跡圍成的圖形為邊長是魚的正方形，求出正方形的面積即可；

②舉一個反例，令y=0,求出相應(yīng)的x,根據(jù)新定義求出［OP］=|x|+|y|,即可得到［OP］的最小值

為1是假命題；

③根據(jù)|x|+|y|大于等于|x+y|或|x-y|,把丫=kx+b代入即可得到，當(dāng)［0P］最小的點P有無數(shù)個

時，k等于1或-1；而k等于1或-1推出［?？钚〉狞cP有無數(shù)個，所以得到4=±1是"使［0P］最小

的點P有無數(shù)個”的充要條件，本選項錯誤.

此題考查學(xué)生理解及運(yùn)用新定義的能力，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，是一道中檔題.

12.答案：延

3

解析：解：設(shè)與4名相交于。，41c與4cl相交于E,則

三棱錐兒一4BC與三棱錐4-48由公共部分的體積是%YEA="打4'2*亞f>4=#.

故答案為：出.

3

設(shè)與相交于D,4傳與AC】相交于E,則三棱錐力ABC與三棱錐4-4當(dāng)前公共部分的體積

是％-AEA，即可得出結(jié)論.

本題考查棱錐體積的計算,考查學(xué)生分析解決問題的能力，確定三棱錐4-ABC與三棱錐4-4B1Q

公共部分是關(guān)鍵.

13.答案：。

解析：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，本題解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想來解出斜率的值，本

題是一個中檔題目.

解：（X—2）2+y2=3,

根據(jù)2表示動點(x,y)到定點(0,0)的斜率知：

(的最大值是圓上的點與原點連線的斜率的最大值，設(shè)為鼠

???圓心(2,0)到直線kx—y=0的距離等于。，

?網(wǎng)-石

??卡-肛

2

:.k=3z

k=±依.

所以代數(shù)式2的最大值是4.

故答案為：p.

14.答案：［—；,+8)

解析：

本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)可行域與直線的關(guān)系結(jié)合數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.

作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，然后由題意可得可行域在直線ax+y+a+1=0的上方，找到臨界

點得到不等式求解即可.

解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：

直線ax+y+a+1=a(x+1)+(y+1)=0,過定點。(-1,-1).

ax+y+a+l>0恒成立等價為可行域都在直線ax+y+a+1=0的上方;

則由圖象知只要B(1,O)滿足ax+y+a+120即可，

即2a+120,得aN三,

故答案為：［-g,+8);

15.答案：167r

號

解析：該幾何體是從一個球體中挖去士1個球體后剩余的部分，所以該幾何體的表面積為二X(4TTX

翎4

22)+2x燮±2=167r.

公

16.答案：解：由題意得色；?。；)。，解得

即平行四邊形給定兩鄰邊的頂點為

又對角線交點為。(3,3),則此對角線上另一頂點為(弓,弓).

???另兩邊所在直線分別與直線x+y+1=0及3x-y+4=0平行，

?花們的斜率分別為-1及3,

即它們的方程為y-=一(％-B),及曠—§=3(%一彳)，

??.另外兩邊所在直線方程分別為x+y-13=0和3x-y-16=0.

解析：本題考查直線的方程的求法，解決的關(guān)鍵是利用直線的平行關(guān)系，以及直線的交點的求解來

得到，屬于基礎(chǔ)題。

17.答案：(1)證明：連接40,?；&。1底面ABC,AO.BCu底面4BC,

BClA^,4O1AO,且44］與底面ABC所成的角為乙4〃。，即乙4遇。=最

在等邊三角形4BC中4B=2,易求得4。=V3.

在三角形4。。中，由余弦定理，得。。=loA2+AD2-2OA-ADcos-=

yj32

OD2+AD2=3=OA2,即。0公.

XvAA1//BB1,：.OD1BB1.

AB—AC,OB=OC,AO±BC,

又,?,BClAi。，4004。=。，AO.40u平面力40,

???BC?L平面441。，

又,:ODu平面4&。，OD1BC,

又BCC\BB、=B,BC、BBiu平面BBiGC,

???OD1平面BBiGC.

(2)解：如下圖所示，以。為原點，分別以。40B,。4所在的直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)

系，

則4(百,0,0),C(0,-1,0),41(0,0,3),8(0,1,0)

故石瓦=AB=(一6,1,0),石［=(0,-1,-3)

由(1)可知而=；可，

???可得點。的坐標(biāo)為(￥，o[),

.??平面BB1G。的一個法向量是而=(乎，0，令?

設(shè)平面必當(dāng)。的法向量元=(%,y,z),

由《?眄=0一信乎=0,令“百，則y=3,Z=-l,

(n-A.C=0-y-3z=0/

則元=(6,3,-1)，二郎(兩元＞|=爆=答，

易知所求的二面角為鈍二面角，

???二面角B-B.C-A,的平面角的余弦角值是一魯.

解析：本題考查線面垂直的判定定理；空間向量的應(yīng)用求解二面角的余弦函數(shù)值，考查空間想象能

力以及計算能力.

(1)連接40,證明BC1&O,&。140,且441與底面48c所成的角為乙4遇0,在等邊三角形4BC中，

易求得40=百，證明。01441,。。18%,。。_LBC,即可證明。。_L平面BBiGC.

(2)以。為原點，分別以。4,OB,。4所在的直線為x,y,z軸建