2023年河南省開封市成考專升本數(shù)學(理)自考真題(含答案帶解析)

2023年河南省開封市成考專升本數(shù)學（理）

自考真題（含答案帶解析）

學校:班級:姓名:考號:

一、單選題（30題）

1.函數(shù)）一乙的圖像與直線x+3=0的交點坐標為（）。

2.已知

仇也，仇也成等差數(shù)列，且仇也為方程2/—3工+1=0的兩個根項也十仇

為方程的兩個根則b2+b3的值為

A.1/2B.-3/2C.-1/2D.3/2

3.盒中有3個紅球和4個白球，從中隨機抽取3球，其中最多有一個白

球的概率是（）

A1

A.A.

?

B.

L12

C.（

D.

4.等差數(shù)列｛an)中，已知前15項之和Si5=90,則ai+a”==(）

A.A.8B.10C.12D.14

5.過點（1,2）且與直線2x+y-3=0平行的直線方程為（）

A.A,2x+y-5=0

B.2y-x-3=0

C.2x+y-4=0

D.2x-y=0

6.函數(shù)y=2sin6x的最小正周期為()。

A,2nnn

B，T

C.3“p.n

D'T

7.在一張紙上有5個白色的點，7個紅色的點，其中沒有3個點在同一

條直線上，由不同顏色的兩個點所連直線的條數(shù)為()

A

.埠-；

AB.P-H

CL'+C；

cT

?C?

I

D

2(p;+W)

拋物線產=-4x的準線方程為

0X-I(B)x=l(C)y=\D，=-l

o.

9.三個整數(shù)a,b,c既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的充分必要條件是

A。?c=25

D.。?6

i為虛數(shù)單位，則(2-30(3+2?)=

(A)12-I3?(B)-5i

]0(C)12+5i(D)12-5i

]]已知一VO,且sin工+cosm=".則cos2H的值為

A.-7/25B.7/25C.-7/25或7/25D.12/25

一枚硬幣連續(xù)拋擲3次，至少有兩次正面向上的概率是

(B)y

(D)|-

o

13.從6位同學中任意選出4位參加公益活動，不同的選法共有

A.30種B.15種C.10種D.6種

14.已知向量??(2.-3.1)，=(2.0.3).￡?(0?02).11。?(>?€)?

D.百

］一遍1h

15.(石+i*()

A2

A.A.

B.

c.24

1值

D.

16.圓錐的軸截面頂角是2兀/3,過頂點的截面面積的最大值是4,則它

的側面積是()

A.4、J1兀

B.2癡兀

C.8TI

D.8-.^:7i

17.

已知平面向量a=(l"),b=(T,2),若泌平行于向量1J),則

A.2t-3m+l=0B.2t+3m+l=0C.2t-3m-l=0D.2t+3m-l=0

而故一l-八，-2)的反曲數(shù)的圖像經(jīng)過點

X42

(a,(b,(狀)<d>

18.M?H)M

國"r七的定義域是

20.函數(shù)>=7I-H-1的定義域是

A.{x|x>l)B.{x|x<l)C.{x|x>l)D.{x|x<-1或x>l)

21.集合{0,1,2,3,4,5}不含元素1、4的所有子集的個數(shù)是()

A.A.13B.14C.15D.16

22.：'()

A.A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.無法判斷

23.有不等式(l)seca|W|tana|(2)卜ina|W|tana|(3)|csca|W|cota|(4)|cosa|W|cota|

其中必定成立的是()

A.⑵(4)B.⑴(3)C.(D(2)(3)(4)D.都不一定成立

24.

第9題已知向量a=(4,x),向量b=(5,-2),且a±b,則x等于()

A.10B.-10C.l/10D.-8/5

25.

設命題甲m=1,命題乙:直線￥=任與直線》=1+1平行,則(

A.甲是乙的必要條件但不是乙的充分條件

B.甲是乙的充分條件但不是乙的必要條件

C.甲素是乙的充分條件也不是乙的必要條件

I).甲星乙的充分必要條件

已知Igsind=atIgcos^=b,則sin2?=()

(A)審(B)2(a+6)

26.(C)10中(D)2?IO***

下列四組中的函數(shù)/(x),g(x)表示同一函數(shù)的是()

(A)/(x)=I.g(x)=x°(B)/(x)=x,g(x)=

X

27.(C)/(x)=r2,g(x)-1>)/(x)=xJ,g(x)=

28.已知f(x)是定義域在［-5,5］上的偶函數(shù)，且f(3)>f(l)則下列各式一定

成立的是

A.f(-1)<f(3)B.f(0)<f(5)C.f(3)>f(2)D.f(2)>f(0)

29.()

A.A.是奇函數(shù)B.是偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)D.既不是奇函

數(shù)，又不是偶函數(shù)

22

卻已知林吸+二=I的焦點在)軸上,則m的取值范附是()

JU?-Om

A.A.m<2或m>3

B.2<m<3

C.m>3

D.1>s或；<"i<~

二、填空題(20題)

已知隨機變IRW的分布列為

$—10123

P0.I0.10.40.30.1

31.則由」.

32.若三角形三邊之比為2:3:4,則此三角形的最小角為弧度.

33.*長為a的正方體ABCD-A'H'「/，中.年面直線BC*與DC的距離為

34.已知隨機變量自的分布列是:

2012345

P0.10.20.30.20.10.1

貝！IE4=______

35.已知A(2,1),B(3,-9),直線l:5x+y-7=0與直線AB交于P點，點

P分所成的比為.

36.一個圓柱的底面半徑和高都與一個球的直徑相等，則該圓柱與該球

的體積的比為

校長為a的正方體ABCDA'JfC'D'中，異面直線與DC的距離

37.

38.過圓x2+Y2=25上一點M(-3,4)作該圓的切線，則此切線方程為

39.斜率為2,且在x軸上的截距為-3的直線的方程是

直線3*+4y-12=0與x軸，軸分別交于4,8兩點,0為坐標原點，則△048的

40.冏匕為

41.設正三角形的一個頂點在原點，且關于x軸對稱，另外兩個頂點在拋

物線、’'、'''上，則此三角形的邊長為.

已知隨機變量f的分布列是:

012345

P0.10.20.30.20.10.1

則疑=

42.

43.在9與243中間插入兩個數(shù)，使它們同這兩個數(shù)成等比數(shù)列，那么

這兩個數(shù)為

已知球的半徑為1，它的一個小圓的面積是這個球表面積的右，則球心到這個小

44.閑所在的平面的距離是___

45.一束光線從點A(-3,4)發(fā)出，經(jīng)x軸反射后，光線經(jīng)過點B(2,6),入

射光線所在的直線方程是

(19)lim~~~~

46.入+1

47.已知隨機變量g的分布列為:

01234

P1/81/41/81/61/3

貝！IE京

48.若正三棱錐底面邊長為a,且三條側棱兩兩垂直，則它的體積為

49.

函數(shù)yxsinxcosx+73cos2x的最小正周期等于,

50.拋物線x2=-2py（p>0）上各點與直線3x+4y-8=0的最短距離為1,則

三、簡答題（10題）

51.（本小題滿分12分）

某服裝店將進價為40元一件的襯衫，按50元一件售出時，能賣出500

件，如果這種襯衫每件漲價1元，其銷售量就減少10件，商店為了獲

得大利潤，問售價應為多少？

52.

（本小題滿分12分）

已知糖91的離心率為（且該橢例與雙曲線A，'=1焦點相同?求橢圓的標準

和宸線方程.

53.（本小題滿分12分）

設兩個二次函數(shù)的圖像關于直線X=1對稱，其中一個函數(shù)的表達式為

Y=x2+2x-l,求另一個函數(shù)的表達式

54.

（22）（本小題滿分12分）

面積為6的直角三角形三邊的長由小到大成等差數(shù)列.公差為d.

（I）求d的值；

（H）在以最短邊的長為首項，公差為d的等差數(shù)列中,102為第幾項?

55.（本小題滿分12分）

橢圓2x2+y2=98內有一點A（-5,0）,在橢圓上求一點B,使|AB|最大.

56.

（本小題滿分13分）

如圖，已知橢圓G』+，'=i與雙曲線G：5-丁=1（°>i）.

（I）設.分別是G.G的離心率,證明eg<1;

（2）設4H是c長軸的兩個端點/（頡,兀）（1與1>a）在G上,直線P4與G的

另一個交點為Q,直線產4與￡的另一個交點為心證明QR平行于產軸.

57.（本小題滿分12分）

如果將進貨單價為8元的商品按每件10元售出肘，每天可銷售100件。

現(xiàn)采取提高售出價，減少進貨量的辦法增加每天的利潤，已知這種商品

每件漲價1元，其銷售數(shù)量就減少10件，問將售出價定為多少時，賺

得的利潤最大？

58.（本小題滿分12分）

已知KZ是橢圓志+[=1的兩個焦點/為橢圓上一點,且乙3%=鄧.求

&PFR的面積.

59.

（本小題滿分12分）

△A8C中.已知a'+J-6'=ar,且10gtsinA+lo&sinC=-1.面積為v'3cnT.求它二

出的長和三個角的度數(shù)?

60.（本小題滿分12分）

已知等差數(shù)列｛an｝中，al=9,?3+a8=0.

⑴求數(shù)列｛an｝的通項公式；

⑵當n為何值時，數(shù)列｛an｝的前n項和Sn取得最大值,并求該最大值.

四、解答題（10題）

61.電流強度I隨時間t變化的函數(shù)關系式是I=Asinot,設（O=100TT（M

度/秒），A=5（安培）.

（I）求電流強度I變化周期與頻率；

（II）當t=0,l/200,l/100,3/200/1/50（秒）時，求電流強度1（安培）；

（III）畫出電流強度1隨時間t變化的函數(shù)的圖像.

62.

如果將進貨單價為8元的商品按每件10元售出時，每天可銷售100件。現(xiàn)采取提高售

出價,減少進貨量的辦法增加每天的利潤，已知這種商品每件旅價1元，其銷售數(shù)*就減

少1。件.問將售出價定為多少時,II得的利潤最大？

63.為了測河的寬，在岸邊選定兩點A和B,望對岸標記物C,測得N

CAB=30°,ZCBA=75°,AB=120m,求河的寬.

64.設函數(shù)f(x)=-xex,求：

⑴f(x)的單調區(qū)間，并判斷它在各單調區(qū)間上是增函數(shù)還是減函

數(shù)；

(n)f(x)在［-2,0］上的最大值與最小值

65.

66.已知正圓錐的底面半徑是1cm,母線為3cm,P為底面圓周上-點，

由P繞過圓錐回到P點的最短路徑如圖所示，由頂點V到這條路線的

最小距離是多少？

68.設A,B為二次函數(shù)y=-3x2-2x+a的圖象與x軸的兩個不同的交

點，點P為拋物線的頂點，當4PAB為等腰直角三角形時，求a的值.

69.

設兩個二次函數(shù)的圖像關于直線X=1對稱，其中一個函數(shù)的表達式為y=x,+2x-l.

求另一個函數(shù)的表達式

|X2,V2

_|滔+方=1和圓/+力=/+/

70.已知橢圓和圓，M、N為圓與坐標

軸的交點，求證：圓的弦MN是橢圓的切線。

五、單選題(2題)

已知I=5,21=2,0通=-5百，則。與b的夾角va?＞等于()

(A)年(B)竽

(C*(D)蓼

71.46

(x-2y)'的展開式中，X3/的系數(shù)為

C-40(B)-10(C)10(D)40

72.

六、單選題(1題)

函數(shù)y=ain4x-cos4x的最小正周期是)

(A)TT(B)2ir

(C)名(D)4E

參考答案

1.B

該小題主要考查的知識點為線的交點.

z+3=0,1=-3.>=2-3=4■.則

O

函數(shù)y=2，與直線z+3=0的交點坐標

為（一3,!）.

【考試指導】

2.D

由根與系數(shù)關系得仇+仇=_1

2

由等差數(shù)列的性質得仇+仇=仇+”=w,

2

故應選D.

3.B

盒中有3個紅球和4個白球*從中隨機抽取3球,其中最多有一個白球的概

4.C

等差數(shù)列｛&」中,，，三包土^二乂8―90,得小抖=60+a“=12.（答案為C）

5.C

6.B

該小題主要考查的知識點為函數(shù)的最小正周期.【考試指導】函數(shù)

2n-n-

y=2sin6z的最小正周期為T=

7.C

8.B

9.C

C解析;若三數(shù)成等差敗列.則蒲。+C-2瓦著乂成等比敷列，則有ac=6'由"+r*2々=22當日僅

當a=c時成立可知共充分必要條件為a=b=g

10.D

11.B

B【解析】因為(cossin—1—sin2x.

乂sinr+cos工=春?所以sin2i——?

乂一會0<0?所以cossin1=弓.

■7

；?cos2z=cos21-sin：工—運.

12.B

13.B依題意，不同的選法種數(shù)為

Cd翳=6

考生要牢記排列組合的基本公式及計算方法.

【解題指要】本題主要考查排列組合的相關知識.

14.B

B：??(>?<)???>???C?7*2?9,

15.B

l-Gi=1一屆=1一而=(1一同，

(V3+i),3+27^—12+24i-V3i)

16.C

設圓錐母線長為i,底面圓半徑為r,高為h,有

f=5inf-

h_z

7=8*,

:.r盟l、h*.

另設過II點的軸級面為“48.

則S,j*=4.即:?2r-h-

財/替又國,=十?NK?專產二

16?.

"后R瓦=

17.B

a+mb=(1“)+m(—1,2)—(1—

m"+2m),又因o+nib平行于向量(-2,1),則1?

(1—m)=-2?(i+2/n)化簡得：2，+3m+1=0.

18.A

19.B

20.D

由題意知向-lK),|x|>L解得史1或x￡l.本題考查絕對值不等式的解

法和對函數(shù)定義域的理解.

21.D

22.B

/(_*)=_=Jrlg(f):二:21g._1/(」).

；?，(工)為偶函數(shù).(答案為B)

23.A

*/sec2a=1+tan，.

：?sec2a>tanLa=>|seca|>；tanaI,

平方平方等號兩邊非負

■:1+cot*a—esc2a?

：?cot2a<Zcsc2a=>IcotaiV|cscaI,，(1)(3)為錯

??sina_

?tana*

cosa

Isina\?---r=ItanaI>

IcosaI

當Icosa|=i1時.|sina|=|tana|,

當0V|cosa|<1時，|sina|V|tanaI,

即Isina|&|tana|.

同理IcosaI&Icota,(2)(4)正確.

24.A

25.D

U由于:命題甲q命腮乙1甲對乙的充分性).命

題乙4命題單〈中附乙附必耍件>，故選D.

【分析】點題才心對充分必要條件的里加.

26.D

27.D

28.A

由偶函數(shù)定義得f(-l)=f(l),f(3)>f(l)=f(-l)

29.A

30.D

31.E^=-1x0.1+0x0.1+1x0.4+2x0.3+3x0.1=1.2.(答案為

1.2)

32.arccos7/8設三邊分別為2h、3h、4h(如圖)，由余弦定理知

(2h)2=(3h)2+(4h)2-2x3hx4hcosa,/.cosa=7/8,即a=arccos7/8.

a

4h

33.

異面直線fit"與DC的距離為正方體面對角線的一半.即為*a.(答第為考a)

34.

35.4由直線方程的兩點式可得，過A(2,1),B(3,-9)的方程為：

.JC—2_y—1.JlOx+y-21=0Jx=-^

〃，戶一_9T,則層+廠7=0巧

才12+久?3

36.

37.

極長為a的正方體ABCD-A'B'CT)'中，異面|?(線與DC的距離為(答案為多1)

38.

39.由題意可知，直線的斜率為2,且過點(-3,0).

,直線方程為y=2(x+3),即2x-y+6=0.(答案為2x-y+6=0。)

40.12

41.12

it為正M篇冊的一個口點?JLAx收上方

時工。=mco?30,msmSO'-ym.

/J

可見A《§E.號)A*驗假,-出工上?從而號＞'=27^亍1?E12

g

44.3

45.答案：2x+y+2=0

20題答案圖

作8點關于工軸對?稱的點B'(2.-6).連接

Mi'.AB'即為入射光段所在直線,由兩點式知

T+3_V_4

。21+y+2=0.

―-6-4

（19）；

46.J

47.

48.

?s<tf，Tfl，TTa'

由題章知正三被饞的側橫長為與叫

...（華）］（華.母）二人

丙丫_衣,

V2..?/A,=、//7￡-_7W6?Q.V-1X6彳。2?l三/6.一*57。?

瓦。3V6634624

49.

函數(shù)尸sinrconr+Qcos1］的最小正周期為粵=兀(答案為U)

50.

51.解設襯衫每件提高X元售出時，利潤為Y元，此時賣出的件數(shù)為

500—lOx件，獲得收入是(50+X)(500一10x)元，則利潤

Y=(50+X)(500—10x)—40(500—10x)=—f0x2+400x+5000=—10(x—

20)2+9000,所以當X=20時，利潤Y取得最大值9000元，此時售價

為50+20=70元

52.

由已知可得橢圓焦點為-15,0）,八（6.0）.……3分

設橢圓的標準方程為馬+卜1（a>6>0）,則

nn

=，+5,

度庫解得｛二：…'分

,a3

所以橢圓的標準方程為言+?=l.?……9分

94

桶08的準線方程為x=±々A.?……12分

53.

由已知.可設所求函數(shù)的表達式為y=（x-m）'+n.

而y=x2+2x-1可化為y=（x+1）!-2.

又如它們圖像的頂點關于直線彳=1對稱，

所以n=-2,m=3,

故所求函數(shù)的表達式為y=（H-3）'-2,即>x'-6x+7.

54.

(22)解：(I)由已知條件可設直線三角形的三邊長分別為

a-dta,Q+d,其中a>0,d>0,

則(a+d)?-a2+(a-</)2.

a=4d,

三邊長分別為3d,4d,5d.

S=—x3dx4d=6,d-\.

故三角形的三邊長分別為3,4,5,

公差d=1.

(11)以3為首項,1為公差的等差數(shù)列通項為

an=3+(n-l),

3+(n-l)=102,

n=100,

故第100項為102.

55.解

設點B的坐標為(看,八)，則

S,

I4BI=y(x,+5)+y1①

因為點8在摘08上,所以2父+y「=98

y「=98-2*J②

將②R人①，得

1481=，(陽+5)'+98-2婷

i

=>/-(xl-l0xl+25)+148

=y-(x,-5)3+148

因為-3-5)‘W0,

所以當當=5時，-(陽-5)'的值最大，

故M8I也最大

當與=5時.由②.得y嚴±48

所以點8的坐標為(5.4百)或(5.-4月)時以81最大

56.證明：(1)由已知得

又a>l,可稗,所以.eg<l.

a

將①兩邊平方.化藺得

（X,）+a）y=（X）+a）1y?.④

由②③分別得竟=』?-a2）,y?=-r（o,-*?）.

aa

代人④整理得

=即孫工

a，*2XQ?Q'x0

同理可得巧=￡.

所以利=%/0.所以。/?平行于，軸.

57.

利潤=情售總價-進貨總俳

設每件提價工元(xNO),利潤為y元,則每天售出(100-10M)件,銷轡總價

為(10+z)?(100-IOx)元

進貨總價為8(100-Kk)元(OWMWIO)

依題意有:y=(10+x)?(100-lOx)-8(100-10*)

=(2+*)(100-10x)

=-10/+80x+200

y'=-20H+80,令/=0得x=4

所以當x=4即售出價定為14元?件時，?得利潤最大，最大利潤為360元

58.

由已知，佛圈的長軸長2a=20

設IPRI=m/PFJ=n,由橢圓的定義知.m+n=20①

又J=l00-64=36.c=6,所以F,（-6,0）,吊（6,0）且1"心|=12

在△PF,心中.由余弦定理得m2+/-2EC830o=12,

m3+n1-Jimn=144②

m:+2mn+n2=400,③

③-②.得（2+⑶mn=256.m=256（2-向

因此.△用；「,的面積為:

59.

24.解因為4+J-燈=*所以

"'tE/GC

即8s8="I"，而B為△48C內角，

1

所以B=600.又疝M+lo^sinC=-1所以sin4?sinC=—.

則-1-[C<M(4-C)-cos(4+C)]=p

所以cos(4-C)-CT?I200co?(4-C)=0

所以4-C=90°或4-C=-90。.又A+C=120。，

解得4=105。儲=15。；或4=15。1=105。.

因為S&AK~*oArinCslR1MnA&inB?inC

_2片.應也.四.是立=烏?2

4244

所以43=6,所以R=2

4

所以a=2&irt4=2x2xsinl050=(^6^/2)(cm)

b=2R?nB=2x2xsin600=24(cm)

c=2NzinC=2x2xsinl50=(%-在)(cm)

或a=(網(wǎng)-&)(cm)6=2cm)c=(用+J2)(cm)

農.二小長分別為(用+總)cm、25cm、(而-々)《n.它們的對角依次為:1050.600.150.

60.

(1)設等差數(shù)列10.1的公差為d,由已知a,+5=0,得

2a,+9d=0.又已知％=9.所以d=-2.

效歹J|Ia.I的通項公式為a.=9-2(n-l).BPa.=11-2n.

(2)數(shù)列l(wèi)a」的前n項和

S.=y(9+1-2n)=-n3+lOn=-(n-5)J+25.

當n=5時S取得最大值25.

61.

所以電流強度/變化的周期為1-幡率為50次人

<o，列/如下，

l=5mnl00x;5

(ID)下圖為/唐，變化的圖像；

I

O.上

T

200200

-2

-Y3

7

-一■

解利潤=銷售總價-進貨總價

設每件提價工元(XNO),利潤為y元，則每天售出(100-10工)件，銷售總價

為(10+G?(100-100元

進貨總價為8(100-10x)元(0WXW10)

依題意有:y=(10+*)-(100-10x)-8(100-10x)

=(2+x)(100-10x)

=-10*J+80工+200

八-20x+80,令y'=0得x=4

62.所以當*=4即售出價定為14元一件時,賺得利潤最大，最大利潤為360元

63.VZC=180o-30°-75o=75°,/.AABC為等腰三角形,則

AC=AB=120m,過C作CD_LAB,則由RtAACD可求得

CD=l/2AC=60m.即河的寬為60m.

64.本小題滿分13分

解：(I)f(x)=-ex